【4份试卷合集】淄博市名校2019-2020学年数学高二下期末考试模拟试题.pdf

2019-2020学年高二下学期期末数学模拟试卷一、单 选 题（本题包括12个小题，每小题3 5,共60分.每小题只有一个选项符合题意）2 21.若实轴长为2的双曲线c ：1-=1（。0 8 0）上恰有4个不同的点月（i =1,2,3,4）满足a b-山 目=2山4 其中A（-1,0）,8（1,0）,则双曲线C的虚轴长的取值范围为（）A.呼依）B.（0粤）c.（半，+D.（。,半）【答案】C【解析】【分析】设点尸（x,y）,由|却=2|/科结合两点间的距离公式得出点p的轨迹方程，将问题转化为双曲线C与点P的轨迹有4个公共点，并将双曲线C的方程与动点P的轨迹方程联立，由40得出的取值范围，可得出答案.【详解】【答案】A依题意可得a =l,设P（x,y）,则由|P B|=2|P A|,得J（x l）2+y2=2 j（x+i y+y2,整 理 得+：r2y 2 _=l,由 段则双曲线c的虚轴长2 b 2，悝=g叵.7 72 r+12.已知函数”力=二,其定义域是 8,T）,A.）（X）有最大值|,无最小值B./（X）有最大值可，最小值（c.7（6有最大值（，无最小值D./（X）无最大值，最小值：Y 2 16-+_/=.V 90,则下列说法正确的是（）【解析】【分析】先化简函数/(X),再根据反比例函数单调性确定函数最值取法【详解】因 为 函 数/(耳=生 =生 二19=2+工，所以“X)在 一 8,T)上单调递减，则/(X)在 x=8X-1 X 1 X 1处取得最大值，最大值为*,X=4取不到函数值，即最小值取不到.故选A.3【点睛】本题考查反比例函数单调性以及利用函数单调性求最值，考查分析判断求解能力，属基础题.3.若复数二满足iz-l=2i,则在复平面内，复数z对应的点的坐标是()A.(1,2)B.(2,1)C.(-1,2)D.(2,-1)【答案】D【解析】【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出.【详解】由题意 i z=l+2i,Aiz(-i)=(l+2i)(-i),.z=2-i.则在复平面内，z所对应的点的坐标是(2,-1).故 选 D.【点睛】本题考查了复数的运算法则、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.4.已知随机变量J 服从正态分布N。,/)，若 p(4 w 2)=0.6 6,则 P(0)=()A.0.84 B.0.68 C.0.34 D.0.16【答案】c【解析】分析：先根据正态分布得P(l 2)=0.16,再求P(O 1)=0.16,最后求得P 0 40)=0.34.详解：由正态分布曲线得P(1 K 4/3 b 1,ZA71则DB等 于(KB.一3C.兀5%一 或 一6 6D.7t6)【答 案】D【解 析】【分 析】已知两边及其中一边的对角，求另一边的对角,先由正弦定理求sin 8,再 求E8.【详 解】a b,可得.5=3a由正弦定理sin A sin Blx sin _V3 2IT由b a,可得N B 2 =4%,可得y-4灯一4 =0,设（号,力）,。（工2，坨），则 p +为=4匕 yPyQ=-4 ,因为 F P +3 尸 Q =0,所以 p =-3 y,所以 y p=6 Z，yQ=-2k ,所以一1 2%2=4,即=4，所以I%1=1 8人|=亘，J3所以A O P Q的面积S=g x l x|力 一 打|=理，故选C.【点睛】本题主要考查了直线与抛物线的位置关系，考查了设而不求的思想，由。+3人2 =0转化为yP=-3 y o是解题的关键，属于基础题.1 1.易经是我国古代预测未来的著作，其中同时抛掷三枚古钱币观察正反面进行预测未知，则抛掷一次时出现两枚正面一枚反面的概率为（）113 1A.-B.-C.-D.一8 4 8 2【答案】C【解析】【分析】用列举法得出：抛掷三枚古钱币出现的基本事件的总数，进而可得出所求概率.【详解】抛掷三枚古钱币出现的基本事件共有：正正正，正正反，正反正，反正正，正反反，反正反，反反正，反3反反8中，其中出现两正一反的共有3种，故概率为，O故选C【点睛】本题主要考查古典概型，熟记概率的计算公式即可，属于常考题型.2 21 2.已知双曲线：一4=1(。