2023年经济数学基础期末复习指导.pdf

(教改)专科经济数学基础期末复习指导四川电大 余梦涛经济数学基础是广播电视大学财经、管理各专业的一门统设必修课，也是一门重要的基础课。该课程计划学时为9 0,其中电视课3 6 学时,5 学分,内容涉及一元函数微积分、概率论和矩阵代数等三部分。教材采用“经济数学基础”(周兆麟编)和李林曙等编的 跟我学经济数学(均由高等教育出版社出版)，此外还配有 经济数学基础C A I 课件和 经济数学基础速查卡等辅助教学媒体。为了帮助同学更好地学习、掌握教学大纲规定的教学内容，下面给出本门课程的具体规定。(一)基本规定第 1 章 函 数1、基本规定(1 卜理解函数概念，了解函数的两要素一一-定义域和相应关系。会判断两函数是否相同。(2)、掌握求函数定义域的方法,会求函数数值。会拟定函数值域。(3 )、了解函数的属性，掌握函数奇偶性的判别,知道它的几何特点。(4)、了解复合函数概念，会对复合函数进行分解如己知/9(幻)或g(/(x)求出/(x)和g(x)。知道初等函数的概念。(5)、了解分段函数概念,掌握求分段函数定义域和函数值的方法。(6)、理解常数函数、冢函数、指数函数、对数函数和三角函数(正弦、余弦、正切和余切)。(7)、了解需求、供应、成本、平均成本、收入和利润等经济分析中常见的函数。(8)、会列简朴应用问题的函数关系式。2、重点函数概念、定义域求法、函数的奇偶性，儿类基本初等函数、复合函数和经济分析中常见的函数。第2章 一元函数微分学1、基本规定(1)、知道极限概念(数列极限、函数极限、左右极限)，知道极限存在的充足必要条件；l i m /(x)=A o l i m /(x)=Av-x0 x-xl且 l i m f(x)-A(2)、了解无穷小量的概念，知道无穷小与无穷大的关系以及有界变量乘无穷小仍为无穷小l i m x s i n =0的性质，如 X O(3)、掌握极限的四则运算法则和两个重要极限:s i na(x)l i m -=1a(x)f a(x)l i m (1 +!尸)=e1l i m (1 +。(幻严)=eo(x)-0(4)、掌握极限的计算方法(5 )、了解函数在一点连续的概念，会求函数的间断点。(6 )、理解导数定义，会求曲线的切线。知道可导与连续的关系(7)、了解微分概念，即 dy y，dx。会求函数的微分。(8),会求二阶导数。2、重点极限概念及计算方法，两个重要极限,函数的连续性，导数定义及基本公式,可导与连续的关系，导数的计算(四则运算法则，复合函数求导法则，隐函数求导法则，二阶导数第三章 导数的应用1、基本规定(1 )、掌握函数的单调性的判别方法，会求函数的单调区间。(2)、了解函数极值的概念，掌握极值存在的必要条件和极值点的判别方法。分清函数的极值点与驻点的区别与联系，会求函数的极值。(3)、掌握求边际成本、边际平均成本、边际收入和边际利润的方法。会求需求弹性。(4)、了解最值概念，纯熟掌握经济分析中的平均成本最低、收入最大和利润最大等应用问题的解法。2、重点函数的极值及其应用问题。第四章一元函数积分学1、基本规定(1)、理解原函数与不定积分概念，弄清两者之间的关系。会求当曲线的切斜率已知时;满足一定条件的曲线方程。知道不定积分与导数(微分)之间的关系。(2)纯熟掌握不定积分的性质*(J f(x)dx)=f(x)dx=f(x)dxJ f(x)dx=/(x)+c,J/(x)=f(x)+c(3)熟记不定积分基本公式(4)纯熟掌握不定积分的计算方法:纯熟掌握的直接积分法八第一换元积分法(凑微分法)分部积分法。分部积分公式为：uvdx=wv-1 四质或/udv=w v-J vdu会求被积分函以下类型的不定积分和定积分:J x sin axdxxn In xdx,xn cosaxcbc 了解定积分的定义，设f(x,y)在 a,b 上连续，存在F(x),使得则 C f(x)dx=F(x)*=F(h)-F(a)J aF Xx)=f(x)(6)了解不定积分和定积分的性质，特别是：f(x)dx=QJ a f(x)dx=-f(x)dxC f(x)dx=r f(x)dx+C f(x)dxJ a J a J c(7)纯熟掌握不定积分的计算方法:纯熟掌握的直接积分法。、第一换元积分法(凑微分法)分部积分法。分部积分公式为:buvrdx=uvt vudxf7udv-uvf vduaJa Ja 1 Ja(8)知道无穷限积分的收敛性，会求无穷限积分。