数列求和-2022年（新高考）数学高频考点重点题型（含答案解析）.pdf

专题31数列求和-2022年（新高考）数学高频考点+重点题型一、关键能力i.掌握数列求和的常用方法.2.掌握等差数列、等比数列前 项和的公式；数列求和的常用方法：分组求和法、错位相减法、裂项相消法、倒序相加法等.二、教学建议1 .等差数列与等比数列综合确定基本量，利用“裂项相消法”“错位相减法 等求和.2.简单的等差数列、等比数列求和.3.往往以数列求和问题为先导，在解决数列基本问题后考查数列求和，在求和后再与不等式、函数、最值等问题综合，近几年难度有所降低，.考查公式法求和、“裂项相消法”、“错位相减法”较多.4.复习中注意：（1）灵活选用数列求和公式的形式，关注应用公式的条件;（2）熟悉分组求和法、裂项相消法及错位相减法.三、自主梳理1.已知 数 列 满 足%+i&=大），且/（I）+/（2）+大）可求，则可用累加法求数列的通项小.2.已知数列 小,满 足 d=7（），且/（I）-/（2）负 ）可求，则可用累乘法求M n数列的通项an.3.(1)Cln-)s1rSi,42.（2）等差数列前项和S,=（6产，推导方法：倒序相加法.nau 4=1,（3）等比数列前项和&=11gl（1aia阕 推导方法:错位相减法.4.常见数列的前项和(1)1+2+3+.+=1)(2)2+4+6+.+2=(+1)；(3)1+3+5+(2-1)=正;(4)了+2 2+3 2+2=(+D(为+1)5.常用的求和方法(1)分组求和：把一个数列分成几个可以直接求和的数列.(2)拆项相消：有时把一个数列的通项公式分成二项差的形式，相加过程消去中间项，只剩有限项再求和.(3)错位相减：适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和.(4)倒序相加：如等差数列前 项和公式的推导方法.6.常见的拆项公式(1)1=1 L.;n(M+1)n n+1(2M-1)(2+1)_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ n(M+1)(力+2)1-21(+l)(+l)(+2)(4)访四、高频考点+重点题型考点一、公式法求和例1.(2 0 2 1河北高三)已知数列 4中=1,生=3,且满足q+2+3。“=4”,用.设2=4+1 -a”,n w N*.(1)求数列也 的通项公式；(2)记 q,=l og 3(a“+J，数列%的前几项和为 S“，求 S 2 0.【答案】(1)=2 x 3 T；(2)2 1 0.【解析】(1),/an+2+3an=4 a,用,n e N*，：an+2-an+i=3(q用一.,：b“=a”+a”，：.b,N=3b,又4 =4-4=2,.数列也 是以2为首项，3为公比的等比数列，:也=2 x 3+MN.(2)：bn=all+i-an,a+=(Q +i -4,)+(a“-)+，.+(电 4)+4=b”+b,i+4+q20-3)1-3+1 =3；.(?“=log3(+2)=log3(3”T+2X 3i)=log,3=n,SG“=11 +2C-1-n=-(-几-+-l-),Sc)c=-2-0-x-2-1-=2c1 10c.2-2对点训练1.(2020.扬州市第一中学)1.设递增等比数列 4 的前项和为s“，已知$3=7,且q+3,3%,%+4成等差数列.（1）求数列 q 的通项公式；（2）令4=log2等，求|a|+|可+|4oo|.。4【答案】4=2-（2）4480【解析】【分析】（1）利用等比数列通项公式可构造方程组求得出和夕，进而求得结果；（2）由（1）可确定切，分析出切的符号；当4 6时，6时，么 0,所 以 闻+。2卜-H-oo|=-（4+8+-/，6）+:+400，从而可得答案.6a,=4+3+久+4【详解】（1）由题意得：,q+a,+%=76%=+a7g+7%=2设等比数列 a,的公比为4,则，q，解得：，4=2 .o,或4=21-+%=71qq=2.%是递增数列，q=2,.4=%厂2=2-2-2=2-1所以q=2小2(2)由(1)知：an+l=2,：.h-l og,=n-6,6 4.1.当 n W 6 时，bn 6 时，b”0；区|+|由|+|4 o o|=-(4 +4+%)+,+4 o o=4+4+4+伪+%)(,-2(。