2023年微积分知识点总结归纳小结.pdf
精编知识点 第一章 函数 一、本章提要 基本概念 函数，定义域，单调性，奇偶性，有界性，周期性，分段函数，反函数，复合函数，基本初等函数，初等函数 第二章 极限与连续 一、本章提要 1.基本概念 函数的极限，左极限，右极限，数列的极限，无穷小量，无穷大量，等价无穷小，在一点连续，连续函数，间断点，第一类间断点（可去间断点，跳跃间断点），第二类间断点.2.基本公式 (1)1sinlim0口口口，(2)e)11(lim0口口口(口代表同一变量).3.基本方法 利用函数的连续性求极限；利用四则运算法则求极限；利用两个重要极限求极限；利用无穷小替换定理求极限；利用分子、分母消去共同的非零公因子求00形式的极限；利用分子，分母同除以自变量的最高次幂求形式的极限；利用连续函数的函数符号与极限符号可交换次序的特性求极限；利用“无穷小与有界函数之积仍为无穷小量”求极限.4.定理 左右极限与极限的关系，单调有界原理，夹逼准则，极限的惟一性，极限的保号性，极限的四则运算法则，极限与无穷小的关系，无穷小的运算性质，无穷小的替换定理，无穷小与无穷大的关系，初等函数的连续性，闭区间上连续函数的性质.第三章 导数与微分 一、本章提要 1.基本概念 精编知识点 瞬时速度，切线，导数，变化率，加速度，高阶导数，线性主部，微分 2.基本公式 基本导数表，求导法则，微分公式，微分法则，微分近似公式 3.基本方法 利用导数定义求导数；利用导数公式与求导法则求导数；利用复合函数求导法则求导数；隐含数微分法；参数方程微分法；对数求导法；利用微分运算法则求微分或导数 第四章 微分学的应用 一、本章提要 1.基本概念 未定型,极值点,驻点,尖点,可能极值点,极值,最值,曲率,上凹,下凹,拐点,渐近线,水平渐近线,铅直渐近线 2.基本方法 用洛必达法则求未定型的极限；函数单调性的判定；单调区间的求法；可能极值点的求法与极大值（或极小值）的求法；连续函数在闭区间上的最大值及最小值的求法；求实际问题的最大（或最小）值的方法；曲线的凹向及拐点的求法；曲线的渐近线的求法；一元函数图像的描绘方法 3.定理 柯西中值定理,拉格朗日中值定理,罗尔中值定理,洛必达法则,函数单调性的判定定理,极值的必要条件,极值的第一充分条件,极值的第二充分条件,曲线凹向的判别法则 第五章 不定积分 一、本章提要 1.基本概念 原函数，不定积分 2.基本公式 价无穷小在一点连续连续函数间断点第一类间断点可去间断点跳跃间断理求极限利用分子分母消去共同的非零公因子求形式的极限利用分子分右极限与极限的关系单调有界原理逼准则极限的惟一性极限的保号性极精编知识点 不定积分的基本积分公式（20 个）；分部积分公式 基本方法 第一换元积分法（凑微分法）；第二换元积分法；分部积分法；简单有理函数的积分方法 第六章 定积分 一、本章提要 1.基本概念 定积分，曲边梯形，定积分的几何意义，变上限的定积分，广义积分，无穷区间上的广义积分，被积函数有无穷区间断点的广义积分.2基本公式 牛顿-莱布尼茨公式.3基本方法 积分上限函数的求导方法，直接应用牛顿-莱布尼茨公式计算定积分的方法，借助于换元积分法及分部积分法计算定积分的方法，两类广义积分的计算方法.4定理 定积分的线性运算性质，定积分对积分区间的分割性质，定积分的比较性质，定积分的估值定理，定积分的中值定理，变上限积分对上限的求导定理.第七章 定积分的应用 一、本章提要 1.基本概念 微元法，面积微元，体积微元，弧微元，功微元，转动惯量微元，总量函数 2 基本公式 平面曲线弧微元分式 3.