2015高考数学一轮复习第六章不等关系与不等式训练理新人教a版.pdf

【创新设计】2014高考数学一轮复习第六章不等关系与不等式训练理新人教A版(第一节不等关系与不等式 备考方向要明了【链 锻 脑 淅 隧 旖 痴 旭考 什 么怎 么 考1.了解现实世界和日常生活本节内容在高考中多与其他知识进行综合命题，一般是以选择中的不等关系.题或填空题的形式出现：2.了解不等式(组)的实际背(1)依据不等式的性质，判断不等式或有关结论是否成立；景.3.掌握不等式的性质及应用.(2)利用不等式的性质进行大小关系的比较.(3)不等式的性质在不等式的证明或求解中的应用.Z H U G A N Z H I S 回潺窟的郎帽图 归 纳 知识整合1.比较两个实数大小的法则设 a,b C R,贝ij(1)a bOa-b 0；a=b o aZ)=0；a g a 6bKao传递性ab,bc=aco可加性a今可乘性ab（今 a。b ec 0 C 的符号a6 ac b cc 6 =c i+c b+dc a同向同正可乘性ab 0 ac b dc dQ=可乘方性a 6 0 0/6 （N,2 2）向正可开方性a 6 0 0缶）（仁 N,启 2）探究 1.同向不等式相加与相乘的条件是否一致？提示：不一致.同向不等式相加，对两边字母无条件限制，而同向不等式相乘必须两边字母为正，否则不一定成立.2.（1）成立吗？a b（2）a Z a a 8 （w N,且 1）对吗？提示：（1）不成立，当 a,6同号时成立，异号时不成立.（2）不对，若为奇数，成立，若 为偶数，则不一定成立.自测 牛刀小试1 .（教材习题改编）给出下列命题：ab ac b c；（）a|b =a2 62；ab*d6；6 a 2 Z A 其中正确的命题是（）A.B.C.（3）D.解析：选 B 当 c=0 时，不成立；当|a|=l,6=-2时，不成立.2.如果a G R,且 3+水0,那 么 a,a,-a,-a?的大小关系是（）A.a aay a B.-a z?2 _a2 aC.-a a-a a D.a 2 a a a2解析：选 B V a2+a 0,.*.-l a 6,c d,且 c,d 不为0,那么下列不等式成立的是（）A.adb cB.ac b dC.a c）b-d D.a+c6+d解析：选 D由不等式的性质知，ab,c da+c b+d.4.(教材习题改编)已知a0,c d0,则 的大小关系为答案:解析：V c d0,：.XVaA0,.15.已知12K60,15_F 3 6,则 x-y 的取值范围是.解析：V15y36,-36-15.XV12K60/.1236x八 6015,即一24x/300.-方 法 规 例-实际应用中不等关系与数学语言间的关系将实际问题中的不等关系写成相应的不等式(组)时,应注意关键性的文字语言与对应数学符号之间的正确转换，常见的文字语言及其转换关系如下表:文字语言大于，高于，超过小于，低于，少于大于等于，至少，不低于小于等于，至多，不超过符号语言Wi m：训练1.某厂拟生产甲、乙两种适销产品，甲、乙产品都需要在4 8两种设备上加工，在每台 4 8设备上加工一件甲产品所需工时分别为1 小时和2小时，加工件乙产品所需工时分别为2小时和1 小时，A,6两种设备每月有效使用分时数分别为4 0 0 和 5 0 0.写出满足上述所有不等关系的不等式.解：设甲、乙两种产品的产量分别为x,y,f%+2 j 4 0 0,则由题意可知NC.M=N D.不确定(2)甲、乙两人同时从寝室到教室，甲-半路程步行，一半路程跑步，乙一半时间步行,一半时间跑步，如果两人步行速度、跑步速度均相同，则()A.甲先到教室 B.乙先到教室C.两人同时到教室 D.谁先到教室不确定 自主解答(1)-/V=a 一(功+色1)3 0.2 5 1 32+1=5 1(5 2 1)(饱-1)=(3 1-1)(色1),又&(0,1),a2e(0,1),1 0,4 1 0,即 N)0.:M)N.s设甲用时间为T,乙用时间为2 力步行速度为a,跑步速度为b,距离为s,则 7=2b 2a 2b 2abs:=力 a+t Z?-21 s a+b 2 sa+b 4ab s a-b2ab a+6 ,义 2ab a+b 2ab a+b-0,即乙先到教室.答案(D B (2)B若将本例(1)中“a,a 2 G (0,1)”改为32G (本+)w,试比较 与 的大小.解：M-N=a a2(a i +l)=(&-1)(色一1),.当 a”a 2 G (1,+8)时，3|1 0,a j-1 0./.(c?i-1),(3 2-1)0.