+4+匕6)1 0 0 x(-5 +9 4)6 x(-5 +0)=-2-2 x -=4 4 8 02 2【点睛】关键点睛：本题考查等差中项、等比数列的通项公式的应用，求等差数列的绝对值的前项的和，解答本题的关键是|4|+陶+帆o o|=-(4+万2”-+力6)+，7 T-1-4 0 0，属于中档题.考点二、分组求和法例2.(2 0 2 1 全国高三模拟)设数列%的前项和为S“，且q=l,在以下三个条件中任选一个填入以上横线上，并求数列。川-5,的前项和刀一%+i =2 S“+2；=2 4 +1；2 S“=%+|+1.【答案】答案不唯一，具体见解析.【解析】选条件时，直接利用数列递推关系式求出数列的通项公式，进一步利用分组法求出数列的和；选条件时，首先利用构造新数列法求出数列的通项公式，进一步用公式法求出求出数列的和；选条件时，首先利用构造新数列法求出数列的通项公式，进一步利用分组法求出数列的和.【详解】解：选条件时，因为约+1=2 S.+2,所以S,川一S.=2 S,+2,所以%=3 S“+2，整理得 5+1+1 =3 0+1),所以 S“+l 为首项为2,公比为3的等比数列，所以S“+1=2X3 T,即S=2X3T1因 为%+i =2 S“+2,所以 4+1-邑=S,+2=2X3T+1,所以数列 4+I-S“的前 项和Tn=(2 x 3 0+2 x 3 +-+2 x 3,_|)+(l +l+1)=3 +n-l.即 7；=3 +一1选条件时，。“+1=2a“+1 ；整理得：。用+1 =2(q+1),故数列%+1 是以4 +1 =2为首项，2为公比的等比数列.所以。，=2 -1,故。用=2向-1,所以a.+i S,=2 e _ 1 _ 三=一 =+1，I 2 1 7所以 4+S.为等差数列，所以数列%+1 -S”的前项和(=g x x(2 +l)=选条件时，由于2 S“=%+i +l,当2 2时，2 S,I=%+1，得：。“+1=3%,所以数列%是以1为首项，3为公比的等比数列，所以S“=1 3”1-33 -12则S.=S.T =3n-l ,-123 -32所以数列 4+i-S“的前项和所以7；3 田-3-6”4对点训练I.（2 0 2 1 全国高三其他模拟（文）2.已知数列。“满足 4 =2,a,+|一 ）=a“一白.L，X J j（1）求证：数 列 也 是等比数列;7（2）设数列 4 的前项的和为S“，求证：S,1 1 1,11 1W US=l+-+-+-+1 +-+-+i-X3 c 1 3 1 -3 7H-=2-4-Gfr 以=-=-=-bn 4n2-1(2“-1)(2 +1)2 2n-1 2n+lJ)丁 (1 1 1 1 I、/1 、n2(3 3 5 2n-l 2n+l)2 1 2n+l)2 +l例3-2.(2020山东滕州市第一中学高三3月模拟)已知等差数列 q 的公差d H O,其前项和为S“，若4+6 =2 2,且。4，%，62成等比数歹山(1)求数列 ,的通项公式；T 1 1 1 3(2)若 ,=三+不+不，证明：Tn(ll+7d),又d wO,工 d=2,，.卬=11-4x2=3,/.an=3+2(-1)=2+1(wN*).(2)证明：由(1)得S=(+)=(+2),1 1 If 1 1 1,1,1*StJ (+2)2n n+2)S】S2 Sn2n+J n n+2y-一-2(2 n+1 n+2 J 4 2 1+l n+2 J 4例 3-3.(2021全国高三其他 模 拟(理)己知数列%的前项和为S“，且 4=1,S“+iT =2S“+.(1)求数列 ,的通项公式；2(2)求数列-卜的前项和刀【答案】(1)。“=2 1；Z 1【解析】(1)由S,+1 =2S“+，变形为S,用+(+3)=2区+(+2),利用等比数列 通项公式可得S“，再利用an与S”的关系即可得出答案;(2)将2凡四+1裂项为1-12 1 2,+,裂项相消求和即可.【详解】解：(1)因为S,川一l=2S“+，所以 S,川+(+3)=2 S,+(+2),所以数列 S,+(+2)是以4 为首项，2 为公比的等比数列,所以 S,+(+2)=2”，所以 S“=2 T 一 2,当 2 2 时，a“=S,S T=2 油“一2-(2=I,当=1 时也成立,所以 a,=2 -1._ 2 _ 2 I 1(2)令4=a,“向 一(2 1)(2 用1)一 2 -1 -2 M 所以数列 2前项和5-2_3-C1|)+2-J-_1 _2,L+1-_1=1-3例3-4.（2 0 2 1商丘市第一高级中学）已知等差数列 q的公差为d,前项和为S”,$4=4+9,且 S 9 =5%.