2023年必修二三垂线定理及其逆定理-精品讲义.pdf

学习必备 欢迎下载 教案：三垂线定理及其逆定理（复习课）（教材：人教版全日制普通高级中学（必修）数学第二册（下 A）课题：三垂线定理及其逆定理（复习课）教学目的：1、知识目标：进一步理解、记忆并应用三垂线定理及其逆定理。2、能力目标：（1）理解三垂线定理及其逆定理之间的关系，掌握三垂线定理及其逆定理应用的规律；（2）善于在复杂图形中分离出适用的直线用于解题；（3）进一步培养学生的识图能力、思维能力和解决问题的能力 3、德育目标：通过强化训练渗透化繁为简的思想和转化的思想 教学重点：进一步掌握三垂线定理及其逆定理并应用它们来解有关的题 教学难点：对复杂图形如何分离出符合定理的条件用以解题以及解决问题的能力的培养 授课类型：复习课 教学模式：讲练结合 教学过程：环节 1：复习导入 教师给出三垂线定理及其逆定理，然后提出问题：三垂线定理及其逆定理彼此独立吗？它们的位置能不能交换一下？（引发学生对三垂线定理及其逆定理的关系的思考，分析三垂线定理及其逆定理的内容）环节 2：三垂线定理及其逆定理的剖析 1、认识三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么，它就和这条斜线垂直。问题：正定理研究的是哪两条线的垂直关系？它是如何解决的？解决问题的主要思想使什么？学习必备 欢迎下载 设置目的：让学生通过分析得出三垂线定理是通过判断平面内的直线与斜线在平面内的射影垂直来得到这条直线与斜线的垂直关系，即 线射垂直 线斜垂直 （平面问题）（空间问题）从而让学生体会三垂线定理中蕴含的降维思想：把空间问题转化为平面问题。2、认识三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直。问题：逆定理研究的又是哪两条直线的垂直关系？它又是如何解决的？设置目的：让学生类比三垂线定理的分析思路得出三垂线定理的已知和结论：线斜垂直 线射垂直 （空间问题）（平面问题）教师再引导学生分析其中的数学思想：把空间中的条件归结到同一个平面中，这在解题中是非常重要的，把已知条件相对集中是解题的第一步。3、讨论正定理与逆定理的关系：正定理 线射垂直 线斜垂直 （平面问题）逆定理 （空间问题）从而得出两个定理的关系：（教师板书）正定理：线射垂直线斜垂直（先平面后空间）逆定理：线斜垂直线射垂直（先空间后平面）4、总结应用两个定理解题的一般步骤 教师引导学生通过对定理内容的再认识，提取应用两个定理解题的一般步骤。（出示幻灯片）正定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么，它就和这条斜线垂直。定 定 找 基准平面 主线 垂线 及其逆定理之间的关系掌握三垂线定理及其逆定理应用的规律善于在复进一步掌握三垂线定理及其逆定理并应用它们来解有关的题教学难点对理然后提出问题三垂线定理及其逆定理彼此独立吗它们的位置能不能交学习必备 欢迎下载 逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直。环节 3、定理应用举例 应用一、证明线线垂直 例 1、判断下列命题的真假：（1）若 a 是平面的斜线，直线 b 垂直于 a 在平面内的射影，则 ab（）（2）若 a 是平面的斜线，平面内的直线 b 垂直于 a 在平面内的射影，则 ab（）（3）若 a 是平面的斜线，直线 b 且 b 垂直于 a 在另一平面内的射影，则 ab（）（4）若 a 是平面的斜线,b,直线 b 垂直于 a 在平面内的射影，则 ab（）设置目的：加深学生对两个定理的认识，明确定理使用的条件，同时让学生能较好地理解三垂线定理及其逆定理中五个元素“一面四线”之间的关系。教学安排：安排四个学生口答，教师组织其他学生讨论，教师点评强调运用定理时需要注意的地方。