概率论课后1-8章习题解答.pdf

第一章习 题1.写 出 下 列 试 验 下 的 样 本 空 间：(1)将一枚硬币抛掷两次答：样 本 空 间 由 如 下 4个 样 本 点 组 成。=(正，正),(正，反),(反，正),(反,反)(2)将 两 枚 骰 子 抛 掷一次答：样 本 空 间 由 如 下 3 6 个 样 本 点 组 成。=5/州,/=123,4,5,6(3)调 查 城 市 居 民(以 户 为 单 位)烟、酒的年支出答：结 果 可 以 用(x,y)表 示，x,y分 别 是 烟、酒年支出的元数.这时,样 本 空 间 由 坐 标 平 面 第 一 象 限 内 一 切 点 构 成.Q =(x,y)|x 0,y 02.甲，乙，丙三人各射一次靶，记 4-“甲中靶”B-“乙中靶”C-“丙中靶”则可用上述三个事件的运算来分别表示下列各事件：(1)“甲未中靶”：(2)“甲中靶而乙未中靶，：(3)“三人中只有丙未中靶”：(4)“三人中恰好有一人中靶”：(5)“三人中至少有一人中靶”：(6)“三人中至少有一人未中靶”:(7)“三人中恰有两人中靶”：(8)“三人中至少两人中靶“：(9)“三人均未中靶”：(10)“三人中至多一人中靶”：(11)”三人中至多两人中靶”：X；AB-ABC-,ABCJABCJABC;力 U 8 U C;A 8 U A C U B C；ABC-,ABCUABCUABCUABC;4 B C；或彳U豆UG3 .设A,B 是 两 随 机 事 件，化 简事件（A U8）（A UB）（2）（彳U 万）（4 U 万）解：（彳UB）（4 U8）=l 8 I M S U 8 =B ,(2)(彳U万)(力U万)=彳万LM万U万=(彳U A U C)=万.4 .某城市的电话号码由5个数字组成，每个数字可能是从0-9 这十个数字中的任一个，求电话号码由五个不同数字组成的概率.尸 5解：P =T =03 024.1055 .张奖券中含有?张有奖的，火个人购买，每 人 一 张，求其中至少有一 人 中 奖 的 概 率。解法一：试验可模拟为 7 个红球，川个白球，编上号，从中任取攵个构成一组，则rk总数为c：,而全为白球的取法有c 3,种，故所求概率为1-士 华。C：解法二：令 4第 i 人中奖，i =l,2,.k,B 一无一人中奖，则 8 =4凡 4，注意到彳 2,，耳不独立也不互斥：由乘法公式=P（A）P（/）P（/用）=S-m-l+l）同除后!%L,故所求概率为n n-n-2 n-k +=C,C,6 .从 5双不同的鞋子中任取4只，这 4只鞋子中 至少有两只配成一双（事件A）的概率是多少？解：P G A）/一方CIO7 .在 上 任 取 一 点 X ,求 该 点 到 原 点 的 距 离 不 超 过（的概率.解：此为几何概率问题：所求事件 x2.1.占 有 区 间 从 而 所 求 概 率 为 p=L5 5 2 58 .在 长 度 为。的 线 段 内 任 取 两 点，将 其 分 成 三 段，求它们可以构成一个三 角 形 的 概 率。解：设,段 长 为 x,另一段长为y ,样本空间Q:0 c x ,0 y ,0 x +y 。，八 a0 c x e 一2所求事件满足：0 y (a-x-y)从而所求概率=q 3=1LS OAB 49 .从 区 间（0,1）内任 取 两 个 数，求这两个数的 乘 积 小 于:的 概 工解：设 所 取 两 数 为x,匕 样 本 空 间 占 有 区 域 两 数 之 积 小 于L x y)_ i-s(z)-5(0)-i-I 1 I 1而 5(0)=J(1)dx=1-一(1+In4),故 所 求 概 率 为-(l+ln4)。4x 4 41 0.设 A、8 为 两 个 事 件，P(A)=0.9,尸(AB)=0.3 6,求 P(A)。解：P(48)=P(A)-P(A 3)=0.9-0.36=0.54;11.设A、8为 两 个 事 件，尸(8)=0.7,P(M)=0.3,求P(彳U万).解：P(A U万)=P(商)=1-P(AB)=1 -P(8)-P(彳8)=1-0.7-().3=0.6.12.假设尸(A)=0.4,P(A UB)=0.7,若 A、8 互 不 相 容，求 P(B)；若 A、8相 互 独 立，求P(5)。解：若 4、B 互 不 相 容，P(8)=P(4 UB)P(A)=0.7 04=0.3；若A、8相 互 独 立，则 由P(4+8)=2 5)+2(3)-/3(4*(8)可得尸(8)=0513.