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函数与导数2015年高考数学压轴题真题训练7.1 2 0 1 5高考新课标2,理 2 1 (本题满分1 2 分)设 函 数/(幻=6 +/烟.(I)证明：/(X)在(-8,0)单调递减，在(0,+o。)单调递增；(H)若对于任意/光2 w T ，都有|/(%)-/区)区 0-1，求?的取值范围.【解析】(I )/(x)=m(e 胆-l)+2 x.若则当 X G(-O O,0)时，em x-l Q,/(x)0.若加 0 ,f(x)0 ；当 x e (0,+oo)时，e x-1 o.所以，/(x)在(-8,0)单调递减，在(0,+8)单调递增.(I I)由(I)知,对任意的相，/(X)在-1,0 单调递减,在 0,1 单调递增,故/(X)在 x =0处取得最小值.所以对于任意和超-1，1 1，|/(%)-/(*2)区 0 1 的充要条件是:em-em+m e-1,即设函数g(f)=e -f-e +l 则g Q)=e -l.当 f 0 时，g (f)0时，g (f)0.故 g(f)在(一8,0)单调递减,在(0,+8)单调递增.又 g(l)=0,g(1)=邛1+2 e0,故当 时，g(r)4 0.当/e -l,l H t,g(m)0 ,g(-m)l 时，由 g(f)的单调性,g(m)0,即 当？0,即根e-l.综上，加的取值范围是【考点定位】导数的综合应用.8.【2 0 1 5高考江苏，1 9(本小题满分1 6 分)已知函数/(x)=x3+ax2+b(a,beR).(1)试讨论/(X)的单调性;(2)若b=c-a(实数c是。与无关的常数)，当函数/(x)有三个不同的零点时，a3 3的取值范围恰好是(oo,-3)U(l,)U(二+oo)，求c的值.2 2【解析】门力=3父+二 亦，令f,ix)=0,解得工=0 ,*一一丁.当a=0时，因 为,(司=3/0 (X HO),所以函数八x)在(一工厂叼上单调递料f ya C 2a 当a 0时，x w；-匕 一 三；U(0,+工)时，f(x)0,x w；-/,O；时，f(x)0,所以函数X)在；一 工 艺；I s J(q+工)上单调递噌,、1 0 ；上单调递减;当a 0，r(x)0,所 以函数/(尤)在(-8,0),年,+8)上单调递增，在(0,2a上单调递减.在 1 Y 由(1)知,函数“X)的两个极值为0)=5,f2a4 a /=a+b 则函数/(x)有三个零点等价于0)/2ab -a3+b 0,从而 04 3八八或-a b 02 7a 04 1.0 b -a32 74 4又b=c a,所以当。0时，。一。+c 0或当。0时，a。+。0.2 7 2 7设g(a)=(a 3-a +c,因为函数/(x)有三个零点时，。的取值范围恰好是(-O O,-3)UH,|U|，+8，则在(-8,-3)上g(a)O J(x)N O成立，求a的取值范围.【解析】函数=l n(x+l)+a，一田的定义域为(-L+工)、1 -2ax+ax+l-a/(x,l =-+lax-a=-x+1 x+1g(x)=lax1+av+l -a,xe(-L+x )(1)当a=0 时，g(x)=l 0 ,f(x)0 在(T+x)上恒成立所以，函数/(x)在(-L+x j上单调递增无极值；(2)当a 0 时，=仁 8。(1 a)=a(9a 8)Q当时，A 0所以，r(x)0,函数在(T+o。)上单调递增无极值；Q当。?时，A 09设方程2分2+ar +l-a=0的两根为王,(内 ),因为 4-X2=-5所以，X1i 4由 g(_l)=l o可得：_ 1 0 J (x)0 ,函数/(x)单调递增;当 工 百/2)时,g(x)0,/(x)0 J (x)0 ,函数尤)单调递增；因此函数“X)有两个极值点.(3)当。0由 g(1)=1 0可得：当x e(l，w)时,g(x)O J (x)O ,函数f(x)单调递增;当(尤2，+8)时，g(x)o，/(x)当函数/(X)在(-1,+8)上有两个极值点;(II)由(I)知，O(1)当O K aw1时，函数”X)在(0,+8)上单调递增,因 为 0)=0所以，X(0,+8)时，尤)0,符合题意；8-9由g 2 0,得工2工0所以，函数在(0,+8)上单调递增，又/=0,所以，xe(O,+8)时，/(x)0,符合题意;(3)当。1时，由g 0所以x e(O,%)时，函数/(X)单调递减；又 0)=0所以，当工(0,当)时，/(x)0不符合题意；(4)当a(O)=0IP：l n(x+l)x可得：f(x)x+1 -时，cix+(1 a)x0此时，x)0,不合题意.综上所述，。