2022届福建省福安市高三第二次诊断性检测数学试卷含解析.pdf

2021-2022高考数学模拟试卷注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3,请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知定义在R上的函数/(x)满足x)=/(-力，且在(0,+8)上是增函数，不 等 式/(如+2)/(一1)对于xel,2恒成立，则。的取值范围是-3 A.1 B._ 2 _T,一；C.-p 0 D.0,12.已知%为等差数列，若4=2%+为。4=2%+7,则%=()A.1B.2C.3D.63.已知复数z,满足 z(3 4i)=5i,则|z|=()A.1B.C.73D.54.已知向量 与囚的夹角为9,定义为与坂的“向量积”，且八方是一个向量，它的长度人+同 麻 皿。,若“=(2,0),w-v=(l,-V3),贝!115x(=+,卜()A.46 B.百C.6 D.2 g3x-4y+10205.设x,V满足约束条件(x+6 y-4 Q,则z=x+2)，的最大值是()2x+y-8 2),贝屹。聆=()A.2 B.5 C.7 D.89.函数f(x)=s i n(w x+0)(w O,M|0,。0,|。|)=I n x+l n(2 x)+a x(a 0),若/(x)在(0,1 上的最大值为,，则。=2三、解答题：共7 0分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。1 7.(1 2分)以直角坐标系X。),的原点为极坐标系的极点，x轴的正半轴为极轴.已知曲线G的极坐标方程为夕=4 c o s 6 +8 s i n。，p是G上一动点，OP=2O Q,点。的轨迹为(1)求曲线G的极坐标方程，并化为直角坐标方程;(2)若 点 直 线/的 参 数 方 程 x=tcosaIIIIk(为参数),直线/与曲线G的交点为4 B,当M+I网 取最小值时，求直线/的普通方程.1 8.(1 2分)在极坐标系中，曲线C的方程为Q c o s 2 e =a s i n e(a 0),以极点为原点，极轴所在直线为x轴建立直角坐标，直线/的参数方程为_9 V 2%=2-12l。为参数），I与C交于M,N两点.V =-1 +t2(1)写出曲线C的直角坐标方程和直线/的普通方程;(2)设点P(2,-l)；若|P M|、|脑V|、|P N|成等比数列，求。的值1 9.（1 2 分）已知 a,b,c 分别是 AABC1三个内角 A ,B,C 的对边，a c o s C +J c s i n A =Z?+c .(1)求A;（2）若a=6,b+c 3,求匕，c2 0.(1 2分)已知椭圆。：1 +4=1 3)0)的 离 心 率 为 也，且以原点。为圆心，椭 圆C的长半轴长为半径的a2 b2 2圆与直线x+y -2 =()相切.(1)求椭圆的标准方程;己 知 动 直 线,过 右 焦 点 日 且 与 椭 圆C交于4、B 两 点,已知2点坐标为弓,。)，求 弧 万 的 值.21.(12 分)在 AABC 中,角A,B,C的对边分别为a/,c,其中a0),过点尸(2,-4)的直线，的参数方程为 t_(为参数)，直线/与曲y=-4HtI2线C交于、N两点。(1)写出直线/的普通方程和曲线C的直角坐标方程：(2)若|P M|,|M N|,|P N|成等比数列，求a的值。参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.A【解析】根据奇偶性定义和性质可判断出函数为偶函数且在(F,0)上是减函数，由此可将不等式化为-1WOX+2K1；利用分离变量法可得-士 -5-,求 得-3的最大值和-的最小值即可得到结果.XX X x【详解】.(x)=/(r).,./(X)为定义在R上的偶函数，图象关于),轴对称又“X)在(0,+8)上是增函数；./(力 在(-8,0)上是减函数：fax+i)/(-I).,.|ar+2|l,即-1方+2 0 ,、由 o-o,n 得：A(2,4)，：工 1 02%+y-8 0故选：D【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法，6.B【解析】先判断函数的奇偶性，再取特殊值，利用零点存在性定理判断函数零点分布情况属于基础题.,即可得解.【详解】由题可知“X）定义域为-肛0）50，句，/（x）是偶函数，关于y轴对称,排除 C,D.兀 乃2 -3 6 _si n =-06 1 2万，“X）在（0,左）必有零点，排 除A.故选：B.【点睛】本题考查了函数图象的判断，考查了函数的性质，属于中档题.7.D【解析】由题意画出图形，找出砂1 B外接圆的圆心及三棱锥尸-3。