2021年数学中考一轮单元总复习达标精准突破：专题22二次函数（教师版）.pdf

专题2 2二次函数士，单元知识点呈现知识点一：二次函数的基本概念与特征1 .二次函数的概念：一般地，形如y =o r 2 +f e c +c （。，从c是常数，。*0）的函数，叫做二次函数。这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数a w O,而，c可以为零.二次函数的定义域是全体实数.2 .二次函数丫 =6 2+区+。的结构特征：等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2.a,6,c是常数，a是二次项系数，）是一次项系数，c是常数项.知识点二：二次函数的基本形式及其性质1 .尸 加 的性质：（a的绝对值越大，抛物线的开口越小）a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a0向上(0,0)y轴x 0时，y随x的增大而增大；x 0时，y随x的增大而减小；x =0时，y有最小值0.a 0时，y随x的增大而减小；x 0向上（0,C）y 轴x 0 时，y随x的增大而增大；x 0 时，y随x 的增大而减小；x =0时，y 有最小值c.a 0 时，y随x的增大而减小；x v O 时，y随x 的增大而增大；x =0时，y 有最大值c.3.y =a（x-/?）2 的性质：（左加右减）a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a0向上（/?，0）X=hx /z 时，y 随x的增大而增大；时，y随x 的增大而减小；x =/z 时，y 有最小值0.ah Bt,y随x的增大而减小；时，），随x 的增大而增大：x =/z 时，y 有最大值0.4.y =+A 的性质:a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a 0向上（6,k）X=hx /7 时，y随x的增大而增大；x /?时，y随x 的增大而减小；x =/?时，y 有最小值k.。0向下（h,k）X=h时，y 随x的增大而减小；工0)【或下(Z =依 2+笈+。的比较从解析式上看，y =a(尤一与2+欠与、=奴 2+法+。是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者,即=人+21+处至，其中/?=_2,%=竺 七 8.(la)4 a 2a 4 a知识点五一：二次函数y 二以?+f e r +c 图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数)=加+法+c 化为顶点式y =(x-4+女，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图,一般我们选取的五点为:顶点、与 y 轴的交点(0,c)、以及（o,c）关于对称轴对称的点（2儿 c）、与x 轴的交点（5，0）,（x2,0）（若与X轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与），轴的交点.知识点六：二次函数y=ax2+加+。的性质1.当时，抛物线开口向上，对称轴为x=-K,顶点坐标为-22a1 2a4 ac-b24 a当时，y 随x 的增大而减小；2a当x -2时，y 随x 的增大而增大；2a当x=-2时，y 有最小值.2a 4 a2.当a -2时，2a）,随X的增大而减小;当时，2ay 有最大值处二4 a知识点七：二次函数解析式的表示方法1.一般式：y=cue+hx+c（a,b,。为常数，。0）；2.顶点式：y=a（x-h）2+k（a,h,%为常数，aw O）；3.两根式：y=a（x-x）（x-x2）（。/0,为，是抛物线与工轴两交点的横坐标）.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式,只有抛物线与x 轴有交点，即/-4 a c W 0 时，抛物线的解析式才可以用交点式表示.二次函数解析式的这三种形式可以互化.知识点八：二次函数的图象与各项系数之间的关系1.二次项系数a二次函数 =以 2+笈+。中，a 作为二次项系数，显然axO.(1)当a 0 时，抛物线开口向上，”的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开越大；当。