飞机投弹炸敌方三个弹药仓库，已知投一弹命中1,2,3号仓库的概率分别为0.01,0.02,0.03,求飞机投一弹没有命中仓库的概率.解：设4=命中仓库,则 彳=没有命中仓库,又 设4 =命 中 第i仓库 (i=1,2,3)则 P(4)=0.01,P(4)=0.02,尸(4)=0.03,根据题意胃=A,U&U&(其中4,&两两互不相容)故尸(4)=尸(A)+P(&)+P(A3)=0 1+02+0.03=0.06所以 P(A)=1-P(A)=1-0.06=0.94即飞机投一弹没有命中仓库的概率为0.9414.某 市 有50%住 户 订 日 报，有65%的 住 户 订 晚 报，有85%的住户至少订 这 两 种 报 纸 中 的 种，求同时订这两种报纸的住户的百分比解：设4=用户订有日报,8=用户订有晚报，则AUB=用户至少订有日报和晚 报 一 种,AB=用 户 既 订 日 报 又 订 晚 报 ,已 知尸(A)=0.5,P(B)=0.65,P(A U 8)=0.85,所以P(AB)=P(A)+P(B)-P(A UB)=0.5+0.65-0.85=0.3即同时订这两种报纸的住户的百分比为3 0%15 .一批零件共100个，次品率为10%,接连两次从这批零件中任取一个零件，第一次取出的零件不再放回，求第二次才取得正品的概率。解：设4=第一次取得次品,B=第二次取得正品,则AB=第二次才取得正品,又 因 为P(A)=3,P(B|A)=里，贝 ij100 99P(AB)=P(A)=0.0909/A 100 9916 .设随机变量A、B、C 两 两 独 立，A与 8 互 不 相 容.已 知 P(B)=2P(C)0且尸(B UC)=*,求尸(A U8).8解：依 题 意 P(A 8)=0且 P(A 8)=P(A)P(8),因 此 有 P(A)=0.又因P(B+C)=P +P(C)-P(B)P(C)=3 P(C)-2 P(C)2=-,解方程8o52 P(C)2-3 P(C)+-=08P(C)=,7(0=9 舍去 口尸(8)=2，P(A UB)=P(A)+P(B)尸(A B)=P(B)=0.5.4 4 217 .设 A是 小 概 率 事 件，即 P(A)=e是 给 定 的 无 论 怎么小的正数.试证明：当 试 验 不 断 地 独 立 重 复 进 行 下 去，事 件 A迟 早 总 会 发 生(以 概 率 1 发 生).解：设 事 件 a 第,次 试 验 中A出 现(，=1,2,，)，.P(A.)=,P(A,)=-,(i =1,2,，a),；.”次 试 验 中，至 少 出 现 A一次的概率为P(&U%U U A“)=1 -P(A,U-42 U-UA)=1-P(1 用 )=1-P().P(A)P(4)(独立性)l i m P(4 U A,U U A,)=1,证毕.n oo1 8.三 个 人 独 立 地 破 译 一 密 码，他 们 能 单独译出的概率分别是5 3 4求 此 密 码 被 译 出 的 概 率。解:设A,B,C 分别表示 第一、二、三人译出密码,D 表示 密码被译出,则尸(。)=P(A U 8 U C)=1 -P(A U S U C)-4 2 3 3=1 -P(ABC)=1 -P(A)P(B)P(C)=19.求 下 列 系 统(如 图 所 示)的 可 靠 度，假 设 元 件 i 的 可 靠 度 为 化，各元 件 正 常工作或失效相互独立解：(1)系统 由 三 个 子 系 统 并 联 而 成，每 个 子 系 统 可 靠 度 为 P 42P 从而所 求 概 率 为 l-(l-p/%P 3)3；(2)同理得 1-(1-p2)3.20 .三 台 机 器 相 互 独 立 运 转，设 第 一,第 二，第 三 台 机器不发生故障的概率 依 次 为 0.9,0.8,0.7,则 这 三 台 机 器中至少有一台发生故障的概率.解：设4 一第 一 第 三 台 机 器 发 生 故 障，4一 第 一 第 三 台 机 器 发 生 故 障，&一第一第三台机器 发 生 故 障，。一 三 台 机 器 中 至 少 有 一 台 发 生 故 障，则P(A J =0.1,尸(42)=02 尸(43)=3，故P()=尸(A U 8 U C)=1-P(A U B U C)=1-P(A B C )=1-P(A)P(B)P(C)=1-O.9XO.8XO.7=0.49 621.设 A、8 为 两 事 件，P(A)=0.7,尸(8)=0.6,P(%)=0.4,求尸(A U 5).