2022年广西南宁市高考理科数学一模试卷及答案解析.pdf

2022年广西南宁市高考理科数学一模试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5 分，共 60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.（5 分）设集合 M=x|2 W x W 4 ,N=x|3 V x W 5,则 M A N=（）A.x|2 W x W 3 B.x 3 x W 4 C.x 3 0）的焦距为28，则其渐近线方程为（）A.y=y/2x B.y =土孝%C.y=V 3 x D.y =土与%5.（5 分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）8A.-B.2 C.8 D.436.（5 分）设。=3 汽 b =&）T 2,c=l o g o.60.8,贝 ij a,b,c 的大小关系为（）A.a h c B.h a c C.c h a D.c a-6）2=1229.（5分）（2%-岸）0 +丫）6的 展 开 式 中 的 系 数 为（）A.45 B.30 C.20 D.1510.（5分）球O为三棱锥P-A B C的外接球，A A B C和 P8C都是边长为2百的正三角形，平面P8CJ_平面A B C,则球的表面积为（）A.28n B.20K C.18n D.16TT11.（5分）在正整数数列中，由1开始依次按如下规则取它的项：第一次取I；第二次取2个连续偶数2,4；第三次取3个连续奇数5,7,9；第四次取4个连续偶数10,12,14,16,；第五次取5个连续奇数17,19,21,23,25；按此规律取下去，得到一个数列1,2,4,5,7,9,10,12,14,16,17,19,，则在这个数列中第2021个数是（）A.3976 B.3974 C.3978 D.397312.（5分）已知定义在R上的可导函数/（x）,对都有/（-x）=e2xf（x）,当x0时，/（x）+f（x）0)的焦点为F,P为 C 上一点,P F 与 x轴垂直，。为 x 轴上一点，且 P QJ_ O P,若尸。|=4,则 C 的准线方程为.16.(5分)函数f(x)=As i n(a)x+(p)(a)0,0(p T i)的部分图像如图所示，有以下结论：f(x)的最小正周期7=2；f(x)的最大值为A；f(x)图像的第一条对称轴为直线X =Jr(x)在(一1,一分上单调递增.三、解答题：共 7 0 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1 7-2 1 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23题为选考题，考生根据要求作答.(一)必考题：共 60分.1 7.(1 2 分)在aABC中，内角4,B,C所对的边分别为“，b,c.已知ga=2csin(B+).(1)求角C的大小；(2)若“+匕=5,求 4 8 C 周长的取值范围.1 8.(1 2 分)为推进碳达峰碳中和的目标，2 0 2 1 年 4月某新能源公司在室内开展了“低碳出行，绿色减排”活动，向全市投放了 1 0 0 0 辆新能源电动车，免费试用5个月.试用到期后，为了解男女试用者对该新能源车性能的评价情况，公司对申请使用的试用者进行了满意度评分调查(满分为1 0 0 分)，最后该公司共收回4 0 0 份评分表，然后从中随机抽取4 0 份(男 女 各 2 0 份)作为样本，绘制了如图茎叶图：第3页 共1 8页女性试用各评分 男性试用不评分-1-1-867 8 8 95 2 1 7 0 2 2 3 4 5 6 6 78 6 6 5 4 4 3 3 3 082 4 4 83 2 2 2 0 0918 9(1)求 4 0 个样本数据的中位数m,并说明男性与女性谁对新能源电动车的满意度更高；(2)假设该公司规定样本中试用者的“认定类型”：评分不小于m的为“满意型”，评分小于?的为“需改进型”，为做好车辆改进工作，公司先从样本“需改进型”的试用者按性别分别用分层抽样的方法，从中抽取8人进行回访，根据回访意见改进车辆后，再从这 8人中随机抽取3人进行二次试用，记这3人中男性人数为X,求 X的分布列及数学期望.1 9.(1 2 分)如图，四棱锥的底面A B C。是平行四边形，BAD =A B=4,BC=1,AD LPD.M 是 4 8 的中点，点 N在 P C 上，CN =&N P.(1)证明：平面平面4 B C ；(2)若 P M_ L MO,P C=3,求二面角4 -D M-N的余弦值.2 0.