2023年新高考数学一轮复习知识点讲解+真题测试9.1 直线与直线方程.pdf

专题9.1 直线与直线方程（真题测试）一、单选题1.（2022全国高考真题）图 1 是中国古代建筑中的举架结构，44,88,是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举，图 2 是某古代建筑屋顶截面的示意图.其中。R,C G，84AA是举，ODt,OC,网 是相等的步，相邻桁的举步之比分别为第=0.5,第=配 瞿 L =加 普=&.已知配网AUU L/C|CJ|/1|成公差为0 1 的等差数列，且直线。4 的斜率为0.725,则勺=（）C.0.85D.0.90.75 B.0.82.（2020.山东高考真题）直线2x+3y-6=0 关于点（-1,2）对称的直线方程是（）A.3x-2y-0=0B.3x-2y-23=0C.2x+3y-4=0D.2x+3y-2=03.（2020山东高考真题）已知直线/：y=xsin6+cos。的图像如图所示，则角，是（)第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角4.（山东高考真题）如下图，直线/的方程是（A./3x-y-y/3 -0B./3x-2y-V 3=0C./3x-3y-l=0D.x-y/3y-1=05.（2020.全国.高考真题（文）点（0,-1）到直线y=A（x+l）距离的最大值为（）A.1B.72 C.6 D.26.（2018北京高考真题（理）在平面直角坐标系中，记d 为点P（cos0,sin0）到直线x-叼-2 =0 的距离,当6、，变化时，d 的最大值为A.1 B.2C.3 D.47.（全国高考真题（理）等腰三角形两腰所在直线的方程分别为x+y-2 =O与x-7 y-4 =0,原点在等腰三角形的底边上，则底边所在直线的斜率为（）A.3 B.2 C.D.3 28.（四川高考 真 题（文）设，w R,过定点A 的动直线x+ay=0 和过定点8 的动直线，n x-y-，+3=0 交于点P（x,y）,则|网+|尸耳的取值范围是（）A.技 26 B.疝2石 C.V10,4A/5JD.26,4内二、多选题9.（2023全国高三专题练习）下列四个命题中，错误的有（）A.若直线的倾斜角为，则sin60B.直线的倾斜角的取值范围为0 4。C.若一条直线的倾斜角为。，则此直线的斜率为tan。D.若一条直线的斜率为tan。，则此直线的倾斜角为810.（2023 全 国 高三专题练习）过点22,3）,并且在两轴上的截距互为相反数的直线方程为（）A.3 x-2y=0 B.x-y +l=0C.x+y-5 =0 D.4x-2y+5=011.（2022全国高三专题练习）下列说法正确的是（）A.直线y=以一3。+2（。G 7?）必过定点（3,2）B,直线y=3x-2在 y 轴上的截距为2C.直线6 x-y +l=o 的倾斜角为60。D.过点（T 2）且平行于直线x-2 y +3=0 的直线方程为2x+y=（）12.（2022山东省实验中学模拟预测）对 于 平 面 直 角 坐 标 系 内 的 任 意 两 点 Q（&，必），定义它们之间的一种“距离”为112211=|%-|+仅 必|已知不同三点A,B,C 满足|AC|+|8Q=|A B|,则下列结论正确的是（）A.A,B,C 三点可能共线B.A,B,C 三点可能构成锐角三角形C.A,B,C 三点可能构成直角三角形D.4,B,C 三点可能构成钝角三角形三、填空题13.（2008江苏高考真题）在平面直角坐标系中，设三角形4 3 c 的顶点坐标分别为A（0,q）,3 0）,C（c,0）,点P（0,p）在线段0A 上（异于端点），设”,b,c,p均为非零实数，直线BR CP分别交4（?,4 8 于 点 F,一同学已正确算出OE的方程：=请你求O F的方程：_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _.c）IP a）14.