的外接球心O,通过求解三角形求出三棱锥尸-3 C D的外接球的半径，则答案可求.【详解】如图；设A8的中点为。；,:P A：5 P B=9 ,AB=4,丛5为直角三角形，且斜边为A 3,故其外接圆半径为：,=4 4 8=4 0=2；2设外接球球心为0；：CA=C B=4 Q ,面/R2=（7 6-/?）2+3=田=55工球。的表面积为：4TTR2=47rx5 0万37故选：D.【点睛】本题考查多面体外接球表面积的求法，考查数形结合的解题思想方法，考查思维能力与计算能力，属于中档题.8.B【解析】求出乙，b2,4,b4,b5,bk,判断出他“是一个以周期为6的周期数列，求出即可.【详解】-2 1 *解：x lO .4=%,a=a“一 1 0 a“_ 1（w N，n 2）,一 2 0一,2 0 0一 4-2 瓦,c/2 1 -2 8 ,仇=2 8 10 x 2=8 ,同理可得：%=2 8 5,4=5 ；%=2 8 5 7,ZJ4=7；?5=2 8 5 7 1,=1.4=2 8 5 7 14,d=4；%=2 8 5 7 14 2 ,伪=2,.,心+6=.故 也 是一个以周期为6的周期数列，则4 0 19=晨3 3 6+3=4=5.故选：B.【点睛】本题考查周期数列的判断和取整函数的应用.9.D【解析】由函数的周期求得卬=2,再由平移后的函数图像关于直线x =g对称，得到2 x f +e-=左 乃+1，由此求得满2 2 3 2足条件的。的值，即可求得答案.【详解】Jl JI 11分析：由函数的周期求得（0 =2,再由平移后的函数图像关于直线x =对称，得到2*G+P-；=匕1 +彳，由此求2 2 3 2得满足条件的9的值，即可求得答案.详解：因为函数f(x)=s i n(s x +(p)的最小正周期是兀，2 7 r 、所以一=无，解得3 =2,所以f(x)=s i n(2 x +(p),C O将该函数的图像向右平移B个单位后，6得到图像所对应的函数解析式为y =s i n 2(x)+(p=s i n|2 x +(p-,j r由此函数图像关于直线x =2对称，得：271 71 71 712 x-+(p-=kn+-,即(p=k7 i-q,kG Z,取 k=(),得(p=-g,满 足 闷 5，所以函数f(x)的解析式为f(x)=s i n(2 x-F 故选D.【点睛】本题主要考查了三角函数的图象变换，以及函数的解析式的求解，其中解答中根据三角函数的图象变换得到T Ty =s i n(2 x+e-),再根据三角函数的性质求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.10.D【解析】令 x=得 a=l.故 原 式=(x +-)(2 x!-)5.(x +-)(2 x-)5 的通项(句=。5 (2 幻5-2，(尸|)，=。5 (-1)2 5 一/-2 ，X X X X由 5-2 r=l得 r=2,对应的常数项=8 0,由 5-2 r=-l得 r=3,对应的常数项=4 0,故所求的常数项为4 0 ,选 D解析2.用组合提取法，把原式看做6 个因式相乘，若 第 1个括号提出x,从余下的5 个括号中选2 个提出x,选 3 个提出-；X若 第 1 个 括 号 提 出 从 余 下 的 括 号 中 选 2 个提出,，选 3 个提出x.X X故常数项=X-C (2 X)2.C (-)3+-C；(-)2-C (2 X)3=-4 0+8 0=4 0X X X11.c【解析】根据等差数列的求和公式即可得出.【详解】Va i=12,S5=9 0,5 x 4.*.5 x 12+-d=9 0,2解得d=l.故 选c.【点睛】本题主要考查了等差数列的求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.12.A【解析】先分别判断每一个命题的真假，再利用复合命题的真假判断确定答案即可.【详解】当机=1时，直线x-/ny =O和直线x +碎y =0,即直线为x-y =0和直线x +y =0互相垂直，所以“机=1 ”是直线x-机），=0和直线x +磔=0互相垂直 的充分条件，当直线x my =0和直线x +，孙=0互相垂直时，加2=1，解得/=.所以“m=1 ”是直线x-=0和直线x+my=Q互相垂直”的不必要条件.P：“机=1”是直线x-冲=0和直线x +/敌=0互相垂直 的充分不必要条件，故是假命题.当。=1时，/（幻=/+1没有零点，所以命题夕是假命题.所以（-1）人（q）是真命题，是假命题，是假命题，入q是假命题.故选：A.【点睛】本题主要考查充要条件的判断和两直线的位置关系，考查二次函数的图象，考查学生对这些知识的理解掌握水平.