的取值范围是 0,1【考点定位】1、导数在研究函数性质中的应用；2、分类讨论的思想.1 2.1 2 01 5高考安徽，理2 1 设函数/(%)=/一 以+人7 T 7 T(I )讨论函数/(s i n x)在(-；,：)内的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值;(II)记 启 )=2-4/+仇，求函数|/(s i n x)-启s i n x)|在 一(,自上的最大值D；(III)在(II)中，取=%=0,求z =Z?亍 满 足D S 1时的最大值.【解析】(I )/(s i n x)=s i n2 x-asinx+b=s i n x(s i n x-6 f)+/?,x .TC 71/(s i n x)r=(2 s i n x-d)c o s x,-x .71 Jl因为一5 c x 0,-2 2 sinx 2.当w 7?时,函 数/(sin x)单调递增，无极值.当。2 2,。w R时，函数/(sin%)单调递减，无极值.当一2。2,在(一H)内存在唯一的天,使得2 sin 4=a.TT7T一工工玉)时，函数/(sin x)单调递减；时，函数/(sin 1)单调递增.因 此,-2 a 2,bw R时，函数/(sin x)在演)处有极小值2/(sinx)=/()=匕一亍.TT TT(II)-x -0 1,2 2(s in x)-/)(sinx)|=|(4 a)sinx+/?%a-aQ+h-b0|,IT当(4-)(%一/?)2 0时，取友=5，等号成立，当(g -)(-。)0时，取了=一万，等号成立,由此可知，函数|/(sin x)一启sin尤)|在 T，上的最大值为。=1。一 4 +1 一 2(III)D 1,即|a|+g区 1,此时0 4 2.(D讨论/(x)的单调性；(H)设曲线y=/(X)与x轴正半轴的交点为P,曲线在点P处的切线方程为y=g(x),求证：对于任意的正实数x,都有/(x)K g(x)；(Il l)若关于x的方程/(x)=a(a为实数)有两个正实根知%,求证：|/|1+21 -n【解析】：D由f(x)=TX-x1,可得，其中”E-V *且“之2,下面分两种情况讨论：(1)当为奇数时：令f(x)=0,解得x=l或x=-l,当X变化时，/(X)=/(X)的变化情况如下表：X(一 4 一 1)/(X)/(X)(-111)(L+x)+/所以，f(x)在(L+工)上单调递减，在(口)内单调递增.当为偶数时，当广(x)0,即x l时，函数/(x)单调递增；当f(x)1时,函 数f(x)单调递减.所以，/(X)在(-8,-1)上单调递增，/(X)在(1,+00)上单调递减.I(I I)证明：设点P的坐标为(xo,O),则X。=屋1,/(%)=n-n2,曲线y=/(x)在点P处的切线方程为 了 =/(%)(工一入0),即 g(x)=/(X o)(x X o),令 F(x)=/(x)-g(x),即 F(x)=/(x)-r(x0)(x-x0),则尸(x)=f(x)-/(.%)由 于/(幻=一心 T+在(0,y)上单调递减，故尸“)在(0,+0。)上单调递减，又因为F(x0)=0,所以当 x G(0,/)时,9(%)0,当 x e (x0,+o o)时,/(3)0,所以 F(x)在(0,4)内单调递增，在(玉),+0。)内单调递减，所以对任意的正实数x都有F(x)F(xo)=O,即对任意的正实数x,都有/(x)4g(x).(川)证明：不妨设当4%2，由(I I)知g(x)=(-2)(x-%)，设方程g(x)=a的根为，可得=-T+X0.,当22时，g(x)在(-00,+8)上单调递减，又由(I I)知n-n8()2/。2)=。=8(),可得.类似的，设曲线y=/(x)在原点处的切线方程为y=(x),可得(x)=x,当X G (0,+OO),/(x)-/i(x)=-xn 0,即对任意xw(0,+o o),/(x)/(%).设方程6(x)=a的根为X：,可 得 父=3,因为/?。)=心 在(8,+8)上单调递增，n且力(玉)=a=/(X j)/(%,),因此X：$.由此可得/一2 2 X =4+X。1 一 1因为 22,所以2 i =(1 +1)T N1 +C L =1 +-1 =”,故2 2 =%,所以|x,-x J ，一+2.-n【考点定位】1.导数的运算；2.导数的几何意义；3.利用导数研究函数性质、证明不等式.3 4-ax1 4.【2 0 1 5高考重庆，理2 0】设 函 数 尤)=七1竺(a eR)(1)若/(x)在x =()处取得极值，确定a的值，并求此时曲线y =/(x)在点处的切线方程；(2)若“X)在 3,+8)上为减函数，求a的取值范围。