(9)、知道变上限的定积分概念，知道夕*)=)力 是 加)的原函数。即(px)=f(x)(1 0)、记住奇偶函数在对称区间上积分的性质。即/(幻 是奇函数，则有f(x)dx=0-a广。f O若/(X)是偶函数，则有(2)、重点原函数与不定积分概念，不定积分的性质,不定积分基本公式，不定积分、的直接积分法，第一换元积分法(凑微分法)，分部积分法。定积分的计算。第五章 定积分的应用1、基本规定(1)掌握用不定积分和定积分求总成本函数、收入函数和利润函数或其增量的方法。已知边际成本,固 定 成 。，则C(q)=j Cq)dq+c0=J OC(t)dt+c0AC=r R 力(c0=C(0)J%已知边际收入R()，贝I：R(q)=J R(q)dq=Rt)dt R=R力己知()(或c(q),R(q)矛 他 定 成 本，则：L(q)=j L(q)dq-c=1 Z/力-c0L =P L(t)dt%（2）、掌握定积分计算简朴的平面图形的面积的方法。（3）、掌握简朴的微分方程的求解方法。2、重点积分在经济分析中的应用。第 6 章 数据解决1、基本规定1.了解总体、样本、均值、加权平均数、方差、标准差、众数和中位数等概念，会作频数直方图和频率直方图。2.掌握均值、加权平均数、方差、标准差、众数和中位数的计算方法。2、重点均值、方差、标准差和中位数等概念及计算方法。第7章随机事件与概率1、基本规定1.理解或了解一些基本概念。重要涉及：（1）知道随机事件的概念，了解概率概念及性质；（2）知道事件的包含、相等以及和、积、差，了解事件互不相容和对立事件等概念；（3）会解简朴古典概型问题；（4）了解条件概率概念;(5)理解事件独立概念。2.握概概率的加法公式和乘法公式,掌握有关事件独立性的计算。2、重点事件的包含、相等以及和、积、差、互不相容和对立事件等概念；事件独立概念，概率的加法公式和乘法公式,掌握有关事件独立性的计算。第8章随机变量与数字特性1、基本规定1 .理解或了解一些基本概念了解离散型和连续型随机变量的定义及其概率分布的性质；了解二项分布、泊松分布的概率分布列或密度，记住它们的盼望与方差,会计算二项分布的概率；了解均匀分布；(4)理解正态分布、标准正态分布，记住其盼望与方差；(5)了解随机变量盼望和方差的概念及性质。3.纯熟掌握一般正态分布的概率计算问题；掌握随机变量盼望和方差的计算方法2、重点1、离散型和连续型随机变量的定义及其概率分布。2、二项分布、泊松分布的概率分布列或密度，记住它们的盼望与方差,会计算二项分布的概率;3、均匀分布;4、正态分布、标准正态分布，记住其盼望与方差；5、随机变量吩望和方差的概念及性质。6、纯熟掌握一般正态分布的概率计算问题；掌握随机变量盼望和方差的计算方法第 9 章 矩 阵1、基本规定(1)、理解矩阵、行阵、列阵、零阵和矩阵相等等概念。(2)、纯熟掌握矩阵的加法、数乘、乘法和转置等运算。矩阵乘法尚有以下特点：i.不满足互换律，即 A B=BA 一般不成立(满足AB=BA的两个矩阵A,B称为可互换的)。ii.不 满 足 消 去 律，即 由 AC=B C 及 得 不 到 A=B。当 C 可逆AC=BCA=B时，。iii.AHO,8HO，也许有A B=O。(3)、了解单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵、三角形矩阵和对称矩阵的定义和性质。(4)、理解矩阵可逆与逆矩阵概念，了解可逆矩阵和逆矩阵的性质。纯熟掌握用初等行变换法求逆矩阵的方法。(A/)XM-)(5)、纯熟掌握矩阵的初等行变换法。纯熟掌握用初等行变换求矩阵的秩、逆矩阵、阶梯形矩阵、行简化阶梯形矩阵等方法。(6)、了解矩阵秩的概念，纯熟掌握其求法。(7)、记住以下结论：(A+B)r AT+BT(AB)r=BrAT(AT)T=A广=A(ABY(ATy=(A-)T(kA)-=-A-(kO)2、重点矩阵概念,矩阵乘法运算，可逆矩阵及逆矩阵求法，矩阵的秩，初等行变换。第 10章 线性方程组1、基本规定(1)、了解线性方程组的有关概念：n 元线性方程组、线性方程组的矩阵表达、系数矩阵、增广矩阵、。解、非 0 解、一般解和特解。(2)、理解并纯熟掌握线性方程组的有解鉴定定理。设线性方程组AX=b,A=(Ab),则 A X=b 有解的充足必要条件是秩(A)=秩(A)(3)、纯熟掌握齐次线方程组AX=O的有关结论和解法。