2022-2023学年重庆市高二上期末考试数学模拟试卷及答案.pdf

2022-2023学年重庆市高二上期末考试数学模拟试卷一.选 择 题（共8小题）1.（2013秋芜湖期末）下列说法正确的是（）A.三点确定一个平面B.四边形一定是平面图形C.梯形一定是平面图形D.平面a和平面。有不在同一条直线上的三个交点2.（2019秋北陪区校级期末）设命题p：Vx0,Inx-x 0,Inx-xO B.VxWO,Inx-x0C.m oWO，Inxo-xoO D.BxoOf Inxo-xoO3.（2019秋沙坪坝区校级期末）下列函数的求导结果正确的是（）A.（sinx）*=-cosx B.（2、）=x*2x 1c-（lo g2x）=+D.（4），=2 4.（2020 秋重庆期末）若。Ci：（x-1）2+Cy-2）2=4 与。2：（x-a）2+（y-b）2=4（a,bR）有公共点，则/+晶-2a-46的最大值为（）A.9 B.10 C.11 D.125.（2020秋重庆期末）已知焦点在x 轴上且离心率为返的椭圆E,其对称中心是原点，2过点M（0,1）的直线与E 交于4 B两 点,且 京=2施，则点8 的纵坐标的取值范围是（）A.(1,3 B.(1,4 C.(2,4 D.(2,66.(2019西宁模拟)函数f(x)=阴-2凶-1的图象大致为()第 1 页 共 2 5 页c.D.yx7.（2020秋重庆期末）九章算术中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”，将底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”，在如图所示的堑堵N8C-小81。中，AA AC=5,AB=3,B C=4,则在堑堵/8 C -由8 1 c l中截掉阳马G-后的几何体的外接球的体积是（）8.（2020秋重庆期末）我国古代数学名著 九章算术中“开立圆术”日：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立半圆径，“开立圆术”相当于给出了已知球的体 积 也 其 半 径 尺 的一个近似公式尺心/聘工.人们还用过一些类似的近似公式.根据p=3.14159.判断下列近似公式中计算求半径R最精确的一个是（）A-降 B.R*酝C T屈 D.吟悟二.多 选 题（共4小题）9.（2020秋重庆期末）在含有3件次品的50件产品中，任取2件，则下列说法正确的是（）A.恰 好 取 到 一 件 次 品 有 不 同 取 法B.至 少 取 到 一 件 次 品 有 不 同 取 法C.两名顾客恰好一人买到一件次品一人买到一件正品有7A2不同取法D.把取出的产品送到检验机构检查能检验出有次品的有不同种方式第2页 共2 5页1 0.（2 0 2 0 秋重庆期末）己知直线/：小-”4=0,则下列结论正确的是（）A.直线/的倾斜角是工6B.过（百，1）与直线/平行的直线方程是扬-y-2 =0C.点（料，0）到直线/的距离是2D.若直线加：x-J+l=0,则/_ 1 _ 加1 1.（2 0 2 0 秋重庆期末）在棱长为2的正方体/3 C Z -/|8 i C i 5 中，点/，M P 分别是线段线段G C,线段小8上的动点，且 MG=NCi 0,则下列说法正确的有（）A.三棱锥的体积为定值B.异面 直 线 与 8 cl 所成的角为6 0 C.4尸+尸。的长的最小值为D.点 5 1 到平面B C D 的距离为2 返31 2.（2 0 2 0 秋重庆期末）已知函数（x）=si n （w x+0）满足/（刈）=f（x o+1）=喙，且/（X）在（x o,X 0+1）上有最大值，无最小值，则下列结论正确的是（）A.f（x o+）12B.若 x o=O,则/（x）=si n （T O C+2-）4C.f（x）的最小正周期为4D./（x）在（0,2 0 2 0）上的零点个数最少为1 0 1 0 个三.填 空 题（共 4 小题）1 3.（2 0 2 0 秋重庆期末）已知抛 物 线/=心 上一点尸到x轴的距离是8,则点P 到该抛物线 焦 点 的 距 离 是.1 4.（2 0 2 0 秋重庆期末）如果xb 0)长轴的右端点为4 其中。a bz为坐标原点.若椭圆上不存在点P,使 ZP 垂直P。，则 椭 圆 的 离 心 率 的 最 大 值 为.1 6.(2 0 2 0 秋重庆期末)已知函数/(x)求曲线y=f(x)过 点(1,-2)处的 切 线 方 程.四.