即版A：-方法规律J-比较大小的常用方法(1)作差法般步骤是：作差；变形；定号；结论.其中关键是变形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式.当两个式子都为正数时，有时也可以先平方再作差.2 作商法一般步骤是：作商；变形；判断商与1 的大小；结论 注意所比较的两个数的3 特值法若是选择题、填空题可以用特值法比较大小；若是解答题，可以用特值法探究思路.|A U H 练2.比 较下列各组中两个代数式的大小：(1)3/一 x+1 与 2x-x1 ；(2)当於0,力0 且 a W b 时,片片与密应解：,.3/一x+1 2/x+l=f 2X+2=(-1)2+1 0,.3/一x+l 2 f+x-1.瑞=f l=/,当 a 。，即 a 6 0,时，(力-1,；.a 6*a%.当水6,即 a 一伏0,*1 时，(力-1,：.占6：.当 a 0,b 0 且 a#6 时，a t)a b.不等式性质的简单应用 例 3 (1)(2 0 12 湖南高考)设a b l,c 0,给出下列三个结论:冷 a l o g”(6 c).其 中 所 有 的 正 确 结 论 的 序 号 是()A.B.C.D.c d(2)J知三个不等式：ab 0,b c ad0,-7 0(其 中&b,c,d 均为实数)，用其中两a b个不等式作为条件，余下的一个不等式作为结论组成个命题，可组成的正确命题的个数是()A.0C.2B.1D.3 自主解答(1)a 力1*0ab1 1=a -A -ab ab0所以正确;ab c 0 ,所以正确;ab l=“0aeb c、；=l o g a(a c)l o g a(b c),alab l=ac l=1 o g z.(a c)1 o g.,ac),c l o g (力 一c).所以正确.(2)由 ab0,bcad0,即 bcad,得 *即-3 0；a b a b由 ab0,0,即得 bdad,即 bead0；由 bc-adQ,b c-a d B|J 0,得 0；ab故可组成3个正确的命题.答案(l)D(2)D-方 法 规律-与不等式有关的命题的真假判断在判断个关于不等式的命题真假时，先把要判断的命题和不等式性质联系起来考虑,找到与命题相近的性质，并应用性质判断命题真假，当然判断的同时还要用到其他知识，比如对数函数、指数函数的性质等.II颐t U H练a b3.(2013 包头模拟)若於06a 则下列命题：(Dadbc、(2):+-b-d；(4)a(d 0b(d c)中能成立的个数是()A.1B.2C.3 D.4解析：选 C：G0b,c0b-af：.a-b0.V co d0.a(c)(一 A)(一中.A ac+bd-d.V ab,a-(-c)b+(-d),即a-cb d.(3)正确.V abf d-c 0,:.a(dab(d0.(4)正确.通 法 归纳领悟1个区别不等式与不等关系的区别不等关系强调的是关系，可用符号“”，“片”，”，“W”表示，而不等式则是表示两者的不等关系，可 用“小b”,“ab”,b”,“a e b”,“a W b”等式子表示，就像相等关系可以用等式体现一样，不等关系可以用不等式体现.2条常用性质不等式取倒数的性质(1)倒数性质：ab,a 0 专 a 0 L：)a ba babO,0 一c a(4)0 a%Z?或 水x 6 0,曲 0,则真分数的性质：之”;3 33必 0);a a-rrn a a m假分数的性质：a a+川 a a mf、7 7 3-；百 (b-n i0).b b+m b b m3 个注意点应用不等式的性质应注意的问题(1)在应用传递性时，如果两个不等式中有一个带等号而另一个不带等号，那么等号是传递不过去的.如a S b,伙c=水c.(2)在乘法法则中，要特别注意“乘 数 c 的符号”，例如当c#0 时，有a a d b c 2；若 无 c W O 这个条件，就是错误结论(当c=0 时，取“=”).(3)“a 6 0 今a Z/(G N*,n l)成立的条件是“为大于1 的自然数，a 8 0 ，假如去 掉“为大于1 的自然数”这个条件，取=-1,a=3,6=2,那么就会出现“3 2-”的错误结论；假如去掉“0”这个条件，取 a=3,6=4,=2,那么就会出现“3 5(一4)2”的错误结论.巧璃度D解得物网碍提阐他阑通自国塘优易误警示解题时忽视不等式的隐含条件而致误 典例(2 0 1 3 盐城模拟)已知一1 心十伏3；2 a 一伙4,则 2 a+3 6 的取值范围为一 解析 设 2 a+36=x(a+。)