(4)、纯熟掌握非齐次线性方程组A X=b的有关结论和解法。2、重点线性方程组，有解鉴定定理和解法。考试采用闭卷笔试，卷面满分为1 00分，60分为及格，考试时间为1 2 0分钟。一元函数微积分(含基础知识)、矩阵代数各部分所占分数的比与它们在教学内容中所占课时的比例大体相称，一元函数微积分(含基础知识)约占6 0%,矩阵代数约占2 0%,概率记录约占20%试题类型分为单项选择题、填空题和解答题。单项选择题的形式为四选一，即在每题的四个备选答案中选出一个对的答案；填空题只规定直接填写结果，不必写出计算过程和推理过程;解答题涉及计算题、应用题或证明题,解答题规定写出文字说明、演算环节或推证过程。三种题型分数的比例为:单项选择题和填空题4 0%,解答题60%(涉及证明题，分数约占5%)o(二)例题分析一、函数例题例1 求函数y=隼的定义域。5/2 X解 ln(x-1)的定义域是x l,万 工 的 定 义 域 是xW 2,但 由 于 在 分 母 上，因此xw2。故函数 =贵二&的定义域就是上述函数定义域的公共部分，即lx 1例4设=1 z，求函数的定义域及/(2),/(0)。V 1-X X 0 x-0 x(1-J i +2x)(1+J l +2x)l i m-f x(l+J l+2x)-2=limx O1+V1+2 x-1.,.f(0)=-1例 2 当 W 0时，/(%)=%用X又/（X）在x =0处连续，求f（0）解:；/(x)=呵sin 2xx=lim sm 2”.2=2人1 2x.,.f(O)=2例3当X f+8时，下列变量中，（）为无穷小量。(A)I n x,、sin x、(B)-(C)xJC2X+1X 1(D)e 1解:.A.lim In JT=o o,B.limX 4-0 0 X 4-osin x 八-=(JxC.lim -=ooZ).lim (e*1)=8X 4-0 0 X _|_ X 4-0 0答案：（B）例4当x-0时，下列变 量 中()为无穷小量。(A)e，1(B)C OS X2X(D)In x解：；A.lim(ev-1)=OB.lim cosx=1x 0 x 0C.lim 2 V=ID.lim In x=oox-0 x-0+答案：(A)例5函数了+1%2 v 0当 2时,f(x)极限存在,I I O r Xr L贝 lj a =ol i m/(x)=l i m(x +a)=2+Qx-2-x-2-解.l i m f(x)=l i m(x2 4-1)=5x”X-2+2+a=5.*.a=3例6 下列结论对的的是()。1 x.s i n x(A)l i ni(l H )=(B)=11。X 1 8 x(c)limA：sin =0(D)lim(l+%)x=eX x f 8答案：(C)例7 设f(x)=i2X+l JJ!lJa=()时,f(x)在 x=0 处连续。a+2 0 x解：f(O)=llim/(x)=lim(a+2)a+2x f(r x f(rlim f(x)=lim(2x+1)=1.,a+2=l a=-l(A)0(B)l(C)2(D)-1答案：(D)例8 数列 1,0,-1,1,0,-1 ,()。(A)收敛于一 1 (B)收敛于I(C)收敛于0答案：(D)例9 求极限%2-5%+61.hm-Xf 3%-3解:原式r (X 2)(x 3)=l i m-=l i m(x-2)=1x-3%3 x-3r2 n2+i2 lim-Xf 8-2/?+3解：原式=limX x2+三nT i r3 +=n n23f x J X、J3.RUJ(-)解:原式.x+1-2 x1 11=lim-=lim-=lim-=(x 1)(x4-1)I(x l)(x+D i x+1 2sin3x4.lim-x fO%解:原式 sin3x r=lim-.3=3xf0 3x5.limXf O1 c o s xJ V2解：原式2sin2=lim-z =21im(x-0 A-016.lim(1 k文)*x o.Xs i nX24-2解:原式_!_(_*)=l i ml +(kx)kx=ekX 07.l i m(1+)XTOO x解:原 式 咆（1+A8.l i mx-3x 5x +6解x-3 (x-3)(x+3)1 3%+3/-9 _69映J1+x 1X解：原式(V14-X 1)(A/1+x+1)1 +x 1 1 1=l i m-.