概率论与数理统计课后题参考答案.pdf

第一章基本概念1、试对下列随机试验各写出一个样本空间：(1)掷一颗骰子；(2)一个口袋中有5个外形相同的球，编号分别为1、2、3、4、5,从中同时取出3个球;(3)1 0只产品中有3只是次品，每次从中任取一只(取出后不放回)，直到将3只次品全部取出，记录抽取的次数；(4)对某工厂生产的产品进行检查，合格的盖上“正品”，不合格的盖上“次品”，如果查出2件次品就停止检查，或者查满4件也就停止检查，记录检查结果。解：。=1,2,3,4,5,6(2)。=(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5),(2,3,4),(2,3,5),(2,4,5),(3,4,5)5个球中选3各球进行组合，有仁=10种。(3)。=3,4,5,6,7,8,9,10最少抽取的次数是每次取出的都是次品；最多抽取的次数是把1 0只产品全部取出，总能抽出3个是次品。(4)用数字1代表正品，数字0代表次品；样本空间包括查出2件是次品和查满4件产品这两种情况。Q=(0,0),(0,1,0),(1,0,0),(0,1,1,0),(1,0,1,0),(1,1,0,0),(1,1,1,0),(1,0,1,1),(1,1,0,1),(1,1,1,1),(0,1,1,1)2、工厂对一批产品作出厂前的最后检查，用抽样检查方法，约定，从这批产品中任意取出4件产品来做检查，若4件产品全合格就允许这批产品正常出厂；若 有1件次品就再作进一步检查；若有2件次品则将这批产品降级后出厂；若有2件以上次品就不允许出厂。试写出这一试验的样本空间，并将“正常出厂”、“再作检查”、“降级出厂”、“不予出厂”这4个事件用样本空间的子集表示。解：用数字1代表正品，数字。代表次品设=正常出厂”；=“再作检查”；=“降级出厂”；D=“不予出厂”A=(1,1,1,1)B=(0,1,1,1),(1,0,1,1),(1,1,0,1),(14,1,0)C=(0,1,1,0),(0,1,0,1),(0,0,1,1),(1,0,0,1),(1,0,1,0),(1,1,0,0)D=(0,0,0,1),(0,0,1,0),(0,1,0,0),(1,0,0,0),(0,0,0,0)Q=A u B u C u O=(1,1,1,1),(0,1,1,1),(1,0,1,D,(1,1,0,1),(1,1,1,0),(0,1,1,0),(0,1,0,1),(0,0,1,1),(1,0,0,1),(1,0,1,0),(1,1,0,0),(0,0,0,1),(0,0,1,0),(0,1,0,0),(1,0,0,0),(0,0,0,0)3、设A、B、C是三个事件，试用A、B、C的运算关系表示下列事件：(1)A与B都发生，但C不发生；(2)A发生，但B与C可能发生也可能不发生；(3)这三个事件都发生；(4)这三个事件都不发生；(5)这三个事件中至少有一个发生；(6)这三个事件中最多有一个发生；(7)这三个事件中至少有两个发生；(8)这三个事件中最多有两个发生；(9)这三个事件中恰有-个发生；(10)这三个事件中恰有两个发生。解：(1)ABC(2)4(3)ABC(4)ABC(5)A u B u C(6)ABC u A B C u A B C u ABC(7)ABuAC JBC(8)ABC(9)ABC JABCJABC(1 0)A B C u A B C u A B C4、设 A =1,2,3 4 5,6 ,A=1,2,3 ,B=2,3,4 ,C=4,5,6 ,试用 C 的子集表示出下列事件;(2)1 UB;(3)B-A;(4)A B C;(5)A(BuC).解：(1)不6=4(2)A 口8 =2,3,4,5,6(3)6 4=1,2,3,5,6(4)ABC=4,5,6(5)A(5uC)=l,4,5,6 5、对三个任意给定的事件A、B、C：(1)试化简(Au8)(5uC)(2)试将A u B u C表成互斥事件之和(3)化简(4 +8)(A +豆)(彳 +8)(彳 +豆)(4)I t f s l A B +A B +A B +A B-A B解(1)(A u B)(5 o C)=o C)uB(B u C)=A B u/1 C J u B uB C=A B vj A C u B =BJAC(2)A BuC=(A-A B)+(B-B C)+(C-A C)+A B C(3)(A +B)(A +B)(A +B)(A +B)(A +A