解：由尸(为)=0.4得=0.4,P(lB)=0.12,P(A B)=P(B)P(lB)=0.48,P(A)P(A U 8)=P(A)+P(8)P(A B)=0.8 2.22.设某种动物由出生算起活到20 年以上的概率为0.8,活到25年以上的概率为0.4.问现年20 岁的这种动物，它能活到25岁以上的概率是多少？解：设 A某种动物由出生算起活到20 年以上，P(A )=0.8,8某种动物由出生算起活到25年以上，P (8 )=0.4,则所求的概率为P(%)=P%)=P(A B)P(B)P(A)P(A)=0.50.82 3.某 地 区 历 史 上 从 某 年 后 3 0 年 内 发 生 特 大 洪 水 的 概 率 为 8 0%,4 0 年内发 生 特 大 洪 水 的 概 率 为 8 5%,求已过去了 3 0 年 的 地 区 在 未 来 1 0 年内发生特 大 洪 水 的 概 率。解：设 A-某 地 区 后 3 0年 内 发 生 特 大 洪 灾，P(A)=0.8,B某 地 区 后 40年 内 发 生 特 大 洪 灾，P(B)=0.8 5,则所求的概率为P(BA)P(A)P(B)P(A)0.150.20.25.2 4.设甲、乙两袋，甲袋中有2 只白球，4 只红球；乙袋中有3 只白球，2 只红球.今从甲袋中任意取一球放入乙袋中，再从乙袋中任意取一球。1)问取到白球的概率是多少？2)假设取到白球，问该球来自甲袋的概率是多少？解：设 A：取到白球，B：从甲球袋取白球-_ 2 4 4 31)P(A)=P(A/B)P(B)+P(A/B)P(B)+=5/96 6 6 62)2/9 =2/55/925、一 批 产 品 共 有 10 个 正 品 和 2 个 次 品，任 取 两 次，每 次 取 一 个，抽出后 不 再 放 回，求第二次抽出的是次品的概率.解：设耳表示第i 次抽出次品,(i =1,2),由全概率公式P(B 2)=P(B J P(%)+P(瓦)P(8%)=除 2 +与 2 =912 II 12 II 626.一批晶体管元件，其中一等品占9 5%,二等 品 占 4%,三等 品 占 1%,它们能工作50 0 的概率分别为9 0%,8 0%,70%,求任取一个元件能工作50 0/2以上的概率.解：设 8,=取到元件为i 等品 (i=l,2,3),A =取到元件能工作50 0 小时以上则 P(B,)=95%,P(B2)=4%,P()=1%P(乂)=9 0%,尸(乂)=8 0%,P(乂 )=7 0%9 5%-9 0%+4%-8 0%+1%-7 0%=0.8 9 427 .某药厂用从甲、乙、丙三地收购而来的药材加工生产出一种中成药，三地的供货量分别占40%,35%和 25%,且用这三地的药材能生产出优等品的概率分别为0.65,0.7 0和 0.8 5,求从该厂产品中任意取出一件成品是优等品的概率.如果一件产品是优质品，求它的材料来自甲地的概率解：以可分别表示抽到的产品的原材来自甲、乙、丙三地，A=抽到优等品,则有:P (B()=0.4,P(B2)=0.35,P(B3)=0.25,P(%)=0.65,=0.85所求概率为P(A).由全概率公式得:=0.65 x 0.4+0.7 X 0.35+0.8 5 x 0.25=0.7 17 5.肛)=3=0 3624/A P(A)P(A)0.7 17 5,28 .用某种检验方法检查癌症，根据临床纪录，患者施行此项检查，结果是阳性的概率为0.9 5；无癌症者施行此项检查，结果是阴性的概率为0.9 0.如果根据以往的统计,某地区癌症的发病率为0.0 0 0 5.试求用此法检查结果为阳性者而实患癌症的概率.解：设A=检 查 结 果 为 阳 性,B=癌 症 患 者 .据 题 意 有p(%)=0.9 5,P(%)=0.9 0,/8)=0.0 0 0 5,所求概率为 P (%).0.0 0 0 5x().9 50.(X)0 5x 0.9 5+0.9 9 9 5x 0.10=0.0 0 47=0.47%29.3个射手向-敌机射击，射中的概率分别是0.4,0.6和0.7.如果一人射中，敌机被击落的概率为0.2；二人射中，被击落的概率为0.6：三人射中则必被击落.（1）求敌机被击落的概率；（2）己知敌机被击落，求该机是三人击中的概率.解:设A=敌机被击落,B：=i个射手击中,i=l,2,3.则%,B ,B q互不相容.