-=l i m-.-=l i m/=一1。X(J 1+X+1)Xf。X(J 1+X+1)。y/l+x+1 210.1i m(l +-)2x+5XT8 X解：原式=l i m(1+V.lim(1+%=l i m(1+与2 =e 2A G O%X 0 0%JT X X1 l liin 2n sin M-KO2 解源式=l i m/I00.Xs i n2-.x=xXT2x3+11 2.l i m-i s 5x2+3解源式lim KT8 J 3一+一X X 0013.l i mx f 2s i n(x2-4)x-2解：原式sin(x2-4)=lim-.(x+2)XT2 x2-4sin(x2-4)=lim-.lim(x+2)x-2%2 _ 4 xf2=4三、导数与微分例 1 求曲线y=。在 x=l处的切线的方程。解:y =f|x=i=e又 x=1 时，y=e.切线方程为：y e=e(x-l)即：y =e x例2 设需求函数为4=1000e-25p,其中q为需求量，p 为价格。试求：（1）需求量q 对价格P 的弹性；（2）当价格p =10时，求需求弹性值，并说明其经济意义。解：（1 ）需求量q对价格p的弹性为qr/=P-qq=1000e-125p=l OOOi-o l 25p(-O.125)需求量q对价格p的弹性为:qH=P-q_ 1 0 0 0 25P(_o 125)一 P，1000e-25。=-0.125p（3）当 p=1 0 时，需求量q对价格p的弹性,=-L25（负号表达需求量q是价格的单调减函数）。其经济意义为：在价格P=10的基础上.若价格提高（减少）1%,需求量将减少（增长）1.2 5%。例 3:下列结论中（）是对的的。A.f（X）在 X=Xo 处连续，则 f（x）在 XO处可导。B.f(X)在 x=x o 处极限存在，则 f(X)在X。处有定义c.f(x)在 X0处有定义，则 f(x)在 X0处有极限D.1&)在*0处不连续，则 f(*)在*0处不可导答案：(D)例 4 试在曲线q=上求一点，使过该点的切线方程平行于直线y =2 x 1。解：已知直线的斜率为k=2。又由线在任一点的切线斜率为 =(%2)=2%要使切线平行于已知直线，就规定斜率相等，即 2 x =2,.-x=l,y =12=12故曲线 =%在(1 ,1)点的切线平行于已知直线y=2x-l。例 5求下列函数的导数或微分：X(=7+,求 d y。解:()，(6 +1)-(6 +1)，2%(4 +1)一-.京(Vx +1)2(Vx +1)24 x V x(V x +1)x2 _ 3x2+4xfx2 4(五+1尸 2 4(五+1尸/.dy=y dx 3x2 4xVx2 6(7 7+1)2 *(2)y =ex+x 4 x,求 y，。解:11 1y=(ex)+(xVx)=(ex)+(x)_ _+2 x 1(3)y e，求y|x=o。解：y=e*+2x T(_ 2 +2x _ i y =(2 2x)e xxy|x=o=2(l-O ko-1=2 1=-(4)y=eax s i n b x,求 y。解：y=er t.(ax)s i n bx+eax.cosbx.(bx)=.a?)vbx+elLX.cosbxJy=eax(asinhx+b cosbx).is i n(5)y =3，求y。解：sin 1 sin 1 1y=3 x.l n 3.(s i n)*=3*.l n x.c o s.(一)xx xsin 1 1 In 3 1 sin=3%.l n3.c o s.(-)=-(c o s).3 X X X X 丁 =I n bosC)求 V(0)际5(c se=；环(-s i n-，=ex.tgex(7)y+xe=1,求 y(o)。解：这是隐函数，方程两端同时对X求导。V+(xe)=1y+e)+xey.y=Oy(l+xey)=-ey又.x=。时，代入原方程y=1y|x=0=-e-=-e1 +Oe(8)ex+y-xy=,求y。解:这是隐函数，方程两端同时对X求导。2x+2y.y (1-y+盯)+3=0Ix+ly -y y xy+3=0yr(2y x)=y 2x 3 y=y-2x-32y-xdy=ydx=y2 X3dx2y-3(11)=X.求 y”解:求函数的二阶导数时，先求一阶导数，再求二阶导数。