(1 2 分)已知椭圆C的中心在原点，焦点在x 轴上，短轴长为1,离心率为三.(I)求椭圆C的方程；(2)若过P (入，0)的直线/与椭圆交于相异两点A,B,且1 =2而，求实数人的范围.21.(1 2 分)已知函数/(x)=+s i n x.(1)求 y=/(x)在(1,/(D)处的切线方程；(2)当x2 0时，f(%)2o%2+2x+l 恒成立，求 a的取值范围.(二)选考题：共 10分.请考生在第22、2 3 两题中任选一题作答，则按所做的第一题几第4页 共1 8页分.选修4-4：坐标系与参数方程22.(1 0 分)在平面直角坐标系中，曲线C 的参数方程为(。为参数)，以坐=siiiu标原点为极点，X轴非负半轴为极轴建立极坐标系.(1)求曲线C 的极坐标方程；(2)若直线/的极坐标方程为0(p eR),P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线/的距离的最大值.选修4-5：不等式选讲23.已知函数/(x)=|k+1|+|1+3|.(1)求/(x)2 4 的解集；(2)若/(x)2。2-2 4+3,求的值.第5页 共1 8页2022年广西南宁市高考理科数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5 分，共 60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.(5 分)设集合=川2忘;:忘 4,N=x|3xW 5,则 M A N=()A.x|2 3 B.*|3 xW4 C.x|3VxW4 D.x|2 5【解答】解：.集合 M=x|2WxW4,N=x|3xW5,.A/riN=x3 4=1 ,+d=5,=7,&+3d=/。5=7+（-2）义4=-1,故选：D.4.（5 分）已知双曲线/一，=1 9 0）的焦距为2国，则其渐近线方程为（）A.y=V2x B.y=苧x C.y=V3x D.y=土造x【解答】解：由焦距2c=2百，又双曲线中j=i,。2+庐=02,故 3=y+1,解得b=&，=历，a所以渐近线方程为y=V2x,故选：A.第6页 共1 8页5.（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）8A.-B.2 C.8 D.43【解答】解：根据三视图还原，得到四棱锥P-ABCD其底面A B C。为直角梯形，高为PD,1 1 1体积为八 扣 因物帆BCD.P D=H（1+2）2 2 =2,6.（5 分）设 a=3-3,b=（1）-1-2.c=k）g o.6 O.8,则 a,b,c 的大小关系为（）A.a b c B.b a c C.c b a D.c a b【解答】解：1 3-3 2,：.b2,V l o g o.6 0.8 l o g o.6 0.6 =1,:.c 1，.c a）=备，则 的 大 致 图 像 为（）第 7 页 共 1 8 页【解答】解：由题意得，/（-1）0,故排除C,D,当 x f+8,f（x）-0,排除 8.故选：A.8.（5分）已知圆C的圆心在直线y=6 x 上，且与直线/：x+y-l=0 相切于点（-2,3）,则圆C方 程 为（）A.（x+1）2+（）斗 6）2=1 8 B.f+y 2=i 8C.（x -1）2+（y-6）2=1 8 D.（x-1）2+（y-6）2=12【解答】解：设圆心为（加，6m）,则圆心与点（-2,3）的连线与直线/垂直，即2 g xm+2（-1）=T，解得?=1，所以圆心为（1,6）,半径r =J（1 +2产+（6 3 尸=3 鱼,所以圆C方 程 为（x-1）2+（厂 6）2=1 8.故选：C.9.（5分）（2%卷）（久+义）6 的展开式中凸?4 的系数为（）A.4 5 B.3 0 C.20 D.1 5【解答】解：（x+y）6 展开式的通项公式为7 丁+1 =案”-丁 丫 英（r e N 且 0 W r W 6）,所以（2%-+）的各项与（x+y）6 展开式的通项的乘积可表示为：2xTr+1=2Cx7-ryr,令 r=4,可得：2%7 5 =2C x 3 y3 该 项 中 的 系 数 为 3 0,-.=C 鼻5-r/2,令，=2,可得：-9 7 3 =Ya 3 y4,该项中 3 4 的系数为-1 5,所以马；4 的系数为3 0-1 5 =1 5.第8页 共1 8页故选：D.1 0.（5分）球。