2023年数学高考一轮复习真题演练(2021-2022年高考真题)第8讲 计数原理与概率统计(含详解).pdf

第8讲计数原理与概率统计、单选题I.（2022.全国.高考真题（理）某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛盘,各盘比赛结果相互独立.已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为呂,。2，,且 P 3 P 2 P l 0.记该棋手连胜两盘的概率为P，贝 （）A.P 与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关B.该棋手在第二盘与甲比赛,p 最大C.该棋手在第二盘与乙比赛,P 最大 D.该棋手在第二盘与丙比赛,P 最大2.（2022全国高考真题）有甲、乙、丙、丁、戊 5 名同学站成一排参加文艺汇演,若甲不站在两端,丙和丁相邻,则不同排列方式共有（）A.12 种 B.24 种 C.36 种 D.48 种3.（2022全国高考真题）从 2 至 8 的 7 个整数中随机取2 个不同的数,则这2 个数互质的概率为（）A.-B.-C.D.6 3 2 34.（2022.全国.髙考真题（理）某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识.为了解讲座效果,随机抽取10位社区居民,让他们在讲座前和讲座后各回答份垃圾分类知识问卷,这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如下图:95%90%櫛85%80%田75%70%65%.*.讲座刖.*一.-讲 座 后 则（.*.;.*.水.123456789 10居民编号A.讲座前问卷答题的正确率的中位数小于70%B.讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85%C.讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差D.讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差5.（2022全国高考真题（文）从分别写有1,2,3,4,5,6 的 6 张卡片中无放回随机抽取2 张,则抽到的 2 张卡片上的数字之积是4 的倍数的概率为（）A.：B.C.I D.I 6.（2021.全国.髙考真题）某物理量的测量结果服从正态分布N（Io,），下列结论中不正确的是（）A.越小,该物理量在一次测量中在（9.9,10.1）的概率越大B.该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5C.该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.0I的概率相等D.该物理量在一次测量中落在（9.9,10.2）与落在（10,10.3）的概率相等7.（2021全国高考真题（理）将 5 名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4 个项目进行培训I,每名志愿者只分配到1个项目,每个项目至少分配1 名志愿者,则不同的分配方案共有（）A.60 种 B.120 种 C.240 种 D.480 种8.（2021全国高考真题（理）在区间（0,1）与（1,2）中各随机取1个数，则两数之和大于I 的概率为（）9.（2021全国高考真题（理）将 4 个 1和 2 个。随机排成一行,则2 个 不相邻的概率为（）A.-B.-C.I D.-3 5 3 510（2021.全国.高考真题）有 6 个相同的球,分别标有数字1,2,3,4,5,6,从中有放回的随机取两次,每次取1 个球,甲表示事件“第一次取出的球的数字是,乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”,丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”,丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”,则（）A,甲与丙相互独立 B,甲与丁相互独立C.乙与丙相互独立 D.丙与丁相互独立二、多选题11.（2021.全国.高考真题）下列统计量中，能度量样本不,，X的离散程度的是（）A.样本%,，毛的标准差 B.样本司,X”的中位数C.样本,，X的极差 D.样本F,，X”的平均数12.（2021全国高考真题）有一组样本数据,，,当，由这组数据得到新样本数据以，,，,其中=玉+c（i=l,2,）,c 为 非 零 常 数,则（）A.两组样本数据的样本平均数相同B.两组样本数据的样本中位数相同C.两组样本数据的样本标准差相同D.两组样本数据的样本极差相同三、填空题13.（2022全国高考真题）已知随机变量X服从正态分布N（2,2）,且 尸（2 2.5）=14.（2022全国高考真题（文）从甲、乙等5 名同学中随机选3 名参加社区服务工作,则甲、乙都入选的概率为.15.（2022全国高考真题）（I T（X+的展开式中X的系数为（用数字作答）.16.（2022.全国.高考真题（理）从正方体的8个顶点中任选4个,则这4个点在同一个平 面 的 概 率 为,17.