河北省保定市唐县2021-2022学年高三第二次调研数学试卷含解析.pdf

2021-2022高考数学模拟试卷注意事项：1 .答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2 .选择题必须使用2 B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5 毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3 .请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4 .保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共1 2 小题，每小题5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。l n(x ),x 1,1 ,函数x 的图象大致是()2.已知a,b是两条不同的直线，a,是两个不同的平面，且 au,aC/3=b,贝 U“a a”是“a/Z?”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件3 .已知向量与 B 的夹角为。，定 义 为 与 石 的“向量积”，且 是 一 个 向 量，它 的 长 度 麻 母=丽 卜 泊。，若“=(2,0),w-v =(l,-V 3),贝IJWX(+0|=()A.4 月 B.百C.6 D.2 石4.已知“X)为定义在R上的奇函数，若当xNO时，f(x)=2JC+x+m(用为实数)，则关于x的不等式 2 /(x-l)k0)0.010.050.0250.0100.0050.001k02.7063.8415.0246.6357.87910.828得到正确结论是（）A.有 99%以上的把握认为“学生性别与中学生追星无关”B.有 99%以上的把握认为“学生性别与中学生追星有关”C.在犯错误的概率不超过0.5%的前提下，认为“学生性别与中学生追星无关”D.在犯错误的概率不超过0.5%的前提下，认为“学生性别与中学生追星有关”2 28.过椭圆C：T +=l（a人 。）的左焦点尸的直线过。的上顶点8,且与椭圆C 相交于另一点A,点 A 在）轴上的射影为4,若F高O=3。是坐标原点，则椭圆。的离心率为（）A百2uV3Jt).-3IC.一2D.旦22 99.已知耳，乃是双曲线，-5=1（0力0）的左右焦点，过 耳 的 直 线 与 双 曲 线 的 两 支 分 别 交 于 两 点（4 在右支，B 在左支）若6 为等边三角形，则双曲线的离心率为（）6B.7 5C.V 6D.#j1 0 .已 知集合知=刈lx 5,N =x|x|2,则MQN=()A.x|-l x 2 B.x|-2 x 5 C.x|-l x 5 D.X|0 X21 1 .数学中的数形结合，也可以组成世间万物的绚丽画面.一些优美的曲线是数学形象美、对称美、和谐美的结合产物,曲线C:(/+/)3=1 6x2y2恰好是四叶玫瑰线.给出下列结论：曲线C经过5个整点(即横、纵坐标均为整数的点)；曲线C上任意一点到坐标原点。的距离都不超过2；曲线C围成区域的面积大于4万；方程。2 +丁2)3 =1 6/9(*/3 +rs i n 仇（。为参数，r 0）,曲线。2：x =5+g,2y =g +；r,（，为参数）.若曲线G 和 C 2 相切.（D 在以。为极点，x轴非负半轴为极轴的极坐标系中，求曲线q 的普通方程；T T（2）若点M,N 为曲线G 上两动点，且满足NMON=,求 AMQV面积的最大值.1 8.（1 2 分）如图，在四棱锥P-AB CD中，底面AB CD为矩形，侧面底面A 8 C Z）,为棱AB 的中点，E为棱。C上任意一 点，且不与。点、C点重合.AB-2,AD-PA-1,PH V 2 （1）求证：平面A P （_ L.平面A5 CD；（2）是否存在点E使得平面APE与 平 面 所 成 的 角 的 余 弦 值 为 75?