2023年重庆市青木关高考冲刺模拟数学试题含解析.pdf

2023年高考数学模拟试卷注意事项：1 .答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2 B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角 条形码粘贴处o2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2 B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3 .非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4 .考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共1 2小题，每小题5分，共6 0分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1 .已知半径为2的球内有一个内接圆柱，若圆柱的高为2,则球的体积与圆柱的体积的比为（）4391634D.162,在棱长为a的正方体A B C。-44GA中，E、尸、M分别是4 5、AD.的中点，又尸、。分别在线段入蜴、AA上，且A P =A Q =根（0 根 a-b abB.a+b ab a-b C.a-b a+b abf）.a-b ab a+b4.已知底面为边长为2的正方形，侧棱长为1的直四棱柱A B C。-%与GA中，p是上底面44G。上的动点给出以下四个结论中，正确的个数是（）与点。距 离 为 石 的 点p形成一条曲线，则该曲线的长度是1；若DP面ACB,则O P与面A C G A所成角的正切值取值范围是 半，夜s若DP=5 则0 P在该四棱柱六个面上的正投影长度之和的最大值为6垃.A.0B.1C.2D.35.如图，在三棱锥。A B C 中，O C _ L 平面 A B C,ACV B C,A C=5 C=C Z)=2,E，F,G 分别是棱 AB，AC,AO的中点，则异面直线8G与E E所成角的余弦值为R C1 5.-3A.073VD.16.设。，6，c分别是A A B C中N A,D B,N C所对边的边长，则直线s i n A-x-a y-c =()与 法+s i n 8-y +s i n C =()的位置关系是()A.平行B.重合C.垂直D.相交但不垂直7.已知函数/(x)=ln,0 c.x e ,存在实数 x,e x28.定义在R上的偶函数/(x),对V%,%6(-8,0)，且 引/马，有/0成 立,已 知a =/(ln),%一 百则a ,b,c的大小关系为(为()11B-71b=f e2 A2)7A.b a cB.b c aC.c b aD.c a h9.已知集合 A=0,1,2,B=X|X(X-2)0,则ACIB=A.1 B.0,1 C.1,2D.0,1,2)1 0.已知i为虚数单位，若复数z满足l +2i=z-i,贝!Jz=A.C.l-2iD.l +2i1 1.如图，平面四边形A C B D中，ABA.BC,AB =J 5，B C =2,A/W Q为等边三角形，现将 AB Q沿A B翻1 +i5()折，使点。移动至点尸，且P B L B C,则三棱锥PA 5C的外接球的表面积为()A.8 B.67r C.4 D.-7t31 2.已 知 非 零 向 量 满 足=0 ,a=3 9且Q与Q+B的 夹 角 为:，则|B|=()4A.6 B.3 72 C.2夜 D.3二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。1 3 .已知函数“X)在定义域K上的导函数为了(X),若函数y =/(x)没有零点，且/(%)-20 1 91 =20 1 9,当g(x)=s i n x-c o s x-履在上与/(x)在R上的单调性相同时，则实数A的 取 值 范 围 是.1 4 .某地区连续5天的最低气温(单位：C)依次为8,-4,-1,0,2,则 该 组 数 据 的 标 准 差 为.1 5 .已知集合4 =口用1 2犬 b 0)的 离 心 率 为 券，以椭圆C左顶点7为圆心作圆T:(x +2y +y 2=/0),设 圆r与椭圆c交于点M与点N.(1)求椭圆C的方程；(2)求 而.杀 的 最 小 值，并求此时圆7的方程;(3)设点P是椭圆C上异于M,N的任意一点,且直线MP,N P分别与x轴交于点R,S,O为坐标原点,求证：O-OS为定值.1 8.