北师大版数学八年级下册《期末考试试卷》附答案解析.pdf

北 师 大 版 数 学 八 年 级 下 学 期期末测试卷学校 班级 姓名 成绩1.若甲、乙两人同时从某地出发，沿着同一个方向行走到同一个目的地，其中甲一半的路程以“（km/h）的速度行走，另一半的路程以次km/h）的速度行走；乙一半的时间以“（km/h）的速度行走，另一半的时间以仪km/h）的速度行走（aW力，则先到达目的地的是（）A.甲C.同时到达B.乙D.无法确定2.如图，大正方形与小正方形的面积之差是4 0,则阴影部分的面积是（)A.80B.40C.20D.103.等边AABC的边长为6,点 O 是三边垂直平分线的交点，ZFOG=120,NFOG的两边OF,0 G 分别交AB,BC与点D,E,NFOG绕点O 顺时针旋转时，下列四个结论正确的是（）27 OD=OE；S&0DE=SmDE；SODBE=K6 ABDE 周长最小值为 9.OA.1个 B.2 个 C.3 个 D.4 个4.设 a 0,b 0,且&（6+血）=3血（6+5扬），则a-b +yfab2a+3h+sab的 值 是（）5.如图，菱形ABCD中，ZBAD=60,AC与 BD交于点0,E 为 CD延长线上的一点，且 C D=D E,连接 B E,分别交AC、AD于点F、G,连接0 G,则下列结论：O G=，AB；图中与4E G D 全等的三角2形共有5 个；以点A、B、D、E 为项点的四边形是菱形；S 四皿ODGF=S g B F.其中正确的结论是（）A.B.C.D.6.如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是5,高 是 1 2,上底面中心有一个小圆孔，已知一条到达底部的直吸管在罐内部分的长度为a,若直吸管在罐外部分还剩余3,则吸管的总长度b（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）范 围 是（)A.12WbW13B.12WbW15C.13WbW16D.15WbW167.如图，平行四边形ABCD中，AB：BC=3：2,/DAB=60。，E在AB上，且AE：EB=1：2,F是BC的中点,过D分别作DPJ_AF于P,DQJ_CE于Q,则DP：DQ等 于（）A.3：4B.2 g ：屈C.V13-276D.V13-25/58.在数学拓展课 折叠矩形纸片上，小林发现折叠矩形纸片ABCD可以进行如下操作：把AAB尸翻折,点 8 落在C边上的点E 处，折痕为A F,点尸在BC边上；把翻折，点。落在AE边上的点G 处,EH折痕为A H,点”在 CQ边上，若 A=6,C=10,则=（）EF9.直角三角形的面积为5,斜边上的中线为d,则这个三角形周长为（）A.y/d2+S+2dB.yd2-S-dC.2 y ld-+S+d D.l(4 d-+S10.如图，直角三角形。EF是直角三角形ABC沿8C平移得到的，如果A8=6,BE=2,0/7=1,则图中阴影部分的面积是一.11.如图，四边形ACDF是正方形，NCEA和N A3/都是直角，且点E,A,B三点共线，=4,则阴影部12.如图，在平面直角坐标系中，长方形OAC8 顶点。在坐标原点，顶点A,8分别在X轴，y轴的正半轴匕0 4 =3,0 3 =4,。为边。8的中点，E是边。4上的一个动点，当A C O E的周长最小时，点E的坐标为.13.如图所示，正方形ABCD的面积为12,4 A B E是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P,使PD+PE的和最小，则 这 个 最 小 值 为.14.矩形A B C D内 一 点P到 顶 点A,B,C的长分别是3,4,5,贝U P O=.15.如图，在直线m上摆放着三个正三角形：AABC、HFG、A D C E,已知BC=CE,F、G分别是BC、2CE的中点，FMAC,GND C.设图中三个平行四边形的面积依次是Si,S,S3,若 Si+S3=10,则 S=.16.以正方形ABCD 一边AB为边作等边三角形A 8 E,则NCEO=17.已知三个实数x,y,z满足-=-2,-=,-=-,求-的值.x+y y+z 4 z+x 4 xy+yz+zx18.