+y(a 6),52f_ 1 2,则x+y=2,x-p=3,解得4x=y=5 5 15 i又/2(己+6 学 2 -5(a-6)-1，9 5/,、I,、1 3工-5 5(a+b)-Q(a-b)q,a 1 3即一 2 a+3从学 答案 V y)易误辨析1 .本题易忽视题目中字母a,6 相互制约的条件，片面地将a,。分割开来考虑，导致字母的范围发生变化，从而造成解题的错误.2 .当利用不等式的性质和运算法则求某些代数式取值范围的问题时，若题目中出现的两个变量是相互制约的，不能分割开来，则应建立待求整体与已知变量之间的关系，然后根据不等式的性质求待求整体的范围，以免扩大范围.变式训练已知函数f x)=a +b x,且 1 Wf(1)W 2,2/(1)=为豕禺6 3 次层超鹰地 蕾该-、选择题(本大题共6小题，每小题5 分，共 3 0 分)1.已知 a,b,c,d 为实数，且 c 4 则“a 6 是 a b c f 的()A.充分不必要条件C.充要条件B.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件ac 8 d解析：选B由 彳 =a Z?；而当d=c=2,c dab6=d=l时，满 足 彳 ，但d-c 6 d不成立,c y d所 以“G b”是（a-c b df f的必要不充分条件.2.（20 13 朔州模拟）已知水0,1at）alj B.aC.ab aal）D.a垃a）a解析：选D由一 1伙0,可得从 a.3 .设9 尸官 0,方，那么2。一|的取值范围是（）.Ji 冗 解 析:选D L 小，内手干.一/-产。.4 .（20 13 南平模拟）如果a,b,c满 足KA a,且a c ac B.c（b a）0C.D.ac（a-c）0解析：选C由题意知c 0,则A 一定正确；B 一定正确；D 一定正确；当b=0时C不正确.5.设a,6为正实数，贝I J a 0,力0,ab,：.-A由不等式的性质a 一:a b a b/.由水。可得出a b；.a b当 a)时，可得(a6)7)O,a b a b j即(。-6)(1+习 0.又 於 0,b O,:a-b 0.ab.故由 a A7 nJ f#Hl 水 6.y水1-66-1Yaa-是成乂的充要条件.6.已知OVaV：,且则用N的大小关系是()A.4 N B.M NC.M=N D.不能确定解析：选 A V O 5 0,1+60,l-ab 0.-a,1-b 2 2abM-rr+TT7=r v VT J 0.1 +H 1 +b 1 +a 1 +Z?二、填空题(本大题共3 小题，每小题5 分，共 15分)7.如图所示的两种广告牌，其中图(1)是由两个等腰直角三角形构成的，图(2)是一个矩形，则这两个广告牌面积的大小关系可用含字母多 从a#6)的 不 等 式 表 示 为.图(1)图(2)解析：图(1)所示广告牌的面积为支,+4)，图(2)所示广告牌的面积为a b,显然不等式表示为/酬+玲为方羊粉.答 案:；(3+4)ab(a于6)8.若 xyzl,则y x y9 y yz,从大到小依次为_.解析：因为xyzl,所以有xyxz,x zy z,x y zx y,于是有y/x/小 巧 5 0),若水，且加+=-1,则广(4 与/()的大小关系为.解析：f(n i)f(ri)=am+2am an 2an=an tri)+2a(m r i)=a(加 一)(/?+2)=a(/n n)(a+1).V a 0,.a(a+l)0.又 成，故 a(加 一)(a+l)O./.f(/n)0,.当王1 时，(%1)(y+i)o,即 。一x+i；当 x=l 时，(x 1)(V+1)=0,即 x+1；当王1 时，(1)(y+i)0.a-b b c c a证明：:G杨c,.c b.a c a b 0.1、1a-?-a b c-a0.又 bc 0,a-b b-c c-a 12.已知 F(x)=a V。且一4 W F(1)W 1,1W F(2)W 5,求 f(3)的取值范围.解：由题意，得f lr 2-/1 ,解得，lC=-43 r 1+1V 25 8所以 A3)=9 a-c=-r A l)+(2).o o因为一4 W F(1)W 1,所以 号 w 1f(i)w#因为一l W f(2)W 5,所以一5 W笔两式相加,得一 1W/1W 2 0,故/(3)的取值范围是-1,20 .教师备选题 供我獐备律也用1邛艮速4 0 k m/h 的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度 不超过4 0 k m/h,写成不等式就是（）A.K 4 0 k m/h B.r 4 0 k m/hC.