0,0),若其过一、三 象 限 的 渐 近 线 的 倾 斜 角 工 则a b 4 3双曲线M的离心率e的取值范围是()【答案】B【解析】分析：利用过一、三象限的渐近线的倾斜角6 G-,-,可 得 咐26,即可求出双曲线的离心率e4 3 a的取值范围.2 21详解：双曲线 4=1(a 0,b 0)的一条渐近线方程为y=-x,a：b aT T T T由过一、三象限的渐近线的倾斜角e e-,-,4 371 b 71t a n 0 5 3-5 血9 =一 1,所以/f(x)=-c o s x-s i n x(I=-c o s；-s i n j=一/，故填：茂.考点：导数1 5.已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4,体积为1 6,则 这 个 球 的 表 面 积 是.【答案】2 4乃【解析】试题分析：正四棱柱的高是4,体积是1 6,则底面边长为2,底面正方形的对角线长度为6工37 =20,所以正四棱柱体对角线的长度为 屈 了 =2 痴，四棱柱体对角线为外接球的直径，所以球的半径为 几，所以球的表面积为S =4 7/=4%-6 =2 4万.考点：正四棱柱外接球表面积.1 6.已知函数f(x)=a x l n x+b(a,b G R),若 f (x)的图象在x=l处的切线方程为2 x y=0,则 a+b=【答案】4【解析】1(x)=a(l+In x),由/a)的图像在x=l处的切线方程为2x-y=0,易 知/=2,即6=2,/(1)=2,即。=2,则a+b=4,故答案为4.三、解答题(本题包括6个小题，共70分)1 7.如图，/VI _ 1 _平面 ABCD,A D/BC,ZA BC-90,A B BC-PA -1,A D-3 E是 PB 的（1）求证：平面PBC;（2）求二面角8-P C-。的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）亚.14【解析】【分析】可以以AB为X轴、AD为Y轴、AP为Z轴构建空间直角坐标系，写出了、/、之的空间坐标，通过证AE BC BP明 AEJ_BC,AE_LBP得证 AEJ_平面 PBC.通过求平面PBC和平面PCD的 法 向 量 得 证 二 面 角PC-。的余弦值.【详解】（1）根据题意，建立以AB为x轴、AD为Y轴、AP为Z轴的空间直角坐标系，则 A（0,0,0）,B（l,0,0）,C（bLO）,D（0,3,0）,P（0,0,1）,E g,O,g）,3=(0,1,0),=(-1,0,1),AE 2 2)BC 7 BP V 7因 为 犷 广 片 二=，所以AELBC,A EB P.因为BC、B P u平面P B C,且B C cB P=B,所以A E,平面PBC.(2)设 平 面P C D的法向量为n=(x,y,z),贝肃=0，n言=。因 为 言=(T 2,0)，=(0,3,T),所 以 x+2 y=0,3y z=0.令 x=2,则 y=L z=3.所 以n=(2,1,3)是 平 面P C D的一个法向量.因 为AEL平 面P B C,所 以AE是 平 面P B C的法向量.所 以c o s/n=f nAETAEH 145币由此可知，AE与n的夹角的余弦值为 盟.1 4根据图形可知，二 面 角BP C D的 余 弦 值 为-迈1 4【点 睛】在计算空间几何以及二面角的时候，可以借助空间直角坐标系.1 8.1 9已知函数/(x)=-l n x+l(Q R).(I )若 函 数f(x)在 1,2 上是单调递增函数，求 实 数。的取值范围;(n)若一2W a 0,对 任 意X，%e 1,2 ,不 等 式|/(芯)一/()归 根：一：恒 成 立，求 实 数?的取值范围.【答 案】(I )a1 2.【解 析】【分 析】(I)将 问 题 转 化 为 了(x)0对V x e l,2 恒成立，然 后 利 用 参 变 量 分 离 法 得 出 于 是 可 得出 实 数。的取值范围；(口)由(I)知，函 数y =/(x)在 1,2 上是增函数，设1 4玉并设(力=X)+?,得 知y =(x)在 区 间 1,2 上为减函数，转化为(x)w o在 1,2 上恒成立，利用参变量分离法 得 到 加2d 6，然后利用导数求出函数g(x)=%3 一 处 在 1,2 上的最大值可求出实数?的取值范围。【详 解】(I)易 知f(x)不是常值函数,2X1-2-a l n x+1在 1,2 上是增函数,./(X)=X3NO恒成立，所以.4 J,只需aw。?)*=1；x(D)因为-2W a 0,由(I)知，函数.f(x)在口,2 上单调递增,不妨设1 4 玉42,则|/&)一/(巧)归 用 工.