2023年经济数学基础线性代数讲义.pdf

经济数学线性代数学习讲义合川电大兰冬生1,矩阵：0 1 2A=1 1 4,称为矩阵。结识矩阵第一步：行与列，横为行，竖为列，_2-1 0第一行依次0,1,2,第二行1,1,4第一列0,1,2这是一个三行三列矩阵，再给出一个三行四列矩阵 2-5 2-3 一A=1 2-1 3-2 14-6 12教材概念的m行 n 列矩阵。a a2 an?a：-，这个矩阵记作儿*“，表白这个矩阵有加行，“列，注意行m4 1 an,2 a,nn_写在前面，列n 写在后面，括号里面的称为元素，记为,i 是行，是列，例如：-2-5 2 -3 12-13是三行四列矩阵,也说成3x4矩阵，注意行3 在前面，列 4 在-2 14-6 12后面，这里即=2（就是指的第一行第一列那个数）43=-1（就是指的第二行第三列那个数）2,矩阵加法矩阵加法，满足行列相同的矩阵才干相加,相应位置的数相加。0 1例如：1 0-1-1oi ro i 21 +1 1 40 2-1 00 2 22 1 51 -2 0减法是相应位置的数相减。，3,矩阵的乘法矩阵乘法参看以下法则：注意字母相应a2a2a22“32。13“23a3341%如X%。22 023_瓦1、32%an X。+al2 xZ?2 l+al3 x/731=X。+。22 X021+。23*。31_ 31 x b“+a3 2 X h21+a3 3x h3 al XI2+a2 X 姐+为3 X%a2 i x bi2+a2 2 x b2 2+a2 3 x b32a3l X 仇2+a32 X 22+“33 X 032X 仇 3+。12 X 匕23+413 /32|X 仿3+22*8 23+。23 X。33济 3+0 3 2 X 6 2 3+0 3 3 X 6 3 3注意角标，角标是2 3,就乘积的结果矩阵人等于第一个矩阵的第一行元素为 的为3乘以第二个矩阵的第一列元素如与勾，注意是相应元素相乘，再求和。乘积的结果矩阵等于第一个矩阵的第二行元素%I。22 的3乘以第二个矩阵的第一列元素如&砥。第一行乘以第一列，lx6+0 xl+(-2)x4=(-2)第一行乘以第二列，1X3+0X2+(2)xl=l第二行乘以第一列，1x6+(2)xl+0 x4=4第二行乘以第二列,1x3+(2)x 2+0 x1=1可以乘的条件：第一个矩阵的列数和第二个矩阵的行数必须相同，就是尾首必须相同，A,”*,线X V 可以乘必须是A 矩阵脚标的尾等于6 矩阵脚标的首w相等，n=w例如：4*3鸟/3可乘4*3 3 4 x 3不可乘,只要尾首相同就可乘，人 氏冈,乘积为?X V矩阵例如：AZNAM可乘,乘积结果为。2*3矩阵A4X3B3X2可乘,乘积结果为。4*2矩阵矩阵的数乘，一个数乘以一个矩阵,等于这个矩阵的每个元素乘以这个数矩阵的乘法可以看出，矩阵的乘法不可互换,一般情况下ABw BA4,矩阵的转置矩阵A转置矩阵记为A士 求 卜 缶 妊从这里看出,下面一个矩阵A是2 X 3 矩阵（2 行 3 歹 U）则A T 是 3 X2矩阵（3 行 2列），2 0 2 3 年 1 月考题：设 A 为 3 X4矩阵，B为 5X2矩阵，且乘积矩阵/。丁）故意义，则C为（B ）矩阵。A.4 X 2 B.2X4 C.3 X 5 D.5 X 3分析：根据尾首相同法A C 51 可表达为（3X4）（）（2*5）,中间一个就是4 X 2,注意是C,所以C就是2 X 4。对称矩阵：对称矩阵的元素依主对角线对称：0 2 1 .设4=3，当 0 _ 时，A是对称矩阵.2 3 X 15,求矩阵的逆预备知识：（1）,在数的学习中，数的单位是l,3 x；=l,-1 0 0 0 1 0矩阵的单位是/=：.:，除主对角是1以外，其余全是0,并且，单位矩阵0 0 1全是方阵（行数与列数相等）任 何 矩 阵 乘 以 单 位 阵 不 变（可以试一试）1 0 0 例，3 阶单位阵，7=0 1 0，我们以3 阶阵来说逆，0 0 1一 0 1 2-已知A =1 1 42-10与前面3 x 1=l类似，能不能找到一个矩阵，使得力乘以这个矩阵等于单位阵？