如图所示，在第四象限内的矩形OABC,两边在坐标轴上，一个顶点在一次函数y=0.5x-3的图象上，当点A 从左向右移动时，矩形的周长与面积也随之发生变化，设线段0A 的长为胆，矩形的周长为C,面积为 S.(1)试分别写出C、S与加 函数解析式，它们是否为一次函数？(2)能否求出当?取何值时，矩形 周长最大？为什么？19.定义：只有一组对角是直角的四边形叫做损矩形，连结它的两个非直角顶点的线段叫做这个损矩形的直径.(1)如 图 1,损矩形ABCD,NABC=NADC=90,则该损矩形的直径是线段A C,同时我们还发现损矩形中有公共边的两个三角形角的特点，在公共边的同侧的两个角是相等的.如图1中：AABC和4ABD有公共边A B,在 A B 同侧有NADB和/A C B,此时/A D B =NACB；再比如aA B C 和ABCD有公共边B C,在 CB同侧有/B A C 和N B D C,此时/B A C=/B D C.请 再 找 一 对 这 样 的 角 来=(2)如图2,ZkABC中，ZABC=90,以 AC为一边向形外作菱形ACEF,D 为菱形ACEF的中心，连结 B D,当 BD平分/A B C 时，判断四边形ACEF为何种特殊的四边形？请说明理由.(3)在 第(2)题的条件下，若此时A B=3,B D=4&，求 BC的长.20.将矩形A8CQ绕点8 顺时针旋转得到矩形AIB C QI，点A、C、。的对应点分别为A k G、D(1)当点4 落在4 c 上时如图1,若/CAB=60。，求证：四边形ABOC为平行四边形;如图2,A。1交 C B 于点O.若/C A B#0。，求证：D O=A O；(2)如图3,当过点C时.若 BC=5,C D=3,直接写出A N 的长.图 1图 2图 3答案与解析1.若甲、乙两人同时从某地出发，沿着同一个方向行走到同一个目的地，其中甲一半的路程以“(km/h)的速度行走，另一半的路程以6(km/h)的速度行走；乙一半的时间以“(km/h)的速度行走，另一半的时间以双km/h)的速度行走(aW b),则先到达目的地的是()A.甲B.乙C.同时到达【答案】BD.无法确定【解析】【分析】设从A 地到B 地的路程为S,甲 走 完 全 程 所 用 时 间 为 乙 走 完 全 程 所 用 时 间 为 根 据 题 意，分别表示出甲、乙所用时间的代数式，然后再作比较即可.【详解】解：设从到达目的地路程为S,甲走完全程所用时间为t p,乙走完全程所用时间为t 乙，由题意得,2 .2 =S(a+b)甲 a b 2ab12S而对于乙:“x 一坛+x-f乙=S 解得：，乙二一-2 2 a+h.乙4而t甲(a +b)2因为当 aWb 时，(a+b)24ab,所以t乙 _ 4ab厢(a+b)2 t乙即甲先到达，故答案为B.【点睛】本题考查了根据实际问题列代数式，列代数式首先要弄清语句中各种数量的意义及其相互关系,本题解题的关键是表示出甲乙所用时间，并选择适当的方法比较出二者的大小.2.如图，大正方形与小正方形的面积之差是4 0,则阴影部分的面积是()A.80 B.40 C.20D.10【答案】C【解 析】【分 析】设大小两个正方形的面积分别为a、b,得 到 上2=40；又阴影部分面积=4 AEC+4ADE,然后使用三角形面积公式进行计算、化 简即可解答.解：如图：设 大 小 两 个 正 方 形 面 积 分 别 为a,b则有 a2-b2=40又.阴影部分面积=AEC+AADEa2-ab+a b-b22 2 2 22=20故 答 案 为C.【点 睛】本题考查了几何图形中阴影面积的求法，关在于运用数形结合，将不规则图形化归为规则的几何图形的组合.3.等边A A B C的 边 长 为6,点O是三边垂直平分线的交点，ZFOG=120,/F O G的 两 边OF,OG分别交AB,BC与 点D,E,/F O G绕 点O顺时针旋转时，下 列 四 个 结 论 正 确 的 是（）27OD=OE；SAODLSABDE；5前m=片 百；4 B D E的周长最小值为9.8A.1个 B.2个 C.3个 D.4个【答 案】B【解 析】【分 析】连 接OB、O C,如 图，利用等边三角形的性质得NABO=/OBC=NOCB=30,再证明NBO D=NCO E,于是可判断aBO D 丝C O E,所 以 BD=CE,OD=OE,则可对进行判断；利用 S 股。