B+B A +B B)(A +A B+B A +B B)=(A +B B)(A +B B)=A A=(4)A B +A B +A B +A B-A B (A +A)B +(A +A)B-A B=B +B-A B =C i A B =A B6、指出下列各题是否正确(提示，可借助文氏图)(1)A B =ABJB(2)NB=ADB(3)AuBC=A B C(4)A 6(A8)=(5)若 AuB,则4 =4 8(6)若 A 5 =0),C u A,则 B C=0)(7)若 A u B ,则 BuA(8)若 8 uA,贝 =B(9)若 A +C =8+C,贝 l j A =8(1 0)A-C=B-C ,贝 U 4 =8解：(1)A B u B =(A u B)n(B u B)=A u B 正确(2)A B =B-A A u B 错误(3)A uBC=(A u B)n(A u C)=A B rA C A B C 错误(4)A 8(A )=A B 万=A c(D =正确(5)若A u B,A B =A 正确(6)若A 8=a),C u 4 5 l j 8C u A B =D,.B C =D 正确(7)A cz B,B u A 正确(8)若B u A,则=错误(9)若A +C =B +C,A 可以不等于8。当A u C,B u C 时，A#5 等式也成立。错误(1 0)若A-C =B-C,A 可以不等于B。当仁u A,D u B 时，4 w B 等式也成立 错误7、对投掷一对均匀骰子的试验，可给出两个样本空间Q和Q如下：Q是由第一颗骰子与第二颗骰子出现点数的对子组成，有(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)(1,6)(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)(2,5)(2,6)o=0,P 0,试将下列4 个数：P(4),P(A B),P(A)+P(8),P(A u B)按由小到 大 的 顺 序 用 不 等 号 联 结 起 来，并分别对每个不等号指明何时成为等号。解：P(A U B)=P (A)+P (8)-尸(A 3)：.P(A)+P (B)P (A U B),当P (A B)=0时“=”成立vA cA U B.,.P(A)P(AUB)，当8 u A 时“=”成立v ABczA：.P(AB)P(A)P(AUB)WP(A)+P(B),第一个等号在A u 8 时成立。5、已知独立事件A、B 均不发生的概率为9，“A 发生B 不发生”及“A 不发生B 发生”的概率相等。求 P(A)。解：根据题意可得：P(A同=P(M),根据事件A、B 是独立的可知，事件A 与否以及事件彳与B 都是独立的，从而有：P(4)P(8)=P(彳)P(8),再由对立事件的概率公式及一些简单计算可得P(A)=P(8),又由题意可得(彳 百)=,结合独立性以及P(A)=P(8)可推出P(A)=|6、已知A、B、C 三事件两两独立，ABC=(D(1)若尸(A)=尸(8)=P(C)0,试证 P(A)(。解：(1)P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC),9=3P(A)-3P(A)1 2=1 3所以：P(A)=上或者P(A)=(舍去)4 4(2)证 明:P(2U3)=P(A)+U(B)-P(AB)=2P(A)-P(A)2由于 A U BUA U B U C，于是 2P(A)P(A)243P(A)3P(A)2,从而尸(A)4；注解：有反例可以说明，题中要求证明P(A)P(C)=P(4B)-P(C)(3)P(A B)C=PABC=P(A)尸(B)P(C)=P(A万)尸(C)=P(A-B)-P(C)8、设射手在相距1 0 0米处对目标进行射击，击中的概率是0.6；若第一次未击中，则进行第二次射击，但目标将被移远使距离拉成了 1 5 0米；若第二次仍未击中，则进行第三次射击，此时已是相距2 0 0米了。设射手击中目标的概率与距离成反比，求射手击中目标的概率。