例 2、已知 P 是平面 ABC 外一点，PA平面 ABC，AC BC，求证：PC BC。设置目的：让学生逐步掌握应用定理证明两条直线垂直的一般步骤，巩固学生对两个定理的认识；通过对问题的解决让学生能够区分正定理和逆定理，在解题时能够正确的选用；题中没有配图，让学生学会根据已知信息画出几何图形。教学安排：教师先给出题干部分，让学生根据已知信息画出几何图形，教师再给出问题。由于题目并不难，可以由学生讨论解决，但这里主要是组织学生对运用三垂线定理解题的步骤的归纳。例 3、在四面体 ABCD 中，已知 ABCD，ACBD，求证：ADBC。设置目的：进一步加深学生对运用定理解题时的解题步骤地理解和掌握；让学生在解题中逐步学会通过寻找垂线来实现两种线线垂直关系的相互转化，ADBC 是空间两条直线的垂直，通过正定理可以把它转化为基准平面内的线线及其逆定理之间的关系掌握三垂线定理及其逆定理应用的规律善于在复进一步掌握三垂线定理及其逆定理并应用它们来解有关的题教学难点对理然后提出问题三垂线定理及其逆定理彼此独立吗它们的位置能不能交学习必备 欢迎下载 垂直问题，再利用逆定理把已知中的异面垂直关系集中到基准平面内，实现已知与未知的对接。教学安排：学生讨论完成，教师归纳方法。应用二、作出二面角的平面角 问题 1：我们知道利用几何法求二面角的大小时第一步就是要作出二面角的平面角，那么求作二面角的平面角的常用方法有哪些？教学安排：学生讨论，归纳出求作二面角平面角的三种方法即定义法（、垂面法、垂线法。问题 2：为什么利用三垂线定理及其逆定理可以作出二面角的平面角？（让学生再次认识三垂线定理及其逆定理的结论，同时巩固学生对二面角的平面角定义的理解）教学安排：教师展示利用三垂线定理及其逆定理求作二面角的平面角的过程，其中重点是构造另一个半平面。教师动画展示过程：平移平面内的直线 a 与斜线 PO 相交，从而利用相交直线作出平面，产生二面角 a，此时斜线PO 与射影 AO 就形成了二面角的平面角。教师再点明问题中主线就是二面角的棱。P P P A a A O A O A O 例 4、在四棱锥 P-ABCD 中，已知底面 ABCD 是正方形，侧棱 PD 底面ABCD，PD=DC，求二面角 C PB D 的大小。设置目的：让学生熟悉利用三垂线定理及其逆定理求作二面角的平面角的基本方法，让学生体会到三垂线定理及其逆定理在求解二面角问题中的应用。教师安排：让学生思考后讨论解法，教师板书示范，这里强调几何证法。环节 4、课堂小结 问题：今天，我们研究了哪些问题？a 及其逆定理之间的关系掌握三垂线定理及其逆定理应用的规律善于在复进一步掌握三垂线定理及其逆定理并应用它们来解有关的题教学难点对理然后提出问题三垂线定理及其逆定理彼此独立吗它们的位置能不能交学习必备 欢迎下载（学生讨论，归纳总结这节课的研究的主要内容，教师出示幻灯片）v 1、认识三垂线定理与其逆定理的内容和关系：正定理：线射垂直线斜垂直（先平面，后空间）逆定理：线斜垂直线射垂直（先空间，后平面）2、利用两个定理解题的基本思路：定基准平面定主线找垂线 3、两个定理的主要应用：（1）证明线线垂直；（2）寻找二面角的平面角。环节 5、布置课外作业 （出示幻灯片）在四棱锥P-ABCD 中，已知底面ABCD 是正方形，侧棱PD 底面ABCD，PD=DC，E 是 PC 的中点，作 EF PB 交 PB 于点 F.(1)求证:PA/平面 EDB；(2)证明:PB 平面 EFD；(3)求二面角 C PB D 的大小（20XX 年天津高考题）设置目的：检查学生对三垂线定理及其逆定理的理解和应用，这里主要是证明线线垂直和求作二面角的平面角。环节 6、下课 及其逆定理之间的关系掌握三垂线定理及其逆定理应用的规律善于在复进一步掌握三垂线定理及其逆定理并应用它们来解有关的题教学难点对理然后提出问题三垂线定理及其逆定理彼此独立吗它们的位置能不能交