3记为AAT=1,A称为A的逆,（2）矩阵的初等变换，将矩阵的任意两行互换，把某一行乘以一个数（指对这一行的每个元素都乘以这个数）,把某一行乘以一个数,然后加到此外一行。求逆求逆原理：A/M A f,0 1 2举例：设矩阵力=114,求逆矩阵2-1 0分析：第一步:把/和单位阵/写在一起,0 1=1 12-12 1 0 04 0 1 00 0 0 1第二步:初等变换1 1 4-0122-1 00 1 01 0 0,（由于第一行第一个数是0,要化成前面是单位0 0 1阵，这里就不能是0,于 是 互 换1,2行，随便两行都可以互换，由于第二行第一个数是1,简朴，所以就1,2行互换）1 1 4 0 1 00 1 2100第一行乘以-2加到第三行，目的是化0,除0-3-8 0-2 1主对角以外，其他所有化成01 1 4 0 1 0701210 0第二行乘以3加到第三行,0 0-2 3-2 11 0 2-1f 0 1 2 10 0-2 31 00 0现在开始化上面，第二行乘以一1加到-2 1第一行0 2-10 4-2-2 3-211第三行直接加到第一行；加到第二行1 0T 0 10 0I把对角线上的都化成1,1 0 0 2-1 1-0 1 0 4-2 10 0 1 -3/2 1 -1/2_第三行乘以T这一步是把前面化成单位阵,这个就是我们要的/A-1,前半部分是/,后半部分就是AT2-1 1所以 A=4-2 1-3/2 1 -1/2这是个考题，具体计算可以省略些环节，给出解题答案为:0 1 2设 矩 阵/=1 1 42-1 0求逆矩阵A*4.解 由 于（力I)0 11 12-12 1 04 0 10 0 001 p0-01 01 41 2-3 -80 1 01 0 00-2 11 0 2-1 0 1 2 10 0-2 31 01 1 0 0 20 0 0 1 0 4-2 1J o 0-2 3-1-2-211I1T 000 0 21 0 40 1 -3/2-1 1-2 1I-1/22所 以A-4-3/2-1 1-2 11 -1/2另一种题型,解矩阵方程,其原理是对4乂 =3两边左乘（就是靠在左边）得ATAX=A T 5由 于A-k=/,所 以X=A-%,注意任何矩阵乘以单位阵保持不变。例:已 知AX=3,其 中A求X.分 析:先 求 逆，在 计 算。解：运用初等行变换得1 2 3 1 03 5 7 0 15 8 10 0 001 F1 20-0-11 0-2-2-3 1 0-5-5 0 11 0 01 2 0 4-0 1 23-10-0 10 0-11 -2 10 0 1-1-6 3-5 22-13 1 0 01 2 3051 0 0-64-0 1 0-5 20 0 1-12-I5即-6 4-1=5-5 2-1 2-1由矩阵乘法和转置运算得考题举例:1,2.设 矩 阵A=110-2-2 0,B6 31 2,计 算(Z 3)T.4 1解由于力6以所110-2-2 0614321-2 14-1-_)f-1-21/1-22(-雨/V-I-I_-_o11-21121-2211O1-2O-1o一一-1o1-11o-121-1o13.设 矩 阵A=021-20B102-1-32计算解 由于BA二所以4.解即1 20-1BA（刃）T=解矩阵方程由于-23-2-23-3201-20-54-32I）=-34-54-321001-14-121 10 1101-2-14-15-1001%X =-121-2-23-3410013141011-34所以,X-10111-31-21 00 14-33-24-33-23 T-12-2 2-15.设矩阵A1 0 -21 -2 0102-1-32，计算(/9)解:ABT=110-2-2012-30-127 -4-3 2所以(A*)”132272.6.设矩阵A1-12-3且 有+A B =3452，求矩阵8.解：A 3 =3452-A7所以8=A-I3452(7345212-1-3、7=A-12265，又A i3-12-1所以83-17.设矩阵4，计算1 (Z-TTB.