（1）求数列 4的通项公式；s -s（2）设bn=鼠”,求数列也 的前项和T.T 1 2【答案】（1）。“=；（2）1 =1一1，7 厂 一.（“+1）（+2）【解析】（1）因为 9=5%,所以9%=5 a,即9（4+4 d）=5（4+8 d）,整理得又因为S 4 =4 q+6 d =q+9,所以4+2 4 =3,即 4 =d =l,所以4,=n；（2）由（1）知。“=，所以 S“1b=-S“S,/1+12所 以 式=1)(1 1 (1 1 _ 1 1 _i 22),2 3 J S i+l )S|Sn+l(+1乂+2)例3-5.（2 0 2 1 全国高三其他模拟）在S“=2 2；2 q =4+4-4;S3,S2 +2,成等差数列这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答.问题：数列“)是各项均为正数的等比数列，前项和为S”0=2,且.(1)求数列 四 通项公式；,2(2)若a=-j=-7=(e N*)，求数列 瓦 的前n项和T n.“什 1 +也_1【答案】(1)=2,；(2)7；=也 向-1-1.【解析】(1)若选，由S“=2 a”-2,有S.T=2 a,z 2(N 2),两式相减，可得数列为等比数列，再由首项可求通项；若选，由2%=2+4-4,得4=2,再由首项可求通项；若选，由邑,2+2,5成等比数列，得q=2,再由首项可求通项.(2)先带入化简，再裂项求和即可.【详解】(1)若选，由Sn=2 an-2,有S“T=2a-2(2),两式相减并整理有=2(n 2),an-可知数列 ,是首项为2,公比也为2的等比数列，所 以%=2 x 2 T =2；若选，因为数列%是等比数列，且首项为2,由2%=4+%-4,有 2 a M2=%q +-4 ,即 4(/+1)=2 q(/+1),得 g=2 ,所以数列%是首项为2,公比也为2的等比数列，所以“=2X2T=2；若选，由S3,$2+2,R成等比数列，有2(S2+2)=E +S3,即 2(4+4+2)=q+4+4+4，因为有4 =2,所以有 4 g+4 =2 g+2,解得g=2,q=-l(舍)，数列/是首项为2,公比也为2的等比数列，所以。“=2X2T=2.因为”=一；k总m=/2(，产)=,(J 2”“一 1 +,2 l)(j 2+i 1 4 2 1)所以 Z,=4 +b2+b3+-+bn=A/22-1-/2 -1 +V 23-l -A/22-1+V 24-l -依 -1 +，2心-1 -也”-1=V 2,+I-1-1-考点四、错位相减法例4.(2 0 2 0.山东省高考真题)己知公比大于1的等比数列 为 满足4+4=2 0,%=8.(1)求 4的通项公式；(2)记0为%在区间(0,/n ge N*)中的项的个数，求数列也,的前1 0 0项和51 0 0.【答案】(1)q=2；(2)Sl o o=4 8 O.【解析】(1)由于数列 4 是公比大于1的等比数列，设首项为卬，公比为4,依题意有 1 1,解得解得4 =2应=2,或q=3 2国=1(舍)，a q=8 2所以a,=2,所以数列 ,的通项公式为a=2.(2)由于2 1=2,2 2 =4,2 3 =8,2 4=1 6,2 5 =3 2,=6 4,2 7=1 2 8,所以4对应的区间为：(0,1,则仇=0；仇也对应的区间分别为：(0,2,(0,3,则4=仇=1，即有2个1；“也也也对应的区间分别为：(0,4,(0,5,(0,6,(0,7,则 仇=仇=G=4=2 ,即有2 2个2；4也，九对应的区间分别为：(0,8,(0,9,(0,1 5,则4 =为=伪5 =3，即有2 3 个 3；九 也，也1对应的区间分别为:(0/6,(0,1 7,(0,3 1,则%=%=.一也1=4,即有2 4个4；42也3,也3对应的区间分别为：(0,32,(0,33,(0,63,则=织=L=%=5,即 有 个5；3 也5，L,瓦X)对应的区间分别为:(0,64,(0,65,-,(0,100),则%=瓯=L=4oo=6,即有37个6.所以$00=1x2+2 x 22+3 x 23+4 x 24+5 x 25+6 x 37=48()对点训练1.(2021 湖南永州市)3.已知数列”,的前项和为 S“，且 S,M 2s“=S”-2S“T(N2),4=2,4=4,(1)求数列 4 的通项公式；(2)求数列(2-1为 的前项和7；.【答案】(1)a=2.(2)1=6+(2 一32用.