由题1 1 乙 OP(3)=0.4 x 0.4 x 0.3+0.6 x 0.6 x 0.3+0.6 x 0.4 x 0.7=0.32 4P(层)=0.4 x 0.6 x 0.3+0.4 x 0.7 x 0.4+0.6 x 0.7 x 0.6=0.436P(B3)=0.4x 0.6x 0.7=0.1 68因为事件A能且只能与互不相容事件BpB9,B q之一同时发生.于是 L 乙 J(1)由全概率公式得3p(A)=P(B,)P(A I 瓦)=0.32 4x0.2 +0.436x 0.6+0.1 68x l =0.4944/=l（2）由B a y e s公式得P(B/A)=(川 为i=0.1 680.4944=0.34.3 0.某厂产品有7 0%不需要调试即可出厂，另3 0%需经过调试，调试后有8 0%能出F,求（1）该厂产品能出厂的概率；（2）任取一出厂产品未经调试的概率.解：A.需经调试 A不需调试 B出厂则 P(A)=30%,P(A)=70%,P(B I A)=80%,P(B I A)=1(1)由全概率公式：P(8)=P(A)-P(%)+P(lA P(%)=30%x 80%+70%x 1 =94%.(2)由贝叶斯公式：P(%=P-/B P(B)94%9431.进 行 一 系 列 独 立 试 验，假 设 每 次 试 验 的 成 功 率 都 是p,求在试验成功2次之前已经失败了 3次的概率.解：所求的概率为4/(1-p)3.32.1 0 个 球 中 有 一 个 红 球，有 放 回 地 抽 取，每 次 取 一 球，求直到第次才 取k次 伏4)红球的概率。解：所求的概率为C 333.灯 泡 使 用 寿 命 在 1000h以 上 的 概 率 为 0.2,求 3 个 灯 泡 在 使 用 1000h后，最 多 只 有 一 个 坏 了 的 概 率。解：山二项概率公式所求概率为6(0)+尸3(1)=0.23+C；(0.2)2 0 8=o.10434.(B a n a c h 问 题)某 人 有 两 盒 火 柴，每盒各有根，吸 烟 时 任 取 一 盒，并 从 中 任 取 一 根，当 他 发 现 有 一 盒 已 经 用 完 时，试 求：另 一 盒 还 有，根的概 率。解：设 试 验E一 从 二 盒 火 柴 中 任 取 一 盒，A一取 到 先 用 完 的 哪 盒，P(A)=,2则 所 求 概 率 为 将E重 复 独 立 作 次A发生次的概率，故所求的概率为 _()=仁 第二章习 题1.在测试灯泡寿命的试验中，试写出样本空间并在其上定义一个随机变量.解：每一个灯泡的实际使用寿命可能是 0,+8)中任何一个实数，样本空间为Q=rlr 0),若用x表示灯泡的寿命(小时)，则x是定义在样本空间。=/U 2 0上的函数，即X=X(f)=f 是随机变量.2.一报童卖报，每 份 0.15元，其成本为0.10元.报馆每天给 报 童 1000份报，并规定他不得把卖不出的报纸退回.设X 为报童每天卖出的报纸份数，试将报童赔钱这一事件用随机变量的表达式表示.解：报童赔钱 O 卖出的报纸钱不够成本，而 当 0.15 XI000 X 0.1时，报童赔钱，故 报童赔钱 OX 6663.若 PX xl =-a,其 中 演 ，求 PX|WXX2解：Pxt X x2 =PX x2-PX=PX xt=-a-j3.0,x 04.设随机变量X 的分布函数为歹(x)=X2,0 4X 1试 求(l)p x w g (2)p 1-l X -I 2解：P X K4(2)p|-l X 升1 卜尚=1一叫5.5 个 乒 乓 球 中 有 2 个 新 的，3 个 旧 的，如 果 从 中 任 取 3 个，其中新的乒乓球的个数是一 个 随 机 变 量，求 这 个 随 机 变 量 的 概 率 分 布 律 和 分 布 函 数，并画出分布函数的图形.解：设 X 表 示 任 取 的 3 个 乒 乓 球 中 新 的 乒 乓 球 的 个 数，由 题 目 条 件 可 知，X 的所有可能取值为 0,1,2,V PX=0=-=,PX=1)=-=A,Px=2=-=C；10 C；10 C；10.随机变量X 的 概 率 分 布 律 如 下 表 所 示：山 F(x)=&可 求 得 F(x)如下：xX012p0.10.60.3F(x)=0,0 x l,1 x 20?X=0 PX=0 +P X =l P X=O +0 X =1 +P X=2 0,x 00.1,0%26.