（四川高考真题（理）设m e H,过定点A 的动直线x+，利=0 和过定点B 的动直线，n x-y-m +3=0 交于点P（x,y）,则的最大值是.15.（2017北京高考真题（理）三名工人加工同一种零件，他们在一天中的工作情况如图所示，其中点4的横、纵坐标分别为第i 名工人上午的工作时间和加工的零件数，点 B i的横、纵坐标分别为第，名工人下午的工作时间和加工的零件数，.=1,2,3.记 Q 为第i 名工人在这一天中加工的零件总数，则 0，Q,中最大的是.记p i为第i 名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则 0,P2,P3中最大的是.零件f i t （件）4.工作时间（小时）1 6.（2 0 2 2 安徽合肥市第六中学模拟预测（理）已知点P是 x 轴上的任意一点，A（0-2）,8（-3,0）,贝 I2 1A p i+|B P|的最小值为.四、解答题17.（2 02 2.全国高三专题练习）已知一直线经过点（1,2）,并且与点（2,3）和（0,-5）的距离相等，求此直线的方程.18.（2 02 2 全国高三专题练习）己知直线/：kx-y+2k=0（k e R）,直线/与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，求此时直线/的方程.19.（2 02 2 全国高三专题练习）已知在AABC中，|A =|A C|,Z A =12 0,4 0,2）,边 B C 所在的直线方程为&-y-l =0,求边A B、AC所在的直线方程.2 0.（2 02 3 全国高三专题练习）已知两曲线丫 =/+必 和 y n x +f e r+c 都经过点尸（1,2）,且在点P 处有公切线.求 a,b,c 的值；（2）求公切线与坐标轴围成的三角形的面积；2 1.（2 02 2 全国高三专题练习）已知A（4,-3 全 B（2,-l）和直线/:4 x+3 y-2 =0,若坐标平面内存在一点P,使|酬=忙却，且点尸到直线/的距离为2,求点P 的坐标.2 2.（2 02 2 安徽寿县第一中学高三阶段练习（理）已知直线4：，n”2 y +l=O,直线4 ：x-（帆-l）y-l =0（1）若“2，求机；（2）当0 “/1|成 公 差 为0 的等差数列，且 直 线Q 4的 斜 率 为0.725,则&=（）A.0.75 B.0.8C.0.85D.0.9【答 案】D【解 析】【分 析】设O R=D G =C BI=B A,=1,则可得关 于 网 的方程，求出其解后可得正确的选项.【详 解】设 O D、=D C、CB=5A=1,则 CC=k、,=k2,A4,=k3,所 以（）5 +32（）.3 M g s,故 人=o.9,4故选：D2.（2020山东高考真题）直 线2x+3y-6=0关于点（-1,2）对称的 直 线 方 程 是（）A.3x-2y-10=0 B.3x-2y-23=0C.2x+3y-4=。D.2x+3y 2=0【答 案】D【解 析】【分 析】设对称的直线方程匕的一点的坐标为（X，y）,则其关于点（-1,2）对称的点的坐标为（-2-乂4-y）,代入已知直线即可求得结果.【详 解】设对称的直线方程上的一点的坐标为（x，y）,则其关于点（-1,2）对称的点的坐标为（-2 34-y）,因 为 点（-2-羽4-月 在 直 线2工+3-6=0上，所以 2（2尤）+3（4-）-6 =0 即 2x+3y-2=0.故 选：D.3.（2020山东高考真题）己知直线/：y=xsine+cos。的图像如图所示，则 角 夕 是（）A.第一象限角B.第二象限角 C.第三象限角D.第四象限角【答 案】D【解 析】【分 析】本题可根据直线的斜率和截距得出sin8 0,即可得出结果.【详 解】结合图像易知，sin，0,则 角，是第四象限角，故选：D.4.(山东高考真题)如下图，直线/的方程是(A.上x-y-6 =0B.x/3x-2y-/3-0C./3x-3y-l=0D.x-/3y-1=0【答案】D【解析】【分析】由图得到直线的倾斜角为3 0,进而得到斜率，然后由直线/与x 轴交点为(1,0)求解.