解：设A=相 距1 0 0米射击击中”；B=相 距1 5 0米射击击中”；C=相 距2 0 0米射击击中；D=击中目标”；-i nn 1 0 0P(A)=0.6；P(B/A)=x 0.6 =0.4；P(C/A B)=x 0.6 =0.3；1 5 0 2 0 0P()=P(A U B U C)=P(A)+P(B A)+P(C A B)=0.6 +0.4 x 0.4 +0.4 x 0.6 x 0.3 =0.8 3 29、投掷两个均匀的骰子，试求：(1)若已知点数和是偶数时一，点数和等于8的概率；(2)若已知点数和是奇数时，点数和大于6的概率；(3)若已知点数和大于6时，点数和是奇数的概率；解(1)设4=点数和是偶数”，5产“点数和等于点P(始4)=，(4g)=P(与)=工。(参照第一章第7题)1 1 p (A)P(A)1 8(2)设&=点数和是奇数”，层=点数和大于6”P(当 I A2 P(4 4)_ 1 2P(A2)-1 8(3)P(A2IB2)=P(A2g2)P)1 21 +2 +3 +61 22 11 0、三个人独立地同时破译一密码，若各人能译出的概率分布是工，求次密码能5 3 4被他们破译出的概率。解：设人=甲译出密码；8=乙译出密码；C=丙译出密码”P(A)=L P(B)=-,P(C)=-5 3 4P(AU BU C)=P(A)+P(B)+P C O-P (A B)-P(AC)尸(B C)+P(ABC)1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 4 7 1 2 1 3=H 1-X-X-X +X X =-1 =一5 3 4 5 3 5 4 3 4 3 4 5 6 0 6 0 6 0 5_ _ _ _ _ _ _ 2 3 4 3或 者 尸(/Hj BU C)=l-P(ABC)=l-P()P(B)P(C)=l-x-x-=-o1 1、盒中装有编号自1到1 0的十张卡片，现从中任意抽看两张的编号，第一次看一张，看后放回，混合后再抽看一张。若 记 第 一 张 卡 片 的 编 号 为 第 二 张 卡 片 的 编 号 为、，现令4 =值=4 ,B=g +=7 ,试 求 尸 A）及尸（A。依解p：Pn (z8DI.A.)s =-p-(-A-B-)=1一 =1P(4)Co 1 0八 /P（A 5）1P（AIB）=-=-P（B）61 2、袋中装有1 0个 白球和2 0个黄球，今从中取出5个 球（不放回），接着再取出1 0个球。求第一次取出全是黄球目第二次取出黄、白球各半的概率。解：设八=第一次取出的全是黄球；B=第二次取出的黄、白球各半”；P(A B)=P(A)-P(Bl A)=1 3、袋中装有a只白球，b只黄球，现从袋中任意取出1个球，观察颜色后再旋即放回袋中，并另加入c只与之同色的球。如此观察了三次，试求前两次取得黄球第三次取得白球的概率。解：4=第一次取黄球”；A2：“第二次取黄球”;p(A A，4)=P(A),P(A,I A)p(4 1 4 4)=-a-hA,：“第三次取白球”;b+c aa +b+c +/?+2 c1 4、对一批空调设备7 0台要作验收检查，规定检查时对任意抽出的2台设备作样本进行检查，先 抽1台，不放回地再抽第二台，样本中只要有1台式次品就退货，否则就通过。生产厂知道这批产品中有3台是次品，试求下列事件的概率：（1）这批货获得通过；（2）样本中恰有1台次品；（3）这批空调设备被退货。解：4=”第一次抽到次品；&=第二次抽到次品”；D=“被退货”。(1)(2)(A4)=p (%)P(刃4)6 7 6 67 0 6 91 4 7 41 6 1 0（办1 1 4 4）=（私）+尸（AA2）=P（4）P（&l4）+P（A）P（4四）6 7 3 3 6 7 1 3 4=-P-7 0 6 9 7 0 6 9 1 6 1 0(3)P(D)=l-P(-4-4-)=1-Y1 4匕7 4 =上1 326-1 6 1 0 1 6 1 01 5、B公司在坊厂和多厂生产电视机显像管，每周产量共3 0 0 0个，其中8厂 生 产1 8 0 0个有1%为次品，厂 生 产1 2 0 0个 有2%是次品。现从每周的产品中任选一个，求下列事件的概率：（1）选出的产品是次品；（2）已知选出产品是次品，它是由区厂生产的；(3)已知选出产品是正品，它是由用厂生产的;解:设 A=”选出的产品是次品”，则/(A 田)=1%,P(A IB2)=2%(1)3 2P(A)=P(A I8 P-P(B,)+P(NIB?)P(B2)=1%X-+2%X-=1.4%(2)3l%x-_ _ _ _ 1 =31.4%7(3)I箱 _尸(彳尸出)一尸外叫.2 9 7r D,I /A J =尸(A)1-1.4%4 9 31 6、用某种方法检测产品，若产品是次品，经检验为次品的概率是9 0%；若产品是正品，经检验定为正品的概率为9 9%。