(1 2分)如 图，在直三棱柱A BCA 8 C 中，A C A B,A A =4 B =A C=2,D,E 分别为AB,8c的中点.(1)证明：平面，平面A A B B15(2)求点C 到 平 面 的 距 离.1 9.(1 2 分)在 A A BC,角 A、B、。所对的边分别为。、b、c,已知 c o s B+(c o s A -2s i n A)c o s C =0.(1)求 c o s C 的值;(2)若.=火，A C边上的中线3 加=姮，求 A A BC的面积.220.(1 2分)已知抛物线：=2 4(0)和圆。2：(%+1)2+尸=2,倾斜角为4 5。的直线4 过抛物线G 的焦点，且 4 与圆。2相切.(1)求 P的值；(2)动点加在抛物线G 的准线上，动点A在 G 上，若 G 在A点处的切线4 交 y轴于点8,设 丽=加+砺.求证点N 在定直线上，并求该定直线的方程.21.(12分)已知椭圆C:?r2+京y=l(a b 0)的离心率为51，F 是椭圆。的一个焦点，点 M(0,2),直线“尸的斜率 为 1.(1)求椭圆C的方程；(1)若过点M 的直线/与椭圆C交于A,8 两点，线段A 3 的中点为N,是否存在直线/使得|A B|=2|M N|?若存在，求出/的方程；若不存在，请说明理由.22.(10分)某市计划在一片空地上建一个集购物、餐饮、娱乐为一体的大型综合园区，如图，已知两个购物广场的占地都呈正方形，它们的面积分别为13公顷和8 公顷；美食城和欢乐大世界的占地也都呈正方形，分别记它们的面积为 5 公顷和邑公顷；由购物广场、美食城和欢乐大世界围成的两块公共绿地都呈三角形，分别记它们的面积为S 3公顷和S 4公顷.8H（i）设/B A c=e,用关于。的函数s（e）表示S 1+S 2+S 3+S 4,并求s（e）在区间（0,%）上的最大值的近似值（精确到0.001公顷）；（2）如果E+S 2+S 3+S 4=5 2,并且S 1 0,l n l 0 0,显然a+b a b.,.,3e 10,.,.l n（3e）l n l 0,B P l n 3+l l n l O,.,.I n 3 I n l O-l,I n 3 x I n 3 l n 3（l n l O-l）I n l O h i l O,EP a b a b ab.故选：A.【点睛】本题考查换底公式和对数的运算，属于中档题.4.C【解析】与点。距 离 为 石 的 点 P形成以。为圆心，半 径 为 夜 的,圆弧MN,利用弧长公式，可得结论；当P在 A （或4G）时，0 P与面A CG 4 所成角（或NOGo）的正切值为逅最小，当尸在。1时，。尸与面A CG 4 所成角3N D O 0的正切值为7 2最大，可得正切值取值范围是 半，&；设P（x,y ,1）,贝!I +丁+1 =3,即f +V=2,可得。P在前后、左右、上下面上的正投影长，即可求出六个面上的正投影长度之和.【详解】如图：错误，因为D F=DP?DD：=（可 一 廿=应，与点。距 离 为 由 的 点P形成以A为圆心，半 径 为 血 的，圆弧M/V,长度为工2兀=受兀；4 4 2正确，因为面A OG面AC 4,所以点P必须在面对角线4 G上运动，当P在A（或G）时，0 P与面4 C G A所成角N D 4 0 （或 N。）的 正 切 值 为 逅 最 小（。为下底面面对角线的交点），当P在。I时，O P与面AC C 143所 成 角 的 正 切 值 为 血 最大，所以正切值取值范围是 半，血；正确，设P（x,y,l）,则/+尸+1 =3,即Y+y 2=2,o p在前后、左右、上下面上的正投影长分别为J y 2+1,J7 W，所以六个面上的正投影长度之2（J K +4ri+&）42 2 J+；,一、夜=6/，7当且仅当P在。I时取等号.故选：C.【点睛】本题以命题的真假判断为载体，考查了轨迹问题、线面角、正投影等知识点，综合性强，属于难题.5.B【解析】根 据 题 意 可 得 平 面A C。，E F/B C,则NCBG即 异 面 直 线BG与E F所成的角，连 接C G,在R t C B G中,COSNCBG=M，易得 B D =A D =A B =2 O，所以 B G =遥，所以 cosNC8 G=Y，故选 B.DCJ，6 36.C【解 析】试题分析：由已知直线114%-效 一。