-，可化为/(无 2)+竺 h(x2),x 2 x所以(x)为 1,2 上的减函数，即(x)=x-4 0i l,2 J上恒成立，X X等价于加之V 内 在 1,2 上恒成立，设 g(X)=x 3O X,所以机 N g(X)m a x，因一 2V a0,所以函数g(x)在 1,2 上是增函数,所以g(x)m a、=g(2)=8-2 a 1 2 (当且仅当a =2时等号成立).所以加4 1 2.即m 的最小值为1.【点睛】本题考查函数的单调性与导数之间的关系，考查利用导数研究函数不等式恒成立问题，对于函数双变量不等式问题，应转化为新函数的单调性问题，难点在于利用不等式的结构构造新函数，考查分析能力，属于难题。1 9.已知集合A =；K 2，V4 1 2 8 b 5 =y|j =l o g2x,x e ,32|.(1)若。=乂加+I6根+1 ,且(4B)。=0,求实数，的取值范围.【答案】；(2)l,+o o)【解析】【分析】结合指数函数和对数函数性质可分别求得集合A和集合B；(1)由交集定义得到4 B,分别在C =0 和 C H 0两种情况下构造不等式求得结果；(2)由并集定义得到A B,根据交集结果可构造不等式求得结果.【详解】A =r；4 2 Y 1 2 8 1 =x|-2 K x 7 =-2,7 B=log2x,XG1 328|-3y 2 m-2,解得：m V 3,满足C q(A cB)m+1 -2,解得：3 m-22m-2 l实数，的取值范围为1,+8）【点睛】本题考查根据集合包含关系、交集结果求解参数范围的问题，涉及到指数函数和对数函数性质的应用；易错点是在根据包含关系求参数范围时，忽略子集可能为空集的情况，造成范围求解错误.2 0.某学校高三年级有学生1000名，经调查，其中750名同学经常参加体育锻炼（称为A类同学），另外250名同学不经常参加体育锻炼（称 为B类同学），现用分层抽样方法（按A类、B类分两层）从该年级的学生中抽查100名同学.如果以身高达到165厘米作为达标的标准，对抽取的100名学生进行统计，得到以下列联表：（1）完成上表;身高达标身高不达标总计积极参加体育锻炼40不积极参加体育锻炼15总计100（2）能否有犯错率不超过0.05的前提下认为体育锻炼与身高达标有关系？（K2的观测值精确到0.001）.参考公式：K2=nad-bcy(+b)(c+d)(a+c)(b+d)参考数据:P(K2k)0.250.150.100.050.0250.0100.001k1.3232.0722.7063.8415.0246.63510.828【答案】(1)身高达标身高不达标总计积极参加体育锻炼403575不积极参加体育锻炼101525总计5050100(2)不能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为体育锻炼与身高达标有关系.【解析】【分析】(1)由分层抽样的计算方法可求得积极参加锻炼与不积极参加锻炼的人数，填入表格中，根据表格中的总计及各项值求出其它值即可；(2)由公式计算出K2，与参考数据表格中3.841作比较，若小于3.841则不可以，若大于3.841则可以.【详解】(I)填写列联表如下：身高达标身高不达标总计积极参加体育锻炼403575不积极参加体育锻炼101525总计5050100(II)K2 的观测值为 K2=OXI S TXM)=1.333 0 加 0,且 La h(1)求以3+七的最小值;(2)是否存在a,使得2a+3=6?并说明理由.【答案】（1）4人；（2）不存在.【解析】【分析】（1）由已知,+=而，利用基本不等式的和积转化可求,洒2 2,利用基本不等式可将/+犷转化为a ba b,由不等式的传递性，可 求/+3的最小值；（2）由基本不等式可求2a+3b的最小值为4百，而4省 6，故不存在.【详解】（1）由 疯=：+得 心2 2,且当&=b=亚时取等号.故/+力 N2,a%,2 4，且当a=b=时取等号,所以，+犷的最小值为4近；（2）由（1）知，2 a+3 b N 2 遍瓢 2 4 6由于4 G6，从而不存在a,，使得2a+3Z?=6成立.【考点定位】基本不等式.2 2.某地方政府召开全面展开新旧动能转换重大工程动员大会，动员各方力量，迅速全面展开新旧动能转换重大工程.某企业响应号召，对现有设备进行改造，为了分析设备改造前后的效果，现从设备改造前、后生产的大量产品中各抽取了 200件作为样本，检测一项质量指标值.若该项质量指标值落在 20,40）内的产品视为合格品，否则为不合格品.如图所示的是设备改造前样本的频率分布直方图.