（2022上海高考真题）在 卜+-J的展开式中,含项的系数为18.（2022上海高考真题）已知有1、2、3、4四个数字组成无重复数字,则比2134大的四位数的个数为19.（2021.北京.高考真题）在（丄 戸 的 展 开 式 中,常 数 项 为.X四、解答题20.（2022全国高考真题）在某地区进行流行病学调查,随机调查了 100位某种疾病患者的年龄,得到如下的样本数据的频率分布直方图:据用该组区间的中点值为代表）；（1）估计该地区这种疾病患者的平均年龄（同一组中的数（2）估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间 20,70）的概率;（3）已知该地区这种疾病的患病率为0.1%,该地区年龄位于区间140,5）的人口占该地区总人口的16%.从该地区中任选一人,若此人的年龄位于区间140,50）,求此人患这种疾病的概率.（以样本数据中患者的年龄位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率,精确到0.0001）.21.（2022.全国.高考真题）医疗团队为研究某地的种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯分为良好和不够良好两类）的关系,在已患该疾病的病例中随机调查了 100例（称为病例组）,同时在未患该疾病的人群中随机调查了 100人（称为对照组）,得到如下数据:不够良好良好病例组4060对照组1090（1）能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异?（2）从该地的人群中任选人,A表示事件“选到的人卫生习惯不够良好 ，B表示事件“选到的人患有该疾病,開片与陽的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的项度量指标 记该指标为R(i )证明:P(A I B)P(A I B)P(AlB)P(AjB)(i i)利用该调查数据,给出P(AIB),P(A|的估计值,并利用(i)的结果给出R 的估计值.附西 欝 爲 葡P(K2k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.82822.(2022全国高考真题(理)甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目,每个项目胜方得10分，负方得分,没 有 平 局.三个项目比赛结束后,总得分高的学校获得冠 军.已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5,0.4,0.8,各项目的比赛结果相互独立.(1)求甲学校获得冠军的概率;(2)用 X表示乙学校的总得分,求 X 的分布列与期望.23.(2022全国高考真题(文)某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山.为估计一林区某种树木的总材积量，随机选取了 10棵这种树木,测量每棵树的根部横截面积(单位:)和材积量(单位:m3),得到如下数据:样本号i12345678910总和根部横截面积0.040.060.040.080.080.050.050.070.070.060.6材积量力0.250.400.220.540.510.340.360.460.420.403.9K)IO IO并计算得 i2=0.038,;=1 6158,J /=0.2474.I=I i=l i=l(1)估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量;(2)求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数(精确到0.01)；(3)现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积总和为186.已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比.利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值.f(丁)(一 刃 _ _ _ _ _附:相 关 系 数,二相 “，1.896 1.377.(i-)2l(yi-y)2V i=I i=l24.(202L全国高考真题)种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设个这种微生物为第0 代，经过一次繁殖后为第1代，再经过一次繁殖后为第2 代，该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列,设X表 示 1个微生物个体繁殖下一代的个数,P(X=i)=Pj(i=0,l,2,3)(1)已知“=().4,P=().3,P2=().2,p3=0.1,求 JE(X)；(2)设 P 表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率,P 是关于X的 方 程:为+外 +=的个最小正实根,求证:当E(X)1时,P=I,当E(X)1时,p P 2 P l 0.