若存在，求出点E的位置；若不存在，请3说明理由.1 9.（1 2 分）第 7届世界军人运动会于2 0 1 9 年 1 0 月 1 8 日至2 7 日在湖北武汉举行，赛 期 1 0 天，共设置射击、游泳、田径、篮球等2 7 个大项，3 2 9 个小项.共有来自1 0 0 多个国家的近万名现役军人同台竞技.前期为迎接军运会顺利召开,武汉市很多单位和部门都开展了丰富多彩的宣传和教育活动，努力让大家更多的了解军运会的相关知识，并倡议大家做文明公民.武汉市体育局为了解广大民众对军运会知识的知晓情况，在全市开展了网上问卷调查，民众参与度极高，现从大批参与者中随机抽取2 0 0 名幸运参与者，他们得分（满 分 1 0 0 分）数据，统计结果如下：（1）若此次问卷调查得分整体服从正态分布，用样本来估计总体，设，b分别为这2 0 0 人得分的平均值和标准差组别 3 0,4 0)4 0,50)50,60)60,7 0)7 0,8 0)8 0,9 0)9 0,1 0 0)频数53 04 0504 52 01 0（同一组数据用该区间中点值作为代表），求，b的 值（，b的值四舍五入取整数），并计算P（5 1X X)0.68 2 7；P(-2 6 V x +2 土0.9 5 4 5 ；P(-3 5 X +3 3)0.9 9 73.)2 0.(1 2分)如 图，点C是以A 8为直径的圆。上异于A、B的一点，直角梯形3 C D E所在平面与圆。所在平面垂直，且 DE/BC,DC LBC,DE=-BC=2,AC=CD=3.2D(1)证明：EO/平面4C O；(2)求点E到平面板 的距离.2 1.(1 2分)如 图1,在边长为4的正方形A B C D中，E是 的 中 点，尸是8的中点，现将三角形。所 沿E F翻折成如图2所示的五棱锥P -ABCFE.(1)求证：A C 平面P F；(2)若平面PE E L平面A B C F E,求直线P B与平面Q 4 E所成角的正弦值.2 2.(1 0 分)已 知/(X)=丁+以2R(D若b =l ,且函数f(x)在区间-1,3)上单调递增，求实数。的范围;(2)若函数f(x)有两个极值点占,必，l 时，/(x)=l n(x-),x由 y =-,y =x在递增，x所以r=x ,在(1,+8)递增X又 y =hU 是增函数，所以/(x)=l n(x：)在(1,m)递增，故排除B、C当x W l 时/()=滑 皿，若 x e(O,l),则 公 0,%)所以/=C O S G在(0,1)递减，而)；=一是增函数所以 x)=e c 皿 在(0,1)递减，所以A 正确，D 错误故选：A【点睛】本题考查具体函数的大致图象的判断，关键在于对复合函数单调性的理解，记住常用的结论：增+增=增，增-减=增,减+减=减，复合函数单调性同增异减，属中档题.2.C【解析】根据线面平行的性质定理和判定定理判断alia与 a 的关系即可得到答案.【详解】若a a,根据线面平行的性质定理，可得“/；若a b,根据线面平行的判定定理，可得。a.故选：C.【点睛】本题主要考查了线面平行的性质定理和判定定理，属于基础题.3.D【解析】先 根 据 向 量 坐 标 运 算 求 出 和c o s 6 G +D，进而求出s i n(G,G +D，代入题中给的定义即可求解.【详解】由题意 u =(v)=(1,G),贝!|+v =(3,百)，c o s u,w +=|w x (+u)卜|J +v|s i n u+0=2 x 2 0；=2 6,故选:D.【点睛】得s i n(“,G +u)=；,由定义知此题考查向量的坐标运算，引入新定义，属于简单题目.4.A【解析】先根据奇函数求出m的值，然后结合单调性求解不等式.【详解】据题意，得/(0)=1 +m=0,得加=1,所以当无之0时，/(x)=2 +x 7.分析知，函数/(X)在R上为增函数.又/。)=2,所以/(-1)=-2.又-2 /(x-l)2,所以l x 1 1,所以 0 x A N A G ,故当点P运动到M点处，三角形周长最小，故此时M的坐标为,所以斜1-0 _ 4率为 厂=-3,故选A.