某 射 手 有 5 发 子 弹，射 击 一 次 命 中 率 为 0.9,如果他命中目标就停止射击，命不中就一 直 射 击 到 用 完 5 发 子 弹，求 所 用 子 弹 数 X 的概率分布解：X12345P0.90.090.0090.00090.00017.一批零件中有9 个 合 格 品 与 3 个 废 品，安 装 机 器 时，从这批零件中任取一 个，如 果 每 次 取 出 的 废 品 不 再 放 回，求 在 取 出 合 格 品 之 前 已 取 出 的 废 品 数的分布律.解：设4 =第i次取得废品,4,=第i 次取得合格品,由题意知，废品数X 的可能值为 0,1,2,3,事件 X=0 即为第一次取得合格品，事件 X=l 即为第一次取出的零件为废品，而第二次取出的零件为合格品，于是有9P X=0 =P(A1)=yy=0.75,P X=1)=P(A1 A?)=P(4)P X=2 =P(4 A 2 A J =P(A)9X 0.0 40 92 2 0P X=3 =P(A,A2 A3A4)=P(A,)PC_ 3 _ _ 2 _ _ L3 2 11 2 1 1所以X 的分布律见下表99-n 0.0 0 451 02 2 0X0123P0.750.20450.04090.00458.从1-10中 任 取 一 个 数 字，若 取 到 数 字 e=110)的 概 率 与 i 成 正 比，即p(x =D=ki,(i=l,2,1 0),求 A.10解：由 条 件 P(X=i)=ki,(i=l,2,1 0),由 分 布 律 的 性 质 E ,=1，应有i=l10=皆i=9.已知随机变量X 服从参数/I=1的泊松分布，试满足条件PX N=0.01的自然数 N.解：因为X P,px y =0.01 所以px N=0.9 9从而N 0 一 丸p x =0.99=o%!查附表得N=410.某 公 路 一 天 内 发 生 交 通 事 故 的 次 数 X 服 从 泊 松 分 布，且一天内发生一次 交 通 事 故 的 概 率 与 发 生 两 次 交 通 事 故 的 概 率 相 等，求 周 内 没 有 交 通 事 故发生的概率.解：设X P(A),由题意：P(X=1)=P(X=2),/l=22,解得；1=2,所求的概率即为一2P(X =0)=2=.0!11.台仪器在10000个工作时内平均发生10次故障，试求在100个工作时内故障不多于两次的概率.解：设X 表示该仪器在100个工作时内故障发生的次数，X B(100,),所求1000的概率即为P(X=0),P(X=1),P(X=2)三者之和.而100个工作时内故障平均次数为=100 x=0.1,根据Poisson分布的概率分布近似计算如下：10000 1 2P(X 3),则P=P(A)=2,令y表示三次重复独0，其余 3立观察中A出现次数，则丫8(3彳)，故所求概率为呼如喏冏Y 崎吟.1 3.设某种传染病进入一羊群，已知此种传染病的发病率为2/3,求 在5 0头已感染的羊群中发病头数的概率分布律.解：把观察一头羊是否发病作为次试验，发病率p =2/3,不发病率q =1/3,由于 对5 0头感染羊来说是否发病，可以近似看作相互独立，所以将它作为5 0次重复独立试验，设5 0头羊群中发病的头数为X ,则XX 8(5 0,2/3),X的分布律为PX=k=(k=0,1,2,50)2 x 0 x 11 4.设随机 变 量x的 密 度 函 数 为p(x)=七、，用y表 示 对x的 0 ,其它3次 独 立 重 复 观 察 中 事 件 X 4：出 现 的 次 数，求产 丫 =2.11 2 1解：Y B(3,p),p=PX 01 5.已知X的 概 率 密 度 为f(x)=，试 求：0,x 0(1)、未 知 系 数a；(2),X的分布函数尸(x)；(3)、X在 区 间(0)内取A值的概率.解：(1)由 f ax2exdx=1 ,解得.)2(2)尸(x)=P(X x)=j(x)dx,当 x0 时,F(x)=ax2eAxdx=1-(A2x2+2Ax+2),.1(Ax 4-2 A x 4-2),x 0F(x)=2.0,x 0(3)P(0 X 2 ,故 所 求 的 概 率 为 P X 2 =；1 7 .知随机变量X服 从 正 态 分 布N(a d),且 =西+匕 服 从 标 准 正 态分布A f (0,1),求 a,尻解：由题意a2+b=0z,、2，()a-a=1解 得：a 1 8 .