记该棋手连胜两盘的概率为P，贝 ()A.P 与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关B.该棋手在第二盘与甲比赛,p 最大C.该棋手在第二盘与乙比赛,P 最大 D.该棋手在第二盘与丙比赛,P 最大【答案】D【解析】【分析】该棋手连胜两盘,则第二盘为必胜盘.分别求得该棋手在第二盘与甲比赛且连胜两盘的概率Z:该棋手在第二盘与乙比赛且连胜两盘的概率厶:该棋手在第二盘与両比赛且连胜两盘的概率%i.并对三者进行比较即可解决【详解】该棋手连胜两盘,则第二盘为必胜盘,记该棋手在第二盘与甲比赛,比赛顺序为乙甲丙及丙甲乙的概率均为,则此时连胜两盘的概率为7则 Z=J (1 一 2 )P P3+0 P (1 -P3)+；(1 )四 Pz+P3P1(I-P 2)=P(P2+P3)-2p2P3;记该棋手在第二盘与乙比赛,且连胜两盘的概率为P乙,则 P乙=(I-PP2Pi+AP2O-P3)=P2(p+p)-2PiP2P3记该棋手在第二盘与丙比赛,且连胜两盘的概率为P丙则 P丙=(I-PI)P3P2+Pl P3(1-P2)=P3(Pi+P2)-2p P2 P3则内、-P乙=p(p2+p3)-2 p p2p3-P2(Pl+P3)-2PlP2P3=(Pi-P2)P3 P乙-P内=P2(P1+P3)-2p P2P3-P3(P+P2)-2 p P2P3=(p2-P 3)p 0 卩 P甲 P乙，P乙 70%,所以A 错;讲座后问卷答题的正确率只有一个是80%,4个85%,剩下全部大于等了 90%,所以讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85%,所以B 对；讲座前问卷答题的正确率更加分散,所以讲座前问卷答题的正确率的标准差大于讲座后正确率的标准差,所以C 错:讲座后问卷答题的正确率的极差为l%-80%=20%,讲座前问卷答题的正确率的极差为95%-60%=35%20%,所以D 错.故选:B.5.（2022全国高考真题（文）从分别写有1,2,3,4,5,6 的 6 张卡片中无放回随机抽取2 张，则抽到的 2 张卡片上的数字之积是4 的倍数的概率为（）A.-B.-C.-D.I5 3 5 3【答案】C【解析】【分析】先列举出所有情况,再从中挑出数字之积是4 的倍数的情况，由古典概型求概率即可.【详解】从 6 张卡片中无放回抽取2 张,共有（1,2）,（1,3）,（1,4）,（1,5）,（1,6）,（2,3）,（2,4）,（2,5）,（2,6）,（3,4）,（3,5）,（3,6）,（4,5）,（4,6）,（5,6）15 种情况,其中数字之积为4 的倍数的有（1,4）,（2,4）,（2,6）,（3,4）,（4,5）,（4,6）6 种情况，故概率为掲=|.故 选:C.6.（2021.全国.高考真题）某物理量的测量结果服从正态分布N（Io,）,下列结论中不正确的是（）A,越小,该物理量在一次测量中在（9910.1）的概率越大B,该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5C.该物理量在一次测量中小于9.9 9与大于1 0.0I的概率相等D.该物理量在一次测量中落在(9.9,1 0.2)与落在(1 0,1 0.3)的概率相等【答案】D【解析】【分析】由正态分布密度曲线的特征逐项判断即可得解.【详解】对于A,为数据的方差,所以越小,数据在=1 0附近越集中,所以测量结果落在(9.9,1 0.1)内的概率越 大,故A正确;对于B,由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量大于1 0的概率为0.5,故B正确;对于C,由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量结果大于1 0.01的概率与小于9.9 9的概率相等,故C正确;对于 D,因为该物理量一次测量结果落在(9 9 1 0.0)的概率与落在(1 021 0.3)的概率不同，所以一次测量结果落在(9.9,1 0.2)的概率与落在(1 0,1 0.3)的概率不同，故D错误.故 选:D.7.(2021全国高考真题(理)将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训I,每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名 志 愿 者,则 不 同 的 分 配 方 案 共 有()A.6 0 种 B.1 20 种 C.24 0 种 D.4 8 0 种【答案】C【解析】【分析】先确定有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者,然后利用组合，排列,乘法原理求得.【详解】根据题意，有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者,可以先从5名志愿者中任选2人，组成一个小组,有 髪 种选法;然后连同其余三人,看成四个元素，四个项目看成四个不同的位置,四个不同的元素在四个不同的位置的排列方法数有4!种,根据乘法原理，完成这件事，共有C；x 4!=24 0种不同的分配方案,故 选:C.【点睛】本题考查排列组合的应用问题，属基础题,关键是首先确定人数的分配情况，然后利用先选后排思想求解.8.