I 6x+a e (3 x*+a x)e 3 x*+i6-a x+a【解析】对/(x)求导得了(x)=-：二-=一一因为/(x)在x=0处取得极值，所以广(0)=0,即a =0.当a=0时，“X尸式=故/(1)=3 =从而/(1在点(1,/)处的切线方程为 1-2 =2(工-1)：化简得 3 x-ei =0e e.z,、S x2 4-(6-a)x+a由得，/(x)=-：o g(x)=-3 x 十(6 a)x+a+/、c&n/B 6-a -十3 6 6 a+J a,十3 6由 g(q =0,解得苞=-x:=-.66当xX时，g(x)0,故/(x)为减函数；当药 犬0,故f(x)为增函数;当时，g。)V。，故/(%)为减函数；由/(x)在 3,+0 0)上为减函数，知6 加+3 63,解得。6 29故。的取值范围为 -,+0 0).2【考点定位】复合函数的导数，函数的极值，切线，单调性.考查综合运用数学思想方法分析与解决问题的能力.1 51 2 0 1 5高考四川，理2 1】已知函数/(*)=2。+。)1 1 1+炉-2以一2/+。，其中。0.(1)设g(x)是/(x)的 导 函 数,评 论g(x)的 单 调 性；(2)证 明:存 在a e(),l),使 得/(x)2 0在 区 间(1,+8)内恒成立，且/(x)=0在(1,+8)内有唯一解.【解 析】(1)由已知，函 数/(X)的 定 义 域 为(0,+0 0),g(x)-=2 x-2 t z-2 I n x-2(1 +0),x所以.(x)=2二+省=X X1 7 12(x-)-+2(d!-)当。(”加g(x)在区间(。,丐马,(丐女同上单调递增,在 区 间(上 界1+V T石)上单调递减;当 它 时，g(x)在区间(。收)上单调递增.(2)由r(x)=2 x-2 a-2 1 n x 2(l+g)=0,J W W f l=1l n-.X1 +x令人 0(/x)、=-2(尤+x-；l-ln xx),l n x +x22-2c(/X-l ln x、)x-2(zx-l-ln x)22+x-1-ln xl +x 1 +x 1 +x 1 +x贝D夕(1)=1 0,。(6)=-)2()2 1),1 +/一由M(X)=1 -2 0知，函数“(x)在 区 间 上 单 调 递 增.X所以。畤 骸 茅=即/e(0,l).当a=a：时，有了(七)=0=/(毛)=仅/)=0,由(1)知，函 数/(X)在区间(L+x)上单调递增故当xw Qx,时，有 八 天)/(毛)=0 ；当XW(%+H)时，有 八 毛)0,从而f(x)f(%)=0；所以，当x e(L+x)时，/(x)0.综上所述，存在a w(Q l),使得/(x)Z O在区间(L-x)内恒成立，且/(x)=O在(L-X)内有唯一解.【考 点 定 位】本 题 考 查 导 数 的 运 算、导 数 在 研 究 函 数 中 的 应 用、函数的零点等基础 知 识，考 查 推 理 论 证 能 力、运 算 求 解 能 力、创 新 意 识，考 查 函 数 与 方 程、数形结 合、分 类 与 整 合，化归与转化等数学思想.1 7.【2 0 1 5高考新课标1,理2 1】已知函数/(x)=丁+a r +,g(x)=-ln x.4(I)当a为何值时，x轴为曲线y =/(x)的切线；(I I)用 m i n?,表示 m,中的最小值，设函数(x)=m i n.f(x),g(x)(x 0),讨论h (x)零点的个数.【答案】(I )。=己；(1 1)当a巳或。一士时，%(x)由一个零点；当a =己或。=一己4 4 4 4 4忖，加幻有两个零点；当-2 a =/()的切线.5分(II)当XWQ+H)时，g(x)=-ln x 3=1 1 1必/(力商(力 =?(力 0,g)在(1.+8)无零点.当x=l 时，若则/(I)=a +j 20 ,(l)=m in _/Q)：g(l)=g(l)=0,故x=l 是h(x)的零点;若a _ 2,则/(l)=a +*0,(1)=m in /(l),g(l)=/(I)0,故x=l 不是(x)的4 4零点.当x e (0,1)0 寸，g(x)=ln x 0,所以只需考虑/(x)在(0,1)的零点个数.(i)若。4 一 3 或则/(幻=3/+。在(0,1)无零点，故/)在(0,1)单调，而/(0)=-,/=+*，所以当。4-3 时，/(x)在(0,1)有一个零点；当时，/(X)4 4在(0,1)无零点.(ii)若一3。0,即一：。0,/(幻 在(0,1)无零点.若/(1)=0,即a =贝 U/(x)在(0,1)有唯一零点；若-3)0,即_ 3 a _ 3,由于/(O)=，f(l)=a+-,所以当_ 9 a _ V 3 4 4 4 4 4时，/(x)在(0,1)有两个零点；当一3。