=得到四边形ODBE的面积=:SM B C=36，则可对进行判断:作OH，DE,如图，则DH=EH，计算出SW D I.=O E2 利用SA。加面 积 随 O E 的变化而变化和四边形ODBE的面积为定值可对进行判断；由于4 B D E 的周长=BC+DE=4+DE=4+JOE,根据垂线段最短，当 OEJLBC时，OE最小，4B D E 的周长最小，计算出此时OE的长则可对进行判断.解：连接OB、O C,如图，VAABC为等边三角形，A ZABC=ZACB=60,，点0 是 ABC的中心，.,.OB=OC,OB、OC 分别平分NABC 和NACB,/./ABO=NOBC=/OCB=30A ZBOC=120,BPZBOE+ZCOE=120,ffijZDOE=120,BP ZBOE+ZBOD=120,二 ZBOD=ZCOE,在aB O D 和COE中N B O D =Z C O E 0,b 0,且 G（6+血）=3 6（6+5扬），则.心的 值 是（）/2a+3b+yabA.21 1 31B.-C.D.4 2 58【解析】【分析】将 6（6+声）=3 扬（6+5北）变形后可分解为：（。-5 扬）（&+3 出）=0,从而根据a0,b 0 可得出a 和 b 的关系，代入即可得出答案.【详解】由题意得：a+J 石=3 J 拓+15b,:.（6-5 扬）（&+3 扬）=0,故可得：&=5 扬，a=25b,.a h+yab 12a+3b+sab 2故选C.【点睛】本题考查二次根式的化简求值，有一定难度，根据题意得出a 和 b 的关系是关键.5.如图，菱形ABCD中，ZBAD=60,AC与 BD交于点O,E 为 CD延长线上的一点，且 CD=D E,连接 B E,分别交AC、AD于点F、G,连接O G,则下列结论：O G=AB；图中与4E G D 全等的三角2形共有5 个；以点A、B、D、E 为项点的四边形是菱形；$瞰 胫DGF=SAABF.其中正确的结论是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由 AAS证明4ABG丝4 D E G,得出AG=DG,证出OG是4A C D 的中位线，得出OG=，C D=-A B,正2 2确；先证明四边形ABDE是平行四边形，证出ABDABCD是等边三角形，得出AB=BD=AD,因此OD=AG,得 出 四 边 形 ABDE是菱形，正确；由菱形的性质得得出4ABG名B D G Z 4 D E G,由 SA S证明ABG也D C O,得出ABO丝BCO丝CDOgAAOD丝4ABG丝ZBDG丝 D E G,得出不正确；证出OG是aA B D 的中位线，得出OG/AB,O G=-A B,得出G O D saA BD,A A B F A O G F,由相似2三角形的性质和面积关系得出s四 或 柩ODGF=SAABF;不正确；即可得出结果.【详解】解：四边形ABCD是菱形，AB=BC=CD=DA,AB/CD,OA=OC,OB=OD,AC BDNBAG=ZEDG,ABO A B C。s CDO 三 AAODCD=DE：.AB=DE在4A B G 和ADEG中，NBAG=ZEDG ZAGB=NDGEAB=DE.,.ABGADEG(AAS),，.AG=DG,，0 G 是AACD 中位线，.O G=-C D=-A B,正确；2 2VAB/CE,AB=DE,四边形ABDE是平行四边形，NBCD=/BAD=60,/.ABD.4B C D 是等边三角形，AB=BD=AD,ZODC=60,.O D=A G,四边形ABDE是菱形，正确；AAD1BE,由菱形的性质得：ABGgzBDG乌4DEG,在4A B G 和DCO中，O D =AG/6 D 屈：2石【答案】B【解析】【分析】连接DE、D F,过 F 作 FNLAB于 N,过 C 作 CMJ_AB于 M,根据三角形的面积是平行四边形面积的一半,可推出AFxDP=CExDQ,根据线段比例关系设出AB=3a,BC=2a,然后在R C A FN 和 RtZCEM中，利用勾股定理计算出AF、C E,再代入AFxDP=CExDQ可得结果.