2023年高考数学压轴题圆锥曲线专题第12讲：斜率问题四含解析.pdf

2023年高考数学压轴题圆锥曲线专题第12讲：斜率问题四(解析版)第十二讲：斜率问题(四)【学习目标】基础目标：掌握椭圆，双曲线，抛物线的简单性质，直线斜率的表示和计算过程；应用目标：掌握椭圆，双曲线，抛物线中，直线与其对应的关系，倾斜角互补，斜率互为相反数；拓展目标：能够熟练应用数形结合，观察线段长度，位置关系等，进行倾斜角和斜率的转化.素养目标：通过数形结合，转化与化归等思想方法，培养独立思考和逻辑分析能力，提升学生的数学运算和数学抽象的核心素养.【基础知识】1、倾斜角互补直线 和4的倾斜角分别为。和，当a+=时，则勺+4=。；2、角度相等当角度的公共边为x轴、)轴或与之平行的线段时，则可以找到两条直线的倾斜角之间的关系，即倾斜角互补，斜率相加为零；3、线段相等等腰三角形的底边为x轴、)轴或与之平行的线段时，则可以找到两条直线的倾斜角之间的关系，即倾斜角互补，斜率相加为零；4、角平分线当角平分线为x轴、y轴或与之平行的线段时，则可以找到两条直线的倾斜角之间的关系，即倾斜角互补，斜率相加为零；【考点剖析】考点一：倾斜角互补例1.已知椭圆C:J +/=1 (a 6 0)离心率等于|,且椭圆C经过点网(1)求椭圆C的方程；(2)过 点P作倾斜角分别为a,的两条直线PA,PB,设PA,PB与椭圆C异于点P的交点分别为A,B,若，试问直线AB的斜率是否为定值？如果为定值，请求出此定值；如果不是定值，请说明理由.变式训练1：己知椭圆C:4+A =1(。匕 0)的离心率为也，以原点。为圆心，以C的短半轴长为半径a h 2的圆被直线x-y +2 =0 截得的弦长为2.(1)求椭圆C的方程；(2)点 P的坐标为(2/)，直线/(不过原点。也不过点尸)交C于 A8两点，且直线A P,3P的倾斜角互补,若 点 例 是 的 中 点，求 直 线 的 斜 率.变式训练2:已知圆G：(x+i y +y 2=2 5,圆G：(x-l)2+/=l.动圆C与圆C和圆C 2 均内切.(1)求动圆圆心C的轨迹的方程(2)点 P(1 J)(Z 0)为轨迹E上的点，过点P作两条直线与轨迹E交于45两点，直线R4,尸 3的斜率互为相反数，则直线4?的斜率是否为定值？若是，求出定值：若不是，请说明理由.2 2变式训练3：已知抛物线C l：y?=4 x 与椭圆C 2：+=1(”力 。)有公共的焦点，C 2 的左、右焦点a b分别为F l,F 2,该椭圆的离心率为 求 椭 圆 C 2 的方程；如 图，若直线1与 x轴，椭 圆 C 2 顺次交于P,Q,R (P 点在椭圆左顶点的左侧)，且/P F 1 Q 与/P F 1 R互为补角，求F 1 Q R 面积S的最大值.考点二：角度问题(倾斜角互补)例 1.已知椭圆C的中心在原点，焦点在X 轴上，离心率等于：，它 的 一 个 顶 点 恰 好 是 抛 物 线 的焦点.(1)求椭圆c的方程；已知点尸(2,f),Q(2,T)(/0)在椭圆C上，点A,8是椭圆C上不同于 尸，。的两个动点，且满足：Z A P Q =NBPQ,试问：直线AB的斜率是否,P为定值？请说明理由./变式训练1：已知椭圆C：+(=1,%0),F为上焦点，左顶点尸到F的距离为a，且离心率为乎,设。为坐标原点，点M 的坐标为(。.(1)求椭圆C的标准方程；(2)若过尸的直线/与C交于A ,B两点，证明：N O M A =NOMB.变式训练2：在平面直角坐标系xO y 中，动点P 到点尸(4,0)的距离等于点P 到直线x+4 =0 的距离.(1)求动点尸的轨迹方程；记 动 点 P的轨迹为曲线C,过 点 F的直线/与曲线C交于A,8两点，在 x 轴 上 是 否 存 在 一 点 使ZAMF=NBMF若 存 在,求出点”的坐标；若不存在，请说明理由.变式训练3：在平面直角坐标系xO y 中，已知圆M8 0)的离心率为:，经过点尸(2,3).a b z(1)求椭圆c的方程；(2)设点A、B在椭圆C上，直线分别与y轴交于点M、N,=试问直线AB的斜率是否为定值？如果是定值，请求出此定值；如果不是定值，请说明理由.变式训练1：已知椭圆C：!+，=l(a 匕 0)的左、右焦点分别是K，尸2,离 心 率 为 斗，过K且垂直于已知椭圆C：5 +2=1(8 0)的左、右焦点分别为匕、玛，焦距为2,点(石，也)在 椭 圆C上.(1)求椭圆C的方程；(2)若点(%,%)(%0)是椭圆C上一点，。