0 的前提下，当时，一(0,即抛物线的对称轴在y 轴左侧；当6=0 时，-(=0，即抛物线的对称轴就是y 轴；当b 0，即抛物线对称轴在y 轴的右侧.在 o 时，-(0,即抛物线的对称轴在y 轴右侧；当。=0 时，-(=0，即抛物线的对称轴就是y 轴；当b o 时，-(0，即抛物线对称轴在y 轴的左侧.总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置.的符号的判定：对称轴x =-2 在 y轴左边，贝在y轴的右侧，则。0 时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与)，轴交点的纵坐标为正；当 c =0 时，抛物线与)，轴的交点为坐标原点，即抛物线与)，轴交点的纵坐标为0；当 c 0 时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负.总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置.总之，只要。，c 都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的.知识点九：二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达1 .关于x 轴对称y =汗+6 x+c 关于x 轴对称后，得到的解析式是丫=-渡 bx-c；y =a(x-/?)2+k关于x 轴对称后，得到的解析式是y =-(%-/?)-kx2.关于y 轴对称y=ax2+b x +c 关于y 轴对称后，得到的解析式是y=ax2-bx+c；y=ax hy+k关于y 轴对称后，得到的解析式是y-ax+k；3 .关于原点对称y=ax2+f a x +c 关于原点对称后，得至！J 的解析式是y =-G?+f e r-c ；y =a(x 关于原点对称后，得到的解析式是y =a(x+)2 A ；4 .关于顶点对称(即：抛物线绕顶点旋转1 8 0。)丫 =加+6 x+c 关于顶点对称后，得到的解析式是y-ax2-bx+c-；2ay =a（x-犷+%关于顶点对称后，得到的解析式是尸-“（x-犷+左.5.关于点（加，）对称y =a（x-）+/关于点（“，）对称后，得至I J 的解析式是y =-a（x+/2-2/M）-+2 一 左根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此时永远不变.求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式.知识点十：二次函数与一元二次方程1.二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：一元二次方程o x?+/?x +c =O 是二次函数y =0 时的特殊情况.图象与x 轴的交点个数：（1）当=从-4ac 0 时，图象与x 轴交于两点A（x ,0）,3（8 2，）（*产 电），其中的不，当是一元二次方程ax2+bx+c=0（。X 0）的两根.这两点间的距离AB=|x2-x,|=物 而纱，.（2）当 =（）时，图象与x 轴只有一个交点；（3）当4 0 时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有y 0；当。0 时，图象落在x 轴的下方，无论x为任何实数，都有y 0时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系:A0抛 物 线 与X轴有两个交点二次三项式的值可正、可零、可负一元二次方程有两个不相等实根=0抛 物 线 与X轴只有一个交点二次三项式的值为非负一元二次方程有两个相等的实数根A0抛 物 线 与X轴无交点二次三项式的值恒为正一元二次方程无实数根.对点例题解析【例 题1（2020枣庄）如图，已知抛物线y=a?+bx+c的对称轴为直线x=l.给出下列结论:ac 0；2a-b=0；a-b+c0.其中，正确的结论有（）C.3个 D.4个【答案】C【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴、与 X 轴、），轴的交点，综合进行判断即可.【解析】抛物线开口向下，a 0,与 y 轴交于正半轴，因此c 0,于是有：a c 0,正确，由对称轴x=l,抛物线与x轴的一个交点为（3,0）,对称性可知另一个交点为（-1,0）,因此“-b+c=0,故正确，综上所述，正确的结论有。