y,=x,ex+x(exY =ex+x ex=(l +x)e*y =(1 +x)ex=1 .e*+(1+x)ex=(2+x)ex(12)y=x c o s x 求 y”解：y=c o s%+x (c o s%)=c o s x-x-s i nj：yn=cosx-x-sin x=-sin x-(1.sin x+x-cosx)=-2sinx-x-cosx例6：下列等式中（）是对的的。cbc=(/2工)3.In xcbc=(一)xc.1 dx =：c l(1、x 廿ZXsin x c ix=(c o s x)答案：D三、导数的应用例 1在指定区间-10,10 内，函数y =()是单调增长的。A.s i nx。B.e-v .x2 D.l n(%+20)解这个题目重要考察同学们对基本初等函数图形的掌握情况。因它们都是比较简朴的函数,从图形上就比较容易看出它们的单调性。A中s i nx 是正弦函数，它的图形在指定区间 T O,10 内是波浪形的，因此不是单调增长函数。B 中e-工 是指数函数，e-V O,故它是单调减少函数。2C中方是塞函数，它在指定区间-10,10 内的图形是抛物线，因此不是单调增长函数。根据排除法可知对的答案应是Do也可以用求导数的方法验证:在指定区间-10,1 0 内，只有(l n(x +20)=!0 x +20故 y =l n(x +20)是单调增长函数。对的的选项是D函数f(x)=x l nx 的单调增长区间是()。解用求导数的方法，因尸(x)=(x -In X)，=1-1X令fx)=1 一_L 0,则X 1,则函数的单调增长区间是(1,+8)。X2.了解一些基本概念。(1)了解函数极值的概念，知道函数极值存在的必要条件，知道函数的极值点与驻点的区别与联系；(2)了解边际概念和需求价格弹性概念；3.纯熟掌握求经济分析中的应用问题(如平均成本最低、收入最大和利润最大等)，会求几何问题中的最值问题。掌握求边际函数的方法，会计算需求弹性。例 2 经济应用题1 .生产某种产品q台时的边际成本。(幻=2.5 乡+1 0 0 0 (元/台)，固定成本5 0 0 元,若已知边际收入为R(q)=2q+2 0 0 0,试求(1)获得最大利润时的产量；(2)从最大利润的产量的基础再生产1 0 0 台，利润有何变化？解 这 是 一 个 求 最 值 的 问 题。(1)L=R-C-2 +2 0 0 0-(2.5 +1 0 0 0)=-0.5 7 +1 0 0 0令=0,求得唯一驻点q =2 0 0 0。由于驻点唯一，且利润存在着最大值,所以当产量为2 0 2 3时，可使利润达成最大。(2)在利润最大的基础上再增长1 0 0 台，利润的改变量为r2IOO。羽=J (-0.5 +1 0 0 0 )d 72100=(-72+1 0 0 0 7)=-2 5 0 04 2(X)0即利润将减少2 5 0 0 元。2.设某产品的成本函数为1 2 _ C（）=7 +3 +1 0 0 （万兀）其中4是产量，单位：台。求使平均成本最小的产量。并求最小平均成本是多少？平均成本 4（/=皿=-4 +3+吧。，q 2 5 q入、1 100八c（q）=一一r=o2 5 q解得3=5 0 （台）,佻=一5 0 （舍去）因故意义的驻点唯一，故（7=5 0 台是所求的最小值点。当产量为5 0台时，平均成本最小。最小平均成本为-C（5 0）=+3 +1 5 0=7 （万元）2 5 q3.生产某种产品的固定费用是1 0 0 0万元，每多生产1 台该种产品，其成本增长1 0 万元,又知对该产品的需求为q=1 2 0-2 p （其 中（7 是产销量，单位：台；p是价格，单位:万元）.求（1）使该产品利润最大的产量；（2）该产品的边际收入.解（1 ）设总成本函数为C S）,收入函数为R（g）,利润函数为L G 7）,于是C（q）=1 0 q+1 0 0 0（万元）1 ,_R=qp=6 0 q q（万元）1 ,一L（q）=R（q）C（q）=5q-q-1 0 0 0（万元）。（q）=5 0 _ q =0得 到（?=5 0（u J）o。由于驻点唯一，故 q=5 0 台是所求最小值点。即生产5 0 台的该种产品能获最大利润。因R（q）=6 0。-1成,故边际收入7?，（0）=6 0 9（万元/台）乙(3)例 3 拟 定/(%)=2%3 9%+1 2%3的单调区间。