为轴上一点，P F2=2PQ,设直线/与椭圆C交于M,N 两点，若直线P M，PN关于直线x=x0对称，求直线/的斜率.2 2变式训练2：已知椭圆C：*+营=1.6 0）的短轴长为2,直线 1与椭圆C 交于不同的两点A,B,点在椭圆C上，且直线P A 与 P B 关于直线x=l对称.（1）求椭圆C的标准方程;（2）求证：直线A B 的斜率为定值.变式训练3：已知点直线1 的方程为x=-；,双曲线5-2=1（4 0,0）的右焦点为耳（2,0）,双曲线的两条渐近线与直线1 围成的三角形的面积为3.4（1）求双曲线的方程；直 线”?过点耳与双曲线相交于A,B两点，直线F A 与直线F B 分别与y 轴交于C,D 两点，证明：|。=|。力（0 为坐标原点）.考点四：角平分线(已知)例1.已知椭圆C：/+m=1(6 0)的 离 心 率 为 多 点(2词在椭圆C上，点F是椭圆C的右焦点.(1)求椭圆c的方程；(2)过点F的直线1与椭圆C交于M,N两点，则在x轴上是否存在一点P,使得x轴平分N M P N?若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由，变式训练1：已知抛物线C：V=4 x,过焦点的直线1交抛物线C于M、N两点，且线段MN中点的纵坐标为2.(1)求直线1的方程；(2)设x轴上关于y轴对称的两点P、Q,(其中P在Q的 右 侧)，过P的任意一条直线交抛物线C于A、B两点，求证：N A Q 8始终被x轴平分.变式训练2：已知椭圆C：+，=l(a60)的离心率为正，点P(2,l)为椭圆C上一点.(1)求椭圆C的方程；(2)若M,N是椭圆。上的两个动点，且NMPN的角平分线总是垂直于y轴，求证：直线MN的斜率为定值.考点五：角平分线(翻译)例1.己知曲线C：y2=2px(p0)的焦点为F,曲线C上有一点。($,p)满足|QF|=2.(1)求抛物线C的方程；(2)过原点作两条相互垂直的直线交曲线C于异于原点的两点A,8,直线AB与x轴相交于N,试探究x轴 AM|训上存在一点是否存在异于N的定点M满 足 扁=扁 恒 成 立 若存在，请求出 点坐标.变式训练1：设抛物线。：丁=2*(0 0)上的点加与焦点下的距离为6,且点M 到x 轴 的 距 离 为&p.(1)求抛物线C的方程；(2)设抛物线C的准线与x 轴的交点为点N ,过焦点尸的直线与抛物线C交 于 尸,。两点，证明:PF|P/V|两=两,变式训练2：已知O为坐标原点，点 尸(1,0),设动点W到直线x=T的距离为4,且 +2 恢句=8,|O W|4 4.(1)记动点W 的轨迹为曲线C,求曲线C的方程；(2)若直线/与曲线C交于A,8两点，直 线 与 曲 线 C交于A,9两点，直线/与/的交点为尸(P不在曲线 C上)，K H.|P B|=|R4,|-|P B,|,设直线/,/的斜率分别为列Z.求 证:左+。为定值.考点六：定比分点(弦长的应用)例1.已知椭圆C:：+，=l(a60)的左、右焦点分别是K，F2,离心率为乎，过耳且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1.(1)求椭圆C的方程；2 设 点 尸 在 直 线x=，上，过 点P的 两 条 直 线 分 别 交 曲 线C于A,B两 点 和M,N两 点，且1PAi|阳=|户根|取|,求直线A B的斜率与直线M N的斜率之和.变式训练1：已知。为坐标原点，抛物线C：x2=2py(p0)的焦点为F,P为抛物线C上一点，PF与y轴垂直，Q为y轴上一点，且若|叫=4.求。；设 点M(U),过 点M作两条不同的直线分别交抛物线C于A,B两 点 和D,E两点，且满足MA-MB=MD-ME,求 证 勖 为 定 值.变式训练2：己知椭圆C：鼻+%=1(。0)的左、右焦点分别为耳，心，离 心 率 为 且 经 过 点(1,：).(1)求椭圆C的方程；(2)动直线/：y=x+，与椭圆C相切，点M,N是直线/上的两点，且耳鸟N，/,求四边形4 MN鸟的面积；(3)过椭圆C内一点7”,0)作两条直线分别交椭圆C于点A,C,和8,0 ,设直线A C与B D的斜率分别是k、，h，若|A T|T C R B 7|.|7 O|,试问仁+的是否为定值，若是，求出定值，若不是，说明理由.变式训练3：在平面直角坐标系xOy中，已知点与(-石,0),工(石,0),点P为平面内的动点，且P46的周长为6+2石.记点P的轨迹为C.(1)试说明曲线C的形状，并求C的方程；(2)设 点M在直线x=I上，且M不 在C上，过M的两条直线分别交C于A,B两 点 和R,H两点，且M-MBMR-MH,直线A B和R H的斜率都存在且不为零，求直线A B的斜率与直线R H的斜率的比值.