解 答 题(共 6 小题)1 7.(2 0 1 9秋沙坪坝区校级期末)已知抛物线C：yi=2 px(p 0)的焦点为E,点 尸(”?，2)在抛物线C上，且|PF|=2.(I )求抛物线C的方程：(I I )过点尸(3,0)作直线/交C于 4 8两点，求N B 尸面积的最小值.1 8.(2 0 2 0 秋重庆期末)已知圆C：/+/=8内有一点P(-1,2),直线/过点尸且和圆C交于4 8两点，直线/的倾斜角为a.(1)当a=1 3 5 时,求 弦 4 5的长；(2)当 弦 被 点 尸 平 分 时，求直线/的方程.1 9.(2 0 1 9秋渝中区校级期末)如图，在多面体/3 C D E F 中，已知/8 C。是边长为2的正方形，8 C F 为正三角形，E F=4 且 E F4 B,E FLFB,G,，分别为8 C,E 厂的中点.(1)求证：G 4 平面用4。；(2)求三棱锥F-5C4 的体积.2 0.(2 0 2 0 秋重庆期末)如图，三棱柱/B C-4 8 1 G，底面N 8 C 是边长为2的正三角形，AA AB,平面N 8 C _ L平面/N i C i C.(1)证明：小C J L平面/B C；若 B C与平面AAB所成角的正弦值为返L求平面AAiB与平面B B C所成角的7正弦值.第4页 共2 5页B21.(2020秋重庆期末)已知抛物线C：x22py(p 0)的焦点为尸，直线/与抛物线C交于P,0 两点.(1)若/过 点 R抛物线C 在点尸处的切线与在点。处的切线交于点G.记 点 G 的纵坐标为用，求W 的值.(2)若p=2,点 A/(x o,次)在曲线y=/卜 x2上且线段MP，的中点均在抛物线C 上，记线段尸。的中点为N,河尸。面积为S.用 x o,外表示点N 的横坐标，并求-下的值，(xQ2-4y0)22.(2019秋北储区校级期末)在三棱柱 C-N iB Q 中，44 平面月8C,N8NC=90,点、P、。分别在棱/小、CG 上，且 44i=4/%=2,CC i=40G，4B=1,AC=V3.(1)求证：83 _L平面尸(2)求直线8 c l与平面P8。所成角的正弦值.第5页 共2 5页2022-2023学年重庆市高二上期末考试数学模拟试卷参考答案与试题解析一.选 择 题（共 8 小题）1.（2013秋芜湖期末）下列说法正确的是（）A.三点确定一个平面B.四边形一定是平面图形C.梯形一定是平面图形D.平面a和平面0有不在同一条直线上的三个交点【考点】平面的基本性质及推论.【专题】常规题型.【分析】不共线的三点确定一个平面，两条平行线确定一个平面，得到4 B,C 三个选项的正误，根据两个平面如果相交一定有一条交线，确定。选项是错误的，得到结果.【解答】解：A.不共线的三点确定一个平面，故”不正确，B.四边形有时是指空间四边形，故 2 不正确，C.梯形的上底和下底平行，可以确定一个平面，故 C 正确，D.两个平面如果相交一定有一条交线，所有的两个平面的公共点都在这条交线上，故。不正确.故选：C.【点评】本题考查平面的基本性质即推论，考查确定平面的条件，考查两个平面相交的性质，是一个基础题，越是简单的题目，越是不容易说明白，同学们要注意这个题目.2.（2019秋北修区校级期末）设命题p：Vx0,ln x-x 0,Inx-xO B.VxWO,Inx-xOC.0,Inxo-xoO D.3xoO Inxo-xoO【考点】命题的否定.【专题】计算题；对应思想；定义法；简易逻辑.【分析】根据全称命题的否定是特称命题即可得到结论.【解答】解：命题为全称命题，则命题的否定为：3xoO,Inxo-xoO,故选：D.第6页 共2 5页【点 评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础.3.(2 0 19秋 沙 坪 坝 区 校 级 期 末)下 列 函 数 的 求 导 结 果 正 确 的 是()A.(s i nx)=-c o s x B.(2*)x*2x 1c-a g 2 x =7 D-(4)=2 7 7【考 点】导数的运算.整体思想；综合法；导数的综合应用；数学运算.根据基本初等函数的求导运算公式，结合选项即可判断.解：根据导数的运算法则可知，(s i i u)=c o&r,故/错 误,=2、7 2,故 5 错 误，(l o g z r)1=1,故 C 错误，x l n2【专 题】【分 析】【解 答】)(V x)/1故选：D.【点 评】本题主要考查了导数的基本运算，属于基础试题.4.