岸 4 0 k m/h D.卜 b?的（）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件解析：选 B a b。/a（f y b c,因为当/=0 时，ac=b c 反之，ac b c ab.3 .若工 0,则下列结论不正确的是（）a b -A.3 炉 B.SC.a+b|a+b 解析：选 D V aA/.a 0A=04 V o二次函数尸af+以+。g 0)的图象1/x O x i xX一元二次方程af+6x+c=0 (a0)的根有两相异实根E，X 2(1 V/2)有两相等实根汨=生_ b _=2a没有实数根ax +b x+c 0 (a0)的解集 x 必Xi 或.b.削学一江Rax+b x+c 0)的解集 x|X i V x V 用 00 探究 1.ax+b x-c Q,d*+bx+c 0，提不：ax +b x-c 0 对一切x R 都成立的条件为 4 0.9(水0，ax +b x+c 0对一切 x R 都成立的条件为M 0的解集，你认为如何求不等式 0,一X-b x-b x-b20及 宁 w o的解集？x-b提示：高 o(x a)(x 8)0；x-bx-ax 6 W 0；x b 2 0,x-ax-bx ax-b手 0.x b W O,2 0。0分 自测 牛刀小试1.(教 材 习 题 改 编)已 知 集 合 1 6 0,贝)A.x -4 X1 B.x|-4 K 3C.x|4 X1 或 3 x 4解析：选 C 山1 6 0,得一4 水4,D.x|K K 4故 =一4 0,得 x 3 或,故 B=x x 3 或 K I .故 A C 8=x -4 1 或 3 K 4.2.不等式WO的解集为（）x 1A.削水1 或 x23C.X|1 A 3B.x|lxW 3D.X 1 JK 3解析：选 C 山x3x1W O,得x3x 1 W O,x1 W O,解之得1 O 的解集为“-l 0.水一3一2，或 z z z 3+2/2.答案：（8,32啦）U（3+2小，+）5.不等式f+ax+O的解集不是空集，则实数a的取值范围是_解析：不 等 式/+切+4 0,即，1 6.；.a 4 或 水一4.答案：（-8,4）U（4,+）例 1 求下列不等式的解集：(l)-?+8 x-3 0；(2)X2-4X-5 W 0；(3)a x-(a+l)x+l O.自主解答(D 因 为 4=8 24 X(l)X(-3)=52 0,所以方程一V+8 x 3=0 有两个不等实根为=4 班，至=4+.又二次函数y=-f+8 x 3 的图象开口向下，所以原不等式的解集为U 4-V 1 3 X 4+V 1 3 .(2)原不等式可化为(x5)(x+1)W0,所以原不等式的解集为 x|-1 W后 5).(3)若 a=0,原不等式等价于一x+l l.若 a 0,解 得 X，或 x l.若 a 0,原不等式等价于口一 (x 1)0.当 a=l 时，；=1,(x力(才-1)l 时，-1,解(x1)0 得打1；当(X水1 时,(1)0 得1 1当 a=0 时,解集为 x|x 解;当 0 4 1 时,解集为11 X l时，解集为卜卜 K 1若 将 本 例 改 为+4 x+5 W 0”呢？解:V zl=42-4 X 5=1 6-2 0=-4 0,不等式V+4 x+5 W 0 的解集为。.-方法.规 曲-元二次不等式的解法(1)对于常系数一元二次不等式，可以用因式分解法或判别式法求解.(2)对于含参数的不等式，首先需将二次项系数化为正数，若二次项系数不能确定，则需讨论它的符号，然后判断相应的方程有无实根，最后讨论根的大小，即可求出不等式的解集.训 练i .解下列不等式：(l)8 x1 W 1 6/；(2)x-2ax-3a0(a0).解：(1)原不等式转化为1 6 x-8 x+1 0,即(4X-1)2 2 0,故原不等式的解集为R.(2)原不等式转化为(x+a)(x3a)0,V a 0,，3 水一a.原不等式的解集为 x|3水K 一目.一元二次不等式的恒成立问题 例 2 已知不等式加2*/+1 0.若对所有的实数x 不等式恒成立，求勿的取值范围;(2)设不等式对于满足|加|W2 的一切勿的值都成立，求 x 的取值范围.自主解答 不等式 族 2x/+1 0恒成立，即函数/(才)=加一2x/H T 的图象全部在x 轴下方.当勿=0 时，1 2x 0,不符合题意.当加W0 时，函数/(才)=勿/2x/+1 为二次函数，需满足开口向下且方程2x勿+1=0 无解,即力 0,。