（1）若设备改造后样本的该项质量指标值服从正态分布N（30,52）,求改造后样本中不合格品的件数;（2）完成下面2X2列联表，并判断是否有99%的把握认为该企业生产的这种产品的质量标值与设备改造有关.0设备改造前设备改造后合计合格品件数不合格品件数合计附参考公式和数据：若 X ,则 P(4-c r X +c r)0.68,尸(4-2CT X,+2 c r)0.95.pg、0.1500.1000.0500.0250.010k。2.0722.7063.8415.0246.635长2 _ n(ad-be)2(a+b)(c+d)a+c)(b +d)【答案】(1)1 0；(2)列联表见解析，有99%的把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与设备改造有关.【解析】【分析】(1)设备改造后该项质量指标服从正态分布N(30,52),得=3 0,。=5,然后P(/j-2 c r x/+2 c r)=P(2 0 x 4()=0.95,然后即可求出(2)由设备改造前样本的频率分布直方图，可知不合格频数为4(),然后填表，再算出2即可【详解】解：(1)设备改造后该项质量指标服从正态分布N(30,5?),得=30,a-5,又V 2 c r x+2 c r)=P(2()6.635,7.有99%的把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与设备改造有关.【点睛】本题考查的知识点有正态分布、频率分布直方图、独立性检验，属于基础题型.2019-2020学年高二下学期期末数学模拟试卷一、单选题(本题包括12个小题，每小题3 5,共60分.每小题只有一个选项符合题意)1.已知/*)是可导函数，且r(x)ef(0),/(2017)e2017/(0)C./(1)ef(0),/(2017)*17/(0)D./(l)e/-(0),/(2017)207(0)【答案】D【解析】分析：构造函数g(x)=1*,利用导数判断其单调性即可得出.详解：已知/(X)是可导函数，且/(x)/(x)对于x e R恒成立，即/(X)-X)()恒成立，令g(x);牛，贝Ug，(x)=0，.函数g(x)在R上单调递减，.g(l)g(O)，g(2O17)g(O),即/。)。)“20 /(0)化为 1)或 ，2()17)o 得 i；由r(x)o 得 o x i,所以函数f W在(0,1)上单调递减，在(1,4W)上单调递增;所以/(X)m i n=/(D =l +3 =4;故 选 B【点睛】本题主要考查导数的应用，根据导数的方法研究函数的单调性，最值等，属于常考题型.4.下列运算正确的为()A.C=1 (C 为常数)B.(-)=4X XC.exY-ex D.(s i nx)=-cosx【答案】C【解析】分析：由基本初等函数的导数公式可得.详解：C =0,4-(e*)=e,(s i n x)=c o s x.X X故选c.点睛：本题考查基本初等函数的导数，牢记基本初等函数的导数公式是解题关键.5.设全集U=R,集合A=RX3,B=X|X 6 ,则集合(G/A)c6=()A.x 3 x 6 B.x|3 x 6 C.x|3 x 6 D.3x 6【答案】A【解 析】【分 析】求 出，A,然 后 求 解(C )c 8即可.【详 解】全 集U=R,集 合A=x|xW3,B=x|x3,所 以(Q 4)8=x30r.6.已知函数 f(x)=2xr,g(x)=,一 c(a S R),若对任意 xiG l,+8),总存在 xzGR,x+2a,x 0讨 论，a 0时分两种情况讨论，比较两个函数的值域的关系，即 得 实 数a的取值范围.【详 解】当a=0时，函 数f(x)=2 x r的值域为1,+8),函 数g(x)的值域为0,+8),满足题意.当 aVO 时，y=/+2 r 0,所以 a+22a,所 以 此 时 函 数g（x）的 值 域 为（2a,+8）,由 题 得2a V I,即aV ,即a VO.2当 a0 时，y=/+2a（x 0）Wj-a+2,a+2,2 a+2 W1当 a2时，-a+2S2a,由题得 ,：.a2a2 1 1当 O V a V-时，-a+2 2a,由题得 2 a V I,所以 aV .所以 OVaV .3 2 2综合得a的范围为a V,或la 到蓬莱，“成仙”是 到“到蓬莱”的充分条件，但“到蓬莱”是 否“成仙”不确定，因 此“成仙”是“到蓬莱”的充分非必要条件。故选：A【点睛】充分、必要条件有三种判断方法：1、定义法：直接判断“若，则夕”和“若夕则0”的真假。2、等假法：利用原命题与逆否命题的关系判断。3、若8,则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若A=3,则A是B的充要条件。