=0的 斜 率 为 吧/,直 线 法+s i n B-y +s i n C =O的 斜 率 为 一-也，又由正a sin B考 点：直线与直线的位置关系7.A【解 析】画出分段函数图像，可得芭=1，由 于/9=/匕 =四，构 造 函 数g(x)=g,利用导数研究单调性，分x2 X2 x2 X析最值，即得解.【详 解】由于0 v%8(力 在(1,e)7,(e,故 g(x)3=g(e)=J故选：A【点睛】本题考查了导数在函数性质探究中的应用，考查了学生数形结合，转化划归，综合分析，数学运算的能力，属于较难题.8.A【解析】根据偶函数的性质和单调性即可判断.【详解】解：对 V%,X,G（-o o,0）,且X产 工2，有 0/（X）在 X W（-0 0,0）上递增因为定义在R上的偶函数/（x）所以/（X）在X （0,+8）上递减又因为 l o g 2 =l o g 2 62,l n%2,0 e T a c故选：A【点睛】考查偶函数的性质以及单调性的应用，基础题.9.A【解析】先解A、B集合，再取交集。【详解】x（x-2）0 =0 x 0 或 fx)/2 4此时匕,-1,故答案为：(8,1【点睛】本题考查导数的综合应用，考查利用导数求函数的单调性，正弦函数的性质，辅助角公式，考查计算能力，属于中档题.14.4【解析】先求出这组数据的平均数，再求出这组数据的方差，由此能求出该组数据的标准差.【详解】解：某地区连续5 天的最低气温(单位：。C)依次为8,-4,-1，0,2,平均数为：1(8-4-1 +0 +2)=1,该组数据的方差为：S2=g(8-1)2 +(-4 -1)2 +(-1 -1)2 +(0-1)2+(2-1)2=1 6,该组数据的标准差为1.故答案为：1.【点睛】本题考查一组数据据的标准差的求法，考查平均数、方差、标准差的定义等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题.1 5.-1,1,2)【解析】由于 A =x eR|l-2x-2,=-2,-1,1,2,则 4口3 =-1 ,2.1 6.4 5【解析】依题意可得荷 =(),再根据同=1)?=犷+/求 模,。=(7+力 =2+7 求数量积，最后根据夹角公式计算可得；【详解】解：因 为 是 夹 角 为 90。的两个单位向量所 以，/=0,又=1 +1,b=j所以同=J(7+)=+)=4 1 2+2 x 0 +12=0,|=|j|=l,a-b=(l+yj=7-j+j2=Ha-b 1 V 2=丽=不，因为O W 卜,1 8 0,所以 co s(a,=4 5。；故答案为：4 5【点睛】本题考查平面向量的数量积的运算律，以及夹角的计算，属于基础题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。2 Q17.（1）?+/=；（2）（x+2）2+y2=;（3）|。即3|=4【解析】（1）依题意，得。=2,=,由此能求出椭圆C的方程.a 2（2）点M与点N关于x轴对称，设 加（石,%），N（x，-y）,设 弘 0,由于点M在椭圆C上，由丁（一2,0）,知 丽 丽=（玉+2,yJ-（X|+2,|）=：（玉由此能求出圆7的方程.设（为,%）,则直线M尸的方程为：丁 一 为=为 一 光0）,令y=O,得/=生纭皿，同理:演 一百%一 1XR=,由此能证明|0郎 。5|=同 冈=天|=4为定值.%+y【详解】(1)依题意，得a=2,e=-=，a 2c=6,b =,4 3=1,故椭圆c的方程为三+y2=i.（2）点M与点N关于x轴对称，设N（%,-y）,设y 0,2由于点”在椭圆C上，所以 =1由 T(2,(),则 而=(%+2,y),而=(为+2,%)，7M77V=(xl+2，x).a+2,_ y J=(%+2)2-y j=(玉+2)-一 1一点)_5 2 5/8丫 1一M +4 玉 +3=-X,H 4 45)5由于一2 玉E _L面A A的且在 RBDE 中,8。=百，D E =.S 在o ODE _ 2易知SaAPD=2由等体积公式可知A-BDE=E-ABD即 3 SVHDE*=VA,BD*D E由分3 2/?=x 2x W/?=35所以C到平面B D E的 距 离 等 于 逑5【点睛】本题考查由线面垂直推证面面垂直，涉及利用等体积法求点面距离，属综合中档题.1 9.(1)co s C =-(2)答案不唯一，见解析5【解析】(1)由题意根据和差角的三角函数公式可得t a n C =2,再根据同角三角函数基本关系可得co s。的值;(2)在A A B C中，由余弦定理可得一4 8 +3 =0,解方程分别由三角形面积公式可得答案.