,贝”必无解.综上可知不存在这样的m.(2)从形式上看，这是一个关于x 的一元二次不等式，可以换个角度，把它看成关于加的一元一次不等式，并且已知它的解集为-2,2,求参数x 的范围.设(X 1)m+(1 2A),则其为一个以卬为自变量的一次函数，其图象是直线，由题意知该直线当一2 勿 忘 2时线段在x 轴下方，-2 0,J-2X-2A-+30,故i f 2 0,即(2/2 矛一1 二1步.山，得 彳 区 水 用 3由 ,得 三&苧.X 的取值范围为 x 二 0(a W O)恒成立的充要条件是：a 0 且 -4 a c 0(xG R).a f +b x+c 0(a W O)恒成立的充要条件是：a 0 且炉一4 a X 0(xd R).i m 训 练2.已知/(x)=f2 a x+2(a C R),当 1,+)H J ,恒成立，求 a 的取值范围.解：法一：A x)=(x-0 在 -1,+8)上恒成立，1 0,即/=4/4(2 a)W 0 或，水一 1,g 1 0.解得一3 W a W l.所 求 a的取值范围是-3,1.一元二次不等式的应用 例 3 某汽车厂上年度生产汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为12 万元/辆，年销售量为10 000辆.本年度为适应市场需求，计划提高产品质量，适度增加投入成本.若每辆车投入成本增加的比例为矛(0 水1),则出厂价相应地提高比例为0.7 5 x,同时预计年销售量增加的比例为0.6 x,已知年利润=(出厂价一投入成本)X年销售量.(1)写出本年度预计的年利润y 与投入成本增加的比例*的关系式；(2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例x 应在什么范围内？自主解答(1)由题意得 7=12(l+0.7 5 x)10(l+x)X 10 000(1+0.6 x)(0 底1),整 理 得 尸 一 6 000/+2 O O O x+2 0 000(0 0,B|J-6 000%+2 000 x 0,01-5X(0X17),整理得一5/0,解得0 0 时均有则a 解析二当 a W l 时，(a l)x 1 0 恒成立.(a l)x 1 C?-a x 1)不可能恒成立.对于a x 1 =0,设其两根为及，x3,且在 如易知 A 2 0.又当x 0 时，原不等式恒成立，通 过 尸(a l)x 1 与y x a x 1 图象可知X 必须满足方程x?ax 1 0,即X x-i ta-l代入解得a=或 a=0(舍).答案 名师点评1 .本题具有以下创新点(1)本题是考查三次不等式的恒成立问题，可转化为含参数的一元一次不等式及一元二次不等式的恒成立问题.(2)本题将分类讨论思想、整体思想有机结合在一起，考查了学生灵活处理恒成立问题的方法和水平.2 .解决本题的关键(1)将三次不等式转化为一元一次不等式和一元二次不等式问题：(2)若直接通过函数求导、求最小值，则运算量大，基本上无法求解；而通过一次函数%=(a l)x-l (x 0)及二次函数度=*2 a x 1 (x 0)图象的变化情况，再结合必隆的结果得出 7 为方程?-a -l=0 的根，使问题得以巧妙解决.a-1 变式训练1.偶 函 数 H x)(xC R)满足：A-4)=A1)=O,且在区间 0,3 与 3,+8)上分别递减和递增，则不等式/A x)0的解集为(A.(8,4)U(4,+00)B.(-4,-1)U(1,4)C.(一8,-4)U(-1,0)D.(一8,-4)U(-1,0)U(1,4)解析：选 D 由图知，f(x)0 的解集为(-4,l)U(l,4),.不等式x f(x)1的 解 集 为()A.(2,3)U(3,-2)B.(一蜴 y/2)C.(2,3)D.(8,2)u (y/2,+)解析：选 A 由导函数图象知当K0 时，f(x)0,即/(x)在(-8,0)上为增函数；当王 0 时，f1(x)1 等价于 人/6)F(2)或6)F(3),即一2 V6 这0 或O Wx，6 .2.已 知 不 等 式 的 解 集 为 R不等式(xl)(x+2)0的解集为。，则 集 合 等于()A.x|-2 xW2 B.x|-2 xW0C.x|O W*l D.x|-1c xW2解析：选 B 3/一2十 20 =壮2 0的解集为32 K 1 ,则函数y=f(x)的图象为图中的()解析：选 B 由根与系数的关系知1c=2+1,=2,得 a=-1,c=2.a af(-x)=f+x+2 的图象开口向下，由一V+x+2=0 得两根分别为一1 和 2.4.