(2021.全国.高考真题(理)在区间(0,1)与(1,2)中各随机取1个数,则两数之和大于的概率为()【答案】B【解析】【分析】设从区间(0,1),(1,2)中随机取出的数分别为丿,则实验的所有结果构成区域为。=(羽切0 犬 1,1.2,设事件A 表示两数之和大于 ,则构成的区域为A=(x,y)|0 xl,l y(2,x+y)：,分别求事,A对应的区域面积,根据几何概型的的概率公式即可解出.【详解】如图所示:设从区间(0,1),(1,2)中随机取出的数分别为丿,则实验的所有结果构成区域为。=(羽力|0 犬 1,1.2,其面积为Sa=IXI=I.设事件A 表示两数之和大于,则构成的区域为A=(,y)C L1 y(2,X+,即图屮的阴影部分,其面积为S a=IV X 二x =U,所以P(A)=UL=石.2 4 4 32 JC S Z故 选:B.【点睛】本题主要考查利用线性规划解决几何概型中的面积问题,解题关键是准确求出事件Q A 对应的区域面积,即可顺利解出.9.(2021.全国.高考真题(理)将4 个 1和 2 个随机排成一行，则 2 个不相邻的概率为()A.-B.-C.I D.-3 5 3 5【答案】C【解析】【分析】采用插空法,4 个 1产生5 个 空,分 2 个相邻和2 个不相邻进行求解.【详解】将 4 个 1和 2 个。随机排成一行,可利用插空法，4 个 1产生5 个空,若2个0相 邻,则 有C；=5种 排 法,若2个0不相邻,则有C；=10种排法,所以2个 不相邻的概率为瓦伉=1故 选:C.10.（2021全国高考真题）有6个相同的球,分别标有数字1,2,3,4,5,6 从中有放回的随机取两次,每次取1个球,甲 表示事件”第一次取出的球的数字是,乙 表示事件“第二次取出的球的数字是2”,丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7，则（）A,甲与丙相互独立 B.甲与丁相互独立C.乙与丙相互独立 D,丙与丁相互独立【答案】B【解析】【分析】根据独立事件概率关系逐一判断【详解】?（甲）=:,尸（乙）=3,P（丙）=。,P（）=2=L ,P（甲丙）=（）/P（甲）尸（丙），P（甲丁）=-1-=P（甲）P（丁）,（乙丙）=丄 P（乙）P（丙），P（丙丁）=。P（丁）P（丙）,故36 36选:B【点睛】判断事件A,B是否独立，先计算对应概率,再判断P（A）P（B）=P（AB）是否成立二、多选题IL （2021全国高考真题）下列统计量中,能度量样本和,，毛 的离散程度的是（）A.样本为,的标准差 B.样本，招的中位数C.样本玉,2,，七,的极差 D.样本用,X”的平均数【答案】AC【解析】【分析】考查所给的选项哪些是考查数据的离散程度,哪些是考查数据的集中趋势即可确定正确选项.【详解】由标准差的定义可知,标准差考查的是数据的离散程度;由中位数的定义可知，中位数考查的是数据的集中趋势;由极差的定义可知,极差考查的是数据的离散程度:由平均数的定义可知，平均数考查的是数据的集中趋势;故 选:AC.12.(2021 全 国 高考真题)有一组样本数据储,巧,当,由这组数据得到新样本数据%,为，得，其中=怎+c(=l,2,),c为 非 零 常 数,则()A.两组样本数据的样本平均数相同B,两组样本数据的样本中位数相同C.两组样本数据的样本标准差相同D.两组样本数据的样本极差相同【答案】CD【解析】【分析】A、C 利用两组数据的线性关系有E(y)=E(x)+C ZXy)=D(x),即可判断正误;根据中位数、极差的定义,结合已知线性关系可判断B、D 的正误.【详解】A：E(y)=E(x+c)=E(x)+c且C H O,故平均数不相同,错误;B:若第一组中位数为,则第二组的中位数为 =+c,显然不相同,错误;C:()，)=。(X)+Z)(c)=O(x),故方差相同,正确;D:由极差的定义知:若第一组的极差为Xn m-XmM,则第二组的极差为N m ax-in=(X n +(X m in+=X nWt-XmM，故极差相同,正确;故 选:CD三、填空题13.(2022.全国.高考真题)已知随机变量X服从正态分布N(2Q2),且 P(2 2.5)=【答案】0.14#.【解析】【分析】根据正态分布曲线的性质即可解岀.【详解】因为 X N(2,),所以 P(X 2)=0$,因此P(X 2.5)=P(X 2)尸(2 6.635,所以有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异.，、田、/P _ P(BIA)P(引用-尸(AB)P(A)P(AB)(1)A 为 K =-=-=-=-P(B I A)P(B|A)P(A)P(AB)P(A)PC)P(AB)所以R=P(AB)_P(B)P(AB)_P(B)P(B)P(AB)P(B)P(AB)所以R=P(A|B)P(A|B)P(A|B)P(A|B)(ii)由已知 P(AIB)=g,P(AI 与)=线,又 P(AIB)=而,P(AlB)=需,所以 R=P(AIB)P(A I B)P(A|B)22.(2022.全国.高考真题(理)甲、乙两个学校进行体育比赛,比赛共设三个项目,每个项目胜方得IO分,负 方 得 0 分,没 有 平 局.三个项目比赛结束后,总得分高的学校获得冠 军.已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5,0.4,0.8,各项目的比赛结果相互独立.