(2 0 2 0 秋 重 庆 期 末)若。C i：(x-1)2+Cy-2)2=4 与。2：(x-a)2+(y-b)2=4(a,b R)有公共点，则/+晶-2 a -4 6的 最 大 值 为()A.9 B.10 C.11 D.12【考 点】圆与圆的位置关系及其判定；圆方程的综合应用.【专 题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；直线与圆；数学运算.【分析】根据题意，求出两圆的圆心、半 径，可得其圆心距，由圆与圆的位置关系可得|C 1C 2|W R+r=4,变形可得答案.【解答】解：根据题意，O C i：(x-1)2+(y-2)2=4,其 圆 心 为(1,2),半 径7?=2,0c2：(x -a)2+(y-b)24,其 圆 心 为(a,b),半径 r=2,两圆的圆心距C C 2尸YQ-I)2+(b-2)2=a 2+b 2 _ 2 a_处+5 若两圆有公共点，则 0 W|G C 2|W R+r=4,B P aW-2 a-4 6+5 16,贝U有 病+川-2。-4 6W i l,则a2+b2-2 a-4 b的 最 大 值 为11,故 选：C.【点 评】本题考查圆与圆的位置关系，涉及圆的标准方程的形式，属于基础题.第7页 共2 5页5.（2 0 2 0 秋重庆期末）已知焦点在x轴上且离心率为返的椭圆E,其对称中心是原点，2过点/W（0,1）的直线与E交于4 8两点，且 薪=2施，则点8的纵坐标的取值范围是（）A.（1,3 B.（1,4 C.（2,4 D.（2,6【考点】直线与椭圆的综合.【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算.2 2【分析】根据椭圆的离心率可设椭圆E的标准方程为曳+1 1（1n 1）,设 8 （x o,严）,4 m m由向量关系得到4（-2x 0,3 -2泗）.然后将点的坐标代入椭圆方程,得至l y0 q（m+3）.由y j d i r即可得到答案.【解答】解：设 5 （x o，泗），A（x,y）,则由高二2诬，可 得（一 工，1 -y）=2 （x o,泗-1）,解得=-2x o,V=3 -2y o，B P A(-2x o 3 -2y o).2 2由题意可设椭圆E的标准方程为三二一 1（m 1）,4 m m所以2 2x()丫 0,-：-=14 m m消去x o,y o 的平方项，得 y0 q（m+3），(-2 x o)2(3-2了0)2 _4 m m由y/r r，即 上 用 解得又加1,所 以1 0 时，函数/(x)=ex-2 x-,可得，(x)=ev-2,当(0,/n 2)时，f(x)/2时，函数是增函数，排除选项4,D,故选：C.【点评】本题考查函数的导数的应用，函数的图象的判断，是中档题.7.(2020秋重庆期末)九章算术中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”，将底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”，在如图所示的堑堵力 8 C-小8 1c l 中，Z 4=/C=5,AB=3,B C=4,则在堑堵/8 C -38 1c l 中截掉阳马G-力 8 历小后的几何体的外接球的体积是(【考点】球的体积和表面积.C.1 0 0 T TD返冗3第9页 共2 5页【专题】计算题；阅读型；转化思想；数学模型法；球.【分析】根据题意知，剩余的几何体与堑堵/8 C-4 8 c l的外接球是同一个球，先计算出该堑堵底面外接圆的直径/c,然后利用公式2 R=JA C2K C料得出外接球的半径兄最后利用球体体积公式可计算出答案.【解答】解：在堑堵/8 C-N向。中截掉阳马。后，剩余的几何体为三棱锥/-BCCi，该 几 何 体 与 堑 堵 的 外 接 球 是 同 一 个 球，*8=3,BC=4,AC=5,：.AB2+BC2=AC2,：.ZABC=90,所以，直角 NBC的外接圆直径为/C=5,所以，堑堵/8 C-/1 8 C 1的外接球的直径为,R=0，因此，在堑堵N 8 C-3 8 1 c l中截掉阳马。-N8813后的几何体的外接球的体积是4 3 4.5近、3 12572百 九R3兀 （丁）=-1一x故 选:B.【点评】本题考查球体体积的计算，解决本题的关键在于找出合适的模型求出球体的半径，考查计算能力，属于中等题.8.