-14【点睛】本道题考查了抛物线的基本性质，难度中等.7.B【解析】通 过 片。7.218与表中的数据6.635的比较，可以得出正确的选项.【详解】解:六。7.218 6.635,可得有99%以上的把握认为“学生性别与中学生追星有关”，故选B.【点睛】本题考查了独立性检验的应用问题，属于基础题.8.D【解析】I FO 3 U U U U U U求得点8的坐标，由上T =:，得出8尸=3 E 4,利用向量的坐标运算得出点A的坐标，代入椭圆C的方程，可得AA 4出关于。、匕、。的齐次等式，进而可求得椭圆。的离心率.【详解】由题意可得3（0,。）、F（-c,0）.M=3|A4 4 得 画 一 则B局F 3ULU UU1I即 BF=3FA-而 BF=(-c,-b),所以 E A=_ 1，_ ,所以点(4 b因为点A 一整理可得3.g=,所以e 2=：=j l,所以e =92.9/9a2 2 2即椭圆C的离心率为之2故选：D.【点睛】本题考查椭圆离心率的求解，解答的关键就是要得出、c的齐次等式，充分利用点A在椭圆上这一条件，围绕求点A的坐标来求解，考查计算能力，属于中等题.9.D【解析】根据双曲线的定义可得A48外的边长为4a,然后在A46F 2中应用余弦定理得a,c的等式，从而求得离心率.【详解】由题意|明 1 T M i =2 a,忸阊一怛周=2,yiAF2=BF2=AB,.|七|一忸制=|他|=4,二 忸 周=24,在 A 4 6 K 中|百鸟=|Af；+|A E-2|AG|AK|c o s 60。，即 4c 2 =(6a)2+(4a)2-2x 6a x 4a x-28a2，2故选：D.【点睛】本题考查求双曲线的离心率，解题关键是应用双曲线的定义把A到两焦点距离用。表示，然后用余弦定理建立关系式.10.A【解析】考虑既属于M又属于N的集合，即得.【详 解】:N=x|-2 c x 2,Af c N=x|-1 W x 2.故选：A【点 睛】本题考查集合的交运算，属于基础题.11.B【解 析】利用基本不等式得f+VK 可 判 断 ；x 2+y 2=4和（x 2+y 2）3=6x 2y 2联 立 解 得x 2=y 2=2可判断；由图可判断.【详 解】/2 2、2+y）=16X2/2=2时取等号），则正确；将/+,2=4 和（J +,2 丫 =6d 歹 联 立，解得 f=y 2=2,即 圆f+y 2 =4与 曲 线c相 切 于 点（后,夜），（-72,72）,卜 夜,-&）,（V 2,-V 2）,则和都错误；由 町 则 AAPB-2。，sin 0 ：广,0 30,XAPB=10=60.PC 2 夜 2本题考查直线与圆的位置关系，考查直线的对称性，解题关键是由圆的两条切线关于直线x+y=0对称，得出PC与直线x+y=0垂直，从而得|PC|就是圆心到直线的距离，这样在直角三角形中可求得角.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。2,=113.ci 4n-3,n 2【解析】由题意，根据数列的通项。“与前n项和S“之间的关系，即可求得数列的通项公式.【详解】由题意，可知当=1时，4=5=2；当2 2时，an-Sn S_!=2/一”一2（”一1）+“一1 =4”一3.2,n=1又因为4=1不满足勺=4-3,所以4 =4/?-3,n 2【点睛】本题主要考查了利用数列的通项明 与前n项和Sn之间的关系求解数列的通项公式，其中解答中熟记数列的通项a与前n项和S“之间的关系，合理准确推导是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.14.1【解析】按照个位上的9元的支付情况分类，三个数位上的钱数分步计算，相加即可.