已知 随 机 变 量 X服 从 参 数 为 义的 指 数 分 布，且 X落 入 区 间(1,2)内的 概 率 达 到 最 大，求 九令解：P(l X l)P(X 2)=e-4e-2”=g(/l),令 g(A)=0,即e-2 山=0,即 1 一 2 ，=0 ,*.2 =l n 2.1 9.设 随 机 变 量 X A T (1,4),求尸(0 4X 1.6),P(X 1).0-1 1 6-1解：P(0 X 1.6)=尸(X -)2 21 6-1 0-1=D(-)-0()=0.3 0 9 42 21-1P(X 1)=0()=0(0)=0.5.22 0.设电源电压X N(2 2 0,2 5),在 X 4 2 0 0,2 0 0 2 40 电压三种情形下,电子元件损坏的概率分别为0.1,0.0 0 1,0.2 ,求:(1)该电子元件损坏的概率a；(2)该电子元件损坏时，电压在200 240伏的概率.解：设 4=(X 4 200)*2=(200 240),。一 电子元件损坏，则(1)完备，由全概率公式今 P（4 j=（-0.8）=1-0（0.8）=0.212,同理 P（4）=（0.8）-（一 0.8）=2（0.8）-1 =0.576,P（A3）=1-0.212-0.576=0.212,从而a =P（）=0.062.（2）由贝叶斯公式21.随机变量X 的分布律为X-2-1013P56251151130求 y=x 2 的分布律X20149P57305113022.变量X 服 从 参 数 为 0.7 的 0 1 分 布，求 X?及 X?-2 X 的概率分布.解.X 的分布为X01P0.30.7易 见，X?的 可 能 值 为 0和1 ；而 X、2 X 的 可 能 值 为-1 和0,由于PX2=u=PX=u(=0.1),可 见 片 的 概 率 分 布 为：X201P0.30.7由于 PX?-2X=-l=PX=1=0.7,PX2-2X =0=PX=0=0.3,可得 X?-2X 的概 率 分布为X2-2X-10p0.70.323.X 概率密度函数为（x）=，求 y=2 X 的概率密度函数6（y）.）（1+x）解：y=2 x 的反函数为x 与，代入公式得0日）=%弓）（学=而24.设随机变量X U 0,2,求随机变量y=X?在（0,4）内概率密度A （）解法一（分布函数法）当了 4 时K（y）=l,当0 y W 4时,4 3=P（X w V 7）=Fx（V 7）从而 fx（-Jy）；=7=,0 y 4A（.y）=1 4 6 -o，其余解 法 二（公式法）y=*2在（0,2）单增，由于反函数x=6在（0,4）可导，*、.=式，2 4从而由公式得力（）.）=卜木=木0，其余25.fx（x）=f 求丫=的密度.0,x 1,当 y l 时，Fy（y）=P（X lny）=Fx（in y）,力(y)=-0,y 1f v()=y0 ,y 12 6.设 随 机 变 量X服 从(0,1)上 的 均 匀 分 布，分 别 求 随 机 变 量y=e、和Z =|l n X|的 概 率 密 度 力(y)和/7).解：X的 密 度 为=卷(1)函数y=e，有唯一反函数，x=n y,且lVe,故,|7 x 0 )|(l n y)1，iy e V.l y 0,从f z(z)=八厂)|(尸)1,其 它.2 7 .设(x)为X的密度函数，且为偶函数，求证-X与X有相同的分布.证：即证y=-x与x的密度函数相同，即6(y)=/x(y)-证 法 一(分布函数法)F y(y)=P(-X -y)=l-P(X -y)=l-Fx(-y),P y(y)=-Px(-y)(-i)=px(y)，得证.证法二(公式法)由于 y=-x 为单调函数，/0(y)=P x )|(-y)卜 P x(-)=P x(y)2 8.设随机变量X服从正态分布N(/Ad),-o o /+o o,0 ,尸(x)是 X的分布函数，随机变量y=b(x).求证y 服 从 区 间 上 的 均 匀 分 布.证明：记 X的概率密度为了(X),则尸(X)=/(r)力.由 于 F(x)是尤的严格单调增函数，其反函数F-i(x)存在，又因0 (x)4 1,因此丫的取值范围是 0,1 .即当时6()，)=PY y=P 尸(X)V)，=P X V k(y)=F F-(y)=y.于是丫的密度函数为 1,0 y 1y)=t。，其它即r 服从区间 o j 上的均匀分布.第三章习题1 解：px=丫=尸x=-i,y =-1+Px=i,y=1(已知独立)=px=-iPy=-i+Px=iPy=i=1.1+|-1 =1 .