设矩阵A =-1-6 ,B=L解:,-2 5-因为A-l=-7r-2 5 1 0-TA-/=.3 -7 0 1J 135 1 O n-2 1 1rOrO0 7 5ir75 n3 211107 501 3 2所以/)2-7511 CA l)B32-111352588.已知AX=3,其中A3710,B250381，求X.解:运用初等行变换得135258100即3710-23-2-51-3-5()01A-1-65-132-14-52-65-1-12-10-1-2 6-5232-14-52-12-100100001100210010001100200131001-1002I000145由矩阵乘法和转置运算得9.X=AB已知AX=3,其中A-65-11-112-134-52A-5 3-2 .10 分1解：由于13251001 102-11-3即1325-532-1所 以，才=122 13 32512-6-=7.15 分-3求 解 矩 阵 方 程X A=B .0 1 F l 0 -5 2 f o 1 3 -12 T-5 2 1 F 1 O-3 _|3 -1 J -1 10 -1 -31 1.设 矩 阵A=-2-2 -7，/是3阶 单 位 矩 阵，求(/-A)，_-3 -4 -8解：由矩阵减法运算得运用初等行变换得1231 33 74 91 00 10 00 10 -01 J|_ 0113 1 01 -2 10-3 00011 1 3-0 1 10 0 -11-2-101-1001I0010-2-3 310-30 10 1 1 1 -110 0 1-010-30 0 111-3 20 11 -1(/-A)r =-31即-3 20 11 -11 -11 2.设矩阵A=-1 22 201,8 =32-1 ,求1解：运用初等行变换得I-12-1220 11 03 0o o r i10-00 1 0-1 0 1 0 01 1 1 1 04 3-2011-1T 0 10 001-111-601-4I 1 一 0 f 0 11 J|_ 0 00 1 0 00 -5 -3 116 4-11 0 0-4-3 1-0 10-5-310 0 164 -1即-4A T =-56-3 1-3 14 -1由矩阵乘法得-4 -3A-B-5 -36 41 21 -1 =-1 1-4-671 0 213.设矩阵A=-1 2 43 1 11B=-2，求(2/-AT)3.3解-1 0 0-1 0 2T由于 2/-41=2 0 1 0-1 2 4_0 0 1_3 1 1-200一1-13-11-3=020021=00-1002241-2-41所以（2/-川）810-210-414.设矩阵A即解：由于1-12-1221-12013-122100100A-1所以 A y-11001-1I0011-601311-2I-560100010-3401-1010001-4-56-3-3411-1-4-56-3-3411-1-4-56-3-3411-1125-5-691 5.设矩阵/-1 3-42-6-21-3-11，求A l解 由 于（4I)-1 3-42 6-21-3-11100010001102101411100010721所以1 6.、=111解10010011-210-10-1035141-710-201072-1 3I00100I010-2-417-12001-120-1-203-71，求（II+A=12I+A 1=01110-2350100010371012100010001-1203-710-120-12+A)0+11 +(-1)0+(-2)00 1001-25300101000010+30+50+(-1)10001101531000-253501000I0100120011111 0 0-10 6-5-10 6-50 1 0-5 3-3:(I+A)-x=-5 3-30 0 1 2-1 12-1 11 7.设矩阵A10-10-12,B=001112，求(B Z)T。解：因为BrAP 0rr i0 10-11 12.3所以由公式可得(BTA)-=1 8.设矩阵A=13.