【解析】【分析】(I)根据题意可得4M=2。“(”之2),得出数列为等比数列即可求解;(2)利用错位相减法可求.【详解】(1)VS+1-2S=S-2Sn_1(n2)IS+i S=2Sn-2S“_|=2(S”-S“一 )(2 2),arl+l-2an(2),乂%=4=20,所以数列 4 是以2为首项，2为公比的等比数列，故数列 ,的通项公式为4=2.(2)据(1)可得(2-1)/“=(2-12”,所以7；=1X2 3X22+5X23+(2-1)2,27；=1X22+3X23+-+(2H-3)-2,+(2H-1)-2,+,两式相减得 4=2 +2x(22+23+2)-(2”一12 722X（1-2-）=2 +2 x -一（2-1）-2日，1-2化简得7；=6+（2“-3 2叫【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法：（1）对于等差等比数列，利用公式法可直接求解；（2）对于 a也 结构，其中 风 是等差数列，也 是等比数列，用错位相减法求和；（3）对于 4+2 结构，利用分组求和法；（4）对于 一 结构，其中 q是等差数列，公差为d,则-L，利用裂项相消法求和.da an+）对点训练2.（2 0 2 1四川高三月考（理）4.在正项等比数列 4中，4=1,且2%,生，3 4是等差数列也 的前三项.（1）求数列 叫 和 也 的通项公式；（2）设 孰=铝，求数列%的前项和,八 T 8 0 （3 2 8 0 Y 1 Y【答案】（1）a”=2 ,=8；（2）T =-n+-.9 1 3 9 J U J【解析】【分析】（1）根据等差中项性质，可得2%=2%+3%,而 4是等比数列，可把等式用力和夕替换，求出夕.进而通过等差、等比通项公式求得 4、2（2）化简得如=h=（3 2-1 6 （!）,观察其结构，是差比数列，利 用“错4 4位相减法”进行求解2&=2a-,+3 ,【详解】（1）因为?,3 14=1所以2%qa-laq2+3aq3q=l所以g=2或q=因为a”0,所以q=2,所以 a=a-=2 T,因为圾 的前三项分别是8,16,24,所以a=8.（2）因为q,=%_ 8(2-1)_ 32-16a2n316 心”,2 1(+48,所 以 乙 二?4J2+3-.生衿唱+48.(17+(32 -得%=16 出+3 2.；+32心j+3陪(32n 16)-14,32-32T、414-4J所以（号54-/4;+&4 (32+132 80一n-3 9-4-(8 n-4)-3跑-8+改2037【点睛】满足等差乘以等比形式的数列%的前项和S“的求解步骤（错位相减法）:先根据数列的通项公式写出数列S,的一般形式：S“=q+出+%+.+/；(2)将（1）中的关于S“等式的左右两边同时乘以等比数列的公比（4。1）；(3)用（1）中等式减去（2）中等式，注 意 用（I）中等式的第一项减去（2）中等式的第2 项，依次类推，得到结果;（4）利用等比数列的前项和公式以及相关计算求解出S“.考点五、并项求和法例 5.（2 0 2 1.江苏徐州市.高三三模）设各项均为正数的等差数列”“）的前项和为S“S i=3 5,且 0,0 4 1,“7 成等比数列.（1）求数列 飙 的通项公式；（2）数列 瓦 满足儿+儿+1=斯,求数列 瓦 的前2 项的和乃”.【答案】（1）%=+1；（2）n2+n.【解析】（D 设数列&的公差为d（右0）,则$7=7 4=3 5,即4=5,所以 q a4 3d=5 3d,%=4+3d=5 +3d.因为q,a4-l,%成等比数列，所以（%-1）?/，即 4 2=（5-3 G（5+3，解得d=-l（舍去）或d=l,所以=+1 因 为 d+d+1=勺，所 以&=*+瓦+b3+b4+.+V 1 +b2n=佃+4）+（4+%）+（%i+%,）=4 +。3+。)一-n-(-2-+-2-n-)-=n2+n2对点训练1.（2 0 2 1.吉林吉林市）5.已知等比数列 的前项和S=工二2m.（1）求 加 的 值，并求出数列 a“的通项公式；（2）令 d=（T）l o g 3%,设 T”为数列 瓦 的前项和，求 乃“.3【答 案】（1）?=,4=3（2）n【解 析】【分析】(1)直接利用数列的递推关系求出山的值；(2)利 用(1)的结论，进一步利用分组法的应用求出数列的和.