解：该函数的定义域为(S+S)f(x)=6x2-18A:+1 2 =6(炉 一 3%+2)=6(x -1)(%-2)令 0 =(x)%,得i =1,%2 =2r(8,1)(1,2)(2,+0 0)/U)+-4-/(A-)ZZ函数f（x）在（一8,1）及（2,+8）内单调增长，在（1,2）内单调减少。例 4设 q=1 0 0 8 P 为需求函数，当需求量q=（）时，总收入R 最大。A、1 0 0 B、5 0 C、2 0 0 D、2 5答案：（B）例 3 若.尸（X。）=O,则 X。是 心）的（）。A、极 大 值 点 B、最大C、极 小 值 点 D、驻点答案：(D)例 5 若函数f (x)在 a,b 内恒有,YR)V O,则 f (x)在 a,b 上 的 最 大 值 为。答案:f(a)例 6当 x=4 时，y =x2+p x +q取得极值，则 p=。解：y =+p令 y =O,x =1-=4 /./?=-82答案：-8。例 7设函数f (x)在点。的领域可导，并且/(%)=0假如/(%)在点XQ的左右由正变负,则 I/(%)为 f(X)的。答案:极大值。例 8求函数/(x)=x ln。的极值。解：此函数定义域为(0,+8)/(x)=(x ln2 x)=I n2 x +x.2 1 n x =ln2 x +2 1 n x=I n x(2+I n%)x令 f(x)=0,即 I n x.(2 +I n%)=0得 西=L=e 2x (0右)(2,1(l，+8)1)尸(X)+0-0+/(%)4 20由上表可知，函数/(X)在 X=0-2处达成极大值，极大值为/X e )=4 e ；函数/(%)在 X=1处达成极小值，极小值为f(l)=O例 9已知生产某种商品(单位：千件)的成本函数为c(q)=0.1/+15q+22.5(单位:千元)，试求使该产品的平均成本最小的产量和最小平均成本，并求此时的边际成本。解:设生产q 千件产品的平均成本为丽则7.c(q)O.lq?+15q+22.5 n 22.5c(q)=-=0.1+15+-q q qq e(0,+oo)c =0.1-亨22 5q令 C(g)=0,解得 q=15,q=-15(舍去)q=l 5 是平均成本函数而在定义域内的唯一驻点。.q=1 5 是平均成本前的极小值点也是最小值点。即当产量q=1 5 千件时，该产品的平均成本最小，最小平均成本为为C(15)=18(千元)。又；边际成本“幻=().24+15.当q=1 5 时，C (15)=1 8即当产量为1 5 千件时的边际成本为1 8 千元/千件。例 1 0 某厂生产某种产品，其固定成本为2023元，每生产1 吨产品成本增长60元,对这种产品的市场需求规律为q=1 0 0。-1 O p (q 为需求量，p为价格)，试求:(1 )成本函数，收入函数；(2)产量为多少吨时利润最大；(3)获得最大利润时的价格及需求弹性。解：成本函数c(q)=c()+G(4).-.C(q)=2 0 2 3+6 0 q,收入函数R(q)=p.q,V q=1 0 0 0-1 0 pp =1 0 0-L q1 0R(q)=(100-?)q=lOOo-q210(2)利润函数 L(q)=R(q)-C(q)v 1 0 .,1、1 0 1 ,f(d)=I O X 1%(5 0 0 0 +Q O d)=一 1 4 3 +寸一 3 0 0 0L(q)=-1 0=I n xI n x 0 I n X10%+o o J4 J x b+8 4 -H X 解:此广义积分发散例8 某公司生产q吨产品时的边际成本为c(q)=-?+30(元/吨)，且固定成本为900元，试求产量为多少时平均成本最低?解：总成平均本函数C(q)=j 弱+Co =：(，g+3 0)为+9 0 0 =(+/+3 0/二 +go。=看+3 0 q +9 0 0平均成本函数为c =)=-r =P(A)+P(B)P(A)P(B)。=0.6 +0.7-0.6 x 0.7 =0.8 83.设 P(A)=0.5,P(A B)=0.3，求 P(B A)。解 尸 闺 加=鬻g A -A(B +B)=A B +A BP(A)=P(A B)+P(A B)P(A B)=P(A)-P(A B)。=0.5-0 3 =0.2P(B A)=P(AB)-=0.41 P(A)0.5第8章随机变量与数字特性重点1、离散型和连续型随机变量的定义及其概率分布。2、二项分布、泊松分布的概率分布列或密度，记住它们的盼望与方差，会计算二项分布的概率；3、均匀分布；4、正态分布、标准正态分布，记住其盼望与方差；5、随机变量盼望和方差的概念及性质。