【当堂小结】1、知识清单：(1)椭圆，双曲线，抛物线的简单性质；(2)倾斜角互补，斜率相加为零；(3)数形结合把图形转化为倾斜角，斜率求解；2、易错点：数形结合将图形转化为倾斜角；3、考查方法：数形结合思想，数与形的转化；4、核心素养：数学运算，数学抽象.【过关检测】1.已知抛物线C:x2 =2 p y(p 0),直线/：丫 =丘+2 与C交于AB 两点且(。为坐标原点).(1)求抛物线C的方程；设 P(2,2),若直线P A P 8 的倾斜角互补，求左的值.2 22 .已知椭圆C:二+二=1(。6 0)的焦距为2,左、右焦点分别为6，5，A为椭圆C上一点，且A&_LXa bOM 2轴，O M _ L A K，M 为垂足，O 为坐标原点，且 局 =.|A 用5(1)求椭圆C的标准方程；过 椭 圆 C的右焦点F?的直线/(斜率不为0)与椭圆交于P,Q两点，G为 x 轴正半轴上一点，且NPGFQGF。,求点G的坐标.3 .已知抛物线C:y，=2 p x(p 0)的焦点为产，点M 在抛物线C上，且 M点的纵坐标为4,MF言.(1)求抛物线C的方程；(2)过点Q(0,-4)作直线交抛物线C于 A B 两点，试问抛物线C上是否存在定点N使得直线2 4 与 N B 的斜率互为倒数？若存在求出点N 的坐标，若不存在说明理由.v2 V2 一4 .已 知 双 曲 线-方=1（。0 力 0）的左焦点为F,尸到C的一条渐近线的距离为1.直线/与C交于不同的两点尸，Q,当直线/经过C的右焦点且垂直于X 轴时，p（2 =.（1）求C的方程；（2）是否存在x 轴上的定点M,使得直线/过点用时，恒有N P FM=N Q FM?若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.5 .已知椭圆C：/+，=l（a b 0）的离心率为弓，点P（0,-l）和点A（?,）（W H0）都在椭圆C上，直线PA 交 x 轴于点M.（1）求椭圆C的方程，并求点M 的 坐 标（用 m,n表示）；设 0为原点，点 B 与点A关于x 轴对称，直线PB交 x 轴于点N,问：y 轴上是否存在点Q（不与0重合），使得N O Q M =N CW Q?若存在，求点Q 的坐标，若不存在，说明理由.6.在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：4+4 =1(a b 0)的左、右焦点分别为耳,心，其离心率e=2也，Zr 3且椭圆C经过点M(3 五,0).(1)求椭圆C的标准方程；(2)过点M 作两条不同的直线与椭圆C分别交于点A,B(均异于点M).若N A M B 的角平分线与y 轴平行，试探究直线A B 的斜率是否为定值？若是，请给予证明；若不是，请说明理由.7.已知抛物线E:y2=2 冲(p 0)的焦点为F,其中P 为 E的准线上一点，0是坐标原点，且 OF-OP=-1.(1)求抛物线E的方程；(2)过。(1,0)的直线与E交于C,D两点，在 x 轴上是否存在定点屈(，,0 乂/片0),使得x 轴平分N CM Q?若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由.8.已知动点尸到点(1,0)的距离与到直线x=-l的距离相等，动点P的轨迹为曲线E.(1)求曲线E的方程；已 知M(-3,0),不垂直于坐标轴的直线/与曲线E相交于A,8两点，。是坐标原点，若QM平分,问直线/是否过定点？若过定点，求出该定点；若不过定点，请说明理由.9.已知抛物线C：V=2px的准线方程为x=-2.(1)求C的方程；直 线/：y=x+m与C交于A,B两点，在C上是否存在点Q,使得直线QA,QB分别与y轴交于M,N两点,且|QM|=|QV|?若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由.第十二讲：斜率问题(四),【学习目标】基础目标：掌握椭圆，双曲线，抛物线的简单性质，直线斜率的表示和计算过程；应用目标：掌握椭圆，双曲线，抛物线中，直线与其对应的关系，倾斜角互补，斜率互为相反数；拓展目标：能够熟练应用数形结合，观察线段长度，位置关系等，进行倾斜角和斜率的转化.素养目标：通过数形结合，转化与化归等思想方法，培养独立思考和逻辑分析能力，提升学生的数学运算和数学抽象的核心素养.