2023年数学八下易错题含超详细解析答案.pdf

学习必备 欢迎下载 八年级下册易错题 第一章 三角形的证明 1.已知等腰三角形的两边长分别为 5、2，则该等腰三角形的周长是（D）A7 B9 C12 或者 9 D12 考查知识点：三角形的基本知识及等腰三角形边的关系：任意两边之和大于第三边，等腰三角形两腰相等，因此只能是：5cm，5cm,2cm.2.一个等腰三角形的一个角是 40，则它的底角是（D）A40 B50 C60 D40或 70 考查知识点：三角形的内角和及等腰三角形两底角相等：当 40是顶角时，底角就是 70；40就是一个底角.3.已知ABC的三边长分别是 6cm、8cm、10cm，则最长边上的高是（D）A.2.4cm B.3cm C.4cm D.4.8cm 提示：设最长边上的高为 h,由题意可得ABC是直角三角形，利用面积相等求，即h.10.218.6.21 解得 h=4.8 4.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为 300，腰长为 6，则其底边上的高是 3 或33.解：三角形是钝角三角形时，如图 1，ABD=30 AD=21AB=216=3，AB=AC，ABC=ACB=21BAD=21(90-30)=30，ABD=ABC，底边上的高 AE=AD=3；三角形是锐角三角形时，如图 2，ABD=30 A=90-30=60，ABC是等边三角形，底边上的高为236=33 综上所述，底边上的高是 3 或33 5.到三角形三个顶点的距离相等的点是三角形（B）的交点.A.三个内角平分线 B.三边垂直平分线 C.三条中线 D.三条高 考查的知识点：三角形三边垂直平分线的交点到到三角形三个顶点的距离相等【归纳为：点到点距离相等，为垂直平分线上的点】还有一个：三角形三个内角平分线的交点到三角形三学习必备 欢迎下载 边的距离相等【归纳为：点到线的距离相等，为角平分线的交点，此时的距离有“垂直”】6.如图，在ABC中，AB=5，AC=3，BC的垂直平分线交 AB于 D，交 BC于 E，则ADC的周长等于 8 考查的知识点：垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等 7.用反证法证明：一个三角形中至少有一个内角小于或等于 60.答案：已知：ABC,求证：ABC 中至少有一个内角小于或等于 60 证明：假设ABC 中没有一个内角小于或等于 60，即每一内角都大于 60 则A60,B60,C60A+B+C60+60+60=180 即A+B+C180，这与三角形的内角和为 180 度矛盾假设不成立 ABC 中至少有一个内角小于或等于 60 考查知识：反证法，用反证法进行证明时先写出已知、求证，再假设求证的反面成立，推出与题设、定理等相矛盾的结论，从而肯定原结论成立【注意：反证法一般很少用到，除非是题目要求用反证法证明，否则一般不考虑该方法】8.如图所示，AOB=30，OC平分AOB，P为 OC上任意一点，PDOA 交 OB于点 D，PEOA于点 E，若 PE=2cm，则 PD=_cm 解：过点 P作 PFOB于 F，AOB=30，OC平分AOB，AOC=BOC=15，PD OA，DPO=AOP=15，DPO=AOP=15，BOC=DPO，PD=OD=4cm，AOB=30，PD OA，BDP=30，在 RtPDF中，PF=21PD=2cm，OC为角平分线，PEOA，PFOB,PE=PF，PE=PF=2cm 是一个等腰三角形的一个角是则它的底角是或考查知识点三角形的内角相等求即解得等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为腰长为则其底边相等的点是三角形的交点三个内角平分线三边垂直平分线三条中线三条学习必备 欢迎下载 9.如图，在ABC中，ABC和ACB的平分线交于点 E，过点 E作 MNBC 交 AB于 M，交 AC于 N，若 BM+CN=9，则线段 MN的长为（）A.6 B.7 C.8 D.9 解：ABC、ACB的平分线相交于点 E，MBE=EBC，ECN=ECB，MN BC，EBC=EBC，ECN=ECB，BM=ME，EN=CN，MN=BM+CN，BM+CN=9，MN=9 考查知识点：平行+平分，必有等腰三角形 10.如图，AD是ABC的角平分线，DFAB，垂足为 F，DE=DG，ADG 和AED的面积分别为 50 和 39，则EDF的面积为（B）A.11 B.5.5 C.7 D.3.5 解：作 DM=DE 交 AC于 M，作 DN AC，在AED和AMD 中 AED AMD ADMADESSVV DE=DG，DM=DE，DM=DG，AD是ABC的外角平分线，DF AB，是一个等腰三角形的一个角是则它的底角是或考查知识点三角形的内角相等求即解得等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为腰长为则其底边相等的点是三角形的交点三个内角平分线三边垂直平分线三条中线三条学习必备 欢迎下载 DF=DN，在 RtDEF和 RtDMN 中，RtDEF RtDMN（HL），ADG 和AED的面积分别为 50 和 39，ADMADGMDGSSSVVV=50-39=11 MDGDEFDNMSSSVVV21=2111=5.5 考查知识点：角平分线上的点到角两边的距离相等及三角形的全等 11在 RtABC中，C=90，AC=9，BC=12，则点 C到 AB的距离是（A）A.B.C.D.