【例 题2】如图，抛物线y=x 2-b x+c 交 x 轴于点A（1,0）,交 y 轴于点B,对称轴是x=2.（1）求抛物线的解析式；（2）点 P 是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在点P,使AP AB 的周长最小？若存在，求出点P的坐标;若不存在，请说明理由.【答案】见解析。1-b+c=0【解析】（D 由题意得，|b=212解得 b=4,c=3,二抛物线的解析式为.y=x 2 -4x+3；（2）,:点A 与点C关于x=2对称,，连接BC与 x=2交于点P,则点P即为所求，根据抛物线的对称性可知，点 C的坐标为（3,0）,y=x2-4x+3与 y 轴的交点为（0,3）,二.设直线BC的解析式为：y=kx+b,f3k+b=0l b=3，解 得,k=-1,b=3.J.直线BC的解析式为:y=-x+3,则直线BC与x=2的交点坐标为：（2,1）.点P的交点坐标为：（2,1）.【点拨】本题考查的是待定系数法求二次函数的解析式和最短路径问题，掌握待定系数法求解析式的一般步骤和轴对称的性质是解题的关键.【例 题 3（2020杭州）在平面直角坐标系中，设 二 次 函 数 力=/+扇+小yax+bx+（a,b是实数，2 0）.（1）若函数力的对称轴为直线x=3,且函数 的图象经过点（m b）,求函数 的表达式.（2）若函数 的图象经过点（r,0）,其中rW O,求证：函数九 的图象经过点（之 0）.r（3）设函数力和函数力 的最小值分别为加和，若加+=0,求加，的值.【答案】见解析。【分析】（1）利用待定系数法解决问题即可.（2）函数 的图象经过点（r,0）,其中r/0,可得J+b H a=O,推 出i +=o,即“（1）2+b-+=0,推出工是方程这2+法+1的根，可得结论.r（3）由题意。0,Ik,a Jn=43 J 根据机+=0,构建方程可得结论.4-4-U【解析】（1）由题意，得到一9=3,解得b=-6,.函数 的图象经过（a,-6）,2-6a+a=-6,解得。=2或3,/.函数 y i =7-6 x+2 或 y=J?-6 x+3 .（2）,函数声的图象经过点（八0）,其中一W 0,2Ar +br+a=O r1 7 1即 a(-)+b-+1=0,r r1 o；一是方程ax+b x+l的根,即函数力的图象经过点（；，0）.(3)由题意。0,*tn=74 m+n=0t4a-b2 4a-b2-+-=0,4 4a(4-.)(+)=0,.Z+l0,.4a-b2=0,/7?n 0.单元核心检测 二次函数单元精品检测试卷本套试卷满分120分，答题时间90分钟一、选 择 题（每小题3 分，共 30分）1.（2020泸州）已知二次函数y=/-2bx+2b2-4c（其中x 是自变量）的图象经过不同两点A（1 -4机）,B（2b+c,m）,且该二次函数的图象与x 轴有公共点，则 b+c的 值 为（）A.-1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】由二次函数y=/-2bx+2b2-4c的图象与x 轴有公共点，:.-2b）2-4X 1X （2Z?2-4C）2 0,即 庐-4cW0,由抛物线的对称轴x=-券=/?,抛物线经过不同两点A -b,m）,B C2b+c,m）,.1-b+2b+cb=-2-即，c=b-1,代入得，2-4(fe-1)W 0,即(b-2)2 0,因此匕=2,c=b-1=2 -1 =1,:b+c=2+1 =32.(2 02 0绥化)将抛物线y=2 (x -3)2+2向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到抛物线的解析式是()A.y=2(x -6)2 B.y=2(x -6)2+4C.y=2 x D.y=2jc+4【答案】c【分析】根 据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可.【解析】将将抛物线y=2 (x-3)2+2向左平移3个单位长度所得抛物线解析式为：y=2 (%-3+3)2+2,即 y=2 x +2；再向下平移2个单位为：y=2?+2-2,即y=2，.3.(2 02 0滨州)对称轴为直线x=l的抛物线)=2+云+。(队6、c为常数，且a#0)如图所示，小明同学得出 了以下结论：“6c 4 ac,4a+2 6+c 0,3 a+c 0,a+h：m(am+h)(，为任意实数)，当x 0,c 0,：.b=-20,.abc0,/.b2 4 acf故正确：当x=2时,y=4a+28+cV0,故）错误；当 x=-1 时，y=a-/?