【小问1 详解】等比数列 圆 的前项和S n=-机 .2,9当=1 时，解得4=E=2-根，当 2 时，S._ =耳-根 ，-得：/=S“-S,i=3 ,又 a,是等比数列，=1 时也符合，9当”=1时，m-3 ,2M 3故 m=.2【小问2详解】由(1)得：=(-i r lo g,=(-1)-7 7,所以 T in-1+2 -3+4+.+-(2 -1)+2=(-1+2)+(-3+4)+.+(-2+1+2)=n,对点训练2.(2 0 2 1 全国高考真题)(、伉,+1,为奇数，6.已知数列 4 满足q=1,4 用=%俾 热(1)记勿=为“，写出伉，打，并求数列也 的通项公式；(2)求 4 的前2 0 项和.【答案】(1)4=2 也=5 也=3-1；(2)3 0 0.【解析】【分析】(1)方法一：由题意结合递推关系式确定数列他,的特征，然后求和其通项公式即可；(2)方法二：分组求和，结合等差数列前项和公式即可求得数列的前2 0 项和.【详解】解：(1)方法一【最优解】:显然 2”为偶数,则 a2n+l=a2n+2,a2n+2=a2n+i+1,所以 2“+2 =2 +3 ,即=4+3，且4=4=4+1 =2，所以 a 是以2 为首项，3 为公差的等差数列，于是a=2 也=5 也=3-1.方法二:奇偶分类讨论由题意知 q=1,“2 =2,=4 ,所以 6 =“2 =2,4=%=a 3 +1 =5 .由(为奇数)及%+|-%=2 (为偶数)可知,数列从第一项起，若为奇数，则其后一项减去该项的差为1，若为偶数，则其后一项减去该项的差为2.所以4+2 一%=3(e N*),则=+(l)x3 =3-1.方法三:累加法由题意知数列?满足4=1,。川=a+|+g (N*).所以 4 =a2 a+T =1 +1 =2,3 (-1)3 3 (一 I)2 _Z?2 =%=。3 +万 =4+1 =42+5 1 1 =。2 +2+1=2+3=5,则 b=a 2n=(2“一“-1)+(2-】一 2 -2)+(2 4)+4=1+2+1 +2+2+1 +%=x l +2(-l)+l =3-l.所以4=2,瓦=5,数列出 的通项公式我=3-1.(2)方法一：奇偶分类讨论S20=。+。2+。3 +一+。20=(。1+。3+。5 +。9)+(。2+。4+*,+20)(Z?|+一 +4 -+A。-1)+Z?|+历+&+40=2X(/?I+/7|O)X1 0-10=300.2 方法二:分组求和由题意知数列 “满足 4=1,4“=4,1 +1，2+|=a2n+2,所以。2+1=a2n+2=2-1+3.所以数列%的奇数项是以1为首项，3 为公差的等差数列；同理，由4+2=4m+1=4.+3 知数列%的偶数项是以2 为首项，3 为公差的等差数列.从而数列an的前20项和为：S)o=(4+%+45+,+1 9 )+(2 +,+。20)1()x9 10 x9=10 xl+-x 3 +10 x2+-x 3 =300.2 2【整体点评】(1)方法一：由题意讨论 4 的性质为最一般的思路和最优的解法；方法二：利用递推关系式分类讨论奇偶两种情况，然后利用递推关系式确定数列的性质；方法三：写出数列%的通项公式，然后累加求数列物,的通项公式，是一种更加灵活的思路.方法一：由通项公式分奇偶的情况求解前项和是一种常规的方法；方法二：分组求和是常见的数列求和的一种方法，结合等差数列前项和公式和分组的方法进行求和是一种不错的选择.考点六、非常见通项-探究发现新规律求和例6-1(前后相消思想)(2021简阳市阳安中学高三二模(理)记S“为等比数列伍“的前项的和，且 怎 为递增数列.已知4 =4,S3=14.(1)求数列%的通项公式；7 /八 2+1(2)设2=(-1)“；-,求数列 的前项之和7；.log2 an-log2 an+l【答案】(1)“=2；(2)7；=1 +H L.+1a2=%q=4【解析】(1)设等比数列 4 的公比为9,贝J 0 a,I”，I J S3=4+。2+。3=+。2+%4=14-qJ G =84=2 I解得 c或1 1 ,2 q=5(14=2因为 4 为递增数列，所以只有J 1 2符合题意，故4 =2；(2)由题意，bn=(-I)H 也 挡 _-=(-1)2+i=(-1)(1+)=丑1 _匕12 t,log2 2n-log2 2n+(+l)n n+1 n n+l M=4+&+2把+工回 w一工iSi”12 23 n n+1 +l n+对点训练1.(2021河南高三其他 模 拟(文)7.数 列%满足递推公式a,.=。