（2020秋重庆期末）我国古代数学名著 九章算术中“开立圆术”日：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立半圆径，“开立圆术”相当于给出了已知球的体积丫，其半径尺的一个近似公式R-方聘工.人们还用过一些类似的近似公式.根据n=3.14159 .判断下列近似公式中计算求半径R最精确的一个是（）B.T晒D.吟 悟【专题】方程思想；综合法；推理和证明：逻辑推理.【分析】利用球的体积公式求出半径的表达式，然后利用选项中的式子进行比较即可.【解答】解：由丫卷兀1 ,解得R=M善总修，所以可以比较互与各选项中三次根号下厂的系数，7T因为&g 互，解得立弋3.6,71 9A.人 工3医 二2 WvC.7?-1.3/3002 U 5 7v【考点】进行简单的合情推理.第1 0页 共2 5页因 为 且 =2,解得IT打3,71因 为 上 比 理 2,解得皿仁3.14,冗 157因 为 旦 2 L,解得713.142857,兀 11而 TT 3.1415926,故选项。中的数值最接近.故选：D.【点评】本题考查了简单的合情推理，涉及了球的体积公式的应用，解题的关键是弄清题意，将问题转化为和n 比较，是中档题.二.多 选 题（共 4 小题）9.（2020秋重庆期末）在含有3 件次品的50件产品中，任取2 件，则下列说法正确的是)A.恰 好 取 到 一 件 次 品 有 不 同 取 法B.至 少 取 到 一 件 次 品 有 不 同 取 法C.两 名 顾 客 恰 好 一 人 买 到 一 件 次 品 一 人 买 到 一 件 正 品 有 不 同 取 法D.把取出的产品送到检验机构检查能检验出有次品的有c；c；7不同种方式【考点】排列、组合及简单计数问题.【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；排列组合；数学运算.【分析】根据题意，依次分析选项是否正确，综合即可得答案.【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于/：在含有3 件次品的10件产品中，任取2 件，恰好取到1件次品包含的基本事件个数为c；C 5，A正确，对于B-.至少取到1件次品包括两种情况：只抽到一件次品，抽到两件次品，所以共有至少取到一件次品有C；C：7+CC：7 8 错误，对于C：两名顾客恰好一人买到一件次品一人买到一件正品有7A2不同取法，C 正确,第11页 共2 5页对 于。：有次品即可，所以把取出的产品送到检验机构检查能检验出有次品的有c卜错误，故选：AC.【点评】本题考查排列组合的应用，涉及分步、分类计数原理的应用，属于基础题.1 0.（2 02 0秋重庆期末）已知直线/：百r-y H=0,贝I 下列结论正确的是（）A.直线/的倾斜角是2 LB.过（百，1）与直线/平行的直线方程是心-y-2=0C.点（,0）到直线/的距离是2D.若直线”X -A/3T+1=0,贝!/_LZ W【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系；直线的一般式方程与直线的垂直关系.【专题】方程思想；综合法；直线与圆；数学运算.【分析】利用直线的方程、直线的平行与垂直与斜率之间的关系即可判断出结论.【解答】解：直 线 伤-尸1=（）,化为：y=我r+1,A.设直线/的倾斜角为a,可得t a na=J,解得a=N,因此/不正确；3B.设 过（J E，1）与直线/平行的直线方程是向r-y H n=0,把 点（如，1）代入可得：如 义 次-1+?=0,解得“=-2,因 此 过（百，1）与直线/平行的直线方程是JM-y-2=0,因此8正确；C.点（百，0）到直线/的距离=因此C正确;7（V 3）2+（-l）2故选：BC.【点评】本题考查了直线的方程、直线的平行与垂直与斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.1 1.（2 02 0秋重庆期末）在棱长为2的正方体N 2 C。-/1 1 8 1 c l 1中，点M,N,尸分别是线段C iG，线段CC，线段由8上的动点，且A/C i=N C i#0,则下列说法正确的有（）第1 2页 共2 5页D,B.异面直线A/N与8 a所成的角为60C.ZP+PCi的 长 的 最 小 值 为&h后D.点81到平面8。的距离为2返3【考点】命题的真假判断与应用.【专题】数形结合；等体积法；立体几何；逻辑推理.