为三棱锥P-A B C 的外接球，ZVI BC 和 P BC 都是边长为28 的正三角形,平面P 8 C，平面A B C,则球的表面积为（）A.28T T B.20 n C.18T T D.16IT【解答】解：设 B C中点为T,A 8 C 的外心为O i,P BC 的外心为0 2,由 A BC 和 P 8 C 均为边长为2次的正三角形，2-7 3则 A BC 和 P 8 C 的外接圆半径为7 7 7 7；=2）又因为平面尸 8 c L 平面ABC,所以四边形0 0 1 T o2是边长为1 的正方形，所以0 2T J 平面A BC,所以 0 2r l0 T,且 0 27=。1 T,过 0 2,0分别作平面P B C和平面A B C的垂线相交于0,则。为三棱锥P-A B C外接球球心，且四边形0 0 1 T 0 2是边长为卜（百 尸=i 的正方形，所以外接球半径R =0/+0 2P 2=V T T 4 =V5,则球的表面积为20TT,故选：B.1 1.（5分）在正整数数列中，由 1 开始依次按如下规则取它的项：第一次取1：第二次取2个连续偶数2,4；第三次取3个连续奇数5,7,9；第四次取4个连续偶数1 0,1 2,1 4,第 9 页 共 1 8 页1 6,；第五次取5个连续奇数1 7,1 9,21,23,25；按此规律取下去，得到一个数列1,2,4,5,7,9,1 0,1 2,1 4,1 6,1 7,1 9,，则在这个数列中第20 21 个数是()A.3 9 7 6 B.3 9 7 4 C.3 9 7 8 D.3 9 7 3【解答】解：由题意可得，奇数次取奇数个数，偶数次取偶数个数，前次共取了1 +2+3 +.+=鸣 曲 个 数，.63(63+1)且第次取的最后一个数为n2,当 =6 3 时，-=20 1 6,2即前6 3 次共取了 20 1 6 个数，第 6 3 次取的数都为奇数，并且最后一个数为6 3 2=3 9 6 9,即第 20 1 6 个数为 3 9 6 9,所示当”=6 4 时，依次取 3 9 7 0,3 9 7 2,3 9 7 4,3 9 7 6,3 9 7 8 所以第20 21 个数是3 9 7 8,故选：C.1 2.(5 分)已知定义在R 上的可导函数/),对V x 6 R,者 B有/(-x)=&于 3,当x 0时，/(x)+f(J C)0 时，g(x)=ef(x)+f(J C)(a+1)2,解得 a W O 或 a 22,所以a的取值范围为(-8,Q U 2,+8).故选：C.二、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共 20分.1 3.(5 分)设“是等比数列，且 4 1+4 2+4 3=1,及+。3+。4=2,则 数 列 的 公 比 0=2.【解答】解：.酸 是等比数列，且 0+。2+。3=1,.,.a2+ai+a4=q(ai+a2+a3)=2,:*q=2,故答案为：2.1 4.(5 分)已知2=(-3,0),b=(3,4),则|2；+&=5 .第1 0页 共1 8页【解答】解：Va=(-3,0),7=(3,4),，2Q+b=(-3/4),二|2Q+b|=-9 +16=5,故答案为：5.15.(5 分)己 知。为坐标顶点，抛物线C：y2=2px(p 0)的焦点为F,P 为 C 上一点，P尸与x 轴垂直，。为x 轴上一点，且 P Q L O P,若|F Q|=4,则 C 的准线方程为 x=-j_.【解答】解：抛物线C：)2=2*(p 0)的焦点F(E，0),n为 C 上一点，尸尸与X轴垂直，所以P 的横坐标为最代入抛物线方程求得P 的纵坐标为土p,不妨设P ，p),因为Q 为 x 轴上一点，且 PQ J_O P,所 以 Q 在尸的右侧，又：|FQ|=4,.-.0,.p=2,所以C 的准线方程为x=-1,故答案为：x-1 .16.(5 分)函 数/(x)=A sin(3x+(p)(3 0,0 (p 0,结合O V cpV n,知 A0,f(x)的最大值为A,正确；因为/(x)的图像过点G，0)和号，0),所以/(X)图像的对称轴为直线x=*弓+3 +与 T+k,(肥Z),当=7 时，对称轴为x=J,正确：把点(上，0)代入f (x)=Asin(Ttx+(p),得+9=兀 +2/c/r,又 0 (p n,得卬=等，则f (%)=Asin(jix+当)，由一*+2kn 4 TTX+苧工为+2k?r得一3+2fc%0,有8 c o sc =s in C,即tanC=V 5,又 Ce(0,n),所以C=：(2)由余弦定理可知，+)2-2而cosC=(a+b)2-3ab,因为a+h=5,ab (写当?，第1 2页 共1 8页可得c2 2（a+b）2 一 3（嘤）2=竽，当且仅当a=b=?时，取等号，所以c 耳，又 c（a+b=5,所以1 4 c M-N 为钝角，故所求二面角的余弦值为-孥.20.(12分)已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，短轴长为1,离心率为弓.