【基础知识】1、倾斜角互补直线 和/2的倾斜角分别为a和尸，当+=时，则勺+4=。；2、角度相等当角度的公共边为x轴、轴或与之平行的线段时，则可以找到两条直线的倾斜角之间的关系，即倾斜角互补，斜率相加为零；3,线段相等等腰三角形的底边为x轴、轴或与之平行的线段时，则可以找到两条直线的倾斜角之间的关系，即倾斜角互补，斜率相加为零；4,角平分线当角平分线为x轴、)轴或与之平行的线段时，则可以找到两条直线的倾斜角之间的关系，即倾斜角互补，斜率相加为零；【考点剖析】考点一：倾斜角互补例1.已知椭圆C:+=l 。人 0)离 心 率 等 于 且 椭 圆C经过点p|(1)求椭圆C的方程；(2)过点P作倾斜角分别为月的两条直线P A,P B,设P A,P B与椭圆C异于点P的交点分别为A,B,若a +夕=，试问直线AB的斜率是否为定值？如果为定值，请求出此定值；如果不是定值，请说明理由.【答案】(1)+亡=1(2)直线AB的斜率是定值，为目9 53r2 v2 2解析：因为椭圆c：=+4=i(。)离心率等于：a-h-3c=2所以:3 且2 十 二=1a-9b-解得2 =9,2=5 ,2 2所以椭圆C的方程为三+匕=19 5(2)由题意得，两条直线P A,P B的斜率均存在，且互为相反数，设直线R 4 为 y-g=%(x-2),则直线所为y-g=-Z(x-2),设 4(占,),8(,),5尤2 y2将 y _ =/(x _ 2)代入9+匕=1,3 9 5得(5 +9k2)x2+(3(R -3 6k 2 )x+3 6 r 一 6 0 k-2 0 =0,所 以%+2 =3 6k2-3 0k5+9公1 8 公-3 0 A-1 05+9公，所以历=同理可得看=1 8二+3 0 4-1 05 +9公且椭圆C 经过点P(2,g),%一 乂 _ -k(x?-2)一%(X j 2)-k(X+X -4)所以心8=%一西一%尤2一 七/1 8 无 2+3 0&-1 0 1 8 公-3 0 A-1 0 八15+9k2 5 +9 公)1 8+3 0%-1 0 1 8 公-3 0%-1 05+9公 5+9公3 6 公2 0 /379-46 0 k5+9公_k(3 6 2 2-2 0-2 0-3 6&2 一 1 5 +9 r J _ 26 0 k =35 +9?所以直线AB的斜率是定值，等于|变式训练1：已知椭圆%=的 离 心 率 为孝,以原点。为圆心，以C的短半轴长为半径的圆被直线x-y+2 =0截得的弦长为2.(1)求椭圆C的方程;(2)点P的坐标为(2,1),直线/(不过原点。也不过点尸)交C于A,8两点，且 直 线 的 倾 斜 角 互 补,若点M是45的中点，求直线OM的斜率.解析：(1)由已知得，a 2C =&,b2=a2-c2-a222又原点。到直线x-y +2 =0的距离为高5因此/=(0)2+F =3 ,a2=6,故椭圆c的方程为1+务=1；6 3(2)由题意可得直线/的斜率存在,设直线/的方程为=履+加，设A U，乂)，8($,y2),y=kx+m由y2 可得(1 +2公*+4加a+2一6 =0，+=11 6 3则=1 6&2“-4(1 +2k2)(2病-6)=4 8A2 -8 +2 4 0 ,4km 2m2 6且x +x诙 中2 =77/直线以，网的倾斜角互补，则 即.+怎/=短+手 工。,Xj z x2 z代入yx=kxi+m,y2=kx2+m,所以 2 包出+-1 -2幻(芭 +X2)-4(OT-1)=0H n 士 2 -6 /一4痴“，、人即有 2k-+(m-l-2/c)-4(m-l)=0,+2炉 +2左 整理可得8公-1 2 +4 A-4?+4 =0,即(&-1)(2&+加-1)=0又直线/不经过点/即2 k +m-l=0故氏=12qX 1+x2 x2-%)X?2 一 斗21 X22-X 12 _ 1-2*X22-V 2kM =变式训练2：已知圆C1：(x+iy+y=2 5,圆G：(x-l)-+r =1,动圆C 与圆G 和圆G 均内切.(1)求动圆圆心C 的轨迹E 的方程(2)点尸(1,。(/0)为轨迹上的点，过点P 作两条直线与轨迹交于/W 两点，直线上4,P 8 的斜率互为相反数，则直线钻的斜率是否为定值？若是，求出定值：若不是，请说明理由.o 2【答案】三+二=1;是定值，定值为:4 3 2解析：(1)由题意得G(-LO),C2(1,O).设动圆圆心C的坐标为(x,y),半径为r,则|C C j=5-r,|CCj=r 1.从而|CCJ+|CG|=4（4QG|）.