【分析】根据三棱锥体积计算判断人根据异面直线成角判断8,根据平面展开图求最小值判断C,根据点到面距离判断。.【解答】解：对于4,Vp_B BH=VH_p B B ySA p B B h=j-SA p B B 因为 SPBB 不是定值，所以Z错；对于8,因为MN DC/AB,所以异面直线M N与8 c l所成的角为，为N 4 B C 1，因为418C为正三角形，从而N/i8Ci=60,所以8对：对于C,将 空 间 四 边 形 山 展 开 成 平 面 图 形，线段/G最短，长度为：AE+ECi lx 242+2&X sin 6 0 =&避，所以 C对；对于。，过81作8i_L48交出8于E,点 与 到平面BCOi的距离等于点B到平面BCDA的距离等于5 =1.2 7 2=7 2,所以。错；故选：BC.第1 3页 共2 5页【点评】本题以命题的真假判断为载体，考查了立体几何的基本概念，属中档题.1 2.(2 0 2 0 秋重庆期末)已知函数(x)=sin (w x+0)满足/(刈)=/(x o+1)=喙，且/G)在(x o,X0+1)上有最大值，无最小值，则下列结论正确的是()A.f(x o+)=12B.若 x o=O,则/(x)=sin (n x+-)4C.f(x)的最小正周期为4D.f(x)在(0,2 0 2 0)上的零点个数最少为1 0 1 0 个【考点】命题的真假判断与应用.【专题】计算题；探究型；综合法；三角函数的图象与性质；简易逻辑；逻辑推理；数学运算.【分析】根据正弦函数图象的对称性可判断选项出 计算可得/(1)=1为(0,1)上的最大值，结合已知条件可判断选项3；由ouo+(p =2 内 i+2 _,3 (x o+1)+(p =2 Z r n+3兀4 4(攵 6 Z),两式相减得3,从而可求得最小正周期，即可判断选项C；区 间(0,2 0 2 0)的长度恰好为5 0 5 个周期，取/(0)=0,即可判断选项Q.【解答】解：函数/(x)=sin (o)x+(p)(a)0)满足/(x o)=f(x o+1)且/(x)2在(x o，x o+1 )上有最大值，无最小值，对于4(x o,x o+1)的区间的中间点为X c+L所以根据正弦函数的对称性知：/(x o+1)=1,故4正确；对于8：若 x o=O,则/(x)=sin (TC X+_ Z L),则/(工)=1为(0,1)上的最大值，不4 4满足条件，故 5错误;第1 4页 共2 5页对于 C：3 x o+p=2 内 r+W-,3 （x o+1）+p=2 A ir+2 L（A eZ）,两式相减得3=上匚 即4 4 2函数的最小正周期为7=空=4,故 C正确；对于。，区 间（0,2 0 2 0）的长度恰好为5 0 5 个周期，当/（0）=0时，即 叩=如 时,0）在开区间（0,2 0 2 0）上的零点个数至少为5 0 5 X2 -1 =1 0 0 9,故。错误.故选：AC.【点评】本题考查与三角函数有关的命题的真假性的判断，结合三角函数的图象与性质，利用特殊值法以及三角函数的性质是解题的关键，属于中档题.三.填 空 题（共 4 小题）1 3.（2 0 2 0 秋重庆期末）已知抛物线/=4 了上一点P到 x轴的距离是8,则点尸到该抛物线 焦 点的距离是9 .【考点】抛物线的性质.【专题】方程思想：综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算.【分析】设出点P的坐标，利用抛物线的定义以及己知条件即可求解.【解答】解：设点P的坐标为（x,y）,则由已知可得：y=8,又由抛物线方程可得：0=2,所以由抛物线的定义可得点尸到抛物线的焦点的距离为夕+艮=8+1=9,2故答案为：9.【点评】本题考查了抛物线的定义，考查了学生对抛物线定义的理解，属于基础题.1 4.（2 0 2 0 秋重庆期末）如果x 4是 是 成 立 的 充 分 不 必 要 条 件，则 m的取值范围是（4,+8）.【考点】充分条件、必要条件、充要条件.【专题】集合思想；转化法；简易逻辑；数学运算.【分析】根据集合的包含关系求出机的范围即可.【解答】解：如果x4,故答案为：（4,+8）.【点评】本题考查了充分必要条件，考查集合的包含关系，是一道基础题.第1 5页 共2 5页2 21 5.(2 0 1 9 西湖区校级模拟)已知椭 圆 三+X lQb0)长轴的右端点为儿 其中。a bz为坐标原点.若椭圆上不存在点尸，使 4P垂直尸O,则椭圆的离心率的最大值为_ 亚_.2【考点】椭圆的性质.