“+/+1 ,且6=4，aiw)02020=2 0 2 0-贝Ua；+a；H-1-2o i 9 =()A.1010 B.2020 C.3030 D.4040【答 案】B【解 析】【分析】已知条件可化为。,川=4+2-4,左 右 两 端 同 乘 以%M有片+1 =%+口”+2 一 怎4+1，即 d =ana,-an-tan，=%”,一 24T，通过累加求和，计算即可求得结果.【详 解】+,=42一%左 右 两 端 同 乘 以4用有41 =。“+。+2一64+1，从而 4：=，1=-4-2%，W=23-4%，将以上式子累加得a；+=a,+|-由 4=%得 a：+。；+a；+a；=a a+.令 2019，右,。+2019=2()19 。202()=2020.故选：B.对点训练2.(2 0 2 1 广东揭阳市高三其他模拟)8.已知正项等差数列 q 的前项和为S“，满足6S,=a,ja,用+2(eN*),4 2,(1)求数列 4 的通项公式；(2)若,求【答案】(1)4=3 -2；(2)-2.【解析】【分析】当2 2时,由65“=怎4+2,得6S,i=%4+2,两式相减可得6a“=a“，2 d,从而可求出d=3,当”=1时，6S,=ai-a2+2,求出,进而可出数列 4 的通项公式；(2)由 可得包=(一1)”(1gq +1g.),从而可求出岂3【详解】解：(1)设等差数列 q 的公差为d,则由 65“=an-an+x+2,得 6 s l=a-i-4 +2(N 2)相减得 6-S,i)=an(a+1-a )即 6a=an-2d(n2),又见 0,所以d=3,由 65=44+2,得6q=4+3)+2,解得 =1，(4=2舍去)由a“=4+(-l)d,得a“=3-2；(2)bn=(-iy,lg(a-%I)=(-1)(lgan+1ga+l)T33=伉+伪+4+/=一 lg 4 lg%+1g g +lg/T g /T g%+T g。33 T g%4=_lgq-lga34=_lgl00=_2.例6-2(分组的思想)(2020全国高考真题(文)数列 4 满足凡+2+(-1)。“=3 T，前16项和为54 0,则a=-【答案】7【解析】分析：对为奇偶数分类讨论，分别得出奇数项、偶数项的递推关系，由奇数项递推公式将奇数项用生表示，由偶数项递推公式得出偶数项的和，建立为方程，求解即可得出结论.详解：。+2+(一1)。=3 1，当为奇数时，an+2=+3 -1 ；当为偶数时，all+2+q=3 -1.设数列 4 的前项和为S.，S6=1+)+03+04+,+”16=4 +%+。5 +。15+(%+。4)+,(Q】4+。16)=4+(%+2)+(4+10)+(1+24)+(q+44)+(%+70)+(4+102)+(%+140)+(5+17+29+41)=84+392+92=84+484=540,。=7.故答案为：7.对点训练1.(2019 天津高考真题(文)9.设 是等差数列，也 是等比数列，公比大于0,已知4=仿=3,b2=O y,b3=4%+3.(I)求 和 4 的通项公式;(I I)设数列%满 足%=I,bn2为奇数，为偶数，求+a2 c2 +。2/2“(G N*).【答 案】an=3n,r =3 ；(2 -l)3n+2+6 n2+9(I I)-(/2 e N)【解 析】【分 析】(I)首先设出等差数列的公差，等比数列的公比，根据题意，列出方程组,求 得 ”二：,进而求得等差数列和等比数列的通项公式；1 4 =3(II)根据题中所给的。“所满足的条件，将2 c2+4/*2表示出来，之后应用分组求和法，结合等差数列的求和公式，以及错位相减法求和，最后求得结果.【详解】(I)解：设等差数列 凡 的公差为d,等比数列也“的公比为4,依题意，得3 q =3 +2d3 d=1 5 +4 dq=3解 得 d=3故a.=3 +3(1)=3”,2 =3 x 3 T=3 ,所 以，%的通项公式为4=3，也 的通项公式为2=3 ；(II)4。+Q 2 c 2+一 +。2，2=(4 +。3 +。5 -卜 a2n-)+(a2bl+a4b2+4(T-卜)=n x 3 +y-x 6 +(6 x 3,+1 2 x 32+1 8 x 33+-+6 n x 3n)=3 2 +6 x(l x 3 +2 x 32 H +x 3 ),记 7；,=1X3+2X32+-.+/IX3,则 3 7；=1 x 3?+2 x 3 3+x 3”+i 一 得，2Tn=-3-32-33-3n+nx3n+i(2-1)32+32c，,c 2 c(2/?-l)3,+1+3ZTT 以 qq+。2。