【详解】由图可得直线的倾斜角为30。，所以斜,率 k-tan 30=3所以直线/与x 轴的交点为(1,0),所以直线的点斜式方程可得/：y-0 =(x-l).即 x-石 y-1=0.故选：D5.(2020全国高考真题(文)点(0,-1)到直线y=A(x+l)距离的最大值为()A.1 B.y2 c.y/i D.2【答案】B【解析】【分析】首先根据直线方程判断出直线过定点尸(-1,0),设A(0,-l),当直线y=A(x+l)与 垂直时，点A 到直线y=k(x+l)距离最大，即可求得结果.【详解】由y=%（x+l）可知直线过定点P（-1,O）,设 A（O,-1）,当直线y=%（x+l）与AP垂直时，点A到直线y=k（x+i）距离最大，即为|AP|=J L故选：B.6.（2018北京高考真题（理）在平面直角坐标系中，记d 为点尸（cos，,sin。）到直线X-沙-2 =0 的距离，当6、变化时，d 的最大值为A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】【分析】P 为单位圆上一点，而直线x-2 =0 过点A（2,0）,则根据几何意义得d 的最大值为。4+1.【详解】Qcos2 0+sin 2 =l,，尸为单位圆上一点，而 直 线 附一2=0 过点4（2,0）,所以d 的最大值为。4+1 =2+1=3,选 C.7.（全国高考真题（理）等腰三角形两腰所在直线的方程分别为x+y-2 =0 与x-7 y-4 =0,原点在等腰三角形的底边上，则底边所在直线的斜率为（）A.3 B.2 C.D.3 2【答案】A【解析】【详解】ii：x+y-2=Qkl=-1-l2:x-7y-4=Q,k2=y-设底边为由题意，4 到4 所成的角等于4 到所成的角于是有后一无.越 “1.7比 一 11+占 无 l+V Jt-1 7+3再将A、B、C、D 代入验证得正确答案是A.8.（四川高考真题（文）设m e R,过定点A 的动直线x+my=0 和过定点8 的动直线如-丫-加+3=0 交于点P（x,y）,贝|PA|+|P即的取值范围是（）A.x/5,25/5 B.710,275 C.710,4/5 D.2乔,46【答案】B【解析】【详解】试题分析：易得A（0,0）,3（l,3）.设P（x,y）,则消去m 得：x2+y2-x-3 y =0,所以点P 在以A B 为直径的圆上，P AL P B，所 以 囱+|阳 2=|AB|2=10,令 附=7I5sina附=厢8$6,则1PAi+归 却=厢$皿 6+痴3，=2石$皿 6 +；）.因为|网“,|尸 耳 2 0,所以所以受 4sin（e+7）4 1,而41PAl+|P8|4 2石.选 B.法二、因为两直线的斜率互为负倒数，所以R 4_LP 5,点 P 的轨迹是以A B 为直径的圆.以下同法一.二、多选题9.（2023全国高三专题练习）下列四个命题中，错误的有（）A.若直线的倾斜角为，则sin60B.直线的倾斜角。的取值范围为0 4。乃C.若一条直线的倾斜角为。，则此直线的斜率为tan。D.若一条直线的斜率为tan。，则此直线的倾斜角为6【答案】ACD【解析】【分析】根据倾斜角与斜率的定义判断即可.【详解】解：因为直线的倾斜角的取值范围是0 0 ,即。目0，所以sinONO,当片1 时直线的斜率=tanO,故 A、C 均错误；B 正确；对于D：若直线的斜率 =ta n?=6,此时直线的倾斜角为?，故 D 错误；故选：ACD10.（2023全国高三专题练习）过点尸（2,3）,并且在两轴上的截距互为相反数的直线方 程 为（）A.3x-2y 0 B.x-y +l=0C.x+y-5 =0 D.4 x-2y+5=0【答案】AB【解析】【分析】根据题意，分直线/过原点和不过原点两种情况讨论求解即可.【详解】解：若直线/过原点，则直线的方程为丫=点，将点P(2,3)代入得k=3,所以直线方程为丫=3，即3 x-2 y =0；若直线/不过原点，根据题意，设直线方程为二-2 =1,a a将点尸(2,3)代入得。