动圆圆心C的轨迹E 是焦点为G(-1,O),G(l,o),长轴长等于4 的椭圆，且c=l,4=2.又.2=2+/,得=6,2 2.动圆圆心C的轨迹E 的方程为：+/=l.由 可得尸 1B).设直线PA的方程为,-：=左(*-1必/0)则直线PB的方程为y-=M(x T)设人（石,）,8（七,）.y=|+%（x-i）x2一+4消去y,整理得(3+4左 2)/+0 2 左-弘2卜+4公-12左 一 3=0,贝|J X jX/,=4 r-1 2 0 3，即 X）=4 4 2-12 左 一 33+止由，33+4公.（1）同理可得(2)kxy+马)一 24.司一1）卜1一”“2 T(+3-234=将 (2)代入上式，化简得故直线A B 的斜率为定值，2 2变式训练3：已知抛物线C l：y?=4 x 与椭圆C 2：0+2=1(“/,()有公共的焦点，C 2 的左、右焦点c T b分别为F l,F 2,该椭圆的离心率为g.求 椭 圆 C 2 的方程：(2)如图，若直线1与 x轴，椭 圆 C 2 顺次交于P,Q,R (P 点在椭圆左顶点的左侧)，且/P F 1 Q 与/P F 1 R互为补角，求A F I Q I?面积S的最大值.【答案】工+亡=1；”4 3 4解析：(1)由题意可得，抛物线的焦点为(1,0),r 1所以椭圆的半焦距c =l,又椭圆的离心率e =；,a 2所 以。=2,则b2=c r c2=4 =3 9 即8=,2 2所以椭圆G 的 方 程 为 三+汇=1.4 3(2)设。(内,乂)，/?(&,%)，6(T，0)，.N P F 与 N P R 互补，=0，所 以 占 +六 =0，人 1 人 I*1化简整理得尤通+必+乂+乂 =，（x=m y+nW _T+T=I化简整理可得（3 病+4）y2+6m ny+3 n2-1 2 =0,A=b2-4 a c =3 6 ，2 _ 4（3 +4）（3/一 0,可得 tv 1 6,即m2 4,由点月（-1,0）到直线P Q 的距离d=卜 彳 0：4=J 1 +厂 +6%2产 讶 风标 加+必）江备=1 82+4)c_ 1 8 r令 而 4 =tr 0,贝 U 尸 磔 一 靖 前 一1 8 1 63/+0）在椭圆C上，点A,8是椭圆C上不同于尸，。的两个动点，且满足：Z A P Q =N B P Q,试问：直线A8的斜率是否为定值？请说明理由.2 2【答案】三+工=1；（2）为定值，理由见解析1 6 1 2解析：（1）因为椭圆C的中心的原点，焦点在x 轴上，2 2所以设椭圆标准方程为Aw。）,因为椭圆离心率等于/，它的一个顶点恰好是抛物线/=8 y的焦点,W=8 6 y焦点为(0,2我，所以=2 6，所以e=L/-=c 2,解 得/=16万=12,a 22 2所以椭圆C的标准方程三+匕=1.16 122 2(2)由题意,直线x=2与椭圆工+匕与交点尸(2,3),。(2,-3),16 12设A。,y),B(X2，%)，当乙4PQ=NBPQ时直线PA,PB斜率之和为0,设E4斜率为，则总 斜率为Tl,抬 的直线方程为y-3 =M x-2),与椭圆联立得(3+4k2)x2+8k(-2k+3)x+4(2左 一 3尸-48=0,山2 c 16S-24A C 6J12+24A:所以,+2=、，向理+2=-7 )3+4公 -3+4公ee|,1 16k 12所以=7，T8R/、_24 AX _ 工2 _TTTi-2=k(xt-2)+3-k(x2-2)+3=A:(+x2-4)=-yj QK D TK直线A 8的 斜 率 为 处变式训练1：已知椭圆C：/+)=1(4%0),尸为上焦点，左顶点尸到尸的距离为正，且 离 心 率 为 等，设。为坐标原点，点M的坐标为(0,2).(1)求椭圆C的标准方程；(2)若过尸的直线/与C交于A,B两点，证明：NOMA=NOMB.【答案】(1)片+/=1；(2)证明见解析2解析：(1)左顶点P到F的距离为及，可得4=应，又e=也，故c=l,从而b=l.a 2v2.椭圆C的标准方程为匕+Y=1 .2(2)证明：当/与y轴重合时，OMA=ZOMB=C P ,分当/与)轴不重合时，设/的方程为丫=履+1,A(X|,y),B(x2,y2),直线M4,MB的斜率七八，七8之和为1二+二，x,x2又 y,=kx,+1,y2=kx2+,-k+k =2k-(+)=2 k-,y=kx+联立方程,y2,可得(2+42)/+2心：-1=0,-+X=1I 22k1.,+吃=-汴 为 =一 点：.2 k-=2 k-2 k=0,从 而%+%=0,故直线M4,MB的倾斜角互补，.N0M4=N0MB.