+c0,/.3a+c0,故正确；当 x=l时，y 的值最小，此时，y=a+/?+c,而当 xm 时，y=am2+bm+c,所以 u+b+c&am“+bm+c,H i a+banf+bm B|J a+bm（am+b）,故正确，当 x V-l 时，y 随 x 的增大而减小，故错误.4.（2020成都）关于二次函数y=/+2 x-8,下列说法正确的是（）A.图象的对称轴在y 轴的右侧B.图象与y 轴的交点坐标为（0,8）C.图象与x 轴的交点坐标为（-2,0）和（4,0）D.y 的最小值为-9【答案】D【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项中的结论是否正确，从而可以解答本题.【解析】.二次函数 y=/+2 r-8=(x+1)2-9=(x+4)(x-2),.该函数的对称轴是宜线x=-1,在y轴的左侧，故选项A错误；当x=0时，y=-8,即该函数与y轴交于点(0,-8),故选项8错误；当y=0时，x=2或x=-4,即图象与x轴的交点坐标为(2,0)和(-4,0),故选项C错误：当x=-1时，该函数取得最小值y=-9,故选项D正确5.(2 02 0河北)如图，现要在抛物线y=x (4-x)上找点P (“，b),针对匕的不同取值，所找点P的个数，三人的说法如下，甲：若6=5,则点尸的个数为0；乙：若6=4,则点P的个数为1；丙：若匕=3,则点尸的个数为1.下列判断正确的是()A.乙错，丙对 B.甲和乙都错 C.乙对，丙错 D.甲错，丙对【答案】C【分析】求出抛物线的顶点坐标为(2,4),由二次函数的性质对甲、乙、丙三人的说法分别进行判断，即可得出结论.【解析】y=x (4-x)=-/+4x=-(x -2)?+4,.抛物线的顶点坐标为（2,4）,二在抛物线上的点P的纵坐标最大为4,甲、乙的说法正确；若=3,则抛物线上纵坐标为3的点有2个，丙的说法不正确.6.（2 02 0南充）关于二次函数yax-4a x -5 （a WO）的三个结论：对任意实数m,都 有x =2+m与皿=2-相对应的函数值相等；若3启4,对应的y的整数值有4个，则一g ，=/-4a r -5的 对 称 轴 为 直 线 广 券 =2,la.x=2+m与X2=2-m关于直线x=2对称,.,.对任意实数m,都有x i=2+m与 汹=2 -m对应的函数值相等；故正确；当 x=3 时，y=-3 a-5,当 x=4 时,，y=-5,若 a 0 时，当 3 Wx W4 时，-3 a-5 y W-5,.当3 W x W 4时，对应的y的整数值有4个，若“V O 时，当 3 Wx W4 时，-5 W y V-3 a-5,.当3 W x W 4时，对应的y的整数值有4个,4一2 V a 0,抛物线与x轴交于不同两点A,B,且48 W6,.,.0,2 5。-2 0。-5 2 0,.(16a 2+2 0a 0；飞a-5 N 0.D 1,若a 0,2 5 a-2 0a-5 W0,.(16a2+2 0a 0,5 a-5 0.-5综上所述：当a V-,或时，抛物线与x轴交于不同两点A,B,且A 8 W6.7.(2 02 0甘孜州)如图，二次函数y=a (x+1)?+%的图象与轴交于A (-3,0),8两点，下列说法错误 的 是()A.a0B .图象的对称轴为直线x=-1C.点8的坐标为(1,0)D.当x 0时，y随x的增大而增大【答案】D【解析】观察图形可知x+c的图象经过（-3,0）与（1,0）两点，关于x的方程0+辰+。+/=0（m 0）有两个根，其中一个根是3.则关于x的方程o r 2+f e r+c+=0（0 n m）有两个整数根，这两个整数根是（）A.-2 或 0 B.-4 或 2 C.-5 或 3 D.-6 或 4【答案】B【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数与一元二次方程的关系，可以得到关于x的方程/+云+,+=0（0 n 0）有两个根，其中一个根是3.方程a/+b x+c+m=0（，0）的另一个根为-5,函数y=a+fe r+c的图象开口向上，关于x的方程&F+fe x+c+”=0（0/J4 acB.abc0C.a-c 0,c 0,=/?2-4 ac 0,白=一1，/.fe=2 a 0,h2 4 a c,故A选项不合题意，：.abc0,故B选项不合题意，当 x=-1 时，y V O,/a-人+cV 0，-+cV O,即a-c 0,故C选项符合题意，当/=/时，y=F+为 +c,当x=-1时，y有最小值为a-b+c,2/.am+。？