4 一*时，/(X)在(0,1)有一个零点.1 0 分4综上，当或3 。5 时，(x)由一个零点；当。=一33 或。=一己5时，(幻有两个4 4 4 4零点；当?5 a 2 x +；k3 J(III)设实数&使得+对x e(o,1)恒成立，求上的最大值.1 +r 9试题解析：(I )/(x)=In -,X e(-1,1),f W =,r(0)=2,/(O)=0,曲线1 J T 1 -r =/(x)在 点 -0 J I处的切线方程为2x -y=Oj(II)当x|0,1|时，x-,即不等式/1(x)Xx+)0 对V x w (0,1)成立,3 /3设1 +P F 9 F*产(x)=In-2(x H-)=ln(l+x)ln(l x)-2(JT+-),贝U尸(x)=-r，1 一 x 3 3 1 一 JT当x w lO,h时，尸Q)0,故产G)在(0,1)上为增函数,则产(x)A 0)=0,因此对V x G(0,1),V3f(x)2(x H-)成立；3(尤3、(III)使/(力攵X +成立，X G(O,1),等价于 0 ,X G(O,1)；1 一 x 3“、2/-.2 kx+2-kF(x)=-1 -_-/-A(1 +x )=-_-/-，当 左 0,2时，尸(X)0,函 数 在(0,1)上位增函数，网幻 尸(0)=0,符合题意；当k 2时 令/(X)=0,距4,=_一_ 2 (0,1),尸(x)尸(0),显然不成立,X(0,x 0)xo(X 0,1)F(x)-0+N x)极小值综上所述可知：女的最大值为2.考点：1.导数的儿何意义；2.利用导数研究函数的单调性，证明不等式；3.含参问题讨论.1 9.1 20 1 5 高考广东，理 1 9】设a 1,函 数/（力=（1 +3）俄 a.（1）求/（X）的单调区间；（2）证明：/（X）在（-8,+8）上仅有一个零点；（3）若曲线y =/（x）在点P处的切线与x 轴平行，且 在 点 处 的 切 线 与 直 线 O P平行（。是坐标原点），证明：m,/./（0）=l-a l +a2-t z 0,/（何 在（0,a）上有零点，又 由（1）知/（X）在（-8,+8）上是单调增函数，/（X）在（-8,+8）上仅有一个零点；（3）由（1）知 令/（力=0得了=一1 ,又/（一 1）=1一。，即.（一 1,：一“，2 八a 0 ）kop=e_l 0=a 又/（“）=（1 +，）屋，(1-w r 0=a一 二,Q令g E )=刑-1，则 g(m =-1,由 g l i I 0得地 0 ,由|v 0得加 11-7?T 1=11 一川 即，a-二 1 -?,隆后T，【考点定位】导数与函数单调性、零点、不等式，导数的几何意义等知识.【20 15高考湖南，理21.已知。0,函数/(尤)=6%布*。0,+8),记乙为/(X)的从小到大的第(e N*)个极值点，证明：(1)数列()是等比数列(2)若 a 2-7=，则对一切 e N*,x|/(当)I 恒成立.V e2-1(1)f x)=aem s in x+eM c o s x=e，(a s in x+c o s J C)-Ja2+eM s in(x +/?)1JI其中t a n p=，0 /?,令尸(x)=0,由x N O得x +P=24，即天二根4一夕，a 2m e N”,对 k w N,若 2kr x +p 0,若 Q k+1)%+/?(2k+2)1,即(2k+1)一夕 x Q k+2)l-p,则/x)0,因此，在区间(加一 1)肛?1一p)与(加乃一夕,山乃)上，/(X)的符号总相反，于是当x =)一夕(加 ND时，/(x)取得极值，,工 =n兀-p(n e N),此时，/(z)=e(f)s in(万 一p)=(1严 eg)s in p,易知/(X“)HO,而/“+2 乃一 Ty=)二 S =y是非零常数故数列/(演)是首项为/(x j=e 5s in。，公比为 e 的等比数列；(2)由(1)知，s in/1一,于a2+1是对一切n G N ，尤“|)11恒成立，即 万 0 ,e恒成立，等价于V 2+lV a2+1-0)，则g =2，令g =0,得 =1，当0，l时，g(f)1时,g 0,，g(f)在区间(0,1)上单调递增，从而当f=l时，函数g(f)取得最小值g(l)=e,因此，要 是()式恒成立，只需-+1 ,，而当 a -.*时，t a n p =e2-I V 3，且0p?于是乃一/上 27i-p ye2-1,因此对一 切3 2/2n G N ，ax“=*=#,；.g(%)g=e=+,故()式亦恒成立.y/e2-a综上所述，若a N,则对一切 eN,%(乙)|恒 成 立.y/e2-l【考点定位】1.三角函数的性质；2.导数的运用；3.恒成立问题.