【专题】计算题；数形结合；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算.【分 析】由力尸垂直P。，转 化 可 得y1=ax-x2 0 ,故 OVxVq,代 入椭圆2 2工 _十y ul(a b 0)得(庐-“2)/+滔工-/房二。在(0,)上有解，令/(x)=az bz(b2-a2)xWx-a2b2=0,结合图形，能求出椭圆的离心率e的范围,然后求解椭圆的离心率的最大值.【解答】解：A(-Q,0),Ai(Q,0),设 尸(x,y),贝|J P O (-%，_ y)，P A (Q-X,-y),使4 尸垂直尸。，所以西=0,Ca-x)(-X)+(-y)(-y)=0,y2=ax-x2 0,.0 x h 0 整理得 Cb2-a2)x+a3 x-a2b2=0 在(0,a )上有解,令 f (x)=(fe2-a1)+a3x-a2h2=0fV/(0)=-a2b2 0,/(a)=0,如图：=(a3)2-4 X (庐-/)x (-a2b2)=a2(a4-4 a2b2+4 b4)=a2(a2-2 c 2)2 2 o,3 2J对称轴满足0-a,工 一 1,2(b2-a2)2c22 1a2 2 a.返 Ve 0)的焦点为尸，点 P (?，2)在抛物线C 上，且|P F|=2.(I )求抛物线C 的方程：(I I )过点P (3,0)作直线/交C 于 4 8两点，求/B尸面积的最小值.【考点】抛物线的标准方程；直线与抛物线的综合.【专题】转化思想：设而不求法：圆锥曲线中的最值与范围问题：数学运算.【分析】(I )由点P在抛物线上及抛物线的性质到焦点的距离转化为到准线的距离求出m,p的值，进而写出抛物线的方程；(I I )由题意显然直线/的斜率不为0,设直线I的方程与抛物线联立求出两根之和及两根之积，再求面积，由二次函数的性质可得面积的最小值.2 p m=4【解答】解(1)由题意得：|,1啮=2解得 m=,p=2,故。的方程为炉=4 x.(2)F(1,0),显然直线/的斜率不为0,则 P/=2,故设其方程为X=/3,代入f=4 x 得：y2-4 ty-1 2=0,A=1 6?+4 8=1 6 (於+3)0,设 力(x i，y i),B(%2，2)，j q-2 4/,yyi=-1 2,S|y-y2 I=/216+了2)2 _4 丫1 丫2=W t2+3V3,当且仅当，=0,即 轴 时 取 等 号，所以A 4B F的面积的最小值为4 /3.【点评】考查直线与抛物线的综合即抛物线的性质，属于中档题.1 8.(2 0 2 0 秋重庆期末)己知圆C：，+/=8内有一点P (-1,2),直线/过点尸且和圆C 交于4 B 两点、,直线/的倾斜角为a.(1)当a=1 3 5 时，求弦48的长;(2)当 弦 被 点 尸 平 分 时，求直线/的方程.【考点】直线与圆的位置关系.【专题】计算题；直线与圆.【分析】(1)先求出直线/的方程，由圆心到直线的公式求出距离，进而求出N8的长；第 1 8 页 共 2 5 页(2)当 弦 被 点P平分时，。尸，/,由此可得直线/的斜率，再由点斜式可得直线/的方程.【解答】解：(1)当a=1 3 5 时，直线/的方程为：y-2=-(x+1)即x+y-l=O,圆 心(0,0)到直线/的距离1=上 止=返，所以/5|=2 2，=技.V1+1 2 Vs 2(2)当弦 4 3 被 尸(-1,2)平分时，O P L,:kop=-2,：.k/=X,2二直线/的方程为：j -2=工(x+1),即x -2 y+5=02【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，属中档题.1 9.(2 0 1 9秋渝中区校级期末)如图，在多面体N88EF中，已知N 8 C。是边长为2的正方形，2 CF为正三角形，E F=4 且 E FAB,E FY FB,G,H 分别为BC,M的中点.(1)求证：G H平面E/。；(2)求三棱锥尸-8 C H的体积.【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行.【专题】综合题；数形结合；等体积法：空间位置关系与距离；数学运算.【分析】(1)取 的 中 点/，连结E M,M G,由已知可证四边形M G/E为平行四边形,得到E M/H G,再由线面平行的判定可得G 平面E AD.