现从含5%次品的一批产品中任取一件进行进行检验，求下列事件的概率：(1)经检验定为次品；(2)经检验定位次品而实为正品。解：A=“次品”，B=某方法检验为次品”。P(8 IA)=0.9,F(5 1 1)=0.9 9,P(A)=0.0 5(1)P(B)=P(B I A)P(A)+P(B A)P(A)=0.9 x 0.0 5+1-P(B I A)P(A)=0.9 x 0.0 5 +0.0 1 X 0.9 5 =0.0 4 5 +0.0 0 9 5 =0.0 5 4 5 P =5)=1-窗=。71 7、某大学一个年级的学生有5 0 0 0 名，其中男、女士的比例为2:3,已知在男生中有1 0%选修会计学，女生中有6%选修会计学，现从这5 0 0 0 名学生中任选一人，求下列事件的概率：(1)这位学生是选修会计学的女生；(2)这位学生是未选修会计学的男生；(3)这位学生是选修会计学的学生；2解：男生人数：5 0 0 0 x-=2 0 0 0,男生选修会计人数：2 0 0 0 x 1 0%=2 0 05女生人数：5 0 0 0 x-=3 0 0 0,女生选修会计人数：3 0 0 0 x 6%=1 8 05 0 0 0(2)P(B)=竺”5 0 0 0(3)-9)=2 0 0 +1 8。=出5 0 0 0 5 0 0 01 8、用X射线检查肺癌的可靠性有些列数据，肺癌患者通过检查被确诊的有9 8%,而未患肺癌者经检查有9 9%可正确确诊为未患肺癌，误诊率为2%及1%。在某人口密集的工业区,估计有3%的人患肺癌，先现从该地区任选1人检查，试求：(1)若此人被诊断成患肺癌，他确患此病的概率；(2)若此人被诊断成未患肺癌，他实患此病的概率；(3)解释以上结论的意义。解：A=用X光查肺癌”，B=患有肺癌”，则/(8)=3%,P(A 1 5)=9 8%,P(Il B)=9 9%(1)P(A)=P(A IB)P(8)+尸(A唐)P(B)=9 8%x 3%+l-P(A IB)P(B)=9 8%x 3%+l%x 9 7%=0.0 3 9 1P(B IA)=P C A B y P(B)9 8%x 3%c-=-=1).7 5 1 9P(A)9 8%x 3%+l%x 9 7%(2)P(5 IA)=P(A IB)P(g)P(A)(1-98%)X3%1-0.0 3 9 1=0.0 0 0 6(3)该结论说明X射线检查用于确诊肺癌的可靠性一般，并不令人满意，而用于排除肺癌的可靠性很好。1 9、将两种信息分别编码成0或1传送出去，由于信道存在着干扰可能导致收到的信息与发送的不一致。设0被误收为1的概率是0。2,1被误收为0的概率为0.0 1；整个传送过程中，0与1的传送次数比为7:3,试求当收到信息0时 一，原发信息也是0的概率。解：设4=“发送0”，才=“发 送1”，8=“接 收0 ，豆=“接 收1”。P(A)=0.7,P(A)=0.3,P(B A)=Q.O2,PB I A)=0.0 1P(A I B)=P(8 I A)P(A)_ _ _ _ _ _P(B I A)尸(A)+P(B I 彳)尸(彳)(1 -0.0 2)x 0.7 6 8 6(1 -0.0 2)x 0.7 +0.0 1 x 0.3 -6 8 92 0、某公司准备向市场推出一批廉价的计算机，公司营销部预估，畅销的概率是0.5,销路一般的概率是0.3,滞销的概率是0.2。现决定先行试销，以检验销路情况，营销部估计，若计算机畅销，则在试用期内卖出2 0 0台以上的概率是0.9,；若销路一般，则试销卖出2 0 0台以上的概率是0.5；若销路不佳，则试销卖出2 0 0台以上的概率仅为0.1,倘若试销结束后，实际卖出数达2 0 0台以上，试求下列事件的概率：(1)这批计算机畅销；(2)这批计算机的销售一般；（3）这批计算机的销路不佳；（4）这批计算机畅销货销路还可以。解：4=“畅销”；4=“一般；4=“滞销”;B=卖 出200台以上”。P(A)=0.5,P(A2)=0.3,尸(A,)=02P A)=0.9,P&)=S5,P A,)=0.1P(B)=PB A)P(A)+P(B I 4)P(A2)+P(B I A3)P(A3)=0.9X0.5+0.5x0.3+0.1 x 0.2=0.62(1)P(仆8)=尸 4)尸(4)=。