某产品的总成本八万元)与产量x(台)之间的函数关系是尸3 000+20X 0.l/(0 K 24 0),若每台产品的售价为25 万元，则生产者不亏本(销售收入不小于总成本)时 的 最 低 产 量 是()A.100 台 B.120 台 C.15 0 台 D.180 台解析：选 C 依题意得25/，3 000+20-0.lx,整理得 9+5 0X-30 00020,解得X2 15 0或/W-200.因为 0 K 24 0,所以 15 0Wx/+2 x 3W0 今(x+3)(x 1)WO.3Wx l.6.若函数f(x)=(a*+d a 5)14(a l)x+3的图象恒在x 轴上方，则 a的取值范围是()A.1,19 B.(1,19)C.1,19)D.(1,19解析：选 C函数图象恒在x 轴上方，即不等式(a2+4a5)一4(a1)x+30 对于一切 xeR 恒成立.(1)当 a+4a5=0 时，有 a=-5 或 a=l.若 a=-5,不等式化为24x+3 0,不满足题意；若 a=l,不等式化为3 0,满足题意.(2)当 a?+4 a-5 ro 时，应有a+4 a-5 0,.16 a 1 12 a?+4a5 0.解 得 Ka19.综上可知，a 的取值范围是1 Wax(x2)的解集是.解析：不等式I x(x-2)|x(x-2)的解集即x(x-2)0的解集，解得0K2.答案：*|0f(a),则实数a的 取 值 范 围 是.解析：Ax)是奇函数，/.当 K0 时，f x)=-x-2x.作 出 f(x)的大致图象如图中实线所示，结合图象可知f(x)是 R 上的增函数，由/.(2 )f(a),得 2才 a,即2 水1.答案：(一2,1)三、解答题(本大题共3 小题，每小题12分，共 36分)1 0.解不等式：log (3x,一2x5)Wlog (4JT2+x 5).2 2解：原不等式等价于3 f 2 x-5 2 4 Ag+x 5,4 x+x-50,得x+3 x 0 即一3 W 后 0,5 得x 或 K-故原不等式的解集为111.当 0 W*W 2 时，不等式!(2 L d)W*2 3 x+2 W 3/恒成立，试求/的取值范围.O解：令了=f-3 x+2,0 W M 2.在 0 W;2 上取得最小值为一？最大值为2.若m(21 t2)W x?-3*+2 W 3 tz,o在 0WE2上恒成立，则1 8.3-1 2 2,212 2 0,/一 K 0.二z的取值范围为-1,1 4L1 2.行驶中的汽车，在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距离才能停下，这段距离叫做刹车距离.在某种路面上，某种型号汽车的刹车距离s(m),2死-.n y V；与汽车的车速(km/h)满足下列关系：$=砺+而(为常数，且 n e s，-；1 6 Vs i 8,N*),做了两次刹车试验，有关试验数据如图所示，其 中 一，1 4&1 7.(1)求的值;(2)要使刹车距离不超过1 2.6 m,则行驶的最大速度是多少？解：(1)依题意得，57710,解得95 又 N,所以=6.2n 3 P v(2)6=K+24K-5 0400=50 400-8 4 W V 6 0,因 为-2 0,所以0 W Y 6 0,即行驶的最大速度为60 km/h.教师备选题供徽标各裸透用1.不等式2 1 一*一10的 解 集 是()A.f 1)B.(1,+8)C.(-8,1)U(2,+8)D.1-8,+8)解析：选 D V 2/-l 0,(2x+l)(/1)0,.,.x 一；或 x L 解集为g或xl2.如 果 不 等 式 筌 普 祟 1 对一切实数X均成立，则实数7 的取值范围是()A.(1,3)B.(8,3)C.(8,1)u(2,+0)D.(8,H-OO)解析：选 A由于4丁+6叶 3=(2*+令+$0,所以不等式可化为2/+2RX+成4/+6 x+3,即2x+(62 4 x+(3/zz)0.依题意有(62勿)-8(3血0,|a0,即 12,解得x30(水一40舍去)；对乙车型:0.05x+0.005/10,解得*40(水一50 舍去)，从而 xQ 30 km/h,xQ40 km/h,经比较知乙车超过限速，应负主要责任.第 三 节 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题 备考方向要明了也教演渐纳留:置就识 自1评淀制性林适理刑1考 什 么怎 么 考1.