8.复数二满足二7 =1+2代为虚数单位），则复数二在复平面内所对应的点在（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】D【解析】【分析】利用复数的四则运算法则，可求出，从而可求出.在复平面内所对应的点的坐标，从而可得1+21 r Jz=2-11到答案.【详解】由题意，则复数.在复平面内所对应的点为,7 _ 1、，在第四象限.1+21(1+21)1 个 乙 (乙 刀z=-=2 11-1【点睛】本题考查了复数的四则运算，考查了学生对复数知识的理解和掌握，属于基础题.9.设S为复数集C的非空子集，若对任意x,y e S,都有x+y,x -y,孙w S,则称S为封闭集.下列命题：集合5=。+次|。,人为整数，i为虚数单位)为封闭集；若S为封闭集，则一定有O e S；封闭集一定是无限集；若S为封闭集，则满足S q T q C的任意集合T也是封闭集.其中真命题的个数为()A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】【分析】由题意直接验证的正误；令x=y可推出是正确的；举反例集合S=0判断错误；S=0,T=0,1 ,推 出-1不属于T,判断错误.【详解】解：由 a,b,c,d 为整数，可 得(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)ieS；(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)ieS；(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)iGS；集合S=a+bi|(a,b为整数，i为虚数单位)为封闭集，正确；当S为封闭集时，因为x-yes,W x=y,得0 6 S,正确；对于集合5=0,显然满足所有条件，但S是有限集，错误；取5=0,T=0,1 ,满足SUTUC,但由于0-1=-1不属于T,故T不是封闭集，错误.故正确的命题是，故 选B.【点睛】本题是新定义题，考查对封闭集概念的深刻理解，对逻辑思维能力的要求较高.1 0.欧拉公式：ei*=co sx+isin x(i为虚数单位)，由瑞士数学家欧拉发明，它建立了三角函数与指数函数的关系，根据欧拉公式，(滴)2=()A.1 B.-1 C.i D.-i【答案】B【解析】【分析】由题意将复数的指数形式化为三角函数式，再由复数的运算化简即可得答案.【详解】由 ex=cosx+isinx(九、2 (、2出 5】兀、.冗.2 1得*=cos+zsin=i=-I、J I 2 2 J故 选B.【点睛】本题考查欧拉公式的应用，考查三角函数值的求法与复数的化简求值，是基础题.11.已知集合 人=1山0,5=x|%1,则()A.B A B.A cB C.A c 8 1 D.A B=R【答案】D【解析】【分析】计算出A集合，则可以比较简单的判断四个选项的正误.【详解】A=x|lnxO=x|xl,8=xE,1可以排除 A、B、。且故A B=R选择 D.【点睛】考查集合的包含关系，属于简单题.12.已知在R上的可导函数/(x)的导函数为了 (X),满 足/(%)/(%),且/U +5)为偶函数，/(10)=1,则 不 等 式/(幻 ，的解集为()A.(0,+oo)B.C.(5,+oo)D.(10,+oo)【答案】A【解析】【分析】【详解】分析：构造新函数g(x)=坐，利用已知不等式确定g(x)的单调性，e详解：设g(x)=坐，则由已知/(x)/(x)得g(x)0,e e.g(x)是减函数./(x+5)是偶函数，的图象关于直线x=5对称，/(0)=/(10)=1,g(0)=犁=1,g(x)=坐 1 的解集为(0,+8),即/G F -2A/2 四边形f为菱形，SGDF BXD GF2故答案为2#.点睛：本题考查面面平行和正方体截面问题的应用，正确理解与平面的距离保持不变的含义是解题关键.1 6.若(x 2)8 =4 4-q (x +1)+%(尤 +1)+/(%+1)8,贝 1j q +g+/=-【答案】28-38【解析】【分析】通过x =0,即可求出4+4+生 1-的值，通过x =1，即可求出的值，最终可求出4 +%H-F%的值.【详解】(x-2)x=a。+4(%+1)+%(工+1)2 h-F8(X+1)8二令 X=0 ,可得g+。+%+。8 =(-2)8 =28令 x =l,可 得%=(3)8 =3 8q+a,+仆=2 38【点睛】本题通过赋值法来研究二项展开式系数的和，是一道基础题.