7261 P(B)0.62(4&)P(&)=丝但=0242-P(B)0.62(3)P(4 I B)=1 -P(Ai I B)-P(A2 I B)=0.032（4）P（A U&B）=P（A IB）+P（A2 I B）=0.96821、设盒中有5个外形一样而均匀性不同的硬币，每个硬币经抛掷出现字面的概率分别为|3Pi=0，p,=z，p、=a，p4=-p,=l，试求下列事件的概率：（1）任取一个硬币抛掷出现字面；（2）任取一个硬币抛掷后出现字面，这个硬币是第i个 硬 币（i=l,2,3,4,5）；（3）若 将（2）中的这个硬币再抛掷1次，又出现字面。解：设 人=字 面”，A,=抛掷第i个硬币出现字面”。(1)P(A)=尸(A )P(与)+尸(AIB2)P(旦)+尸(41生)P(2)=0-1 +-1 x-1 +-+.l x-1 =-lr0n +-1 +-1 +-3+l=0.55 4 5 5 5 4 2 4(2)P(B JA)=尸(A 由)尸 出)=.=o1P(A)0.51 1-x-iP=5=0.12 0.5 101 1x P(6/A)=军=0.23 1 X 一P(B/A)=需=0.3P(线 IA)=,=0.4(3)C=再次出现字面”P(C)=PCI(BI I A)-P(5,I A)+PfCI(B2 I A)P(B2 I A)+-+PC I (B5 A)P(B5 I A)1 3=Ox 0+-x 0.1+-x 0.2+-xO.3+1x0.4=0.754 2 422、甲乙丙三人向同一飞机射击，设击中概率分别是0.4,0.5,0.7o 若有一人击中，则飞机被击落的概率是0.2；若有两人击中，则飞机被击落的概率是0.6；若三人全击中，则飞机定被击落，试求飞机被击落的概率。解：设劣=一人击中”；A2：“两人击中”；人 3=“三人击中”；B=飞机被击落”；G=甲射击；G=“乙射击；。3=“丙射击”。p(4)=尸(c,c2c3 U c,c2c3 U=P(C1C2C3)+P(C,C2C3)+P(c c2c3)=p(cp P(c2)p(3)+尸(c.)p(c2)P(3)+P(c.)p(c2)P(c3)=0.4 X 0.5 X 0.3+0.6 X 0.5 x 0.3+0.6 x 0.5 x 0.7=0.36P(A2)=P(C,C2C,U C,C2C3 UC,C2C3)=p(c,c2c3)+P(G3G)+P(C,C2C3)=P(C1)P(C2)P(C3)+P(C,)P(C2)P(C3)+P(C1)P(C2)P(C3)=0.4 x 0.5 x 0.3+0.4 x 0.5 x 0.7+0.6 x 0.5 x 0.7=0.41P(4)=P(ClC2C3)=0.4 x 0.5 x 0.7=0.14P(B)=P(6 I 4)P(A)+P(8 I 4)(4)+P(8&)(4)=0.2x0.36+0.6x0.41+1x0.14=0.45823、用某种仪器检验电子元件，若元件是正品，经检验定为正品的概率是0.99；若元件是次品，经检验被定为正品的概率是0.0 5,当有大批元件送检时，检验员只能从一批元件抽取样本来检验；无放回地抽取3 件，对每1 件独立地进行检验，若 3 件全验定为正品，这批元件就可以出厂。现送来元件100件，已知其中有4 件次品，求这批元件能出厂的概率。解：设4=第一次抽出的是正品”；42=第二次抽出的是正品；&=第三次抽出的是正品”；8产“第一次检验出的是正品；斗=”第二次检验出的是正品；&=“第三次检验出的是正品”;(A)9 6l o oP(4)=P(4 1 4)P(A)+P(A,I A.)P(4)9 5 9 6 9 6 4 9 6_ _ x _ _ _ _1_ _ _ x _ _ _ _ _ _-9 9 1 0 0 9 9 1 0 0 -1 0 0p(4)=p(A 3 1 A A 2)p(A H)+P(&1 A A 2)p(a 4)+P(4 1 A&)p(&4)+尸(A JA 4)P(44)9 4 9 6 9 5 9 5 4 9 6 9 5 9 6 4 9 6 4 3 9 6-9 8 1 0 0 9 9 9 8 1 0 0 9 9 9 8 1 0 0 9 9 9 8 1 0 0 9 9 1 0 0P(B)=P(B,At)P(A)+P(B I A.)P(4)=0.9 9 x 0.9 6 +0.0 5 x 0.0 4 =0.9 5 2 4P(B2)=PB2 I A2)P(A2)+P(B2 I A2)P(A2)=0.9 5 2 4P(8 3)=0.9 5 2 4P(B,B,B3)=0.9 5 2 4 3=0.8 6 39方法2：设4 =这批原件能出厂”；用=抽取3件元件中恰有i 件次品”,i =0,1,2,3.