由此可看出，即使两个离散随机变量x与y相互独立同分布，x与 丫一般情况下也不会以概率1 相等.2 解：由Z A P广 1 可得：b=0.1 4,从而得：TV012叩=j00.0 6 0.1 5 0.0 9 0.310.1 40.3 5 0.2 1 0.7P X=i 0.20.50.31PX=i,Y=j=PX=iPY=j i=0,1,2;/=0,1.故 X,y 相互独立.i,y I =F(I,I)=PX=o,y=o +尸 x=o,y=1+P X =l,y=0 +P X =l,y=l=0.0 6 +0.1 4+0.1 5 +0.3 5 =0.7-1 2 1=P(A)P(B/A)=-=-3W：P n =P(X =1,Y =)=P(AB)10=P(A)P(8/A)=，1%坨pl2=P(X =17=0)=P(A 月)0%2_ _ 2因为：P(B/A)+P(B/A)=1,所 以：P(B/A)=1-P(B/A)=-,P21=P(X=0,y=1)=P(AB)=P(B 一 A)=P(B)-P(A B)=-P(AB)=P 22=111 2Q=，结果如表所示.164解：X的边缘分布律为尸X =1 =%,尸X =2 =%丫的边缘分布律为尸丫 =1 =%,尸X =2 =%Y=1的条件下x的条件分布为P x =i/r =1=P x =1,1 =1 叩=1=0px=2/y=i=PX=2,1 =1-y=i=1X =2的条件下Y的条件分布为PY =l/X =2=P X =2,1 =1 P X =2 PY =2/X=2 =PX=2,=2=i/PX=2/35解：(1)由乘法公式容易求得(x,y)分布律.易知，放回抽样时P x=o =%,px=i =%,P y =o =%,P y =i=%,且 P X =i,Y =j=P y=j/X =iPX =i=P X =iP Y =/=0,1;j =0,1.于是（x,y）的分布律为（2）不放回抽样，则P X =0 =%,P X =1 =%,在第一次抽出正品后，第二次抽取前的状态：正品9个，次品2个.故 丫 =%=0 =%,叩=1 =0 =%,0102 53 653 6153 613 6又在第一次抽出次品后，第二次抽取前状态：正品1 0个，次 品1个.故P Y =#X=1 =%,尸 丫 =八=1 =%，01且 PX =i,Y =j=PY =j/X =iPX=i i,j=0,104566166于是（x,y）的分布律为11 016666放回抽样时，两次抽样互不影响，故彼此相互独立；不放回抽样，第一次抽样对第二次抽样有影响，不相互独立.-x b,c y d,6 解 f(x,y)=(b-a)(c-d)0,否则.口 ,、-,a x bf x(x)=b a0,x bf(、I-,c y c-d 0,y d随机变量x及y是独立的.67 解(1)f(x,y)=d F(X，y)2 2，dxdy 才(4+AT)(9+y)(2)X的边缘分布函数夕X(X)=尸(x,+8)=(1+arc tg)(+)=(+arc tg J).7i 2 2 2 2 7 r 2 2由此得随机变量X的边缘分布密度函数打言(止不2有同理可得随机变量y的边分布函数4(y)=产(+8,y)=+arctg )=(-J+arctg7 C 2 3 万 2 3丫的边缘分布密度函数2 3(3)由(2)知/x(x)力 尸-一7-4=/(匹)，)，所以乂与丫独立.n(4+x)71(9+y)8解 因为x与y相互独立，所以x,y的联合概率密度为I-f(x,y)=fx(x)fY(y)e 2-00 X oo,-oo y oo2万_xW 上 上 ,PZ=2=Jj e 2 dxdy=dOe 2 rdr=-e 2=1-e，x2+/l尸Z =1=Ulx2+y2 0,九(x)=J 1/(x,y)dy=J；1 2(3 A+4 Jy=3 e。,当 y 0，人(y)=/(x,y)dx=r n e(3x+d x e,4)“J3 e 3 x%0可知边缘分布密度为：fxM=u,0,其它,fy(y)=4 e4y,y 00,其它，(3)P 0 X W 1,0 y W 2 =1 2 J：f e(3x+4 y)dxdy=(1 -e-3)(1-e-8)c+8 r +o o f 1 r 1 91 0 解 因为 I f(x,y)dxdy=1,即 c xdx y dy=J-0 0 J 0 0 Jo Jo对任意0 xl，fx(x)=f+X/(x,y)dy-6 f1 xy2dy=2x,对任意0 y 1,/y(y)=J：/(x,y)d x =6，)x y2 d x =3 y2,所以万（y）=3 y2,0 y l,0,其它，故/（x，y）=/x（x）人（y），所以x 与y 相互独立.e 2 21 1 解 由 SQ=（-d x =nx|j=2当 i WxWe?