【详解】9元的支付有两种情况，5+2+2或者5+2+1 +1,当9元采用5+2+2方式支付时，200元的支付方式为2 x 1 0 0,或者1x100+2x50或者1x100+1x50+2 x 20+10共3种方式，10元的支付只能用1张10元，此时共有lx 3 x l=3种支付方式；当9元采用5+2+1 +1方式支付时：200元的支付方式为2 x 1 0 0,或者1x100+2x50或者1x100+1x50+2 x 20+10共3种方式，10元的支付只能用1张10元，此时共有lx 3 x l=3种支付方式；所以总的支付方式共有3+3=6种.故答案为：1.【点睛】本题考查了分类加法计数原理和分步乘法计数原理，属于中档题.做题时注意分类做到不重不漏，分步做到步骤完整.15.127【解析】/、2已 知 条 件 化 简 可 化 为-q+&,=2片,等式两边同时除以堤，则 有4见 一 2=0,通过求解方程可解得I 4 )%册=2，即证得数列 q 为等比数列，根据已知即可解得所求.【详解】2/2 2,Y +1 八由 4,+1=-=an+i-all+ian=2a；=-2=0.故答案为：127.【点睛】本题考查通过递推公式证明数列为等比数列，考查了等比的求和公式，考查学生分析问题的能力，难度较易.16.-4【解析】利用等差数列的通项公式以及等比中项的性质，化简求出公差与电的关系，然后转化求解出的值.【详解】设等差数列 凡 的公差为d,则d 0,由于%、4、%依次成等比数列，贝4壮=生42,BP(a2+4t/)2=a2(a2+10J),2+10 Q,解得%=8”,因此，=-=T7 =7.a2 a2 aa 49故答案为：4【点睛】本题考查等差数列通项公式以及等比中项的应用，考查计算能力，属于基础题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(1)(xfR y-可=4；(2)3 G【解析】(1)消去参数。，将圆C的参数方程，转化为普通方程，再由圆心到直线的距离等于半径，可求得圆的普通方程，最后利用X =p c o s 3,y=p s i n夕求得圆C的极坐标方程.(2)利用圆的参数方程以及辅助角公式，由此求得A M O N的面积的表达式，再由三角函数最值的求法，求得三角形面积的最大值.【详解】(1)由题意得G：+=/，Q：x-V 3y-2=0因为曲线G和C?相切，所以r一；/=2,即G：(x-l)2+(y J J=4；兀 设M 4s i n|。+2)夕)，7V 4c o s0,0+3所以S&u o w =3即。0呜=?义16x s i n。+工 c o s e =2G s i n(28+0)+GI 6)所以当26+9=时，AMON面积最大值为3指【点睛】本小题主要考查参数方程转化为普通方程，考查直角坐标方程转化为极坐标方程，考查利用参数的方法求三角形面积的最值，属于中档题.18.（1）证明见解析（2）存在，E为。中点【解析】（1）证明A尸_L面A 6CD,即证明平面APE_L平面A8C。；（2）以A为坐标原点，而 为x轴正方向，通 为）轴八|町事|1+2川 屈 1正方向，/为z轴正方向，建立空间直角坐标系.利用向量方法得cos 6=$4=，/J=+,解得/=帆卜同 5g2+1 3 2所以E为。C中点.【详解】（1）由于，为 中点，A H=-A B =.2又 PH=6，故=Ap2+A/2,所以.PAH为直角三角形且Z PAH=90,即 Q4_LAB.又因为QAu面 丛6,面 弘8面ABC）=A B,面243J_面ABCD,故 AP_L 面 ABCD,又B 4 u面B4E，所以面PAEL面A3CD.（2）由（1）知人?上面4 3 c 0,又四边形ABC。为矩形，则AP，A D,4 9两两垂直.以A为坐标原点，而 为x轴正方向，而 为）轴正方向，而为二轴正方向，建立空间直角坐标系.则A（0,0,0）,P（0,0,l）,H（0,0）,C（l,2,0）,设（1,2九0）,/Le（O.l）,则 丽=（0,0,1）,醺=（1,2几 0）,7 =（0,1,-1）,77C=（1,1,0）,设平面APE的法向量为机=（x，y，z）,.AP-0 z=0,则有（一 =c,c，令x=-2 4,贝Uy=l,m-A E O x+22y=0则平面APE的一个法向量为m=（一241,0）,同理可得平面PHC的一个法向量为1=（-1,1,1）,设平面A P E与平面PHC所成角为e,c 叫“1 +2 2 V 6 I则由题意可得co se=T=曰一=解得2 =阿 同6小 乃+1 3 2所以点E 为。