解：在 RtABC中，AC=9，BC=12，根据勾股定理得：AB=151292222 BCAC 过 C作 CD AB，交 AB于点 D，则由ABCSV=21AC BC=21AB CD，得 CD=ABBCAC.=1512x91=536 考查知识：利用面积相等法 12.如图，在ABC中 ADBC，CEAB，垂足分别为 D、E，AD、CE交于点 H，已知 EH=EB=3，AE=4，则 CH的长是（A）A.1 B.2 C.3 D.4 是一个等腰三角形的一个角是则它的底角是或考查知识点三角形的内角相等求即解得等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为腰长为则其底边相等的点是三角形的交点三个内角平分线三边垂直平分线三条中线三条学习必备 欢迎下载 解：AD BC，EAH+B=90，CE AB，EAH+AHE=90，B=AHE，EH=EB，在AEH 和CEB中，AEH CEB（ASA）CE=AE，EH=EB=3，AE=4，CH=CE-EH=4-3=1 考查知识：利用三角形全等求线段长度.13.如图，在ABC中，AD是中线，AE是角平分线，CFAE于点 F，AB=5,AC=2,则 DF的长为23.解：延长 CF交 AB于点 G，AE 平分BAC，GAF=CAF，AF 垂直 CG，AFG=AFC，在AFG 和AFC 中，是一个等腰三角形的一个角是则它的底角是或考查知识点三角形的内角相等求即解得等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为腰长为则其底边相等的点是三角形的交点三个内角平分线三边垂直平分线三条中线三条学习必备 欢迎下载 AFGAFC（ASA）AC=AG，GF=CF，又点 D 是 BC 的中点，DF 是CBG 的中位线，DF=21BG=21（AB-AG）=21（AB-AC）=23 点评：本题考查了三角形的中位线定理，解答本题的关键是作出辅助线，一般出现既是角平分线又是高的情况，我们就需要寻找等腰三角形 14.如图，在ABC中，AD为BAC的平分线，FE垂直平分 AD，交 AD于 E，交 BC的延长线于 F.求证：CAF=B.解：B=CAF.FE垂直平分 AD，FA=FD，FAD=ADF AD为BAC的平分线，CAD=BAD 又CAF=FAD=CAD，B=ADF-BAD，B=CAF 点评：此题考查了线段垂直平分线的性质、角平分线的定义及三角形的外角等知识点.15.如图，OA、OB表示两条相交的公路，点 M、N是两个工厂，现在要在AOB内建立一个货物中转站 P，使中转站到公路 OA、OB的距离相等，并且到工厂 M、N的距离也相等，用尺规作出货物中转站 P的位置 解：作AOB的角平分线；连接 MN，作 MN的垂直平分线，交 OM于一点，交点就是所求货物中转站的位置 是一个等腰三角形的一个角是则它的底角是或考查知识点三角形的内角相等求即解得等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为腰长为则其底边相等的点是三角形的交点三个内角平分线三边垂直平分线三条中线三条学习必备 欢迎下载 16.如图，在ABC中，C=90，AD平分CAB，交 CB于点 D，过点 D作 DE AB于点 E （1）求证：ACD AED；（2）若B=30，CD=1，求 BD的长 (1)证明：AD平分CAB CAD=EAD DE AB，C=90，ACD=AED=90 又AD=AD，ACD AED （2）解：ACD AED DE=CD=1 B=30，DEB=90，BD=2DE=2 17.如图，ABC中，AB=BC，BE AC于点 E，AD BC于点 D，BAD=45，AD与 BE交于点F，连接 CF （1）求证：BF=2AE；（2）若 CD=，求 AD的长（1）证明：AD BC，BAD=45 ABD=45=BAD AD=BD BE AC CAD+AFE=90 AD BC FBD=BFD=90 是一个等腰三角形的一个角是则它的底角是或考查知识点三角形的内角相等求即解得等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为腰长为则其底边相等的点是三角形的交点三个内角平分线三边垂直平分线三条中线三条学习必备 欢迎下载 又AFE=BFD CAD=FBD 又ADC=BDF=90 ADC BDF AC=BF AB=BC，BE AC AC=2AE BF=2AE (2)解：设 AD=x，则 BD=x AB=BC=2+x ABD是等腰直角三角形 AB=2AD 2+x=2x 解得 x=2+2 即 AD=2+2 18.如图，已知ABC是等边三角形，D、E分别在 BA、BC的延长线上，且 AD=BE.求证：DC=DE 证明：延长 BE至 F，使 EF=BC ABC是等边三角形 B=60，AB=BC AB=BC=EF AD=BE，BD=AB+AD,BF=BE+EF BD=BF BDF是等边三角形 F=60，BD=FD 在BCD和FED中，BC=EF B=F=60 BD=FD BCD FED（SAS）是一个等腰三角形的一个角是则它的底角是或考查知识点三角形的内角相等求即解得等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为腰长为则其底边相等的点是三角形的交点三个内角平分线三边垂直平分线三条中线三条学习必备 欢迎下载 DC=DE 19.