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共2 0分。13.3x-2y+7=0【解析】根据与已知直线垂直关系，设出所求直线方程，将已知圆圆心坐标代入，即可求解.【详解】x2+y2+2 x-4 y =0 圆心为（-1,2）,所求直线与直线2 x+3 y =0垂直，设为3 x -2 y +C =0,圆心（一 1,2）代入，可得。=7,所以所求的直线方程为3 x-2），+7 =0.故答案为：3x-2y+7=0.【点睛】本题考查圆的方程、直线方程求法，注意直线垂直关系的灵活应用，属于基础题.14._也【解 析】57r/、由图可得/（X）的周期、振 幅，即 可 得A,0,再 将（石,2）代 入 可 解 得。，进一步求得解析式及/（）.【详 解】3 S 7 7 Jr 37r 2 乃由图可得A=2,-r =-,所 以7=乃=把，即。=2,4 12 3 4 co57r 57r TC又/（五）=2,即2sin（2x五+）=2,+=-+2 ,GZ,又|0 2-乂2=,可 得。=,b=l,贝 IJc=0，所以双曲线的焦点坐标是（0,0），渐近线方程为：y=x.故答案为：（o,V2）；y=x.【点睛】本题主要考查了双曲线的简单性质的应用，考查了运算能力，属于容易题.116.a=2【解 析】求出函数的导数，由 八 幻=M.2)+在(J上 0，可得/(幻在(，1上单调递增，则函数最大值为/(1)=1,即可求出参数的值.【详解】解：；/(x)=lnx+ln(2-x)+ax定义域为(0,2)1 1 2x 2,/U)=-+-+=-77；+以x x-2 x(x-2)xG(0,11,a 0：./(%)=2X-2z+a0 x(x-2)/(x)在(0,1上单调递增，故f (x)在(0,1上的最大值为f=。=故答案为：2【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性与最值，属于基础题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(1)/7=2cos6+4sin8,(x-1)2+(y-2)2=5；(2)x+y-l=0.【解析】设 点P,Q极坐标分别为(A，夕)，(夕，夕)，由 而=2而 可 得 =g夕0=2cos6+4sin凡整理即可得到极坐标方程，进而求得直角坐标方程；(2)设点A 8对应的参数分别为八小，贝1|舷4|二闻，|MB|二%|，将直线/的参数方程代入G的直角坐标方程中，再利用韦达定理可得 +7 2 =2(cosa+sin a),/也=3,则+|A/B=同+卜?|=|乙 一4|=A/(4+，2)4伍，求得|M4|+|阪 取 最 小 值 时a符合的条件，进而求得直线/的普通方程.【详解】(1)设点P,。极坐标分别为(Qo，S，(。，8)，,.1因为 0 P =2 0 Q,则夕=5（）=2 cos6+4sin。，所以曲线C?的极坐标方程为p=2 cos6+4sin 0,两边同乘P,得0 2 =2 pcose+4spin6,所 以 的 直 角 坐 标 方 程 为/+V =2%+今,即(x+(y 2 f=5 .x=/cos a(2)设点4,8对应的参数分别为乙/2，则|刚=同，|加耳二%|，将直线/的参数方程，.a参数)，代y=l +/sina入G的直角坐标方程(x 1)2+(y 2)2 =5中，整理得尸一2(coscr+sina卜一3=0.由韦达定理得：+t2=2(cos+sina),tyt2=-3,所以|=用+履|=,一L I=)|+/2)2 _4不2 =J 4(cosa+sina+12 =,4sin 2 a+16 2，当且仅当sin2 a=1时，等号成立，贝！|tana=-l,所以当|A例+|M B|取得最小值时，直线/的普通方程为x+y-1 =0.【点睛】本题考查极坐标与直角坐标方程的转化，考查利用直线的参数方程研究直线与圆的位置关系.18.(1)曲线C的 直 角 坐 标 方 程 为 州(a 0),直线/的普通方程为x+y-l=0 ；(2)a=l【解析】(1)由极坐标与直角坐标的互化公式和参数方程与普通方程的互化，即可求解曲线的直角坐标方程和直线的普通方程;(2)把/的参数方程代入抛物线方程中，利用韦达定理得4+4=4&+万a,他=8+2”,可得到|儿创=，-4，俨 闸=4，|9|=/2,根据因为|加|,|P N|成等比数列，列出方程，即可求解.【详解】(1)由题意，曲线C的极坐标方程可化为Q2 cos2(9 =a夕sina(a0),x=pcosO)/八、又由1.八,可得曲线C的直角坐标方程为f=ay(ao),y=p s m 09死x=2-12由直线/的参数方程为 L a为参数)，消去参数，得x+y-l=o,即直线I的普通方程为X+y-1 =0 ；9也x=2 t（2）把/的参数方程 2 代入抛物线方程中，得产（40+也。