+c2 -b+c,.-b,故。选项不合题意.10.（2 02 0衢州）二次函数y=，的图象平移后经过点（2,0）,则下列平移方法正确的是（)A.向左平移2个单位,向下平移2个单位B.向左平移1个单位,向上平移2个单位C.向右平移1个单位,向下平移1 个单位D.向右平移2个单位,向上平移1 个单位【答案】C【分析】求出平移后的抛物线的解析式，利用待定系数法解决问题即可.【解析】4、平移后的解析式为y=（x+2）2-2,当x=2时，y=1 4,本选项不符合题意.B、平移后的解析式为y=（x+1）2+2,当x=2 时，y=l l,本选项不符合题意.C、平移后的解析式为y=（x -1）2-1,当x=2 时，y=0,函数图象经过（2,0）,本选项符合题意.。、平移后的解析式为y=（x -2）2+1,当x=2时，y=1.本选项不符合题意.二、填 空 题（10个小题，每空3 分，共 33分）11.（2 02 0泰安）已知二次函数y=o?+厩+c（小Ac 是常数，a W O）的），与 x的部分对应值如下表:0；当 x=-2时，函数最小值为-6；若 点（-8,“），点（8,以）在二次函数图象上，则力 2；方 程cvT+bx+c-5 有两个不相等的实数根.其中，正 确 结 论 的 序 号 是.（把所有正确结论的序号都填上）【答案】.【分析】任意取表格中的三组对应值，求出二次函数的关系式，再根据二次函数的图象与系数之间的关系进行判断即可.【解析】将（-4,0）（0,-4）（2,6）代 入 丫=2+法+。得,16a 4b+c=0c=4 f解得,4a+2b+c=6a=1b=3c=-4J 抛物线的关系式为y=x2+3x-4,a=l 0,因此正确;对称轴为x=-|,即当x=-,时，函数的值最小，因此不正确；把（-8,yi）（8,）2）代入关系式得，”=6 4-2 4-4=3 6,=64+24-4=84,因此正确；方程 ax+bx+c=-5,也就是,+3x-4=-5,即方/+3x+l=0,由 b1-4 ac=9-4=50 可得 J C2+3X+1=0有两个不相等的实数根，因此正确；正确的结论有：12.（2020哈尔滨）抛物线y=3（x-1 ）2+8的 顶 点 坐 标 为.【答案】（I,8）.【分析】已知抛物线顶点式y=a（x-/）2+k,顶点坐标是（儿k）.【解析】抛物线y=3（x-1）2+8是顶点式，顶点坐标是（1,8）.13.（2020 无锡）请写出一个函数表达式，使其图象的对称轴为y 轴：【答案】），=/（答案不唯一）.【分析】根据形如y=/的二次函数的性质直接写出即可.【解析】图象的对称轴是），轴，.函数表达式y=、2（答案不唯一），故答案为：y=，（答案不唯一）.14.（2 02 0上海）如果将抛物线y=/向上平移3 个单位，那 么 所 得 新 抛 物 线 的 表 达 式 是.【答案】y=+3.【分析】直接根据抛物线向上平移的规律求解.【解析】抛 物 线 向 上 平 移 3 个单位得到y=/+3.15.（2 02 0黔东南州）抛物线y=ax 2+b x+c（.W 0）的部分图象如图所示，其与x轴的一个交点坐标为（-3,0）,对称轴为x=-l,则当y 0 时，x的 取 值 范 围 是.【答案】-3 x l.【分析】根据物线与X轴的一个交点坐标和对称轴，由抛物线的对称性可求抛物线与X轴的另一个交点，再根据抛物线的增减性可求当y 0 时，X的取值范围.【解析】：物线丫=。/+版+。（a W O）与x轴的个交点坐标为（-3,0）,对 称 轴 为 尸-I,.抛物线与x 轴的另一个交点为（1,0）,由图象可知，当y0时.，x的取值范围是-3 x 2a；a x 2+b x+c=0的两根分别为-3 和 1；a -2b+c 0.其 中 正 确 的 命 题 是.（只要求填写正确命题的序号）【答案】.【解析】由图象可 知 过（1,0）,代入得到a+b+c=0；根据-2-=-1,推出b=2a；根据图象关于对称轴对2a称，得出与X轴的交点是（-3,0）,（1,0）；由a -2b+c=a -2b -a -b=-3 b V 0,根据结论判断即可.由图象可知：过（1,0）,代入得：a+b+c=0,正确；h-=-1,2a，b=2a,.错误；根据图象关于对称轴对称,与 X 轴的交点是(-3,0),(1,0),.正确；Va-2b+c=a-2b-a-b=-3b0,.错误.故答案为：.18.如图，抛物线y=-x2+2x+m(m 淅=”或号).【答案】.【解析】由二次函数根与系数的关系求得关系式，求得m 小于0,当X=X2-2时，从而求得y 小于0.