(2)由 已 知 证 明 平 面F8 C,可 得 族 为 三 棱 锥4-5 C F的高，然后利用等积法求三棱锥F-8 C H的体积.【解答】(1)证明：取 的 中 点 连 结E M,MG,；四边形/8 C。是边长为2的正方形，G为8 c的中点，：.MG/AB,M G=A B,为E F的中点，且E F=4,EH=4F=2,又 E F AB,：.四边形M G H E为平行四边形,第1 9页 共2 5页：.E M/HG,又 EA/u平面瓦(。，G/,平 面 4。，.G平面 E AD.(2)解：,:E FAB,ABLBC,：.E FBC,:E F 1 F B,且 B C C F B=B,平面 FBC,尸为三棱锥H-8 b 的高，-VF-BCH=VH-BCF 4SABCF-H F=|x 2考【点评】本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题.20.(2020秋重庆期末)如图，三棱柱/8 C-4 8 C 1，底面N8C是边长为2 的正三角形，4 A=A i B,平面4&C_L平面N/iCiC.(1)证明：NCJ_平面/B C；(2)若 8 c 与平面AAB所 成 角 的 正 弦 值 为 叵，求平面AAB与平面B B Q C所成角的7正弦值.【考点】球面距离及相关计算；二面角的平面角及求法.【专题】转化思想；向量法；空间角；直观想象；数学运算.第2 0页 共2 5页【分析】（1）取 的 中 点。，4 C 的中点“，连接OC,OAi，B H,只需证明4 C J_/8,B H L A C,即可证明4C_L平面/8 C；（2）以。为原点，分别以08,0 C 为x,y 轴建立如图空间直角坐标系0-x y z,求出平面 4 4 归与平面5 8 c l e 的一个法向量，即可求解二面角的余弦值，从而求解.【解答】解：（1）证明：如图，取 Z 8 的中点0,/C 的中点H,连接0C,OAi，BH,因为小力=m 8,A C=B C,。是 4 8 的中点，所以0i4_L/8,0CLAB,又。/1 C O C=O,所以/8_L平面 4 O C,小Cu平面小0C,ACLAB,:AB=BC,是 ZC 的中点，所以 8，_L/C,因为平面/8C_L平面4 4 1 cle 平面/S C O 平面441cle=4C,B H u 平面4 B C,所以8”1.平面 44C1C.又 4C_L平面 4 4 C C，所以 且 B H C 4 B=B,；.41C_L平面/8 C；（2）以。为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设 4 c=,则 4（-1,0,0）,8（1,0,0）,C（0,弧,0）,小（0,如,a）,则 前=（T,%，0 AB=0,0）,AA；=（L V3 a），设 平 面 的 法 向 量 为 ir=（x,y,z）,由，m*AA1=x+Vy+az=0 _ _ _ _ _1 可得 i r=(0,.m AB=2x=0a,-),设 BC与平面AAB所成角的为。,则 sin8=|c o s|=卢 2 解答=2.2V a2+3 7从而i r=(0，2,-BB=A A=(L VS,2),设平面8 8 1 cle的法向量为二=Q,b,cn BB=aW b+2c=0n*BC=-a+V3b=0可 得 最（时,1,-a），.c o s ,谓 s i n=故平面4 4 出 与 平 面 所 成 角 的 正 弦 值 为 5.7第2 1页 共2 5页a【点评】本题考查线面垂直的证明，考查二面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系的求法，考查运算求解能力，是中档题21.(20 20秋重庆期末)已知抛物线C：f=2勿(p 0)的焦点为尸，直线/与抛物线C交于尸，0两点.(1)若/过 点R抛物线C在点P处的切线与在点。处的切线交于点G.记 点G的纵坐标为N G，求V G的值.(2)若p=2,点M(X 0,外)在曲线y=/lX 2上且线段MP,A/0的中点均在抛物线C上，记线段尸。的中点为N,河尸。面积为S.用x o,外表示点N的横坐标，并求-下的值，(x02-4yQ)【考点】直线与抛物线的综合.【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算.【分析】(1)求出F(O,)，设P(x i，y i)，Q，”).