=一1,故直线/的方程为x y+l =O；所以直线/的方程为：3 x-2 y =0 或x-y +l =O.故选：A B.I I.(2 0 2 2.全国高三专题练 习)下列说法正确的是()A.直 线 尸 奴-3。+2(。/?)必过定点(3,2)B.直线y =3 x-2 在 y 轴上的截距为2C.直 线-y +l=()的倾斜角为6 0 D.过点(-1,2)且平行于直线x-2 y +3 =O 的直线方程为2 x+y =0【答案】A C【解析】【分析】将直线方程化为(x-3 +(2-y)=0,即可求I I 1 直线过定点坐标，从而判断A,令 x =0 求出,即可判断B,求出直线的斜率即可得到倾斜角，从而判断C,根据两直线平行斜率相等求出直线方程即可判断D；【详解】解：对于 A,y=ax-3a+2(ae,即(x-3)a+(2-y)=0 ,(x 3 =0 f x =3 /、令=即|),=2 所以直线=办-3 4 +2(。/?)必过定点(3,2),故 A正确；对于B,对于直线y =3 x-2,令X =O 得 y =-2,所以直线y =3 x-2 在 y轴上的截距为_ 2,故 B错误；对于C,直 线 后-y +l =O,即y =6 x+l,所以斜率氏=6,其倾斜角为6 0。，故 C正确；对于D,过点(1,2)且平行于直线x-2 y+3 =0 的直线方程为：y-2 =l x-(-l),即x-2 y+5 =0,故 D错误，故选：AC.12.(2022山东省实验中学模拟预测)对于平面直角坐标系内的任意两点尸(5,乂)，。(三,力)，定义它们之间的一种“距离”为PQll=W-X2|+E-%.已知不同三点A，B,C 满足|AC|+|BCI=llA 5|,则下列结论正确 的 是()A.A,B,C 三点可能共线B.A,B,C 三点可能构成锐角三角形C.A,B,C 三点可能构成直角三角形D.A,B,C 三点可能构成钝角三角形【答案】ACD【解析】【分析】取两定点为A,C,再设任意点B,然后利用给定定义逐项分析、计算判断作答.【详解】令点C(0,0),4(1,0),设点即,s),则有|A C|=l,|B C|H f|+|s|,|A B|=|l|+|s|,由 以。|+|3。|=|,|得：1+1”=1-1|,当s=0,r 0时，A,B,C 三点共线，且有l+|r|=l-l|成立，A 正确；当swO时，则A,B,C 三点不共线，若f=0，有 NACB=9 0 1 且成立，AMC为直角三角形，C 正确；若t 0,1+|/|=-1|不成立，显然A,B,C 三点不可能构成锐角三角形，B 不正确.故选：ACD三、填空题13.(2008 江苏高考真题)在平面直角坐标系中，设三角形ABC的顶点坐标分别为A(0M,3(b,0),C(c,0),点 P(O,P)在线段0A 上(异于端点)，设也。,均为非零实数，直线BR CP分别交4 0 3 于 点 F,一同学已正确算出OE的方程：=请你求。尸的方程：_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _.b c)(p a)【答案】(-)x+(-)y=0c b p a【解析】【详解】本小题考查直线方程的求法.画草图，由对称性可猜想d-4）x+（-Ly=O.c b p a事实上，由截距式可得直线AB/+咨=1,直线。二+=1,两式相减得d-4）x +d =O,显然a b c p co p a直线A B与C P的交点尸满足此方程，又原点O也满足此方程，故为所求的直线O F的方程.1 4 .（四川高考真题（理）设机e/?,过定点A的动直线x +a y =0 和过定点B 的动直线优-根+3 =0 交于点PC）,则|网|州的 最 大 值 是.【答案】5【解析】【详解】试题分析：易得A（0,0）,8（l,3）.设尸（x,y）,则消去加得：x2+/-x-3 y =0 ,所以点P在以AB 为直径的圆上，P A L P B，所 以 囱+|阳 2=|A B|2=1 0,阳 冈 罔 4 四15.