抛物线 y=-x2+2x+m(m 0Am0*/X|+X2=2AX1=2-X2x=X0/.y 0 故答案为.1 9.二次函数y=-x2-2x+3的 图 象 的 顶 点 坐 标 为.【答案】(-1,4).【分析】把二次函数解析式转化成顶点式形式，然后写出顶点坐标即可.(解析】y=-2x+3-(x-+2x+l-1)+3=-（x+1）2+4,二顶点坐标为（-1,4）.20.（2020乐山）我们用符号田表示不大于x 的最大整数.例如：1.5=1,-1.5=-2.那么：（1）当-l 0 时 x 的取值范围.（2）平移该二次函数的图象，使点。恰好落在点A 的位置上，求平移后图象所对应的二次函数的表达式.【答案】见解析。【分析】(1)利用待定系数法求出小再求出点C 的坐标即可解决问题.(2)由题意点C平移的A,抛物线向右平移2 个单位，向上平移4 个单位，由此可得抛物线的解析式.【解析】(1)把 8(1,0)代入 y=a+4x-3,得 0=。+4-3,解得 a=-,y=-x+4x-3=-(x-2)+1,(2,1),.对称轴x=2,B,C 关于x=2 对称，：.C(3,0),当 y0 时，l xV3.(2)VD(0,-3),.点。平移的A,抛物线向右平移2 个单位，向上平移4 个单位，可得抛物线的解析式为丫=-(x-4)2+5.22.(10分)(2020泸 州)如图，已 知 抛 物 线+历代 经 过A(-2,0),B(4,0),C(0,4)三点.(1)求该抛物线的解析式；(2)经过点8 的直线交)，轴于点力，交线段AC于点E,若BD=5DE.求直线BD的解析式；已知点Q 在该抛物线的对称轴/上，且纵坐标为1,点尸是该抛物线上位于第一象限的动点，且在/右侧，点 R 是直线BO上的动点，若PQR是以点。为直角顶点的等腰直角三角形，求点P 的坐标.【答案】见解析。【分析】(1)根据交点式设出抛物线的解析式，再将点C坐标代入抛物线交点式中，即可求出“，即可得出结论；(2)先利用待定系数法求出直线AC的解析式，再利用相似三角形得出比例式求出B F,进而得出点E坐标，最后用待定系数法，即可得出结论；先确定出点Q的坐标，设点P(x,-#+x+4)(1 4V4),得出P G=x-l,GQ=吴+/3,再利用三垂线构造出尸Q G 会 Q R，(A 4S),得出 R H=G Q=-1 v2+x+3,Q H=P G=x-1,进而得出 R(2-x),最 后 代 入 直 线 的 解 析 式 中，即可求出x的值，即可得出结论.【解析】(1).抛物线 y=o?+b x+c 经过 4(-2,0),B(4,0),设抛物线的解析式为y=a (x+2)(x-4),将 点。坐 标(0,4)代 入 抛 物 线 的 解 析 式 为(x+2)(X-4)中，得-8=4,/.a=一亍，抛 物 线 的 解 析 式 为 尸 (x+2)(x-4)=一充+犬+4；J L L(2)如 图 1,设直线AC的解析式为ykx+b,将点 A (-2,0),C(0,4),代入=丘+中，得。=0,.(k=2,直线A C的解析式为y=2%+4,过点E 作 E/L L x 轴于凡O D/EF,:.XBODSABFE,_O_B _B_D =,BF BE:B(4,0),OB=4,；BD=5DE,.BD BD 5DE 5BE-BD+DE-5DE+BE 6.BE 6 A 24,BF=BD xOB=耳 x 4=可，24 4 OF=BF-OB=g -4=J,4 4 19将 x=一5代入直线AC：y=i+4中，得 y=2 义(耳)+4=亍 4 12:E(r，-)，5设直线BD 的解析式为y=mx+n,(4m+n=0：.4,12,5 =2/.直线BD 的解析式为尸-Jx+2；.,抛物线与x 轴的交点坐标为A(-2,0)和 8(4,0),.抛物线的对称轴为直线x=l,.点 Q(1,1),如图 2,设点尸(x,-1?+x+4)过点P 作 PG_L/于 G,过点R 作于”，1 2 1 9/.PG=x-L GQ=+x+4-1=-+x+3,：P G l,：.ZP G Q 90Q,=NGPQ+NPQG=90,PQR是以点。为直角顶点的等腰直角三角形,：.P Q=R Q,/PQR=90,：.ZPQ G+ZR Q H=90,：.Z G P Q Z H Q R,:A P Q G d Q R H (/L4S),1 2*RH=GQ2彳 一+4+3,QH=PG=x 1?1 9:R(2广+工+4,2-x)由知，直线B D 的解析式为尸-%+2,.x=2 或 x=4(舍)，当 x=2 时，=-1?+x+4=-1 x4+2+4=4,2 2：.P (2,4).y23.（8 分）（202。