综上 NOM4=NOM8.变式训练2：在平面直角坐标系xOy中，动点P 到点F(4,0)的距离等于点p 到直线x+4=o 的距离.(1)求动点P 的轨迹方程；记动点尸的轨迹为曲线C,过点尸的直线/与曲线C 交于A,B两点，在 x 轴上是否存在一点，使=若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】V=i6 x；(2)存在，(Y,0).解析：(1)因为动点P 至 I 点 F(4,0)的距离等于点P 到直线x+4=0 的距离，所以动点P 到点尸(4,0)的距离和它到直线x=T 的距离相等，所以点尸的轨迹是以尸(4,0)为焦点，以直线x=T 为准线的抛物线，设抛物线方程为/=2px(p 0),由当=4,得。=8,所以动点P 的 轨 迹 方 程 为=16x.(2)由题意可知，直线/的斜率不为0,故设直线/的方程为x=阳+4,x),3(%必)fy2 6x，得:/-1 6 3-6 4 =0,x=my+4 =256+256 0恒成立，由韦达定理，得%+%=161,乂%=-64,假设存在一点M(rM(r*4),满足题意,则直线A M的斜率k,与直线B M的斜率kB M满足kA M+kBM=0,加 上 +佻+4)+)式殁+4-/)=x,-t x2-t(A-,-/)(X,-/)所以 2小为+(4)(乂+%)=0，所以-128，+16m(4-f)=0解得r=-4,所以存在一点M,满足NAJW =N 8 M F,点”的坐标为(-4,0).变式训练3：在平面直角坐标系xOy中，已知圆M:V+y 2=4,点p在圆上，过点P作x轴的垂线，垂足为Q，N是PQ的中点，当P在圆M上运动时N形成的轨迹为C.（1）求C的轨迹方程；若 点A（-6,0）,试问在x轴上是否存在点M,使 得 过 点 的动直线/交C于E,尸两点时，恒有NE4=NE4M?若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】三+/=1；（2）不存在，理由见解析.4.解析：（1）设 （见田,尸（毛,%）,因 为N为PQ的中点，二又P点在圆上，./+（2 =4,2即C的轨迹方程为二十尸=1；4不存在满足条件的点M,理由如下:假设存在满足条件的点M,设点M的坐标为（加,0）,直线/的斜率为k,则直线/的方程为y=A*-M,y=k(x-m)由/消去y并整理,+y=14 得(4公+1)V-S m k2x+4m2 -4=0,设 E（x J、尸优，），则&+&二 祟 二,砧=4：/14,（*）QK 十 1 TK 十 1由 =得 L +L=。，即4+?=将y=&（毛-加）,%-?）代入上式并化简,得 2%工 2+(百一加)(内+工2)一2百m=0 将(*)式代入上式，有2兼。二4 +(石一人)弊 二 一 2岛=o,4公+1 4公+1解得加=生8,3而-迪 b 0)的 离 心 率 为 经过点P(2,3).(1)求椭圆C的方程；(2)设点A、B在椭圆C上，直线R 4、P8分别与y 轴交于点M、N,|PM|=|P N|,试问直线A 8的斜率是否为定值？如果是定值，请求出此定值；如果不是定值，请说明理由.2 2【答案】(咤+卧;直 线。的斜率为定值1解析:22 32 依 题 意 可 得。2=。2-/，a2=162 2解 得 =1 2,所以椭圆方程为工+匕，/16 12c=4a 2 因 为|PM|=|P N|,所 以 PMN为等腰三角形，所以M 和 N 关于直线y=3对称，所以AB的斜率存在，设直 线 A B 的 方 程 为 y=h+,4(%,X)，矶不，)，则 直 线 率 的 方 程 为 丫 =上三1(尸 2)+3,即M(0,3_2(X：3),直 线 尸 8的 方 程 为 丫 =迪 二(x-2)+3,即N(O,3-岂 互 学 ,所 以I -2 )2 (x,-2 )3一筌沙.需U，即 3+色|=。，即 f 磔”上也。，即（%-3）（玉-2）+（3-3）（七一2）=0,即 为玉 +WM-2（乂 +%）-3 a +毛）+12=0由,y=kx-m/_,消 去 y 得(4攵 2+3b2+8初优+4 48=0,所以玉而+逐一4/M2-481-X.X42&=2-+-3-z-.一8%2？6m b”y.+必=+m +依。+m=+2m=,丹 以1-1-4攵2+3 4 F+3%+WY 2（乂 +为）-3（X +%）+12=（优 +m）玉 +%（依+m）2（y +%）-3&+）+12=2住玉2（y +%）+（加-3 乂%+/）+12=2hM_2-N+（L 3）坐+12 =04 r+3 4公+3 4公+3nnMe+2km-m-Sk+3 八即-；-=04k2+3所以（4公一8&+3）+（2%-1）?