厂3 厂2z 1 厂2 3则有：4为)=注,P(4)=早 产,(当)=-,(鸟)=昔；。100。100。100。100有根据独立性，有：P(A I/)=(0.9 9)3,P(A 1 5,)=(0.9 9)2*0.0 5,P(A I B2)=(0.0 5)2*0.9 9,P(A I B3)=(0.0 5)3利用全概率公式：3p(A)=p(A I B j)P(B J=0.8 6 2 9/=0注解：两种方法有微小误差是因为在考虑无放回抽取问题时一，对于总量很大而抽取少数几件的情况，可以把每次抽取产品之间近似看成是相互独立的。2 4、有三箱同型号产品，分别装有合格产品2 0 件、1 2 件、1 7 件；不合格产品5件、4件、5件，现任意打开一箱，并从箱内任取一件进行检验。由于检验误差，每件合格品被检验误定为不合格品的概率为0.0 4,不合格品被定为合格品的概率亦为0.06。试求下列事件的概率：(1)取出的这件产品经检验为合格品；(2)被验为合格品的产品真是合格品。解：设 人=合 格 品”；B=检验为合格品”；G=抽出第一箱中的产品”；。2=抽出第二箱中的产品“；C3=抽出第三箱中的产品”。P(G)=P(C 2)=P(G)=；20 12 17P(AIG)=n，P(AC2)=-,mi c3)=23 10 22p(万IA)=0-04,P(81 彳)=0 06P(A)=P(4 IG)p(CP+P(AIC2)P(C2)+P(A IC3)P(C3)20 1 12 1 17 1 7=x d x H x =一25 3 16 3 22 3 9P(彳)二9 7?(1)P(B)=P(B IA)P(A)+P(5 1 4)P(A)=096x-+0 0 6 x-=0-769 970,96 x(2)P(A I6)=,=I A)P(A)=-=0-9824P(B)0-7625、甲乙两只袋,分别装4份,8份报名表，其中女生的报名表分别有2份，6份，现任取一袋并从中先后取出2份报名表。(1)求先取出那份是女生报名表的概率(2)已知后取出的是男生的表，求先取出那份是女生的表的概率解：设事件A=“取甲袋”；B=取得的第一份表是男生的报名表”；C=取得的第二份表是男生的报名表”。11 1根据题意,则有：P(A)=-,P(B IA)=-,P(B 1X)=42 2 4(1)利用全概率公式有：-_ _ _ 1 1 1 3 5P(B)=P(A)P(BIA)+P(A)P(BIA)=-*-+-*-=-2 2 2 4 8(2)利用贝叶斯公式有:P(C I8)尸IC)P(C B)P(B)+P(C B)P(B),而P(C I B)P(B)=P(A)P(B I A)P(C I AB)+P(A)P(B I A)P(C I AB)2 2 3P(C I B)P(B)=尸(A)P(百 I A)P(C I AB)+P(A)P(B I A)P(CI A B)=；*J_*1 2 4 7_2_ I _1+3*半 _ _ _ _ _ 举.1682 232 3 2 4 7 8423因此：P(B I C)=23 17-1-84 1684663第三章离散型随机变量1、一射手对某目标进行了三次独立射击，现将观察这些次射击是否命中作为试验，试写出此试验的样本空间；试在样本空间上定义一个函数以指示射手在这三次独立射击中命中目标的次数；设已知射手每次射击目标的命中率为，试写出命中次数的概率分布。解：设4=第i 次射中，i=l,2,3 o 则有:Q=(A ,4 3 ),(A 1,4 2 4 3 ),(A ,4 2，A 3 ),(A 1,A,A 3 ),(A ,7 2,A 3 ),(A ,A 2,A 3 ),(A ,A，2 ,A 3 ),(4 ,4 2 ,4 3)=幼，g,，你令4 代表击中目标的次数，贝 I：M=3,g(g)=g)=g(g)=2,式例)=g()=4(电)=1,式 陶=0P 化=3)=P(0|)=尸(4 4 4 3)=(0.7)3=0.3 43P(=2)=P(2 +2(啰 3)+尸(4)=3 P(A 1A 24)=3X 0.7 X 0.7X(10.7)=0441P 记=1)=P(g)+P)+尸(电)=3 P(A 14 4)=3 x 0.7 x (1 0.7)x (1 0.7)=0.18 9p4 =0)=p(g =0)=P(4 4 4 )=(1-0.7)3 =0 027所以，J的分布列为:0 1 2 3 、0.027 0.18 9 0.441 0.3 43 72、一批零件中有9个合格品、3个废品，安装机器时从这批零件中任取1 个来使用，若取得废品就不再放回而再取1 个，求在取得合格品之前已取出的废品数的概率分布。