(1)求椭圆。的方程；(2)若过P(入，0)的直线/与椭圆交于相异两点A,B,且 心=2 而，求实数入的范围.(2b=1【解答】解：由 题 意 知 上=卓 ，I a 2la2=炉+c2第 1 5 页 共 1 8 页解得。=1,b =v2所以椭圆方程为/+4=1;4(2)设 3 (x o,y o),A(x i,y),由 晶=2而 得(入-x i,-y i)=2 (x o-A,y o),从而 x i =3 入-2 x o,y i=-2 y o,则 A(3 入-2 x o,-2 j o),因为点A在椭圆/+4/=1 上，故(3 4 2 x0)2+4(-2 y0)2=1,BP9A2-12Ax0+4(乙2+4y02)_ i=0,又%()2 +4y02=lf所以殉=3 c 1,由椭圆定义知-i W x oW l,故一1密1,解得a w L.u ,1 又由题设知入 wi,故 w(-1,-u(，1)所以实数人的取值范围是(一1,1).2 1.(1 2 分)已知函数/(x)=e”+sinx.(1)求 y=/(x)在(1,/(I)处的切线方程；(2)当x 20 时:f(x)2 4/+2 +1 恒成立，求。的取值范围.【解答】解：(1)由题知/(1)=e+sinl,f(x)=e +c o sx,/(1)=e+c o sl,所以 y=/(x)在(1,/(D)处的切线方程为 y-(e+sinl)=(e+c o s 1)(x-1),即(e+c o sl)x-y+sinl -c o sl =0,(2)由/(x)得/+sinx-o r2-2 x-1 2 0,令 g(x)=+sinx-ax2-lx-1,即 g (x)机 加 2 0,g(x)=ex+cosx-lax-2,g”(x)=ex-sirir-2a,g (x)=e-c o sx,因为x 2 0,所以 e”2 1 2 c o sx,所以 g (x)=，-c o sx2 0,所以 g (x)在 0,+)上第1 6页 共1 8页单调递增，g(x)g (0)=1 -2a,当1 -2心0即a 叁 时，g (x)(0)=1 -2心0,g(x)在 0,+)上单调递增，g (x)(0)=0,所以g(x)在 0,+8)上单调递增，g(x)2 g (0)=0,符合题意，当 1 -2。0 即时，g(x)g (0)=1 -2a 0,g(x)在 0,+)上单调递增，而 g”(妨(2 a+l)=1 -sin(加(2 a+l)2 0,所以三 刈 (0,In(2a+1),使得 g (xo)=0,当 xW (0,xo)时，g (x)0,g(x)单调递减，9 (x)Vg(0)=0,所以 g (x)单调递减，g(x)Vg (0)=0,不满足 g(X)m加2 0,所以。的取值范围是(一8,j .(二)选考题：共 10分.请考生在第22、2 3 两题中任选一题作答，则按所做的第一题几分.选修4-4：坐标系与参数方程2 2.(1 0分)在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为(0为参数)，以坐标原点为极点，X轴非负半轴为极轴建立极坐标系.(1)求曲线C的极坐标方程；(2)若直线/的极坐标方程为。=(p 6 R),尸为曲线C上的动点，求点P到直线/的距离的最大值.【解答】解：(1)曲线C的参数方程为R3c A (。为参数)，消去参数仇得普通(y=SLTLU方 程(X-2)2+y2=l,(x=pcosdy=psind,把普通方程转换为极坐标方程p2-4 pc o s0+3=O.x2+y2=p2(2)法一：直线/的极坐标方程为6=(pR),转换为直角坐标方程为=g x,所以圆心(2,0)到 直 线/的 距 离 为 =匕 笋 =K，则点P到直线I的距离的最大值为1 +V3.法二:设P(2+c o se,sine),点P到直线I的距离d=两2+c.)-s i的=|2 +2.(卜助第 1 7 页 共 1 8 页当sing-。)=1时，最大值为1 +遮.选修4-5：不等式选讲2 3.已知函数/(元)=|x+l|+|x+3|.(1)求/(x)24的解集；(2)若/(x)-2+3,求 Q 的值.(-2%-4/x V-32,-3 x -l.2%+4,x 1当 xV-3 时，-2 x-4 2 4,解得xW-4；当-3 W x-1时，2,4不成立，故 在0;当 时，2 x+4 N4,解得x2 0,综上，不等式/(x)24的解集为(-8,-4 U 0,+).(2)f(x)=|x+l|+|x+3 2|(x+1)-(x+3)|=2,当且仅当(x+1)(x+3)W O 时等号成立，则 a2-2 a+3 W 2,化 简 得(a-1)2.0,所以4=1.第1 8页 共1 8页