三、解 答 题（本题包括6个小题，共70分）1 7.如 图1,等边AABC中，AC=4,。是边AC上 的 点（不与A C重合），过息D作D E B C交AB于点E,沿。石将24。向上折起，使 得 平 面 平 面B C O E,如图2所示.（1）若异面直线3E与AC垂直，确定图1中点。的位置；（2）证明：无论点。的位置如何，二面角O-A E-B的余弦值都为定值，并求出这个定值.【答案】（1）见解析；（2）-5【解析】【分析】（1）取OE中点。，8 c中点尸，连结。4,O E,以。为原点，0瓦。4所在直线分别为匕，*轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出图1中点。在靠近点A的三等分点处；（2）求出平面A/JE的法向量和平面45E的法向量，利用向量法能证明无论点D的位置如何，二面角D-A E-B的余弦值都为定值-逝.5【详解】解：（1）在图2中，取。E中点。，8。中 点 连 结。4。尸，以。为原点，。瓦 所 在 直 线 分别为x，、z轴，建立空间直角坐标系，X设 O A =x,则 O F=2 G-x,O E-j=,8(2,2 0-0)、,0,0,A(0,(),x),C(-2,2V3-X,O),7故 A C (2,2/3 x,-x),BE=(定2,x 2 6 0.异面直线BE与AC垂直,A C BE=0,：.x210飞x+8=0,解得x64 4G亍(舍)或x=2=出，AO A O6 6 3 耘=而3=2,263.图1中点。在靠近点C的三等分点处.(2)证明：平面AOE的法向量=(0,1,0),0,x,BE=-2,x-2y/3,Q设平面A8E的法向量z =(a,0,c),f u xc=0?,A E m=0 J3则 即/、族加=0 后_2%+1一2 6,=0取。=1,得?=1,-,设二面角D A E-8的平面角为。，则。为钝角,:.无论点D的位置如何，二面角D-AE-B的余弦值都为定值-叵.5【点睛】本题考查利用空间向量确定空间中点的位置以及二面角的余弦值的计算，考查运算能力求解能力和推理论证能力，是中档题.18.一个不透明的袋子中，放有大小相同的5个小球，其 中3个黑球，2个白球.如果不放回的依次取出2个球.回答下列问题：(I)第一次取出的是黑球的概率；(D)第一次取出的是黑球，且第二次取出的是白球的概率；(m)在第一次取出的是黑球的条件下，第二次取出的是白球的概率.3 3 1【答案】(I)(II)一(m)5 10 2【解析】【分析】(I)黑球有3个，球的总数为5个，代入概率公式即可；(n)利用独立事件的概率公式直接求解即可；(卬)直接用条件概率公式求解.【详解】依题意，设事件A表示“第一次取出的是黑球，设事件B表示“第二次取出的是白球(I)黑球有3个，球的总数为5个，3所以 P (A)=-;3 2 3(D)第一次取出的是黑球，且第二次取出的是白球的概率为P (AB)=x-=-.5 4 10(I ll)在第一次取出的是黑球的条件下，第二次取出的是白球的概率为P (B|A)P(A B)1-2-31035【点睛】本题考查了古典概型的概率公式，考查了事件的相互独立性及条件概率，属于基础题.1 9.如图，在正四棱柱ABCD-AiBiCiDi中，AB=1,A A i=t,建立如图所示的空间宜角坐标系。一xyz.(1)若 t=l,求异面直线A G 与 A iB所成角的大小；(2)若 t=5,求直线ACi与平面AiBD所成角的正弦值；(3)若二面角A i-B D-C 的大小为120,求实数t 的值.【答案】(1)9 0.萼亚2【解析】分析：(1)先根据坐标表示向量A G，4 8,再利用向量数量积求向量夹角，即得异面直线A G 与 A 8 所成角，(2)先利用方程组解得平面4 8。的一个法向量，利用向量数量积得向量夹角余弦值，再根据线面角与向量夹角互余关系得结果，(3)先利用方程组解得平面4 8。以及平面C 8 D 的一个法向量，利用向量数量积得法向量夹角余弦值，再根据二面角与向量夹角相等或互补关系得结果.详解：当r =l时，4(0,0,。)，5(1,0,0),4(0,0,1),G(1,1,1),则 4储=(1,1,1),A8=(l,0,_l),故 cos (A C,A B=J,=0所以异面直线AG与48所成角为9 0.(2)当/=5 时，A(0,0,0),B(1,0,0),0(0,1,0),A(0,0,5),C,(1,1,5),则 4 3 =(1,0,-5),4。=(0,1,-5),设平面4 8。的法向量 =(a,b,c),A.B n-0,fa-5 c=0,则由 得，u八A”=()8-5c=0,不妨取c=l,则。