【详解】解：(1)在A A B C中，因为co s B =-co s(A+C)=-co s A co s C+s in A s in C,又已知 co s 5+(co s A -2s in A)co s C =0,所以 s in A s in C-2s in A co s C =0,因为s i n A w O,所以s in C-2co s c=0,于是t a n C =2.所以 co s C =，5.5（2）在 AABC中，由余弦定理得B A/?=8C2+C M22 5C.CMC O SC，得 _ 4/?+3 =0 解得 b =1 或。=3,当6 =1 时，A4BC的面积S=,a 8 s i n C =l,2当匕=3时，AABC的面积S=a b s in C =3.2【点睛】本题考查正余弦定理理解三角形，涉及三角形的面积公式和分类讨论思想，属于中档题.20.（1）。=6；（2）点 N 在定直线=3 上.【解析】（1）设出直线4 的方程为丫=%+，由直线和圆相切的条件：d=r,解得；（2）设出“（/,-3）,运用导数求得切线的斜率，求得A为切点的切线方程，再由向量的坐标表示，可得N在定直线;【详解】解：（1）依题意设直线4 的方程为y=x+5,由已知得：圆：（x+l）2+V=2 的圆心。2（-1,0）半径r=J 5，因为直线4 与圆。2相切，所以圆心到直线4：y=X+当的距离-1+d=,2=V2即 卜6，解得P =6 或=一2（舍去）.丁坨所以，=6；（2）依题意设M（见-3）,由（1）知抛物线G 方程为V=1 2 y,所以）,=1，所以设“卬乂），则以A为切点的切线4 的斜率为忆=3,1 2 6 6所以切线4 的方程为）=9 9（*-%）+乂 .令x=0,y=-,x：+X =-Jxl2x+乂=一乂，即/，交)轴于8点坐标为(0,-x),6 6所以 M4=(%-九必+3),MB=+3),：.MN=MA+MB=(4-2m,6),/.ON=O M+M N =(xt设N点坐标为(y),则y=3,所以点N在定直线y=3上.【点睛】本题考查抛物线的方程和性质，直线与圆的位置关系的判断，考查直线方程和圆方程的运用，以及切线方程的求法，考查化简整理的运算能力，属于综合题.2 221.(1)土 +匕=1 (1)不存在，理由见解析4 3【解析】(1)利用离心率和过点M(0,2),列出等式，即得解(D设/的方程为 =依+2,与椭圆联立，利用韦达定理表示中点N的坐标，用点坐标表示|43|=2|M N|,利用韦达关系代入，得到关于左的等式，即可得解.【详解】c _ 1(1)由题意，可得;2解得 0,即公 1.4、n z/、e x.+x7 8k设 N(x0,y0),贝！I/=-7j，I K AB=2MN9/.ll+k2|x,-x2 =2Jl+k2|x0-0|,则 J(X +%)2 4%2=2k(J，Hn16k 4,1 2-一 3即-=-93+4 产 3+4-3整理得k 2=J,此方程无解，故/的方程不存在.综上所述，不存在直线/使得|4?|=2|M N|.【点睛】本题考查了直线和椭圆综合，考查了弦长和中点问题，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于较难题.22.(1)R+S?+4+&=4 2 +2伍sin6,最大值5 2.1 98公顷；(2)1 7、25、5、5.【解析】(1)由余弦定理求出三角形A B C的边长B C,进而可以求出5，S2,由面积公式求出S 3,S4,即可求出S(6),并求出最值；(2)由(1)知，5,+52=42,S3=SA,即可求出S 3、再算出sinacos。，代 入(1)中表达式求出S 1,S2 o【详解】(1)由余弦定理得，B C2=1 3+8-2xV i3xV 8cos =21-4 cos6 所以，S =21-4/26 cos,同 理 可 得&=21-4726 cos(-0)=21 +4/26 cos又S 3=S 4=g x JI x&sin6 =J s i n。，所以 S(6)=S 1 +S?+S 3+$4=42+2/26 sin 0,故S(e)在区间(0,%)上的最大值为42+2726，近似值为5 2.1 98。(2)由 知，+0 2=42,S3=S4,所以S 3=$4=5,进而sin6 =-,726由，0,cos0=-J=,S =21 -4=1 7,S 2=21 +4=25v 26故 S|、S2,S 3、S 4 的值分别是 1 7、25、5、5.【点睛】本题主要考查利用余弦定理解三角形以及同角三角函数平方关系的应用，意在考查学生的数学建模以及数学运算能力。