6、纯熟掌握一般正态分布的概率计算问题；掌握随机变量盼望和方差的计算方法例 1填空、选择题1.设随机变量X服从二项分布B(,p),则(2。A.E(X)=np,D(X)=np1 B.E(X)=np,D(X)=n/?(l-p)C.D.w E(X)=p,D(X)=/?(1 /?)E(X)=np,D(X)=np2。解 对 的 的 选 项 是 B(.2.设随机变量X 的方差(X)=1,则 (2X+3)=()A.-2 oB.-1 C.1 gooD.4解根据方差的性质可知。(2 X+3)=(-2pD(X)=4,故对的的选项是D。3.设随机变量XN(,/)。若 凝 大，概率将会()A.单调减少 B.单调增长C.保持不变“D.增减不定。解 由 于R|x“b)=p(与=p(|y|i)而YN(O,I),故概率R|x-并不随。变大而改变，因此对的的选项是c。4.设随机变量x 服从二点分布，即。A X=l)=p H X=O)=1-/?那么用2月+1)=()。解 E(2X2+1)=2 E(X2)+1,因 E(X2)=0 Xp+1 X q=q,故 E(2*2+1)=2 q+1。例1 计算下列问题：1、随机变量X N(5,2 2),求尸(3 X 8)。解JX N(5,2 2)X 5-N(0,1)。8 。83-5 X -5 8-5P(3 X 8)=2 2 2=(1.5)-(1)(查表)=0.9 3 22-1+0.8 4 1300=0.7 7 4 52.设随机变量X 的密度函数是/(x)=,3(%-2)02a x 3其它求(1)常数 a;(2)P(X 2.5)解（1）根据密度函数的性质1 -/(x)d x =f 3(x-2)2d r =l-(a2)3J x J a。所以a=2f(x)=3(x-2)202 x 3其它2.5,(2)P(X 2.5)=J,3(x-2)-dx=(x 2)3 5=o S =O25第9章 第10章 矩阵、线性方程组（-）重点：矩阵的乘法、转置、可逆矩阵的概念及求法；矩阵的初等变换，矩阵求秩。线性方程组的判别，线性方程组的求法。（二）例题例1设 是 同 形 矩 阵，B可逆，且（+R B =C,则尤=A答案:CB-1-4因为 方程两边同乘夕1,即有0 +即 T =CB-1,且BB-1A所以 A+X=CB-1X=C B-1-A例2若线性方程组A X =B有唯一解，则，X =0答案：只有零解。因为4只有唯一解，说明有厂口）=%A则相应的回 =0也有r（j）=%,所以也是有唯一解，即只有零解。A例3矩阵1001100-3-1504016的秩是（）答案:C N由已知结论,矩阵的秩等于矩阵经初等行变换化为阶梯形后非零行行数，即可见,矩阵的秩为3,说明答案c 对的。a 1b2c 3d 4例 4线性方程组ax=b有无穷多解的充足必要条件是（）A r(A)=r(A=B)B r(A)=r(A=B)D r(A)=r(A：B)=A答 案:板 A由线性方程组有解鉴定定理知，非齐次线性方程组有解的充足必要条件是)=4的A当r=r(3)=%时 有 唯 一 解，r(j4)=r(A:B)100010例 6求矩阵A =2514-5-8-7-1354124221,303的 秩。解：运用矩阵的初等行变换,将矩阵化为阶梯形矩阵,非零行的行数即为矩阵的秩。2-5321,-1-7420.,1-7420,5-8543027-15-6309-5-21A=1-7420709-5-21-000004-1123027-15-6300000所以，矩阵的秩为22xi-x2+3X3=2例8当 为何值时,方程组.X-+仇=1-X+2X3-3X3=工有解，有解时求一般解。分析：此方程组增广矩阵的秩武功与,侑关,方程组是否有解取决于41 -3 4解:(4 8)7 0 5-50-1 11 10 7 0zl+1 0-3 41 -10 010J+1/.当,k-1时方程组有解,继续化为行简化阶梯形矩阵4 1 P-1 0-00 0 01(4 B)7 00-3100 1 11 -1 00 0 0得出一般解为A（南是自由元）例 9求解线性方程组%|-3X2+2x+x4=0X+2/-工 3 +2 尤 4 1X-2X2+3X3-2X4=1解将增广矩阵化成阶梯形矩阵1-12-32101-3 210-12-1f0-113-11-23-21011-311 -3 2 1 O1 0 0-8 30 1 -1 -3 1 010-310 0 2 0 00 0 1 0 0分秩（不=秩（4）=3,方程组有解。