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组.2.了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组.3.会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决.1.考查形式：选择题或填空题.2.命题角度：(1)求目标函数的最大值或最小值，或以最值为载体求其参数的值(范围)，如 2012年广东T 5,新课标全国T 1 4,山东T5等.(2)利用线性规划方法求解实际问题中的最优方案，如 2012年江西T8等.(3)将线性规划问题与其他知识相结合，如向量、不等式、导数等相结合命题，如 2012年陕西T 1 4,福建T9等.!瞰 叵=僦 融 归 纳 知识整合1.二元一次不等式表示的平面区域（1）一般地，在平面直角坐标系中，二元一次不等式/x+分+00表示直线4 r+%+C=0某侧的所有点组成的平面区域（半平面）不包括边界直线.不等式4 x+分+层0所表示的平面区域（半平面）包括边界直线.对 于 直 线 公+创+。=0同一侧的所有点（x,力，使得4%+砌+C的值符号相同，也就是位于同一半平面的点，其坐标适合A x+B y+O Q.而位于另一个半平面内的点，其坐标适合 4 v+6 y+C 0.（3）可在直线网+0+。=0的某一侧任取一点，一般取特殊点（刘，从/%+曲+C的符号来判断所+如+00（或 +分+C 0）所表示的区域.（4）由几个不等式组成的不等式组所表示的平面区域，是各个不等式所表示的平面区域的公共部分.2.线性规划中的基本概念名称意义约束条件由变量X,组成的不等式线性约束条件由X,y的二次不等式（或方程）组成的不等式（组）目标函数关于x,y的函数解析式,如z=2 x+3 y等线性目标函数关于 /的一次解析式可行解满足线性约束条件的解发，y）可行域所有可行解组成的集合最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解线性规划问题在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题 探究1.点分汨,）和8（如 位 于 直 线 公+珈+C=0的两侧的充要条件是什么？提示：（力小+敌i+0 （力及00.2.可行解与最优解有何关系？最优解是否唯一？提示：最优解必定是可行解，但可行解不一定是最优解，最优解不定唯一.自测 牛刀小试1.（教材习题改编）不等式x 2y+6 0,代 入 x 2 y+2 得 1 0,即点（1,1）在 x 2 y+2 2 0 的内部，在 x+y 1 2 0 的内部，故所求二元一次不等式组为x+y 1 20,x2 y+220.4 .下列各点中，与点（1,2）位于直线x+y 1 =0 的同一侧的是（A.（0,0）B.（-1,1）)C.(-1,3)D.(2,-3)解析：选 C 当 x=l,尸 2 时，x+y 1 =1+21=2 0,当 x=-1,y=3 时，x+y 1 =1+3 1 =1 0,故（一1,3）与（1,2）位于直线x+y 1 =0 的同侧.5.（201 2 广东高考）已知变量x,p 满足约束条件,x 则 z=x+2 y 的最小、x+1 20,值为（）A.3B.1C.-5 D.-6x+y l,解析：选 C 变量x,y 满 足 的 不 等 式 组 表 示 的 平 面 区 域 如 图 所 示，作/+1 2 0辅 助 线 友 x+2尸 0,并平移到过点力（-1,2）时，z=x+2 y 达到最小，最小值为一5.研点值励I悉通国麴型掇原海缆湖国四面洲r】二元一次不等式（组）表示的平面区域 例1 （201 2 福 建 高 考）若 直 线 y=2 x上 存 在 点（X,力 满 足 约 束 条 件x+y 3W 0,vx 2y-3W 0,则实数/的最大值为（）A.-1C.2 自主解答 如图所示:约束条件B.1D.2x+y 3W 0,x 2y 3W 0,表示的可行域如阴影部分所示.当直线x=0 从如图所示的实线位.xmx+y 3=0,置运动到过4点的位置时，m取最大值.解方程组 得力点坐标为（1,2）,y2x,故小的最大值是L 答案 B-方法,规律J-二元一次不等式表示的平面区域的画法在平面直角坐标系中，设有直线+的+C=o（6 不为0）及点尸（X。，则（1）若 皮 0,力旗+次）+0 0,则点P在直线的上方，此时不等式4 x+4 y+OO表示直线4x+%+C=0 的上方的区域.（2）若 皮 0,力加+次）+仪 0,则点。