,+（8+2。）=0,y=-+tI2由4=2，+8a 0,设方程的两根分别为人右，则4+=4亚 +亿 0,斗2=8+2 a 0,可得A0,/2 0.所以|MN|=k r|,|PM|=*|PN|=L因为归M，|MN|,|RV|成等比数列，所 以 亿 幻2=格，即&+幻2=5柱，则（4夜+=5（8+2a）,解得解得a=l或a=4（舍），所以实数“=1.【点睛】本题主要考查了极坐标方程与直角坐标方程，以及参数方程与普通方程的互化，以及直线参数方程的应用，其中解答中熟记互化公式，合理应用直线的参数方程中参数的几何意义是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.7 T19.（1）；（2）b=1,c=2或b=2,c=1.【解析】（1）利用正弦定理，转化原式为sinAcosC+GsinCsinA=sin8+sin C,结合3=一4一。，可得sin（A-?）=g,即得解；（2）由余弦定理a2=+c2-28ccosA，结合题中数据，可得解【详解】（1）由 4：05。+651114=/?+0及正弦定理得sin Acos C+Gsin Csin A=sin B+sin C 因为8 一 A-C,所以sin 8=sin Acos C+cos Asin C,代入上式并化简得/3 sin Csin A=cos Asin C+sin C.由于sinC w O,所以sin（4 q）=g.T T又0vA 0，.*.%+%=-，%=一 ，X|=l+1 ,*2=。2 +1，卜一：,凹）卜2-：,%）=（以 一|（仇 一|+凹%=（产+1）=%为-5（M+2）+/2 ,1 1 2t 1 -2t2-2 +t2 1 7I t2+2 4 产+2 16 2（产+2）16 16,-7综上所述：Q4QB=-7.16【点睛】该题考查直线与圆锥曲线的综合问题，椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，求向量数量积，在解题的过程中，注意对直线方程的分类讨论，属于中档题目.21.(1)-；(2)9+2773.4【解析】(1)利用余弦定理和二倍角的正弦公式，化简即可得出结果；27(2)在八钻C中，由余弦定理得=AC=6 3,在 AJBCD中 结 合 正 弦 定 理 求 出,从而得出C D,即可sin。得出y=AO+28。的解析式，最后结合斜率的几何意义，即可求出49+2 8的最小值.【详解】/、3+t?2-cos（8+C）（1）-=-sin Ceos C.2cosA=*,sin Ceos C由题知，a c,则 Z 4 37r 3设 N B D C =a A e 2 7(痴。+3。)sin 6 )sin 6b.、r 4八 rn八 f 27(sin 6+cos 夕)2x27所以 y=A D +2BD=63-：-+=36 27+27x2-cos6sin。_ 2 cos，_ 2 cosgsin。0-sin所 以t的几何意义为(0,2),(sin仇cos。)两点连线斜率的相反数,皿疗,人人一加2-COS 0 nr数形结合可得/=-大-;-.A/3,0-sin。故A D+2 B D的最小值为9+27A/3.【点 睛】本题考查正弦定理和余弦定理的实际应用，还涉及二倍角正弦公式和诱导公式，考查计算能力.22.(1)/的普通方程C的 直 角 坐 标 方 程 卜=lax-(2)a=.【解 析】(1)利用极坐标与直角坐标的互化公式即可把曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，利用消去参数f即可得到直线/的直角坐标方程；(2)将 直 线/的 参 数 方 程，代 入 曲 线C的方程，利用参数的几何意义即可得出|PM|“P N|,从而建立关于”的方程,求解即可.【详 解】(1)由 直 线/的 参 数 方 程 W乌2交2+-2-4-消 去 参 数，得,y=-4+x+2,即y=x-2为/的普通方程由 psin2 0=2acos0,两边乘以夕得 sinOnZ apcos。，y=2办 为C的直角坐标方程.f _ o V 2 将4 2 代入抛物线2=2所 得*一2夜(。+4)/+32+8。=0y=-4H-12=(2后(+4)2-4(32+8。)0八 +2=2A4-4)0径=32+8 Q 0 0,r2 0由已知IP M N ,P N|成等比数列，:.MN=PM-PN即卜 I T E M伺，(：+幻 2 4%=%，GM)=邛2,(2忘(+4)2=5(32+8a)整理得 力+3a-4=0。=一4(舍去)或 4=1.【点睛】熟练掌握极坐标与直角坐标的互化公式、方程思想、直线/的参数方程中的参数的几何意义是解题的关键.