一般解为X=3+8X4。x2=1 +3X4（*4 是自由未知量）.“3 =0例 10 设线性方程组2X1+X3=1iiii 1 r3 2 1 1 -3 c例 19A=求秩?！0 1 2 2 6 35 4 3 3 1 4 1 1 1 1 1 I-11111 13 2 1 1 -3 c0-1-2 -2 -6 c-3解A-0 1 2 2 6 30 1 2 2-6 35 4 3 3 1 40-1-2 -2 6 d-5-1 11 1 1 10-1-2 -2 -6 c 30 00 0 0 c0 00 0 0 d-2_当c=0且d=2时,秩A=2;当c H 0且d丰2时,秩A=4;当c丰0且d=2时，秩A=3;当。=0且d*弼 ，秩A=32例 20 设A =l 2 3 3=1 求5B A23 -1=05)5解A -8 =l 22 23A=-1 1 2 3 =-1554 6-2 -310 5 3 -4 5 -例2 1设4 =2-3 1求A i3 -5 -13-4 5 1001 -1 4 1 -10解(同=2-3 1 0 10 2-3 1013-5-1 0 013-5-1 0 0一-1-14 1 -1(T-1-1 4 1-1o-T0-1-7 -2 30 0-1-7 -2 300-2-13 -3 3100 11-311-14 1-1 O-100-8 29 -i fT0-10 5 -18 7 T0-10 5 -18 70 011-3 10011-3 101-8.-.A-1=-5129 -1118 -7-3 1例21解矩阵方程X A=8其中A3558B=324解 X =BA-3 5 1 0(A =2-2-1-8X=BA-=-10-856 10-85-3-4-131 2 2-15 8 015 8121006 0155 31324532 00 1255 8 0 1例 22证明：若 A 2=I,且 A A T=I,则 A为对称矩阵。证明：；A 2=I A.A=IA =A又A AT=A故 A 1=A .A为对称阵矩阵。例 2 3若矩阵B i 和 B?均与矩阵A可互换，则 K 1B 1+K 2B 2与 A也可互换（K i,K 2为任意常数）。证明：I和 B 2均与A可互换有&A=A B|,B 2A=A B 2(K,BI+K2B2).A=K i B,A+K 2 B 2 A=K i (BIA)+K2(B2A)=K.(A B i)+K2(A B2)A(KIB,)+A (K 2B 2)=A (K 1B 1+K 2B 2)故 K i B 1+K 2B 2与 A可互换。例 2 4 设 n 阶方阵A 满足Az+A-3I=。,试证：矩阵A-I可逆，且(A-1)=A+2 I。证明:；A2+A-3 I =0A2+A-2I=I(A-I )(A+2I)=I由可逆阵的定义，.,.A-I 可 逆 且(A-I)T=A+2 I例 2 5 设 A、B 都是对称矩阵，则乘积A.B 是对称矩阵的充足必要条件是A,B可互换。证明:必要性：,:A、B、A.B 都是对称矩阵,即 AT=A,BT=B,(AB)T=AB,且AB=(A B)T=BAT=B A.AB=BA充足性：；A,B 是对称矩阵，即 A，=A,BT=B，且(AB)T=BTAT=B A=ABA B 是对称矩阵。例 26设 A是对称矩阵，且 A可逆，证明A”也是对称矩阵。证明：已知AT=A，且 A-存在,.,(A-I)T=(AT)-I.A为对称矩阵A,.A是对称矩阵。例 27讨论人的情况，使齐次线性方程组f 3x =0 有非零解。_=0解：若齐次线性方程组的系数矩阵的秩小于未知量的个数，则方程组有非零解。未知量个数=23-A 1 -1 1 -1且系数矩阵A=T T 当入=3时，有秩（A）=l（未知量的个数=21 -1J 3-2 J|_0 3-2故齐次线性方程组有非零解。例 28设齐次线性方程组A X=0中方程个数小于未知量个数.则它定有非零解。解：不妨设未知量个数为n,方程个数为s,有 sn,.,齐次线性方程组的系数矩阵A 的行数等于方程组的个数s,A 的列数等于未知量个数n,故人=人5义11,其中sV n,显 然 秩（A）W s Vn,所以方程组有非零解。例 2 9 齐次线性方程组AX=O 总有 解，当它所含方程的个数小于未知量的个数时,这一定有 解。答案：0,非 0