在直线的下方，此时不等式A r+勿+0 表示直线4 x+B/+C=0 的下方的区域.（注：若 6为负，则可先将其变为正）（3）若是二元一次不等式组，则其平面区域是所有平面区域的公共部分.|腿 式U H练1.已知关于x,y的不等式组,x+y 220,、矛 一y+2 2 0所表示的平面区域的面积为4,则的值为（）A.1C.1 或一3B.-3D.0解析：选 A 其中平面区域取一y+2 2 0 是含有坐标原点的半平面.直线布一y+2=0又过定点（0,2）,这样就可以根据平面区域的面积为4,确定一个封闭的区域，作出平面区域即可求解.平面区域如图所示，根据区域面积为4,得加2,4）,代入直线方程，得=1.利用线性规划求最值x4y+3W0,例 2 变 量 无 y 满足卜x+5y25W0,设 z=4x3 y,求 z 的最大值.，一 4y+3W0,自主解答 由约束条件卜x+5y25 W0,、x21,作出(x,力的可行域如图所示.4 z由 z=4x3 y,得-求 z=4x3y的最大值，相当于求直线y=gx；在 y 轴上的截距一?的最小值.044 7 7平移直线尸耳才知，当 直 线 尸 1XW 过点夕时，一W 最小，Z最大.o J J o由y4/+3=0,解得8(5,2).3叶 5/-2 5=0,故 Z iax=4X 5 3X2=14.保持例题条件不变，如何解决下列问题.设 z=$求/的最小值;(2)设 z=x?+/,求 z 的取值范围.解：=与x 才 一 02 Z的值即是可行域中的点与原点。连线的斜率.观察图形可知-,=-(2)z=x?+/的几何意义是可行域上的点到原点。的距离的平方.结合图形可知，可行域上的点到原点的距离中,由尸 矛-4y+3=0,解得(7(1,1).d,in=|0C=y2,d,x=|0B=-/29.2zW29.-方 法.规 例-目标函数最值问题分析(1)线性目标函数的最大(小)值一般在可行域的顶点处取得，也可能在边界处取得.(2)求线性目标函数的最优解，要注意分析线性目标函数所表示的几何意义在 y轴上的截距或其相反数.(3)对目标函数不是一次函数的问题，常考虑目标函数的几何意义，如/E?表示点(X,F)与原点(0,0)之间的距离；x a 彳 y b，表示点(x,0 与点(a,8)之间的距离./表示点(x,。与原点(0,0)连线的斜率；皿表示点(x,y)与点(a,6)连线的斜x x a率.这些代数式的几何意义能使所求代数问题转化为几何问题.II唯 大 训 练x-y+6)0,2.已知实数x,/满足，x+y 2 0，、x W 3,若 z=a x+y 的最大值为3 a+9,最小值为3 a-3,则实数a 的取值范围为解析：作出x，y满足的可行域，如图中阴影部分所示，则 z 在点4处取得最大值，在点C处取得最小值，又kx=-1,答案：-1,1线性规划的实际应用 例 3 (2 012 江西高考)某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过5 0 亩，投入资金不超过5 4 万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表()年产量/亩年种植成本/亩每吨售价黄瓜4吨1.2万元0.5 5 万元韭菜6吨0.9万元0.3 万元为使年的种植总利润(总利润=总销售收入一总种植成本)最大，那么黄瓜和韭菜的种植面积(单位：亩)分别为()A.5 0,0 B.3 0,2 0C.2 0,3 0 D.0,5 0 自主解答 设黄瓜和韭菜的种植面积分别为x 亩，y 亩，总利润为z 万元，则目标函数为 z=(0.55X 4x-l.2 x)+(0.3 X 6 y-0.9 y)=x+0.9y.*+_运5 0,线性约束条件为L 2 x+0.9 后 5 4,x 2 0.x+咫 5 0,4 x+3 j 0,则截距 取最大值时，z也取最大值；截距 取最小值时，z也取最小值.b b(2)若丛0,则截距3 取最大值时，Z 取最小值：截距 取最小值时，Z 取最大值.按2 5=b b(a,b)方向平移直线a x+b y=0,z 越来越大.C U E K E S U Y A N S创新交汇与线性规划有关的交汇问题1 .线性规划问题常与指数函数、对数函数、向量以及解析几何的相关知识交汇命题.2 .解决此类问题的思维精髓是“数形结合”，作图要精确，图 上 操作要规范.典例(2 0 1 2 江苏高考)已知正数a,b,c 满足：5c3aW 6W 4c-a,cl n 62 a+cl nc,则 人 的 取 值 范 围 是.a 解析 由条件可得C a b3-+-5c