法二、因为两直线的斜率互为负倒数，所 以 抬 _ L P 8,点 P的轨迹是以AB 为直径的圆.以下同法1 5 .（2 0 1 7 北京高考真题（理）三名工人加工同一种零件，他们在一天中的工作情况如图所示，其中点4的横、纵坐标分别为第i 名工人上午的工作时间和加工的零件数，点历的横、纵坐标分别为第i 名工人下午的工作时间和加工的零件数，i=l,2,3.记。i 为第，名工人在这一天中加工的零件总数，则 Q/,。2,中最大的是.记用为第i 名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则m，P2,P 3 中最大的是.零件 数（件），工 作 时 间（小时）【答案】Qi P2【解析】【详解】试题分析：作 图 可 得 中 点 的 纵 坐 标 比儿鸟,人生中点的纵坐标大，所以Q/,。2,Q s 中最大的是2,分别作目,屈,员关于原点的对称点用,与,&,比较宜线星，4星的斜率(即为第i 名工人在这一天中平均每小时加工的零件数)，可得&星最大，所以0,0 2,而中最大的是P 2.【考点】图象的应用，实际应用问题【名师点睛】本题考查了根据实际问题分析和解决问题的能力，以及转化与化归的能力，因为第i 名工人加工总的零件数是A +与，比较总的零件数的大小，即可转化为比较笞丝的大小，而 空 里 表 示 4月中点连线的纵坐标，第二问也可转化为中点与原点连线的斜率.1 6.(2 0 2 2 安徽合肥市第六中学模拟预测(理)己知点尸是x 轴上的任意一点，A(0-2),8(-3,0),贝 I2AP+BP的最小值为.【答案】3 +2 石#2 后+3【解析】【分析】如图，过 B 点作倾斜角为弓的直线B M,过点P作 P E _ L 3 M,则|P E|=；|尸例，从而得I A P|+g|BP|=|AP+PE A E ,然后利用点到直线的距离公式求出4到直线5M的距离，进而可求出2 1 A pi+|BP|的最小值，【详解】如图，过 8点作倾斜角为3的 一 条 直 线=立(x +3),过点P作尸E 创/于 E,则空=：,即6 3 pB 2PE=PB,所以|A P|+1 I BP|=|A P|+1 P E 闫A E|,A到直线B M的距离d=22 叵，2 2因此2 1 A pl +1 8 尸|的最小值为3+2 6故答案为：3 +2 /317.(2022全国高三专题练习)已知一直线经过点(1,2),并且与点(2,3)和(0,-5)的距离相等，求此直线的方程.【答案】4x_y_2=0或x=|【解析】【分析】当直线斜率存在时，设出方程，由点到直线的距离解出斜率即可；斜率不存在时检验满足条件即可.【详解】假设所求立线的斜率存在，则可设其方程为y-2 =k(x-1),即丘-y-A +2=0.由题设有:|2A:-3-Ar+2|_|0+5-JI+2|+k2 yl +k2,即|左 一 1|=|左_ 7|,解得=4,则直线方程4 x-y-2 =0.又所求直线的斜率不存在时，方程为x=l,适合题意.所求直线的方程为4 x-y-2=0 或x=l.18.(2022全国高三专题练习)已知直线/：fcr-y+l+2Z=0(Z e R),直线/与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，求此时直线/的方程.【答案】x-y+3 =0或x+y+l=0【解析】【分析】根据直线/与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，可得左=1或氏=-1,再代入直线方程可得结果.【详解】由心r-y +l+2A=0(X:eR)得 y=fcr+l+2k,斜率为人 ,因为直线/与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，所以=1或%=一1,当&=1 时，直线/的方程为x-y+3 =0,当&=-1 时，直线/的方程为x+y +l =O.