基本方法 (1)用定积分的微元法求平面图形的面积，(2)求平行截面面积已知的立体的体积，(3)求曲线的弧长，(4)求变力所作的功，(5)求液体的侧压力，(6)求转动惯量，(7)求连续函数 f(x)在 ba,区间上的平均值，(8)求平面薄片的质心，也称重心 价无穷小在一点连续连续函数间断点第一类间断点可去间断点跳跃间断理求极限利用分子分母消去共同的非零公因子求形式的极限利用分子分右极限与极限的关系单调有界原理逼准则极限的惟一性极限的保号性极精编知识点 第八章 常微分方程 一、本章提要 1 基本概念 微分方程，常微分方程，微分方程的阶数，线性微分方程，常系数线性微分方程，通解，特解，初始条件，线性相关，线性无关，可分离变量的方程，齐次线性方程，非齐次线性方程，特征方程，特征根 2 基本公式 一阶线性微分方程 ()()yP x yQ x 的通解公式:()d()d()edeP xxP xxyQ xxC 3 基本方法 分离变量法，常数变易法，特征方程法，待定系数法，降阶法 4 定理 齐次线性方程解的叠加原理，非齐次线性方程解的结构 第九章 空间解析几何 一、本章提要 1 基本概念 空间直角坐标系，向量，向量的模，单位向量，自由向量，向径，向量的坐标与分解，向量的方向余弦，向量的点积与叉积，平面的点法式与一般式方程，直线的点向式及一般式方程，球面，柱面，旋转面，二次曲面，空间曲线在坐标面上的投影，失函数的导数，失函数的积分 2基本公式 两点间的距离公式，向量模与方向余弦公式，点积与叉积坐标公式，点到平面的距离公 式，平面与直线间的夹角公式 3方程 直线的点向式方程，直线的参数方程，直线的一般式方程，平面的点法式方程，平面的一般式方程 第十章 多元函数微分学 一、本章提要 基本概念 多元函数，二元函数的定义域与几何图形，多元函数的极限与连续性，偏导数，二阶偏导数，混合偏导数，全微分，切平面，多元函数的极值，驻点，条件极值，方向导数，梯度 基本方法 二元函数微分法：利用定义求偏导数，利用一元函数微分法求偏导数，利用多元复合函价无穷小在一点连续连续函数间断点第一类间断点可去间断点跳跃间断理求极限利用分子分母消去共同的非零公因子求形式的极限利用分子分右极限与极限的关系单调有界原理逼准则极限的惟一性极限的保号性极精编知识点 数求导法则求偏导数 隐函数微分法：拉格朗日乘数法 定理 混合偏导数与次序无关的条件，可微的充分条件，复合函数的偏导数，极值的必要条件，极值的充分条件 第十一章 多元函数积分学 一、本章提要 1 基本概念 二重积分，三重积分，曲线积分，曲面积分，微元法，柱面坐标系，球面坐标系，积分与路径无关 2 基本公式(1)格林公式：ddd dLDQPP xQ yx yxy；(2)高斯公式：dd dd dPQRVP y z Q z xR x yxyzd d 3 基本方法 将二重积分化为二次积分，关键是确定积分的上下限：有直角坐标系下的计算方法和极坐标系下的计算方法；计算三重积分，有直角坐标系、柱面坐标系、球面坐标系的计算方法；计算对坐标的曲线积分，有基本法，格林公式法，与路径无关法；计算对坐标的曲面积分，有对坐标的曲面积分法，高斯公式法 4 定理 格林公式定理，积分与路径无关定理，高斯公式定理 第十二章 级数 一、本章提要 1基本概念 正项级数，交错级数，幂级数，泰勒级数，麦克劳林级数，傅里叶级数，收敛，发散，绝对收敛，条件收敛，部分和，级数和，和函数，收敛半径，收敛区间，收敛域 2基本公式)1()(xf在0 xx处的泰勒级数系数：)(00 xfa，!)(0)(kxfakk；(2)傅里叶系数：11()cosd(0,1,2,),()sind(1,2,)nnaf xnx x nbf xnx x n 3基本方法 比较判别法，比值判别法，交错级数判别定理，直接展开法，间接展开法 4定理 比较判别定理，比值判别定理，交错级数判别定理，求收敛半径定理，幂级数展开定理，傅里叶级数展开定理 价无穷小在一点连续连续函数间断点第一类间断点可去间断点跳跃间断理求极限利用分子分母消去共同的非零公因子求形式的极限利用分子分右极限与极限的关系单调有界原理逼准则极限的惟一性极限的保号性极