【详解】连接DE、D F,过 F 作 FN_LAB于 N,过 C 作 CM_LAB于 M,SADEC=SADFA=5 s平 行 四 边 形ABCD，即 5 AF-DP=CE-DQ./.AFxDP=CExDQ,.四边形ABCD是平行四边形，；.ADBCV ZDAB=60,.,.Z C B N=Z D A B=60,.VAB：BC=3：2,.,.设 AB=3a,BC=2aVAE：EB=1：2,F 是 BC 的中点，BF=a由勾股定理得：FN=K3a,CM=V3a2 AF I 1 丫（6 Y 后W 2 M2 JZBFN=ZMCB=301BE=2a,BN=a,BM=a2CE=J（3a）2 +=2 瓜 VBa DP=2百 a D Q.，D P:D Q=2 g:巫，故选 B.【点睛】本题考查平行四边形中勾股定理的运用，关键是作出正确的辅助线，构造直角三角形，利用勾股定理计算出AF、CE.8.在数学拓展课 折叠矩形纸片上，小林发现折叠矩形纸片ABC。可以进行如下操作：把A8F翻折,点 B 落在C边上的点E 处，折痕为A F,点尸在8 c 边上；把翻折，点。落在AE边上的点G 处,EH折痕为A H,点”在 CD边上，若 AO=6,CZ)=10,则=()【答案】A【解析】【分析】利用翻折不变性可得 AE=AB=10,推出 DE=8,EC=2,设 BF=EF=x,在 RtZXEFC 中，x2=22+(6-x)2,可得 x=,设 DH=GH=y,在 R dE G H 中，y2+42=(8-y)2,可得y=3,由此即可解决问题.【详解】四边形A B S 是矩形，.,.N C=/)=90。，A B CD=IO,A D=B C=6,由翻折不变性可知：AB=AE=O,AO=AG=6,BF=EF,D H=H G,:.EG=4,RtA ADER 中，D E=N 3 一 也2=JI0 2 _ 6 2=8,.,.EC=10-8=2,设 B F=E F=x,在 R 3 EFC 中有：/=22+(6-x)2,10.x，3设 Q”=G H=y,在 RS EG4中，y2+42=(8-y)2,Ay=3,:EH=5,5.EH_ _ J o _ 3 ,F -T-2故 选A.【点 睛】本题考查矩形的性质，翻折变换，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型.9.直 角 三 角 形 的 面 积 为S,斜 边 上 的 中 线 为d,则 这 个 三 角 形 周 长 为（）A.yld2+S+2 d B.S-dC.2&2 +s+d D.2（J屋+s+d）【答 案】D【解 析】【分 析】根据直角三角形的性质求出斜边长，根据勾股定理、完全平方公式计算即可.【详 解】解：设直角三角形的两条直角边分别为x、y,斜边上的中线为d,.斜边 长 为2 d,由勾股定理得，x2+y2=4 d2,.直角三角形的面积为S,二 S =；x y,贝U 2 x y=4 S,即（x+y）2=4 d2+4 S,x+y =2山2+s.,.这个三角形周长为：2（,屋+5+,故 选D.【点 睛】本题考查的是勾股定理的应用，直角三角形的两条直角边长分别是a,b,斜 边 长 为c,那 么a2+b2=c2.1 0.如 图，直角三角 形。E F是 直角三角形A 8 C沿B C平移得到的，如 果AB=6,BE=2,D H=1,则图中阴影部分的面积是一.【答 案】1 1【解 析】【分析】根据平移的性质可得到相等的边与角，利用平行线分线段成比例可求出E C,再根据SHDFC=SAEFD-SGCH即可得到答案.【详解】解：由平移的性质知，DE=AB=6,HE=DE-DH=5,CF=BE=2,HCDF,NDEF=/B=90,，HE:DE=EC:EF=EC:(E C+C F),即 5：6=EC:(EC+2),.,.EC=10,EF=EC+CF=10+2=12,1 SHDFC=SAEFD-SAECH=2,EF -EH-EC=11故答案为H.【点睛】本题利用了平行线截线段对应成比例和平移的基本性质：平移不改变图形的形状和大小；经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等.11.如图，四边形ACDF是正方形，N C E 4和 N A 3R 都是直角，且点三点共线，A3=4,则阴影部分的面积是.