综上所述：直线/的方程为-），+3 =0 或x+y +l =O.1 9.（2 0 2 2 全国高三专题练习）已知在AABC中，|A B|=|A。，Z A =1 2 0 ,A（0,2）,边 B C 所在的直线方程为J G x-y-l =0,求边A B、AC所在的直线方程.【答案】边 4 8、AC所在的直线方程分别是x =0,y =x+2 或边A 3、AC所在的直线方程分别是3y=-x+2 ,x =0.-3【解析】【分析】根据等腰三角形的性质，结合直线夹角公式、直线的点斜式方程进行求解即可.【详解】因为|A B|=|A C|,Z A =1 20 ,所以AABC是等腰三角形，且 N A B C =N A C 8 =30。，由 后-y-l =0 可知，该直线的斜率为6,所以该直线的倾斜角为6 0。.当过40,2）的直线不存在斜率时，此时该直线方程为彳=0,与直线6 x-y-l=0 的夹角为3（T ,符合题意；当过40,2）的直线存在斜率4 时，所以有tan 30。=卜阖=无=理，直线方程为）,=冬+2,所以边A B、4 c所在的直线方程分别是x =0,）,=立 x +2,或者边A B、4 c所在的直线方程分别是3y=-x +2 x =0.320.（20 23全国高三专题练习）已知两曲线y =x +以 和 y =V+法+。都经过点尸（1,2）,且在点P 处有公切线.求 m h,c 的值；（2）求公切线与坐标轴围成的三角形的面积；【答案】（1）。=1,人=2,。=一1【解析】【分析】(1)先求导，根据两曲先都经过点P。,2),且在点P 处有公切线求解；(2)由(1)得到公切线方程y-2=4(x-l),分别令x =0,y=o,再利用面积公式求解.(1)解：两函数y =V+ax 和y =f+6 x +c 的导数分别为：y =3/+a 和 y =2x+b,1 +。=2由 题 意 l +c=2,3+。=2+b4=1解 得b=2；c =-1(2)由(1)知公切线方程为y 2=4*-1),即4x y 2=0,令X =0 得 尸-2,令y =0 得了 =；,所以所求面积为S =：X2X!=1.2 2 221.(20 22 全 国 高三专题练 习)己知A(4,-3)、8(2,-1)和直线/:4x +3y-2=0,若坐标平面内存在一点P,使 附=附，且点尸到直线/的距离为2,求点P 的坐标.【答案】(I)或序【解析】【分析】根据|刚=忸目,可知点尸在AB的垂直平分线上，求出AB的垂直平分线方程，根据尸到直线/的距离为2,列出方程即可求解.【详解】设点P 的坐标为(a/)1 A(4,-3),B(2-1),所以线段A f l 的中点M的坐标为(3,-2).而A 8所在宜线的斜率阳=5 =-1,二线段A B的垂直平分线方程为y+2=x-3,即X-y-5 =0.点 P(a,b)在直线 x-y 5 =0 匕/.a-b-50.；乂点P(“力)到直线4x+3y-2=0的距离为2,|4 +3/7-2|_6 2+32-=2即4。+3b-2=1 0 .=27联立，解得，或 7故所求点尸的坐标为(1,T)或(3也=-4,b =_l 1 7 77故答案为(I，-4)或(，1)22.(20 22安徽寿县第一中学高三阶段练习(理)已知直线4：如-2，+1=0,直线(加一1.一1=0(1)若/他,求利;(2)当0 机1时，设直线4,4的斜率分别为匕，求-七的最小值.【答案】加=2；3+2 0【解析】【分析】(1)直接由直线一般式方程的平行公式求出，代入直线方程检验是否重合即可；(2)先表示出心，通过京 北=(+占 卜 加+f)结合基本不等式即可求出最小值.(1)由题意知：/?/,(w-1)=-2x 1,解得z =2 或 m=1,又根=1 时，/x 2y+1 =0,l2:x+2y 1 =0,l,l2重合，舍去，故加=2.(2)由题意知2=,%=-又则1 一机 0,则/一改22 m-%2 1 2 1 f 2 1 1 xm m-tn-m-m)=3+出+与23+2、区巨二=3+2立，当且仅当亚包=4,即祖=2-夜 时 取等.故(一%2的最小值为3+2夜.