解：令右代表废品数，则4 的可能取值为：0,1,2,3%=0)父.父=3义2球一五c：2 G 12 112713 2P 化=1)P(-2)=斗.华斗=久，2 =工C；2C；,C；o12 11 10 13 20P(3)G G且备C：2 C；,C；o以3 2 1 9X X X =12 11 10 954118 8 0 0 1所以，4 的分布列为：9_ 2 1 12 13 22 354 5413 20 118 8 0；3、设 在 10个同类型的一堆产品内混有2 个废品，现从中任取3次，每 次 取 1 个，试分别就(1)取后不放回；(2)取后放回两种不同情况，求出取得废品数的概率分布。解：(1)令占代表废品数，则4的可能取值为：0,1,2p 4=o)=*，p e=i)=_ _ A，P=2)=-.Jo go Go所以，J的分布列为:(0 1 2)C 0 2/1 0LiJ-8 2 J3 3 z3C10 CIO C10/(2)令 代表废品数，则J的可能取值为：0,1,2,3所以，的分布列为:0 1 2 3、0.512 0.384 0.096 0.0084、自动生产线经调整后出次品的概率是p,若在生产过程中出现次品就立即要进行调整,试求在两次调整之间生产的合格品数的概率分布。解：令合格品数为3则Pe=0)=P 两次调整之间生产的是一件次品 =pP(=)=P 两次调整之间前次生产正品，第(+1)件是次品 =pq，其 中(=1,2,3,.；q-I-p)(0 1 2 3 n、所以，J的分布列为：2 3 其中4=1-p(p pq pq pq pq)5、甲、乙两人分别独立的对同一目标各射击1次，甲、乙击中目标的概率分别为pp,试求击中目标次数的概率分布。解：令J为击中目标的概率，则J的取值为0,1,2P C=o)=(i p j(i 必)P(4=1)=(1 一。1)。2+Pl(1 一2 2)P(=2)=p,p2所以，g的分布列为:012、(1-/7,)(1-p2)(1-|)P 2+P 1(1 P 2)P1 P2)6、已知随机变量所有的可能值是1,2,，N ,且已知P(k)=巴，k =l,2,N,N试确定a 的值；(2)试问下式的c 取何值能使&7 7 =火)=。闫，人=1,2,，为分布律。解(1)由概率的规范性，可知jvN2 P(J =k)=l,贝 i j,一=1,从而 a=l；A=1k=l N(2)由概率的规范性，可知所以 2c=1,c=027、设在某种试验中，试验成功的概率为士，以J 表示首次取得成功的试验次数序号，试写出的J 分布律，并求出J 为偶数的概率p。解：令 4 代表首次取得成功的试验次数序号，从而4的取值为1,2,3二；a&=3)=34所以，j 的分布列为:(13 0.25 0.0 5,要从该地区任意选出10人，考察带AB型的人数，试用n重贝努利试验描述之。解：由于只关心AB血型的人数，其他血型可不予区分，故在此时每个人血型只有两个可能结果：AB型或者非AB型。这样p =0.0 5是任取人，其血型为AB型的概率，而问题可说成是成功概率为p的10重贝努利试验，带AB血型的人数J B (10,0.0 5)。10、某建筑物内装有5个同类型的供水设备，设在任一时刻每个设备被使用的概率是0.2,又设各个设备是否被使用相互独立，求在同一时刻下列事件的概率：(1)恰有2个设备在使用；(2)最多有2个设备在使用；(3)至少有2个设备在使用；(4)有多数设备在使用。解：设营代表设备使用的个数，g=0,1,2,5,由题意，显然J B (5,0.2)(1)PG=2)=C；p2q 3=C j (0.2)2.(0 8)3 =0.20 4 8(2)P C 4 2)=Pe =0)+P C =l)+P C=2)=C (0.2)(0.8)5+C；(0.2)1(0.8)4+C j(0.2)2(0.8)3=0.9 4 20 8(3)PC N2)=1 尸1=0)PG=1)=1 C(0.2)(0.8)5 C；(0.2)(0.8)4=0.26 27 2(4)有多数设备在使用，即超过半数以上的设备在使用，故应取自应取3,4,5,即 2,从而 PC 2)=1 PC W 2)=1 0.9 4 20 8=0.0 5 7 9 211、设事件A在一次试验中发生的概率为0.3,当在进行多次试验时，若发生3次或更多次时，指示灯就要发出信号，求下列情况下，指示灯发出信号的概率：(1)共进行次试验；(2)共进行次试验。