=0,即（2 Z 1）（2%3+间=0,所以4=5I 或%3=三 7?，当&=U 时，直线AB：N =+过 点P(2,3),不合题意;所以在=p此时可以满足A 0,所以直线AB的斜率为定值3.变式训练1：已知椭圆C：，+，=l(a b 0)的左、右焦点分别是K，K，离心率为日,过户且垂直于已知椭圆C：捺+，=1(。人 0)的左、右焦点分别为尸|、鸟，焦距为2,点(、石，且)在椭圆C上.(1)求椭圆C的方程；若 点。(%,)(%0)是椭圆C上一点，。为y轴上一点，PF2=2P Q,设直线/与椭圆C交于M,N两点，若直线P M,P N关于直线x =x 0对称，求直线/的斜率.r2 v2 1【答案】7 +.=1;(2)-y4 3 2 2 c =2解析：依 题 意 可 得3 3 又/=/一。2,所以“2=4,b2=3 9 C =.r2 v2所以-1-=1 ；4 3(2)因为尸K=2P Q,所以。是 P8 的中点.结合QO，x 轴，所以 W x 轴，所以/=-1,则 匚 应=i,解得先=今 因为 0,所 以%=：,所以4 3 2 2 I 2.因为直线P M、P N关于直线x =x 0 =-1对称.所以P M、P N的倾斜角互补，所以MM+MW=，y=k x+m显然直线/的斜率存在，设/:y=k x+m9由2 ,+=14 3得(4 k2+3)x2+S k f nx+4 m 12 =0 ,由()得 0,且0 +电=，xix22(m2-l)1+2公又k pA+k pB-V2 A/2%一 彳 为 一三%16王%+冗2%一(%+必)+&-(为+工2)-乙-二0，%jX2-(X j+x2)+l而 占%=3*2+”西，工2凹=1 2+3 2，y +=%(尤1+工2)+2 2 ,2/+酬 一)(%+*2)+血 2 _ _ 2 0 -4 k-21n+2近km+0联立），=爪-2）,y2，（3-k2）x2+4 k2x-4 k2-3 =0,x -T-1,易知d /3，且（）.设 A（%，x）,8（,女）,且弘=女（毛 一 2）,y2=k（x2-2）,则 +x2=-4 k2 4 k2-4 k2-3 4 k2+33-k24 2-3 *2-3一 也一出2 一 3 .若证|o q=|o q,可证N O F C =Z O F D,即证kF A+kFB=O,即即A+%FB=YQ-2）%（-2）T=r+2 X|-2+%:2&（X|-2）X2 +他2-2）1一；=0.百工c 5/、c c 4 公+3 5 4/由于 2 x/2 -/（玉 +x,）+2 =2-p y-p +2%-3S k2+6-y0k2+2 k2-6k2-32k.2 X|x?2 （&+“2）+2=0，所以a、+a=0,从而|o q=|o q.考点四：角平分线（已知）2 2 /Z-例 1.已知椭圆C：力+1=1（心力0）的离心率为竽，点（2,码 在 椭 圆 C 上，点 F是椭圆C 的右焦点.（I）求椭圆C 的方程；（2）过点F的直线1 与椭圆C 交于M,N两点，则在x 轴上是否存在一点P,使得x轴平分NM PN?若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由，【答案】叁+；=1；（2）存在，P（4,0）=正a 2解析：（1）由题意得/=+/2 2解得：a=2近,b=2.所以椭圆C的 方 程 为 工+二=1.8 4由题意可知尸(2,0).若直线1斜率存在，设直线1的方程为y=Z(x-2),例(公乂)，N(x2,y2)=联立得 8 4 一，整理得(l+2Z?)x2 8/x+8 k-8 =0.y=k(x-2)由题意可知A0恒成立，所 以 飞+三 二 答 ,为 马=%二假设在x轴上存在一点尸(f,o),使得x轴平分NA/PN,则心M+&V=O,所 以 因+含 二 ，整理得乂(7)+%(%7)二仇即 改(%-2)(X2-t)+kx2-2)(x)-r)=0,整理得，2菁&一(，+2)(%+%)+4z=。，2(8一8)8/”+2),4小+2 的1+2公 1+2公 1+2公即壬16+7 4二/=0,解之得f=4.若直线1斜率不存在时，则M,N两点关于x轴对称，当点P坐标为(4,0)时，x轴平分NMPN.综上所述，在x轴上存在一点P(4,0),使得x轴平分ZMPN.变式训练1：已知抛物线C：V=4 x,过焦点的直线1交抛物线C于M、N两点，且线段MN中点的纵坐标为2.