设直线方程为y=k x片 联2立直线与椭圆方程，利用韦达定理，可得直线尸G的方程为辽x-y-3 _=0,同理可得直P 2p2线0G的方程为这x-y-2=0,联立，再结合韦达定理求解即可.P 2p(2)求出M P,A/0的中点坐标.说明制,=o的两个不同2X2OX的实根.利用韦达定理以及弦长公式，求解三角形的面积推出结果即可.2【解答】解：(1)抛物线C x2=2 py(p 0)的焦点为尸(0,-),设 尸(x i，二 一),2工P第2 2页 共2 5页2Q（X 2、工）,2p由题意可知直线/的斜率存在，故设其方程为y二k X专，fy=k x+,令 c由4 2 得 x?-2 pkx-p 2=0,所以 乂逐2二-pZ、x2=2 py,2 x i由 f=2 py,得 y=,y=,则 女 口 二 ，2 p P P G p2 2直线尸G的方程为y X=2（x-x,），B P x-y-=0 ，2 p p 1 P 2 p2同理可得直线QG的方程为卫x-y-*=0,P 2 p联立可得，（）y=W包.1 4 2 p因为X1 W X2，所以丫1”=上,y 2 P 2故点G的纵坐标为y G=i匕.2x/xg（2）MP,M Q 的中点分别为（2 1会，-1 2 ）,（合 2,气）。）.因为加产，M Q的中点均在抛物线C上，2X所以XI，X2为方程（一x+x L）2 =4 X-型一+yn的解，程方即Oy-2X OX+82X=0的两个不同的实根.2X O则XI+X2=2XO,X J x2=8 y0-XQ,=（2 x0）2-4（8 y0-Xg）0,所以P。的中点N的横坐标为xo，4y2X O即则|MN|=g-（xi+x2）-yo=y （x1+x2）2-2 x1x2-yo=-xo-3 yoI xi -x2 I=i j（xl+x2）2-4xlx2=2 2（XQ-4y0）*r3 _所 以 的 面 积 s-|MN|Xi -x2 1=3 2 （x；-4y。）2/，乙 4 u u第2 3页 共2 5页则 s 2=|（x；-4y o）3.【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系的综合应用，抛物线的简单性质的应用，考查分析问题解决问题的能力，是难题.2 2.（2 01 9秋北培区校级期末）在三棱柱8 1 c l中，441 1.平面/8 C,N R 4C=9 0,点 P、0 分别在棱 4小、C C i 上，且 441=4孙1=2,C G=4。，AB=,A C值.（1）求证：8 4_ 1 _平面P3Q（2）求直线2 C 1与平面尸8 0所成角的正弦值.【考点】直线与平面垂直；直线与平面所成的角.【专题】数形结合；向量法；空间位置关系与距离；空间角；数学运算.【分析】（1）分别以同，A C.初 所 在 的 直 线 为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系”一 切z,利用向量法能证明历1 1，平面尸8 1。.（2）求出平面P B Q的法向量和平面P B Q的一个法向量，利用向量法能求出直线BC与平面心。所成角的正弦值.【解答】解：（1）证明：.441 _ 1 _平面/8。，Z 5 J C=9 0 ,，分别以正，A C.布 所 在 的 直 线 为x轴，y轴，z轴，建 立 空 间 直 角 坐 标 系 孙z,：.A（0,0,0）,B（1,0,0）,p（Q,0,）8（1,0,2）,Q（Q,夷，3）,A（。，0,2），C （O,技 2），B A pC-l,0,2），P B（1，0,y）B1Q=（-1.，号），第2 4页 共2 5页设平面抽。的一个法向量（X,y j Z）J -*l 1n-BQ =-x i+V3 y t-y z t=0，取 xi=l,；.zi=-2,yi=O,nPB=x j+-z i=0平面81。的一个法向量二=（i,0,-2）,7 BAj=（-l）n,；BA n，,8/i-L平面（2）解：由（1）指 西=（-1,M，2），PB=（1 0,2），PQ=（O,V3,0）设平面心。的法向量为2区，了2,Z2）,，-*-3m*PA=Xn-rzo=02 ,取 Z2=2,；.X2=3,y 2=O，m，PQ =/丫2=0，平面尸8。的一个法向量为=（3,0,2），设直线BC与平面P B Q所成角为0,直线BC与平面P B Q所成角的正弦值为：sine=|co s(BC；,1 I*誓好懵.|BCt|m|52【点评】本题考查线面垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.第2 5页 共2 5页