2+,+a211c2n=3 +67=3 +3 x-(2-1)3-2+6 2+9=-(n G T v ).【点睛】本小题主要考查等差数列、等比数列的通项公式及前项和公式等基础知识，考查数列求和的基本方法和运算求解能力，属于中档题目.考点七、奇偶讨论求和法例7.(2021河北衡水中学高三其他模拟)已知正项数列 为,其前项和为S”,a“=l 2 S“(GN)(1)求数列 q 的通项公式：(1 、(2)设a=(1)”一 +2，求数列也 的前项和7；.an 7f-7-3n+l 班在粉z y,-/为奇数【答案】(1)a;(2)7；=4I 3 4 +3-33 为偶数I 4【解析】1)由已知4=1 2S“，所以有a“+i=1-25”+1,a-1-，得4+|一%=一24向，即3。“+|=%,.丁 =4，an J所以数列 a,是公比为1的等比数列.1 1 门丫T 1 Y又q=1-2,=1一2。,所以4=-_=_(1 、(2)由 得2=(-1)“一+2 =(-1)-3fl+(-l)n-(2n),7当“为奇数时，7；,=(-3+32-33+34-.-T)+2(-l+2-3+4-.-n)1 +、+2 2+-1I 2n-n24当 n 为偶数时,Tn=(-3+3?3,+3。-+3)+2(1 +2 3+4 .+)-3+3-4+3向-3-4-/2=-综上所述,-n,几 为奇数4丝4/7+二3向 一一 3为偶数对点训练1.(2021.宁波市北仑中学高三其他模拟)1 0-已知数歹他卜满足4=1%=2a二+一2,为奇为数偶数 记数列的前项和为S”，(I)求证：数列 瓦 为等比数列，并求其通项勿；(2)求 2 的前 项和Tn及 的前n项和为S,.【答 案】(1)证 明 见 解 析；bn=(一2)“；(2)Tn=-+-j(-2)z，；2 一 生 包，“为奇数S=42 1.2-F(-2尸，”为偶数I 4【解析】【分析】(1)根据题中条件，推 出/+1=4“+2=-2%“=-2 2，即可证明数列 4 为等比数列，从而可求出其通项公式;（2）根 据（1）的结果，由错位相减法，即可求出T“；设。=%”+4,用（?/*），先由题中得到c“的通项，再由分组求和法计算S2,小，根据2“=52,1+1-4向 求S 2tl,进而可得S,.【详解】（D 因为q=1an+2%+2 ,为奇数 _-%-为 偶 数 所以用=%+2=2 a2,用 +2(2 +1)=2(2 -1)+4+2 =-2%=-2bn,又 4 =%=2 +2 =4,所以数列 是以4为首项，以-2 为公比的等比数列，因此a=4 x(2)T=(2 广；(2)由(1)可 得(=伍+2 8+3 4 +d=(-2)2 +2 x(-2 y +3 x(-2)+-+x(-2)M，贝|J -2 7；=(-2)3 +2 x(一 2)4+3 x(2)+x(-2)?，一得3 q=(-2)2+(-2)3 +(-2)4+(-2)5+(-2)+-nx(-2)，+2=(2)+2)-“x(-2)*，则7m卜 2 产设%=%,+%+|(6旷)，则 c=%+%+1=a2+(一 4 -2 -1)=一 2-1,所以$2向=4+(g+/)+(4+%)+(%“+%用)=4+。1+。2+C=1 +1S 1=一 八 2 +1；2S2=52“+|一。2+|=2+1+a2n+2 +1=n2 2n+(2)，+l+2 +1 =n2+(-2)”+2 ；/曰 12、3+1 =2-皿,为 奇 数因此 S.=I；J 2 4+(-2 尸+2 =2-9+(-2)”,为偶数【点睛】思路点睛：错位相减法求数列。也(其中 4 为等差数列，也 为公比为4 的等比数列)的前项和刀,的一般步骤：1）先列出前 项和 Z,=岫 +a2b2 +.+anb；(2)在上式两端同乘以等比数列的公比，得到4(=。自+4&+/,山，(3)两式作差，根据等比数列的求和公式化简整理，即可得出结果.(作差时，要注意错位相减)巩固训练一、填空题(2 0 2 1 全 国高三模拟)1 1.设数列 雨 的前项和为S”若0“=-?=/=,则 S9 9=()x/z i +1A.7 B.8 C.9 D.1 0【答案】C【解析】【分析】采用裂项相消法求数列的和【详解】因为4=4n+-4n,所以 S9 9 =(0_ 1)+(6 0)+(回 一 回)+(9一 回)=Vi o o-i=1 0-1=9故选C.1 2.已知数列。”的通项公式an=+-,则何 勾+|外一%|+|4 9-4oo|=()A.150 B.162 C.180 D.210【答案】B【解析】【分析】根据对勾函数性质得到数列单调性，再根据大小关系去掉绝对值符号得到答案.