=6=5,此时”=(5,5,1),设AG与平面4 8。所成角为。，因为AC；=(1,1,5),则 加 二w(收，4 H都卜等所以A G与平面A BO所成角的正弦值为 警 .(3)由 A(0,0,/)得，4 8=(1，-0，4。=(0，1，一/)，设平面4 8。的法向量加=(x,y,z),则由，A B*=0,A Dm=0得,x zt=0,y-z t-0,不妨取z=i,则x=y=乙 此时加=(r,t,i),又平面CB。的法向量A4,=(0,0,r),故卜os(A4r=I I =,1 =；,解 得 直，Z|IlM l-H l Jl+2/x f 2 2T T由图形得二面角4-6。-C大于5,所以符合题意.所以二面角A-8。一。的大小为120。，的值为 逅.2点睛：利用法向量求解空间线面角的关键在于 四破J 第一，破 建系关，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破 求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关，求出平面的法向量；第四，破 应用公式关”.2 0.有甲、乙两个游戏项目，要参与游戏，均需每次先付费1()元(不返还)，游戏甲有3种结果：可能获得15元，可能获得10元，可能获得5元，这三种情况的概率分别为!，游戏乙有2种结果：可6 2 3能获得20元，可能获得0元，这两种情况的概率均为工.2(1)某人花2()元参与游戏甲两次，用X表示该人参加游戏甲的收益(收益=参与游戏获得钱数-付费钱数)，求X的概率分布及期望；(2)用占表示某人参加次游戏乙的收益，为任意正整数，求证：的期望为0.【答案】(1)分布列见解析，期望为-；(2)见解析.3【解析】分析：(D X表示该人参加游戏甲的收益，可能取值为1 0,5,0,-5,-1 0分布列为：X1 050 5-1 0p13 6j_61 33 6_39(2)用J表示某人参加“次游戏乙的收益可能取值为1 0，1 0(-2),1 0(-4),，1 0(2%),1 0 (k e N且DWkWn),每次独立，获奖的概率为:满足二项分布。详解：(1)则X的所有可能取值为1 0,5,0,-5,-1 0,尸(X=5)=C；尸(X=0)=C；x%；+1 1X-X =一6 2 632I=H，P(X=-5)=C x-xr-尸(x =-*、2_79X1 050 5-1 0p13 6j_61 33 639(X)=1 0 x +5 x i+0 x +(-5)x l+(-1 0)x l=-;)3 6 6 3 6 3 9 3(2)证明：J的所有可能取值为1 0，1 0(2),1 0(4),，1 0(2%),1 0(左e N且0 k n),P(J =1 0(/一2 Z)=C：i(g)(keN 且 OWkWn),E(g)=io c;R)+io(-+io(_2 z).c，U 1 y+1 0(-2)C -2 ；=9,C；+（-2）.C：I +-2女）C；+（-）C，E 偿）=3一 C+（2 2）y +（2 2 A）C+；,两式相加即得E（J）=.C；+（-2 +2-）.G：1+-2 A +2 Z C；所以 =（）.点睛：（1）离散型随机变量的分布列，根据题意，搞清随机变量X的最小值和最大值，其它值随之确定。（2）根据题意，要能判断出是否为二项分布，抓题目的关键词：事件相互独立（放回），每次事件成功的概率相等.（3）二项分布的期望公式E（X）=叩,方差O（X）=p（l-p）2 1.在AABC中，内角A,B,C的对边分别为a 1,c.已知2cosc=2 z co s B b/、4 s i n C 乂.（1）求 二 一 的 值s i n A（2）若COS5 =L/?=2,求A A B C的面积.4【答案】（1）皿=2 （2）正s i n A 4【解析】【分析】（1）正弦定理得边化角整理可得s i n（A +B）=2 s i n（B+C）,化简即得答案.（2）由（1）知 =空&=2,结合题意由余弦定理可解得a =1,s i n B =4 1 5,从而计算出面积.a s i n A 4【详解】(1)由正弦定理得 a=2 7?s i n A,h=2 7?s i nb,c =2/?s i n C,co s A-co s C 2c-a 2 s i n C-s i n AH r -=-=-co s B b s i n 3即 s i n B co s A2 s i n B co s C =2 s i n C co s B-s i n A co s B即有 s i n (A +B)=2 s i n (B+C),即 s i n C =2 s i n A所 以 吗=2s i n A，、，、c s i n C（2）由（1）知一二1一a s i n A=2,即 c=2Q,又因为b=2 ,所以由余弦定理得:h2=c2+a2-l a c c o s B P 22=4 a2+a2-2a x2a x-,解得。