(1)求直线1的方程；(2)设x轴上关于y轴对称的两点P、Q,(其中P在Q的 右 侧)，过P的任意一条直线交抛物线C于A、B两点，求证：/A Q 8始终被x轴平分.【答案】(1)x y 1 =0；(2)证明见解析.解析：(1)由已知可设直线1的方程为：*=，利+1,y=4-X联立方 程 组.可得V-4,ny-4=0,x=my+1,设 M(3,X),N(&,%)，则 乂 +%=4，,X%=-4.又因为)1+必=4,得机=1,故直线1 的方程为：x=y+l 即为x-y-l=()；(2)由题意可设尸(40),Q(-a,0)(a 0),可设过P的直线为了=秒+”.联 立 方 程 组 卜=4无可得/_ 4 狙-4a=0,显然().x=ny+a,设 A(W，丫 3)，3(X4,乂)，则 为 +M=4,%乂=-4a.所以原0+即2=-+x3+a/。=%(%+“)+乂 G +)_%(X+2。)+%(+2。)(x3+a)(x4+a)(x3+a)(x4+a)2%必+2a(y3+y4)2n(-Aa)+2a-4n 八=-=-=u.(“3+)(冗+a)(毛+0)(x4+)所以NAQ3始终被x 轴平分.变式训练2：已知椭圆C：捺+/1(4 6 0)的离心率为弓，点*2,1)为椭圆(：上一点.(1)求椭圆C 的方程；(2)若 M,N 是椭圆。上的两个动点，且 NM/W的角平分线总是垂直于y 轴，求证：直线M N 的斜率为定值.【答案】1 +(=1；(2)证明见解析.解析：(1)椭圆的离心率e=，又/=+/,=1%.a 22 2.椭圆C：木+亲=经过点尸(2,1),解得从=3,二椭圆C 的方程为鸟+?=1；6 3(2)：/用/科的角平分线总垂直于 轴，；.加与他所在直线关于直线丫=1对称.设直线MP的斜率为k,则直线NP的斜率为-&设直线MP的方程为y-1=k(x-2),直线NP的方程为y-1 =M(x-2)设点&,%),(%,%)由，y-l =k（x-2）,x2 j2,消去y+=1,6 3得（1 +2 2 2）%2+4（左 _ 2 左 2）%+8 无 2 -8 左_ 4=0.点P(2,l)在椭圆C上，则有2-=8；：2 a,即 寸竺；去二2同理可得X,+-2.-1 +2&2二占-w =-jr，又 y%=灯%+)_ 4%.直线M N 的斜率为2 1二a=1.王 一超考点五：角平分线(翻译)例 1.已知曲线。:丫 2 =2 匹(0)的焦点为尸，曲线C上有一点。伍,0)满足|Q F|=2.(1)求抛物线C的方程；(2)过原点作两条相互垂直的直线交曲线C于异于原点的两点A,8,直线A8与x 轴相交于N,试探究x 轴 AM|训上存在一点是否存在异于N的定点M满 足 扃=谒 恒 成 立.若 存 在，请求出M点坐标.【答案】y 2=4x；(2)存在，M(T O)解析：。在曲线C上，则则玉,，而2 =QF =xo+=p,故抛物线C的方程为y2=4 x.(2)易知直线AB的斜率不为0,故设乙8：元=+，4(%,),3(%,%)，加(见)联立：x；：ny 2 _ 4D,_ 4=0,y-=4x故 y +%=今,%必=-4.2 2=?.?=/，因为贝 ij OA O B=飞赴+X%几 2 -4 几=0则=4 或=0 （舍），故N（4,0）.AM|A N|因为M,N都在x 轴上，要 使 得 扁=扁，则x 轴 为 的 角 平 分 线，若则AW 垂直于x 轴，x 轴平分NAM3,则 BM垂直于x 轴，则直线A3的方程为x =4,此时加=4=，而,N相异，故机*为，同理zn/x?故 AM与 8M的斜率互为相反数，即+=0=必+、必x-m x2-m y,+y2=机=如 也 吐 四 土 也 1 =2+4=必+4=-4为定值.y +%+%4r故当3。）时，有 国 糊 恒 成 立 变式训练1：设抛物线。：丁=2 内50）上的点知与焦点厂的距离为6,且点M 到x 轴的距离为0 0.（1）求抛物线C的方程；（2）设抛物线C的准线与x轴的交点为点N ,过焦点厂的直线与抛物线C交 于 P,。两点，证明:P F|P 7 V|两=两,【答案】（1）丁=8 ；（2）证明见解析.解析：（1）由点M 到x 轴的距离为0 p 得：yM=4 2 p,将 加=0 p 代入 y?=2 px 得：xM=p,由抛物线的定义得，|M F|=x“+g=p+g由已知，|M 目=6,所以P =4,所以抛物线C的方程为y?=8 x；（2）由,=8 x 得尸（2,0）,N（-2,0）,由题意知P。与抛物线C交于两点，可设直线P。的方程为=%+2,P