C 中点.【点睛】本题主要考查空间几何位置关系的证明，考查空间二面角的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.1 9.(1)=6 5,c r 1 4,P =0.8 1 8 6；(2)详见解析.【解析】(1)根据频率分布表计算出平均数，进而计算方差，从而XN(65,1 4 2),计算尸(51V X V 93)即可；(2)列出丫所有可能的取值，分布求出每个取值对应的概率，列出分布列，计算期望，进而可得需要的总金额.【详解】解：(1)由已知频数表得:、5 3 0 U U 4 0 5 0 r u 4 5 -2 0 “1 0 公E(X)=3 5 x-F 4 5 x-F 5 5 x-1-6 5 x-F 7 5 x-1-8 5 x-F 9 5 x-=6 5 ,2 0 0 2 0 0 2 0 0 2 0 0 2 0 0 2 0 0 2 0 0Z)(X)=(3 5 6 5)2 X 0.0 2 5 +(4 5-6 5)2 x 0.1 5 +(5 5-6 5)2 x 0.2 +(6 5-6 5)2x 0.2 5 +(7 5-6 5)2 x 0.2 2 5+(8 5-6 5)2 x 0.1 +(9 5-6 5)2 x 0.0 5 =2 1 0,由 1 9 6 b?2 2 5,贝U 1 4 c r 2 1 0,所以b二1 4,则 X 服从正态分布N(6 5,1 4),所以P(5 1 X 9 3)=P(一b X +2 b)=一 2 c r X +2(T)+P(R a X /+c r)20.9 5 4 5 +0.6 8 2 7 ,、。，。/-O.o l o o ；2(2)显然，P(X /)=0.5 ,所以所有y 的取值为15,30,45,60,p(y =1 5)=l x-=l,2 3 31 I 1 2 2 7P(y =3 0)=-x-+-x-x-=,2 3 2 3 3 1 81 2 1 112 2p(y =4 5)=-x-x-+-x-x-=-,2 3 3 2 3 3 9p（y =6 0）=-x-x-=,2 3 3 1 8所以丫的分布列为：Y15304560P371 82911 817 2 1所以 E（Y）=1 5 x-+3 0 x +4 5 x-+6 0 x =3 0,3 1 8 9 1 8需要的总金额为：2 0 0 x 3 0 =6 0 0 0.【点睛】本题考查了利用频率分布表计算平均数，方差，考查了正态分布，考查了离散型随机变量的概率分布列和数学期望,主要考查数据分析能力和计算能力，属于中档题.2 0.（1）见解析；（2）史 曳41【解析】（D取8 C的 中 点 证 明0 A 7 4?,9/。,则平面0 M 平面48,则可证。/平面A C D.（2）利用 VE_ABD=VA_KBI）,A C是平面 B E D的高，容易求.S BDE=；O E x=g x 2 x 3 =3 ,再求 SABD,则点 E到平面4始的距离可求.【详解】解：（1）如图:取 的 中 点M,连接。“、M E.在AABC中，。是 的 中 点，是8 c的中点,O M /AC,ACcz 平面 E M O,M O u 平面 E M O，故 A C /平面 E M O在直角梯形8 C D E中，D E/C B,且。=C M,四 边 形 是 平 行 四 边 形，.W C D,同理 C D 平面又 C D c A C=C,故平面E M O 平面A C。，又.E O u平面E M。,，E O平面A C O.(2)Q A B是圆。的直径，点C是圆。上异于A、B的一点，:.A C B C又；平面B C D E_ 1 _平面A B C,平面B C D Ec平面A B C =B C.AC _L 平面 B C D E,可得A C是三棱锥A-B D E的高线.在直角梯形B C D E 中,S BDE=|D E x C D=1 x 2 x 3 =3.