【详解】由对勾函数的性质可知：当10时，数列%为递减；当”.0 时，数列%为递增.所以|q一 局+|一局t-k o o=(q -&)+(。2-4)+(%-4()+(4 1 -4 o)+(4 2 -%)1-1_(4 0 0-%)=4-6 Z|0+。=1 +100(10+10)+(100+1)(10+10)=162.故选：B.【点睛】本题考查了数列求和，意在考查学生的计算能力和综合应用能力，确定数列单调性是解题的关键.13.我国古代数学名著 九章算术中，有已知长方形面积求一边的算法，其方法的前两步为：第一步：构造数列1,m,L2 3 4 n第二步：将数列的各项乘以，得数列(记为)0,。2,4 3,，an.贝I 02+。23+.+4“一1%等于()A.2 B.(n I)2 C.1)D.n(n+1)【答案】C【解析】r i n n n n n【分析】由题意可得的2+%/+4 =；=+：+-+1 2 2 3 n-nJ 1 1 1 一=/+-，再利用裂项相消求和法可求得结果1x2 2x3(-1)九【详 解】ala2+a2a3+-+an_iann n n n n K ,F 4-1 2 2 3 n-二n1-十1 x22 x3+nn1(n-l)7 i=n1 1 11-1-F +2 2 31 1n-n2 I z 八=n-=(_1)n故选：C.设 S=l +；1 1+-+11 4.则 5=(6 1 22 +12 n-l +1A.-B.-C.n+n nD.+2 +1【答 案】A【解 析】【分 析】根 据 丁 二=-一二，裂项求和可得结果.详 解 由 S=1 +:+：+白+2 0 1 2I_/?(+1),口0,1 1 1 导 S=1 H-1-1-F.+1 x2 2 x3 3 x41 _(+1)Z H e,1 1 1 1 1 1 1 c 1 2 +1得 S=1 +1-1-1-1-1-=2-=-,2 2 3 3 4 n n+n +1 +1故选：A.【点睛】本题考查了裂项求和，属于基础题.1 5.已知数列%满 足 区,=(一口臂1 2，设数列%的前项和为S,“则 S2 o i 9 =()A.2 0 2 0【答 案】D【解 析】B.2 0 1 9C.1 0 1 0D.0【分析】利 用(-1)于 是周期为4 的周期数列，因此求S,时可4 项 4 项分组，每组和均为4,因此易计算邑020,然后再计算S.9 【详解】由题意，可构造数列也 :令 a=(一1等 则可得数列也：-1,-1,1,1,-I,-1,1,1,即数列 4 是最小正周期为4 的周期数列.数歹！I 4 :-1,-2,3,4,-5,-6,7,8,.,2020=a+“2+a 3 +4 +4 6 +a 7 +8 +.+”2017+2018+“2019+。2020=(-1-2+3+4)+(-5-6+7+8)+.+(-2017-2018+2019+2020)=4 x 504=2020,5助9 =S2020 一 (HO=2020 2020=0.故选：D.【点睛】本题考查数列的周期性，考查分组(并项)求和法，解题关键是由数列通项公式寻找出规律，根据其规律得出解题方法.16.已知函数y=/(x)满足/(x)+/(l-x)=l,若数列 4 满足+/，则数列&的前20项和为()A.100 B.105 C.110 D.115【答案】D【解析】【分析】根据函数y=/(x)满足/(x)+/(l-x)=l,利用倒序相加法求出怎，再求前20项和.【详解】因为函数y=/(x)满足/(x)+/(i-x)=i,册=7+阴+/，.4=/+/(?)+/(一)+巾+/(0)，/7 4-1由+可得2 ,=+1,所以数列。,是首项为1，公差为g的等差数列，其前2 0 项和为2 0 L +2 0叫2故选：D.【点睛】本题主要考查函数的性质及倒序相加法求和，属于基础题.二、多项选择题(2 0 2 1 吉林松原市高三月考)1 7.在数学课堂上，为提高学生探究分析问题的能力，教师引导学生构造新数列：现有一个每项都为1 的常数列，在此数列的第n(e N*)项与第 +1 项之间插入首项为2,公比为2,的等比数列的前项，从而形成新的数列%,数列 q 的前项和为S“，则()A.2 0 2 i =25 B.2 0 2 1=26C.$2 0 2 1=3 x 2 63 +5 9 D.S2 0 2 l=264-3【答案】A D【解析】【分析】根据题意求出，然后即可求出徇=中，再利用错位相