【答案】8【解析】【分析】证明aAEC丝AFBA,根据全等三角形对应边相等可得EC=AB=4,然后再利用三角形面积公式进行求解即可.【详解】；四边形ACDF是正方形，AC=FA,NCAF=90,ZCAE+ZFAB=90,/ZCEA=90,.,.ZCAE+ZACE=90,，NACE=NFAB,又：/AEC=/FBA=90,.,.AECAFBA,，CE=AB=4,S 用 影=AB,CE=8，2故答案为8.【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质，三角形面积等，求出CE=AB是解题的关键.12.如图，在平面直角坐标系中，长方形OAC8的顶点。在坐标原点，顶点A,3 分别在X轴，了轴的正半轴上，Q4=3,QB=4,。为边。8 的中点，E 是边0 A 上的一个动点，当ACOE的周长最小时，点 E 的坐标为.【答案】（1,0）【解析】【分析】作 点 D 关于x 轴的对称点D ,连接C D 与 x 轴交于点E,用待定系数法，求出直线C D 的解析式，然后求得与x 轴的交点坐标即可.【详解】作点D 关于x 轴的对称点D ,连接C D 与 x 轴交于点E,VOB=4,OA=3,D 是 OB 的中点,/.O D=2,则 D 的坐标是（0,2）,C 的坐标是（3,4）,.D 的坐标是（0,-2）,设直线C D 的解析式是：y=kx+b（叵0）,则3攵+人=4Z?=-2解得:k=2h=-2则直线的解析式是：y=2x-2,在解析式中，令 y=0,得到2x2=0,解得x=l,则E的坐标为（1,0）,故答案为：（1，0）.【点睛】本题考查了路线最短问题，以及待定系数法求一次函数的解析式，正确作出E的位置是解题的关键.13.如图所示，正方形ABCD的面积为12,ZXABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则 这 个 最 小 值 为.【答案】2下）【解析】试题解析：设B E与A C交于点P,连接BD,.点B与D关于A C对称，PD=PB,；.PD+PE=PB+PE=BE 最小.即P在A C与B E的交点上时，PD+PE最小，为B E的长度;.正方形ABCD的边长为6,/.AB=6.又ABE是等边三角形，BE=AB=6.故所求最小值为6.考点：轴对称-最短路线问题；等边三角形的性质；正方形的性质.14.矩形A B C D内 一 点P到 顶 点 A,B,C的长分别是3,4,5,则 PO=.【答案】3亚【解析】【分析】如图作PELAB于 E,EP的延长线交CD于 F,作 PGLBC于 G 则四边形AEFD是矩形，四边形EBGP是矩形，四边形 PFCG 是矩形，设 AE=DF=a,EP=B G=b,BE=PG=c,PF=CG=d,则有 a2+b2=9,c2+a2=16,c2+d2-25,可得2(a c?)+b?+d2=9+16+25推出b4d、18,即可解决问题.【详解】解：如图作PELAB于 E,E P 延长线交CD于 F,作 PGLBC于 G.则四边形AEFD是矩形，四边形 EBGP是矩形，四边形PFCG是矩形.设 AE=DF=a,EP=BG=b,BE=PG=c,PF=CG=d,则有：a2+b2=9,c2+a2=16,c2+d2=25：.2(a2+c2)+b2+d2=9+16+25/.b2+d2=18，PD=3亚，故答案为3亚【点睛】本题考查矩形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考填空题中的压轴题.15.如图，在直线m 上摆放着三个正三角形：ZABC、HFG、A D C E,己知BC=CE,F、G 分别是BC、2CE的中点，FMAC,GNDC.设 图中三个平行四边形的面积依次是S”S,S 3,若 Si+S3=10,则 S=_.A7,4 f /*o.X /y y 【答案】4【解析】【分析】根据题意，可以证明S 与 8 两个平行四边形的高相等，长是Si的 2 倍，S3与 S 的长相等，高是S 的一半,这样就可以把Si和 S3用 S 来表示，从而计算出S 的解：根据正三角形的性质，ZABC=ZHFG=ZDCE=60,，ABHF DC GN,设 AC与 FH交于P,CD与 HG交于Q,.PFC、AQCG和ANGE是正三角形，：F、G 分别是BC、C E的中点，BF=MF=-A C =-BC,CP=PF=-A B =-BC2 2 2 2：.CP=MF,CQ=BC,QG=GC=CQ=ABS.