(1)求甲学校获得冠军的概率:(2)用 X表示乙学校的总得分,求X 的分布列与期望.【答案】(1)0.6；分布列见解析,E(X)=I3.【解析】【分析】(1)设甲在三个项目中获胜的事件依次记为A,B,C,再根据甲获得冠军则至少获胜两个项目,利用互斥事件的概率加法公式以及相互独立事件的乘法公式即可求出;(2)依 题 可 知,X 的可能取值为0,10,20,30,再分别计算出对应的概率,列出分布列,即可求出期望.(1)设甲在三个项目中获胜的事件依次记为A,B,C 所以甲学校获得冠军的概率为P=P(ABC)+P(ABC)+P(ABC)+P(AJBC)=0.50.40.8+0.50.40.8+0.50.60.8+0.50.40.2=0.16+0.16+0.24+0.04=0.6.(2)依 题 可 知,X 的可能取值为0,10,2 0,3 0,所以,P(X=O)=O.5x0.4x0.8=0.16,p(X=!)=0.5 X 0.4 X 0.8+0.5 X 0.6 X 0.8+0.5 X 0.4 0.2=0.44,P(X=20)=0.50.60.8+0.50.40.2+0.50.60.2=0.34,P(X=30)=0.5 X 0.6 X 0.2=0.06.即 X 的分布列为X010203()P0.160.440.340.06期望 E（X）=OXO.16+100.44+200.34+300.06=13.23.（2022 全国髙考真题（文）某地经过多年的环境治理,已将荒山改造成了绿水青山.为估计一林区某种树木的总材积量,随机选取了 10棵这种树木,测量每棵树的根部横截面积（单 位:n）和材积量（单位:m3）,得到如下数据:样本号i12345678910总和根部横截面积0.040.060.040.080.080.050.050.070.070.060.6材积量%0.250.400.220.540.510.340.360.460.420.403.9并计算得2 =0。38,：=1.6158,2方=0.2474.i=l i=l i=l（1）估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量;（2）求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数（精确到0.01）；（3）现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积总和为186n.已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比.利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值.Z（Xi ）（X ）附：相关系数r=“，8 9 6 1.377.J U i-）2（yi-7）2Vi=I i=l【答案】0.06n?;0.39m,（2）0.97（3）1209m3【解析】【分析】（1）计算出样本的一棵根部横截面积的平均值及棵材积量平均值,即可估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量;（2）代入题给相关系数公式去计算即可求得样本的相关系数值;（3）依据树木的材积量与其根部横截面积近似成正比,列方程即可求得该林区这种树木的总材积量的估计值.样本中10棵这种树木的根部横截面积的平均值=覚=0.06样本中!0棵这种树木的材积量的平均值=荒=0.39据此可估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面枳为0.06?,平均棵的材积量为0.39Z(X i一 五)(X)Z V i-IO回摩 啤d2暦To嘴 呵0.2474-100.060.39 0.0134 0.0134 C=/_ =I=-0.97 Ijlll rQ77(0.038-10 X 0.062)(1.6158-10 X 0.392)0.0001896 0.01377 j(3)设该林区这种树木的总材积量的估计值为rm,又已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比,可得=,解N得=1209n.则该林区这种树木的总材积量估计为120924.(2021全国高考真题)种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来,设个这种微生物为第代,经过一次繁殖后为第1代,再经过一次繁殖后为第2代 该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列,设X表 示1个微生物个体繁殖下一代的个数,P(X=i)=p,(i=0,l,2,3).(1)已知 o =O.4,p=0.3,P2=0.2,P3=0 1，求 E(X)；(2)设表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率,P是关于X的方程:为+PIX+p 2 +p 3 =的个最小正实根，求 证:当E(X)1时,P=I,当E(X)1时，p +?3)+0，若 E（X）1,贝 Ijp+2p2+3p3l,故 +Z。/网）.