解：因为且(/+A021F 3-21(-1)X 3-2 X(-1)-101200-20001000所以-11210-124-1，计算(/+A)-1/)=5分-124131-3/2(/+A)T10-2-1-20101111-1/2r 24-2002n001011-3/2 1-1/2.04-21-23-2113分15分矩阵求秩秩就是通过初等变换后,剩下的不全是0 行数！表达为r(A)T-1 1、例:矩阵2 0-1 的秩是 2J -3 4,1 -12 0J -31 (1-1-1-024J 1 0-21 PT一 3-0 23)10 0、-3 ,2行不是0,秩是20,考题举例:1 11.设 A=-2-23 31-2,贝。(A)=31rr 2 1 2I o 22.设矩阵 A=,3=0 1 01 -2 0 八八L 0 0 2-6 r2 2，计算“BAT+C).-4 22解：由于+C=001 I 卜 6 1-2+2 20-4 21 211 0 00 2 260-6 1=0 -2 +2 24 0-4 2且0 12 00 20+C=20120100020解方程组：这是每年必考题目!就是把方程组的系数写成相应的矩阵，通过初等变换，求出方程组的解。例如:求下列线性方程组的一般解:规定必须掌握+1+1所以一般解为1阳=产4%2=产（其中当是自由未知量）增广矩阵就是系数和等号后面的数一起构成的矩阵,2X 5 光2+2 元3 3 再 +2X2 一 /=3-2X1+14%2 6尤3=122-5 2的 系 数 矩 阵 是1 2-1-2 14-6，记为力，仅仅是系数构成的矩阵。2-5 2-3增 广 矩 阵 是1 2-1 3,记为耳，加了后面一列。-2 14-6 12就是多了等号后面一列方程组有解的条件：线性方程组A X =b有解的条件是,他的系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩即 秩（二秩（不，也可以写成 4）=万注意书上的定理,容易拿来考考填空：若线性方程组AX=匕 满足秩3）=秩（N）=r,则当=时，线性方程组有解且只有惟一解；当 时，线性方程组有无穷多解。通俗说法线性方程组A X=匕有唯一解的条件是系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩等于未知量个数，解的环节：写出增广矩阵，进行初等变换，规定主对角全是1或0,主对角是1的那一列其余元素全是0.根据矩阵结果写出解组。（注意表白自由未知量）自由未知量可以理解为参数，例如：上题的解是1 ,西=在+1:（其中当是自由未知量）%=七+11 ,X.=C +11 9也可以写成，设x,=C,解就可以写成*2=。+1,其中C是任意常数。（这里说明这个方程组的有很多解，不仅仅是一组数解，写成没有C的形式更简洁。）再看例子例：求下列线性方程组的一般解：一%2 +%4=2 X -2X2+%+4X4=32%,3X2+5X4=5解：将方程组的增广矩阵化为阶梯形11|2-3 1 5-1一 0 1 2-11 3 1 01 3 1J 0一1 0 1 2-1 1 3 10 0 0 0-1 0-1-2 b-0 1 -1 -3 -10 0 0 0 0_故方程组的一般解为:X i =x,-r 2 j-t +1（J,小 是自由未知最）.八-,rs-|-3.r i -1注意理解最后的矩阵还原。齐次型线性方程组有 非0解（就是所有都不是0）的条件是秩（A），也就是系数矩阵A的秩小于行数（未知量的个数）15.设齐次线性方程组xx 3X2+2X3=0 2否-5X2+3X3=0,3X 1-8X2+AX3=0X为什么值时,方程组有非零解？在有非零解时求其一般解.解：由于123-321-3-53-01-82012-1A-61 -3 21 0-10 1 -1-0 1 -10 0 2-50 0 2-5所以，当2=5时方程组有非零解.一般解为=七（其中专为自由未知量）产 2 =X3有解的条件是最下面一行必须全为0,所以4-5 =0!考题举例1.求当几取何值时，线性方程组2玉-x2+x3+x4-1 X 1 +2X2-X3+4X4-2$+7X2-4X3+1 lx4=2有解，并求出一般解.