=1,4所以c=2,又因为C O SB =L，所以s i n 8 =Y!*,4 4故 A A B C 的面积为，a cs i n B =L x l x 2 x l =，i 5.2 2 4 4【点睛】正弦定理与余弦定理是高考的重要考点，本题主要考查由正余弦定理解三角形，属于一般题.2 2.如图，在棱长为2的正方体4 B C D 44G 2中，点E是棱2。的中点，点厂在棱片8上，且满足 BF=2FB.（I）求证：A（II）求平面4 尸与平面想。刀所成锐二面角的余弦值.2【答案】（I）详见解析；（II）；【解析】【分析】（I）由 正 方 体 的 性 质 得 出J平面A瓦G A，再由直线与平面垂直的性质可证明出AC D Dt；（H）以。为原点，D A,DC,分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，计算出平面人所和平面A A的法向量，利用向量法求出这两个平面所成锐二面角的余弦值.【详解】（I）在正方体A B C O AgG Q中，平面ABIG A，AGU平面ABIGR,AG（口）如图，以。为原点，DA,D C,O R分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，则A（2,0,0）,（0,0,1）,r f 2,2,|B（2,2,0）,/.AE=（-2,0,1）,/1F=|O,2,|,AB=（0,2,0）,5）设=(x,y,z)为平面A EF的一个法向量,r A c,n-2 x+z =0.n-A E -0 ，/、则 ，即2 八，令z=6,可得=（3,2,6）,=0|2y+z=0 1 ：AB_L平面M A。，,4 6 =(0,2,0)为平面4 1。的一个法向量,mm i/嗯 r A B n-4 2c o s(AB,n)=uun,，r|=,-=-=/网 H 249+4+36 7，/.平面A EF与 平 面 偿 所 成 锐 二 面 角 的 余 弦 值 为 全【点睛】本题考查直线与直线垂直的证明，考查利用空间向量法计算二面角，解题的关键就是计算出两个平面的法向量，利用空间向量法来进行计算，考查计算能力与逻辑推理能力，属于中等题.2019-2020学年高二下学期期末数学模拟试卷一、单 选 题（本题包括12个小题，每小题3 5,共60分.每小题只有一个选项符合题意）1.如图，已知函数“X）的图象关于坐标原点对称，则函数“X）的解析式可能是（）=4A.f(x)=x2 ln|x|B./(x)=x ln xc In k|JC/(%)=D.f(x)=X X2.命题 对任意的x e R,%+2 0 B.不存在 x e R,x2-%+2 0 D.存在 x e R,X2-X+203,已知集合 M=X(X-1)24,XGR,N=-1,0,1,2,3 ,则 M c N=()A.0,1,2 B.-1,0,1,2 C.-1,0,2,3 D.0,1,2,34.如图，网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为C.42兀D.36715.使不等式|x+l|W 4成立的一个必要不充分条件是（）A.2 x 3B.-6 x 3C.-5 x 3D.-6 x 26.已知 4=(2,1,3),b=(-l,4,-2),c=(7,5,2),若、b、c三向量共面，则实数X等 于（）7.“%=0”是“复数z=$x+（x-l）x e R）为纯虚数”的（）A,充分不必要条件B,必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件8.运行下列程序，若输入的P，。的值分别为6 5,3 6,则 输 出 的 的 值 为辜/施|S=P+I|P=P+2II|q=q-5|盅A.4 7 B.5 7C.6 1 D.6 79.给出下列四个命题，其中真命题的个数是（）回归直线二=二：+二恒过样本中心点（：,：）；二=6”是“二；一$二-6 =0”的必要不充分条件;F 二 0 c 二，使得二1+2 二（,+3 0”；“命题二V二”为真命题，贝！I“命题r二Ar二”也是真命题.A.0 B.1 C.2 D.31 0.某市通过随机询问1 0 0 名不同年级的学生是否能做到“扶跌倒老人”，得到如下列联表:做不到能做到高年级4 51 0低年级