济宁）我们把方程（X-,*）2+（y-）2=j 称为圆心为（如）、半径长为r 的圆的标准方程.例如，圆 心为（1,-2）、半径长为3 的圆的标准方程是（x-1）2+（y+2）2=9.在平面直角坐标系中，O C 与轴交于点A,B,且点B 的坐标为（8,0）,与 y 轴相切于点。（0,4）,过点A,B,。的抛物线的顶点为E.（1）求O C 的标准方程；（2）试判断直线AE与O C 的位置关系，并说明理由.【答案】见解析。【分析】（1）如图，连接CO,C B,过点C 作 CM_L48于 例.设 O C 的 半径为八在RtaBCM中，利用勾股定理求出半径以及等C 的坐标即可解决问题.（2）结论：AE是O C 的切线.连接4C,C E.求出抛物线的解析式，推出点E 的坐标，求出AC,AE,CE,利用勾股定理的逆定理证明NCAE=9（T即可解决问题.【解析】（1）如图，连接CD,C B,过点C 作 CM_LA8于 M.设O C 的半径为r.与y 轴相切于点。（0,4）,：.CDOD,?4C D 0=4C M 0=NDOM=90,四边形ODCM是矩形，：.CM=OD=4,CD=OM=r,：B（8,0）,.08=8,：.B M=S-r,在 Rt Z k C M B 中，VB C2=C M2+B M2,=4 2+(8-r)2,解得r=5,：.C(5,4),.0C 的标准方程为(%-5)2+(y-4)2=2 5.(2)结论：A E是0 c的切线.理由：连接A C,CE.：CM1AB,：.AM=B M=3,；.A (2,0),B(8,0)设抛物线的解析式为y=a (x-2)(x-8),把。(0,4)代入y=a (x-2)(x-8),可得。=*,抛物线的解析式为产,(x -2)(x -8)=#一表+4=*(x -5)2 抛物线的顶点E(5,9-4254-9-44+C E-A C=5,：.ZCAE=90,，A E是O C的切线.2 4.（1 2分）（2 02 0甘孜州）如图，在平面直角坐标系x Oy中，直线=区+3分别交x轴、y轴于A,B两点，经过A,B两点的抛物线），=-f+b x+c与无轴的正半轴相交于点C （1,0）.（1）求抛物线的解析式；（2）若P为线段A B上一点，N A P O=N A C B,求A P的长：（3）在（2）的条件下，设M是y轴上一点，试问：抛物线上是否存在点N,使得以A,P,M,N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】见解析。【分析】（1）利用待定系数法解决问题即可.（2）求出A 2,O A,A C,利用相似三角形的性质求解即可.（3）分两种情形：以为平行四边形的边时，点M的横坐标可以为2,求出点M的坐标即可解决问题.当A P为平行四边形的对角线时，点M的横坐标为-4,求出点M的坐标即可解决问题.【解析】（1）由题意抛物线经过8（0,3）,C（1,0）,c=31+b+c=O解 此：二 抛物线的解析式为y=-x2-2x+3(2)对于抛物线y=-7-2%+3,令 y=0,解得x=-3 或 1,(-3,0),(0,3),C(1,0),：.OA=OB=3OC=f AB=3近,V ZAPO=ZACB9 ZPAO=ZCAB,AP AO ,AC AB 丝 34 3V2：.AP=2y/2.(3)由(2)可知，P(-1,2),A P=2&,当 AP为平行四边形的边时，点 N 的横坐标为2 或-2,：.N(-2,3),N(2,-5),当 AP为平行四边形的对角线时，点 N 的横坐标为-4,：.N(-4,-5),综上所述，满足条件的点N 的坐标为（-2,3）或（2,-5）或（-4,-5）.2 5.(1 2分)(2 02 0聊 城)如图，二次函数y 0?+法+4的图象与x轴交于点A (-1,0),B(4,0),与y轴交于点C,抛物线的顶点为),其 对 称 轴 与 线 段 交 于 点E,垂直于x轴的动直线/分别交抛物线和线段8 C于点尸和点八 动直线/在抛物线的对称轴的右侧(不含对称 轴)沿x轴正方向移动到B点.(1)求出二次函数y=n f+h x+4和B C所在直线的表达式；(2)在动直线/移动的过程中，试求使四边形OEF P为平行四边形的点P的坐标：(3)连接C P,C D,在动直线/移动的过程中，抛物线上是否存在点尸，使得以点P,C,尸为顶点的三角形与相似？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由.【答案】见解析。【分析】(1)由题意得出方程组，求出二次函数的解析式为y=-/+3x+4,则C(0,4),由待定系数法求出8 c所在直线的表达式即可(2)证OE尸F,只要。