解:将方程组的增广矩阵化为阶梯形2-11112-141 7-4 111 1 2-12-0-5 3|_ 5-34-772-32-212-14 2f 0 5 3-7 -30 0 0 0 2-5当X=5时,方程组有解，且方程组的一般解为4 1 6匕3 3 7其中,乙为自由未知量.2.求线性方程组3%,-8X2-4X3-x4=0一 2玉 +%2-+2乙 1一网 一 2%2 6%3+2 =2的一般解.解：将方程组的增广矩阵化为阶梯形1 -3-2-1 11 -3-2-1 13-8-4-1 00 1 2 2-3一-21-4210-5-8 0 3-1-2-6 1 20-5-8 0 3此时齐次方程组化为*21 -3-20 1 20 0 20 0 0 x3+5X4=-6得方程组的一般解为x=16+1 5X4 0 1 0-30 0 1 0一般解为$=8X4。0=3匕（乙是自由未知量）%3=4.求当4取何值时，线性方程组X+工2 2犬3-工4 二 -2 0-11 2+1J o-2-21122-1510-2 1 1 1 -2 -110-0-1 11 52+19-2100 0 0 0 2-1所以，当2=1时，方程组有解，且有无穷多解,1 0 9 4 8 0 1-1 1 -5-100 0 0 0 0一般解为：0-363f01-223 0-101-2-10001-10一般解为：其中与，%是自由未知量.x2=2X3+x4王+2 元 3 匕=06 .求线性方程组 -匹+&-3 七+2 匕=0 的一般解.2x-x2+5X3-3X4=0解：由于系数矩阵1 0A=-1 12 -12 -1 1 1 0-35 -3 J Q-12 -1-1 11 -12-010 2-1-4-0 1-1 10 0 0 0所 以 一 般 解 为 2 七+为x2=x3-x4（其中与，工 4是自由未知量）X）+x2+x3=17.当X取何值时,线性方程组，2X,+X2-4X3=A 有解？并求一般解.X,+5%3=1解由于增广矩阵 不=2 1 -4 Z-10 5 11 1-0-10 11 1-6 2-26 21 0 -5-01 60 0 0-122所以，当4=0 时，线性方程组有无穷多解,且一般解为:x2-6X3+2（七是自由未知量）8:求当2 取何值时线性方程组2玉+%2 213 匕 二 2十 九 2+7七+3匕=6 有解，在有解的情况下9修 +712+4X3+x4=4 +1求方程组的一般解.解：将方程组的增广矩阵化为阶梯形矩阵1 1-2-1 -22 1 7 3 69 7 4 1 2+11 1-2-1 -20-1 11 5 100-2 22 10 A+I9-J0-2110-150-2104 I由此可知当4=1时,方程组有解.止匕时1 1 -2-10-1 II 50 0 0 0-21001 1 -20 1 -110 0 0-1-50-2-1009-1104-508-100A100-100010得方程组的一般解为2=913 414+8%2=1+5X4-10其中七，乙是自由未知量9.求线性方程组N-3X2-2 -x4=23x,1-E2x.-4X3-X4=0 2万3 4 的一般解。2%1+x,-4鼻+2X4 1-x-2X2-6&+&=2解：将方程组的增广矩阵化为阶梯形-1-3 -2 -1 r3 2 1 1 38 4 1 0012 2-32 1-421 058 0 31-2-6 1 2一0一5 8 0 3.】一3 一2-11 1 0 0-1 5 16-0 12 2-3010-8 90 0 2 10-12,A0 0 1 5-60 0 0 000 0 0 0 0.由此得到方程组的一般解工】=15X4+16=8*+9 （其 中 是 自 由 未 知 量）x3=-5x4 61 0.求齐次线性方程组%+/+2X3-X4=0-xt-3x3+2/=0 的一般解。2xl+%+5思-3x4=0解：将系数矩阵化为行简化阶梯阵1 1 2-1A=-1 0-3 22 1 5-31 1 2-1 0 1-1 10-1 1-11 0 3 0 1 -10 0 0-210所以，方程组的一般解为西二-3七+2X4（其 中 私 X4是自由未知量）注意：此资料过于形而上学，已经偏离数学意义,如以后再学数学,希望立足于概念，定理，分析方法，生成原理,运用于实际。