=2S25,+53=10.-.-5+25=102.-.5=4故答案为4.【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质及平行四边形的面积求法，平行四边形的面积等于平行四边形的边长与该边上的高的积.即S=ah.其中a 可以是平行四边形的任何一边，h 必须是a 边与其对边的距离，即对应的高.16.以正方形ABCD 一边AB为边作等边三角形ABE,则N C E D=.【答案】30或150.【解析】【分析】等边4ABE的顶点E可能在正方形外部，也可能在正方形内部，因此分两种情况画出图形进行求解即可.【详解】分两种情况：四边形ABC。是正方形，ABE是等边三角形/4BC=90,BC=BE=AB,NABE=NAEB=60,：.ZCBE=ZCBA+ZABE=90o+60=150,：BC=BE,:.NBCE=NBEC=15。,同理可得 NED4=NQE4=15。，NCED=NAEB-A CEB-ZDA=60-15-15=30:当点E在正方形ABCD内侧时，如图2所示：ZEAB=ZAEB=60,ZBAC=90,二 /C4E=30。，：ACAE,：.ZACEZAEC=15,同理/EB=/EZ)B=75,，ZC ED=360-60-75-75=150；综上所述：N CEO为30。或150。；故答案为30。或150.【点睛】本题考查了正方形的性质及等边三角形的性质，正确地进行分类，熟练掌握相关的性质是解题的关键.xy yz 3 zx17.已知三个实数x,必z满 足 二=一2,7互=7工3-W -4 xy+yz+zx的值.【答案】4【解析】【分析】求上=_ 2,*=y y+z 4 z+x3 1 1 1 1 1 41 1 彳 导 至 U =,I =,I =4 x y 2 y z 3 z x 3然 后 求 出%?!的 值,能 分 子 分 母 同 除 以xyz得 耳口即可求解,x y z【详解】解:上=-2,上x+y y+z3 zx4 z+x341 1?.-+-=x y1 1 1 4 1 =2 y z 3 z431一 空 j 分子分母同除以xyz得1 1 1 =4xy+yz+zx +xyz【点睛】本题考查了条件代数式求值问题，关键在于观察条件和所求代数式直接的联系；本题的联系在于倒数的应用和分式基本性质的应用.18.如图所示，在第四象限内的矩形0A B C,两边在坐标轴上，一个顶点在一次函数y=0.5 x-3的图象上，当点A从左向右移动时，矩形的周长与面积也随之发生变化，设 线 段0A的长为布，矩形的周长为C,面积为S.(1)试分别写出C、S与，”的函数解析式，它们是否为一次函数？(2)能否求出当相取何值时，矩形的周长最大？为什么？【答案】(1)C=，+6,面积S=-0.5/+3m,C是 m 的一次函数，S不是 i 的一次函数；(2)不能求出当，“取何值时，矩形的周长最大.【解析】【分析】(1)由题意可知&加，0),B(m,Q.5m-3),从而得AB=3-0.5m,继而根据矩形的周长公式和面积公式进行求解可得相应的函数解析式，然后再根据一次函数的概念进行判断即可；(2)先确定出m 的取值范围为0 根 0*0.5/77-3 0).,.0w6,又 Cm+6,不能求出当，取何值时，矩形的周长最大.【点睛】本题考查了一次函数的应用一一几何问题，熟练掌握矩形的周长公式以及面积公式是解题的关键.19.定义：只有一组对角是直角的四边形叫做损矩形，连结它的两个非直角顶点的线段叫做这个损矩形的直径.(1)如 图 1,损矩形ABCD,/A B C=/A D C=9 0。，则该损矩形的直径是线段A C,同时我们还发现损矩形中有公共边的两个三角形角的特点，在公共边的同侧的两个角是相等的.如图1中：AABC和4ABD有公共边A B,在 A B同侧有NADB和N A C B,此时/A D B=N A C B；再比如AABC和4B C D 有公共边B C,在 CB同侧有NBAC和/B D C,此时N B A C=N B D C.