尸（X）=3X2+2p2-（p2+Pn+Pi）,因为 （0）=-（P2+R,+P3）o,/（1）=0+2p3为金）,故/（X）有两个不同零点不,lo,且x e（-,再）U（X2,+）时,（x）0;Xe（Xl,）时,（x）0?故/（X）在（-8,），（，+8）上为增函数,在（占,）上为减函数,若=1,因为/（%）在（,X）为增函数且/（1）=0,而当Xe（O,）时,因 为（X）在（苔,W）上为减函数,故，（力/（）=/（I）=,故1为Po+p x+P2X2+PiX3=X的个最小正实根,若X 1 ,因为/（1）=0 且在（。,）上为减函数，故 1为）+。+。2+。3=的一个最小正实根,综 上,若 E（X）V l,贝IJP=L若 E（X）1,则 回+2必+3。3 1,故化+2,3 Po.1时（。）=一（2 +Po+，），/（1）=P2+2P3-Pn 0,故/（犬）有两个不同零点 匕,且 匕1，且xw（,）U（X4，+00）时，/（x）0;Xe（X3,王）时，,（x）0;故/（X）在（-,七），（七,物）上为增函数，在（玉田）上为减函数,而/（I）=。,故 巧）。,又，（O）=P 。,故（在（。,4）存在个零点乙且 Pl所以。为 Po+p1x+P2X2+P3X3=X的个最小正实根，此时P 1 ,故当E（X）1 时,Pl.（3）意 义:每 个该种微生物繁殖后代的平均数不超过1,则若干代必然灭绝，若繁殖后代的平均数超过1,则若干代后被灭绝的概率小于L25.（2021全国高考真题（理）某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了 10件产品，得到各件产品该项指标数据如下:旧设备9.810.310.010.29.99.810.010.110.29.7新设备10.110.410.110.010.110.310.610.510.410.5旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为1 和,样本方差分别记为和,（1）求 X,y,s ,s2;（2）判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果2 J年,则认为新V 1 0设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高,否则不认为有显著提高）.【答案】（1）x =1 0 j=1 0 5l2=0.0 3 6,5；=0.0 4；（2）新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高.【解析】【分析】（1）根据平均数和方差的计算方法,计算出平均数和方差.（2）根据题目所给判断依据,结合（1）的结论进行判断.【详解】-9.8 +1 0.3 +1 0 +1 0.2 +9.9+9.8 +1 0 +1 0.1 +1 0.2 +9.7 ”、（I）X=-=1 0,-1 0.1 +1 0.4 +1 0.1 +1 0 +1 0.1 +1 0.3 +1 0.6 +1 0.5 1 0.4 +1 0.5 V =-=1 0.3 ,1 02 0.22 0.32+0 +0.22+0.12+0.22+0 +0.12 0.22+0.32s,=-=0.0 3 6,11 02s；=0.22+0.12 0.22+0.32+0.22+0=+00.0342.+0.22+0.12 0.22 ,（2）依 题 意,y-=0.3 =2 0.1 5 =2 0.1 52=2 0.0 2 2 5，2 ;0。4=2,0.0 0 7 6,4 2 比 竝 所以新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高.V io2 6.（2 0 2 1全国高考真题）某学校组织 带一路 知识竞赛，有A,B两类问题，每位参加比赛的同学先在两类问题中选择类并从中随机抽取个问题回答,若回答错误则该同学比赛结束;若回答正确则从另类问题中再随机抽取个问题回答,无论回答正确与否，该同学比赛结束.A类问题中的每个问题回答正确得2 0分，否则得分；B类问题中的每个问题回答正确得8 0分，否则得0分,已知小明能正确回答类问题的概率为0.8,能正确回答8类问题的概率为0.6,且能正确回答问题的概率与回答次序无关.（1）若小明先回答A类问题，记X为小明的累计得分,求X的分布列；（2）为使累计得分的期望最大,小明应选择先回答哪类问题?并说明理由.【答案】（1）见解析；（2）B类.【解析】【分析】（1）通过题意分析出小明累计得分X的所有可能取值,逐一求概率列分布列即可.（2）与（1）类似，找出先回答B类问题的数学期望，比较两个期望的大小即可.【详解】(1)由题可知,X 的所有可能取值为0,20,100.P(X=O)=I_ 0.8=0.2；P(X=20)=0.8(1-0.6)=0.32；P(X=IoO)=O.8*0.6=0.48.所以X 的分布列为X020100P0.20.320.48(2)由(1)知，E(X)=00.2+200.32+l0.48=54.4.若小明先回答B 问题，记y 为小明的累计得分,则y 的所有可能取值为0,80,100.P(X=O)=1-0.6=0.4；p(y=80)=0.6(1-0.8)=0.12：P(X=I(X)=O.8x0.6=0.48.所以 E(y)=0 x0.4+80 x0.12+I00 x0.48=57.6.因为54.4 57,6所以小明应选择先回答B类问题.