设E到 平 面 的 距 离 为 ，则匕一0=匕 一 砧。，即由已知得A B =5,BD=5,A D =3叵,由余弦定理易知：COSNA8O=,则 AB 8。s i n N AB。=孑 叵2 5 AABD 2 2解得h=应，即点E到 平 面 河 的 距 离 为巫4 141故答案为：巫.41【点睛】考查线面平行的判定和利用等体积法求距离的方法，是中档题.2 1.(1)证明见解析；(2)2叵.1 5【解析】(1)利用线面平行的定义证明即可(2)取 厂的中点。，并分别连接O P,0 B,然后，证明相应的线面垂直关系，分别以O E,O B,0 P为 了轴，轴，z轴建立空间直角坐标系，利用坐标运算进行求解即可【详解】证明：(1)在 图1中，连接AC.又 E,尸分别为AQ,CO中点，所以E E|AC.即图2中有EF AC.又EF u平面PEF，ACZ平面PF，所以AC 平面PEE.解：(2)在 图2中，取EE的中点0,并分别连接OP,OB.分析知，OP工EF,OBLEF.又平面PEF工平面ABCFE,平面PEFA平面4BCFE=F,P O u平面P E F,所以POL平面ABCEE.f y/2x+ly=0/2x+2z=0又 AB=4,所以 PF=AE=PE=2,EO=OP=OF=垃,OB=30分别以OE,0 8,OP为x轴，)轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则0(0,0,0),P(0,0,V2),5(0,3,0),E(V2,0,0),A(2应,0,0),所 以 丽=(0,-3 0,码，丽=(0,0,0),每=1-0 0叫.设平面Q4的一个法向量 =(x,y,z),贝!取x=l,则y=-l,z=l,所以又-=|cos,_ _ 0 xl+(-3/2)x(-l)+x l r-所以 cos BP,n=/丁/=2x25 2 +卜3亚 j +(亚 j x712+(-l)2+l2 15分析知，直线PB与平面A4E所成角的正弦值为独0.15【点睛】本题考查线面平行的证明以及利用空间向量求解线面角问题，属于基础题22.(1)-a 73(2)函 数g(x)有 两 个 零 点%和 天【解析】试题分析：(1)求导后根据函数在区间单调递增，导函数大于或等于0(2)先判断后为一个零点，然后再求导，根据玉+2%=3，化简求得另一个零点。解析：(1)当匕=1 时，r(x)=3 f+2 or +l,因为函数/(x)在 上 单 调 递 增，所以当时，/(x)=3 x 2+%x+l Z 0 恒成立.来源:学&科&网 Z&X&X&K 函数/”(耳=3%2+2 公+1 的对称轴为-3 时，/(1)2 0,3即3 2。+1 2 0,解之得GW,解集为空集；(2)1 9 即_3Q 0 ,解之得 C L ,所以 4QV4 4 4 2综上所述，当 豪 心 有 函数”X)在 区 间 上 单 调 递 增.(2);/(x)有两个极值点内,，公/是方程/(%)=3 炉+2 办+。=0 的两个根，且函数“X)在区间(3,与)和仁,口)上单调递增，在(%,9)上单调递减.；g(x)=/(%)函数g(x)也是在区间(f，X)和(马，位)上单调递增，在(3,9)上单调递减:g(毛)=/(/)-/(毛)=0，二。是函数g(x)的一个零点.由题意知：g(x2)=/(%)-/(Xo).,玉+2%=3，,2%_ 2 工 2=%2_毛0，,/工 2工/(%2)/(%0)，,g(马)=/(动 _/(毛)0 又g(X)=/(X)-/(Xo)=（匚/一口 o）（3 匚;+2匚匚/+2+9二：+6匚口；+3 匚）V%,当是方程/（%）=3/+2or+。=0的两个根，/.3x；+2oX1+h=0,32+2ax2+b=0,.,（力）=石）一了（飞）=0.函数g（x）图像连续，且在区间（7,不）上单调递增，在（玉,9）上单调递减，在（%,用）上单调递增.,.当x e（-co,xj时，g（x）0,当x e（X 1,X o）时g（x）0,当x e（马,+）时g（x）0,:.函数g（x）有两个零点*和X。.