解：设J代表事件发生的次数，由题意4 8(,0.3)(1)因为试验只进行3次，要指示灯发出信号，则事件只能出现3次P记 3)=P房=3)=(0.3)3 (0.7)=0 0 2 7(2)因为试验进行5次，要指示灯发出信号，则事件可发生3次、4次和5次P器 2 3)=PC=3)+PC =4)+PC=5)=C；(0.3)3(o 7 +C4(0 3)4(0 7)C5(o.3)5(o 7)。=。16 3 0 812、某商店有4名售货员，据统计，每名售货员平均在一小时内用秤的时间为1 5分钟，各人何时用秤相互独立。试问：(1)该店配备几台秤较为合适？(2)若 按(1)的结果配秤，一天8小时内平均有多少时间秤不够用？解：设J代表一小时内用秤的售货员数，则5(4,34眸=。)=4泥。蚩。口P(D=C：m=0.4 2 1 93)=山口=0.2 1 0 9P(4 2)=P记=0)+P您=1)+P记=2)=0.9 4 9 2故同时用秤的人数不超过2人的概率接近0.9 5,从而可配2台秤，这样既不使秤过度闲置，也不致常因秤不够用而影响业务；(2)由题(1),每小时，2台秤的平均使用率为0.9 4 9 2,那么还有(1-0.9 4 9 2)X 1的时间内秤不够用,而在8小时内，秤不够用的时间就为(1-0.9 4 9 2)X8=0.4 0 6 4 (小时)。1 3、已知某厂产品的次品率是,，今从其大批产品中任取件1 0来检验，问其中是否必有11 0件次品？为什么？解：任取一件产品为次品的概率为工，任查十件产品的次品率是在这十件产品中次品出现1 0的 频 率，两 者 有 区 别，可 算 出 任 取 10件 产 品 其 中 1 件 是 次 品 的 概 率 为p =C1o(O.l)(O.9)9 0.3 8 7 4,可见，如果经常任抽十件检查，约有.3 8.7 4%的机会会遇到1 件次品。1 4、进 行 8次独立的射击，设每次击中目标的概率均为0.3,试问：(1)击中几次的可能性最大？并求出相应的概率；(2)求至少击中目标2次的概率。解：设 J 代表击中目标的次数，则=0,1,2,3,，8,显然J B(8,0.3)(1)(+l)p =2.7,由二项分布的定理 2,取=e (+l)p)=2 时，8(2;8,0.3)的值最大，故击中2次的可能性最大p =(0.3)2(0.7)6 =0 2 9 6 5(2)%N 2)=1 -=0)-=1)=1-C：(0.3)(0.7)8-C；(0.3)(0.7)7=0.7 4 4 71 5、某厂产品的次品率为0.0 0 5,问在它生产的1 0 0 0 件产品中：(1)只 有 1 件次品的概率；(2)至 少 有 1 件次品的概率；(3)最大可能有几件次品，概率是多少？解：设&代表产品为次品的件数，=0,1,2,，1 0 0 0,显然3(1 0 0 0,0.0 0 0 5)。显 然n很大，p很小，从而%=叩=5(1)尸 =1)=/5=0 0 3 3 75(2)(经 1)=1-尸(3)=l-P(=0)-P(=l)-P(=2)l-e-5-e-5-=0.875318、设随机变量J 服从参数为4 的泊松分布，问m 为何值时，概率P(J=2)最大。解：尸=幻=e-,，p =k-l)=eK.K-1).所 以 Pi5P 4=k-1)k(1)Ak,P(k)P 4=k-1),即=女什(2)A=k,P =k)=P(=k-l),PG=同达到最大值(3)Zk,P(&=k)P/=k_l),PC=A:)J从而，当九非整数时，m=幻，使P(J=。最大；当2 是整数时，加=4 或加同时使得PC=。最大。1 9、一产品的次品率为0.1,检验员每天抽检4次，每次随机抽查1 0 件产品进行检验，如发现次品多于1 件，就要调整设备，以J 表 示 1 天要调整设备的次数，求解：自代表1 天要调整设备的次数，4=0,1 2 3,4令代表1次抽检中抽出次品的件数，=0,1,2,，1 0,显然 8（1 0,0.1）令 A,=每 i 次抽检时，抽出次品多于1 件，从而调整设备，i=l,2,3,4P（4）=1 尸=0）尸=1）=0.2 6 4 2P（a）=l-P（4）=0.7 3 5 8则（4,尸 ）PC=0）=P（4）4 =0 2 9 3 1P4=l）=C：P（Aj）P（4）3 =0.4 2 1PG=2）=C；P（A）2 P（A）2=0.2 2 6 7=3）=C：P（A ）3 P（A）=0.0 5 4 3PC=4）=C：P（4）r=0.0