时，/x）=1 /（x,y）d y=I 其它人（x）=。J。J。2 2x所以：/X=J1 2 解（i）x,y 的边缘密度为分布密度为：/x（x）=id y=2 x,o x iI dx-1 -|y|,-l y 11故 册/小）=隼%1i N,刃 八卜|x,其它，加（加 尸f(x,y)_I X y ）,由于x,y相互独立，故（x,y）的联合密度为f(x,y)=/(x)/(y).于是PX w y=ff 八x)f(y)dxdy=二/(x)d x j(y)d)，x y=j j f(x)f(y)dxdy=二/(y)d y J/(x)d xx y交换积分次序可得：/(x)d x /(y)d y=/()，)d)，/(x)d x 所以px y=i-p x Y故尸x y=；.1 4解 设p =P(A),由于x,y相互独立同分布，于是有P(豆)=P y a =P X W a =P(A)=p，贝|JP(8)=1-P，又7P(A U 6)=P(A)+P(8)-P P(B)=p+(1-p)p l-p)=p 2 _ +i =1 2解 得:P i=,2 =,因而a有两个值.(i i 1 a 1 1 c i 1 1 5由于 P(A)=P X W a=J d x =2 ,所以，当 P 1=时，由号=得当时由得”?1 5解(1)X+Y的可能取值为2,3,4.且PX+Y=2=PX=1 P/=1=-,4尸X +y=3=尸X =1 尸 丫 =2 +P X =2,y=-4 4 4 4 2PX+Y=4=PX=2PY=2=-,4故有:p x +y=2 =；,P x +丫 =3 =；,尸x +丫 =4=：；由 已 知 易 得 P 2 X =2 =g,P 2 X =4 =耳;1 6解 由已知得（x,y）(一1,一2)(-1,-1)(-1,0)(%，一2)(%，)-2)T)(3,0)概率X+丫-3 -2 -1 -%叱/1 2 3X-丫1 Q T%5 4 3所以有X+Y-3 -2 -1 1 3P%2 Y n%2%2%23 5X-Y-1 0 1 -3 52 2P%2%2%2%2%2%21 7证明：对任意的攵=0,1,+”2,我们有PZ=/1 =ZPX=讣尸丫=%，（因为x与y相互独立）i=0t c ,q L C；pkTq 吁g ）i=0=c；C：）pkqn+n2-k（利用组合公式 禺-，=%）i=0 i=0=Ck p k q H 1 +2 r 1BPz=x+y 6（|+2，P）18解Z=X+y在0,2中取值，按卷积公式Z的分布密度为:r+oor 1/z（z）=/x（x）/y（z-x）d x=/y（z x）dx,J-coJO其中：即：如图，0 z-x 1,z-1 4 x V z,z-1 x z 0 x z-1 0 z 1%0 z 1 时0 X 1 7,-X 0 z-1 1 z 2 x1 2时jo dx=0 1,从而：/z（z）=4 J x =2-z,1 z 2,0,其它。19解 因为X 1，X 2，X 3相互独立，故2X 1 +3X 2 X 3 N（o,36）,所以:P02X 1 +3X 2-X 3 6=P0 2%1-3%?X 3 0 1=（D（0）=0.3413.20解/U i)=0,%1 0 x2 K 0.设两周的需求量为Z,则Z=X1+X2,当z 0时fz (z)=J%5 )/x2(z-Xi)的=齐 W (z-X)e-(:-x)dxl=J；x(z-x e-zdxy=(-y)z|0=故/z(z)=3!0,z 0时/x(x)=e T 1-(x +y)e-ydy=-e-x f(x+y)de-yJ。2 2 J。=；eT(x+y)e-)群+；e-、J；e-)d(x+y)(积分时，x是常量)广)=x+l)当x 0时，4(y)=；e r(y+l),当 y 4 0时，4(y)=0因 为 九(万)万()*/(%，y)，故x与y不相互独立,(2)当 z o 时，fz (z)=J 二/(X，z-xM x=+Z-X)e(x+Zx)dx=g zez jo dx=z2e:当z 0时，fz(z)=O2 2解 设X,为 选 取 的 第i只 电 子 管 的 寿 命，则X,N(160,2()2)=1,2,3,4.令丫 =m