请 再 找 一 对 这 样 的 角 来=(2)如图2,AABC中，NABC=90,以 AC为一边向形外作菱形ACEF,D 为菱形ACEF的中心，连结 B D,当 BD平分NABC时，判断四边形ACEF为何种特殊的四边形？请说明理由.(3)在 第(2)题的条件下，若此时A B=3,B D=4夜，求 BC的长.【答案】(1)ZABD=ZACD；(2)四边形ACEF为正方形，理由见解析；(3)5.【解析】【分析】(1)以 AD为公共边，有NABD=NACD；(2)证明AADC是等腰直角三角形，得 AD=CD,则 A E=C F,根据对角线相等的菱形是正方形可得结论;(3)如图2,作辅助线构建直角三角形，证明AABC咨ZXCHE,得 CH=AB=3,根据平行线等分线段定理可得BG=GH=4,从而得结论.【详解】解：(1)由图1得：4A B D 和aA D C 有公共边A D,在 AD同侧有NABD和N A C D,此时ZABD=ZACD；(2)四边形ACEF为正方形，理由是：V ZABC=90,BD 平分NABC,.*.ZABD=ZCBD=45O/DAC=/CBD=45 四边形ACEF是菱形，AAELCF,A ZADC=90,.ADC是等腰直角三角形，/.AD=CD,.AE=CF,.菱形ACEF是正方形;(3)如图2,过 D 作 DGLBC于 G,过 E 作 EH_LBC,交 BC的延长线于H,V ZDBG=45,.BDG是等腰直角三角形，B D=4j,V B G=4,四边形ACEF是正方形，AC=CE,ZACE=90,AD=DE,易得 AABC 会，CH=AB=3,AB/DG/EH,AD=DE,；.BG=GH=4,/.CG=4-3=I,，BC=BG+CG=4+1=5.【点睛】本题是四边形的综合题，也是新定义问题，考查了损矩形和损矩形的直径的概念，平行线等分线段定理，菱形的性质，正方形的判定等知识，认真阅读理解新定义，第 3 问有难度，作辅助线构建全等三角形是关键.20.将矩形A8C。绕点8 顺时针旋转得到矩形AIB G OI，点4、C、。的对应点分别为4、G、D)(1)当点A 落在4 c 上时如图1,若NCAB=60。，求证：四边形ABAC为平行四边形；如图2,交 CB于点O.若NCAB#。，求证：。=4 0；(2)如图3,当4 功 过点C 时.若 BC=5,C D=3,直接写出A|4的长.Pl【答案】(1)证明见解析；证明见解析；(2)3而【解析】【分析】(1)首 先 证 明 是 等 边 三 角 形，可得/4 4归=/4出 口=6 0 ,即可解决问题.首先证明 0 C 2部/X O B A (AAS),推 出O C=O B,再证明 O C O之Z V IB O (SAS)即可解决问题.(2)如图3中，作A i E L A B于E,A/J _ B C于F.利用勾股定理求出A E,A|E即可解决问题.【详解】(1)证明：如图1中，图1./B A C=6 0。，B A=B A,二Z i A B A i是等边三角形，,Z A 4,B=6 0,N4S=60。，/.Z A 4,B=Z A1Z?D|,：.AC/BDi，JACBDi，四边形A B A C是平行四边形.如图2中，连接8。.图2 四边形A3DC是平行四边形,：.CD/AB1 CDi=AB,NOCD尸/ABO,NCOOi=NAO3,：.AOCD/OBA(A4S),:.OC=OB,*：CD=BAf/DCO=/ABO,：.DCO/ABO(SAS),：.DO=OA.(2)如图3中，作A*_LA5于 应AiELBC于足图3在 RtA48C 中，VZCAiB=90,BC=5,AB=3,。4=石行=4，1 1/一4 0 4 8=8。咽尸，2 212 AF=,?ZAFB=NA、EB=ZEBF=90,四边形4仍尸是矩形，12 9：.EB=AyF=,AE=B F=-f5 512,AE=3-535【点睛】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，全等三角形的判断和性质，勾股定理，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题.