E=P凡 四边形。a乎即为平行四边形，由二次函数解析式求出点。的坐标，由直线8 c的解析式求出点E的坐标，则。E=当，设点P的横坐标为f,则尸的坐标为：C,-广+3 f+4),F的坐标为：(t,-t+4),由。E=P F得出方程，解方程进而得出答案;(3)由平行线的性质得出/C E C=/C F P,当Z P C F=N C C E时，P C F s/c E,则 一=,得出方CE DE程，解方程即可.【解析】(1)将点 A(-1,0),B(4,0),代 入)-af+forH,得.0 =a-b+4e1 0 =1 6 a+4 b+4 解得：片=/，3 =3.二次函数的表达式为：y=-/+3 x+4,当 x=0 时，y=4,：.C(0,4),设3。所在直线的表达式为：y=mx+n,将 C (0,4)、B(4,0)代入 y=g+，得：仁=1上,1 0 =4 m +n解得：:二;L.BC所在直线的表达式为：y=-x+4；(2)：E _ L x 轴,P凡L x轴,J.DE/PF,只要D E=PF,四边形。E F P即为平行四边形，y=-，+3 x+4=-(x-9)3 25 点。的坐标为：(二，2 4将 x=m弋入 y=x+4f 即 y=+4=擀，一,3 5 点E的坐标为：(；，-),2 2.八1 r 25 5 15 阳 彳-2=彳,设点P的横坐标为3则尸的坐标为：(r,-F+3/+4),厂的坐标为：(/,-1+4),:PF=-/+3/+4-(-/+4)=-Z +4/,01 q由D E=P F得:-+4/=蛾，解得：“=(不合题意舍去)，/2=|，q o 5 o q 21当 t=引寸，-产+3什4=-(-)2+3X 5+4=4，2 Z 45 21 点尸的坐标为(-,);2 4(3)存在，理由如下：如图2所示：由(2)得：PF/DE,；,/C E D=N C F P,又YNPC尸与NDCE有共同的顶点C,且NPCF在NOCE的内部,:/PCF#/DCE,，只有NPCF=NC)E时，X P C F s X C D E,PF CF.=,CE DE3 5VC(0,4)、E(-,-),2 2.。=哥+(4 _ 务2=挈,由(2)得：O E=竽，P F=-/+4 f,F 的坐标为：G,-r+4),：.CF=y/t2+4-(-t+4)2=V 2 z,.-t2+4 t V 2 tA 3V2=-41 5一(-t+4)=3,4解得：T，当也 匚 可1 6时rH.，-，2+c3-d4=-(/1 6)、2 +31 x-1 6y+,4.=2854,1 6 8 4，点 P的坐标为：(二,).5 2 5图 22 6.（8分）（2 0 2 0 黔东南州）黔东南州某超市购进甲、乙两种商品，已知购进3件甲商品和2件乙商品,需 6 0 元；购进2 件甲商品和3 件乙商品，需 65 7t.（1）甲、乙两种商品的进货单价分别是多少？（2）设甲商品的销售单价为x（单位：元/件），在销售过程中发现：当 U W x W 1 9 时，甲商品的日销售量y（单位：件）与销售单价x 之间存在一次函数关系，小 y之间的部分数值对应关系如表：销售单价x(元/件)1 1 1 9日销售量y (件)1 8 2请写出当U W x W 1 9时，)，与x之间的函数关系式.(3)在(2)的条件下，设甲商品的日销售利润为w元，当甲商品的销售单价x(元/件)定为多少时，日销售利润最大？最大利润是多少？【分析】(1)设甲、乙两种商品的进货单价分别是“、人元/件，由 题 意 得 关 于 的 二 元 一 次 方 程 组,求解即可.(2)设y与x之间的函数关系式为y=鬲x+，用待定系数法求解即可.(3)根据利润等于每件的利润乘以销售量列出函数关系式，然后写成顶点式，按照二次函数的性质可得答案.【解析】(1)设甲、乙两种商品的进货单价分别是、&元/件，由题意得：(3a+2 b=6 02 a+3 b=6 5 解得：仁3甲、乙两种商品的进货单价分别是1 0、1 5元/件.(2)设y与x之间的函数关系式为y=%x+仇，将(1 1,1 8),(1 9,2)代入得：1 1的+瓦=1 8 解得 f f c i =-21 9/C j+br=2，用 匕=4 0，与x之间的函数关系式为)，=-2 x+4 0 (1 1 W1 9).(3)由题意得:w=(-2 x+4 0)(x-1 0)=-2?+6 0 x-4 0 0=-2 (x-1 5)2+5 0 (1 1 WXW1 9).当x=1 5 时，w 取得最大值50.当甲商品的销售单价定为15元/件时，日销售利润最大，最大利润是50 元.