如图，在ABC中，AC=BC，ACB=90，D是 AC上一点，AE BD交 BD的延长线于 E，且 AE=21BD，求证：BD是ABC的角平分线.证明：延长 AE、BC交于点 F AE BE BEF=90，又ACF=ACB=90 DBC+AFC=FAC+AFC=90 DBC=FAC 在ACF和BCD中 ACF BCD（ASA）AF=BD 又 AE=21BD AE=EF,即点 E是 AF的中点 AB=BF BD是ABC的角平分线 20.如图，在ABC中，分别以 AC、AB为边，向外作正ACD，正ABE，BD与 AE相交于 F，连接 AF，求证：AF平分DME 是一个等腰三角形的一个角是则它的底角是或考查知识点三角形的内角相等求即解得等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为腰长为则其底边相等的点是三角形的交点三个内角平分线三边垂直平分线三条中线三条学习必备 欢迎下载 证明：过点 A分别作 AM BD,AN CE,分别交 BD，CE于 M，N两点 ABE 和ACD 均为等边三角形，EAB=CAD=60，AD=AC，AB=AE EAC=BAD=60+BAC，EACBAD，AMBDSANCESBADEAC.21.21VV CE=BD AN=AM AF平分DME（在角的内部到角两边距离相等的点在该角的平分线上）21.如图，已知：AB=AC，A=90，AF=BE,BD=DC.求证：FD ED.证明：连接 AD.A=90 AB=AC D 是 BC 的中点 ADBC ADB=90 B=45=CAD AD=BD（直角三角形中，中线等于斜边的一半）且 BE=AF 易证BEDAFD（SAS）BDE=ADF ADE+EDB=ADB=90 ADF+ADE=90 EDFD 是一个等腰三角形的一个角是则它的底角是或考查知识点三角形的内角相等求即解得等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为腰长为则其底边相等的点是三角形的交点三个内角平分线三边垂直平分线三条中线三条学习必备 欢迎下载 如图，在 RtABC中，D，E为斜边 AB上的两点，且 BD=BC，AE=AC，则DCE的大小为_.如图，在等腰ABC中，AB=AC，BAC=50，BAC的平分线与 AB的中垂线交于点 O，点 C沿 EF折叠后与点 O重合，则OEC的度数是_.第二章 不等式(组)不等式基本性质 例：如果 xy，那么下列各式中正确的是（C）Ax-2y-2 B 2x2y C-2x-2y D-x-y 1.系数含有字母的不等式（组）解题思路：先把字母系数当做已知数，解出未知数的取值范围，再根据题意及不等式的性质或解不等式组的方法进行计算【特别注意：“=”一定要考虑，如果满足题意则要取，不满足题意就不取】【自己做】（1）已知关于 x 的方程 3k5x9 的解是非负数，求 k 的取值范围.(2)已知关于 x 的不等式（1-a）x2 的解集为 xa12，则 a 的取值范围是 a1.提示：利用不等式的基本性质三：a-1 0（3）如果不等式组00bxax的解集是 3x5,那么 a=3,b=-5.提示：解得不等式组的解集为：ax-b 而不等式组的解集为：3x0 的解集为（C）是一个等腰三角形的一个角是则它的底角是或考查知识点三角形的内角相等求即解得等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为腰长为则其底边相等的点是三角形的交点三个内角平分线三边垂直平分线三条中线三条学习必备 欢迎下载 Ax0 Bx0 Cx2（2）直线bxkyl11:与直线xkyl22:在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x的不等式xkbxk21的解为x-1 4.一元一次不等式（组）应用题 一件商品的进价是 500 元，标价为 600 元，打折销售后要保证获利不低于 8%，则此商品最多打 9 折.商品销售中需注意的地方：“进价”也叫“成本”；“售价”也叫“标价”；获利是在进价的基础上获利；打折是在售价基础上打折；打几折就是给售价10 x 解：设可以打 x 折 那么（600 10 x-500）500 8%解得 x 9 故答案为：9 某商贩去菜摊买黄瓜，他上午买了30斤，价格为每斤x元；下午，他又买了20斤价格为每斤y元后来他以每斤2yx 元的价格卖完后，结果发现自己赔了钱，其原因是（B）xy Cxy Dxy 解：根据题意得，他买黄瓜每斤平均价是502030yx 以每斤2yx 元的价格卖完后，结果发现自己赔了钱，则 502030yx 2yx 解得：xy 是一个等腰三角形的一个角是则它的底角是或考查知识点三角形的内角相等求即解得等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为腰长为则其底边相等的点是三角形的交点三个内角平分线三边垂直平分线三条中线三条学习必备 欢迎下载 赔钱的原因是 xy（1）某商场文具部的某种毛笔每支售价 25 元，书法练习本每本售价 5 元。该商场为促销制定了如下两种优惠方式：第一种：买一支毛笔附赠一本书法练习本；第二种：按购买金额打九折付款。八年级（2）班的小明想为本班书法兴趣小组购买这种毛笔 10 支，书法练习本 x（x10）本。试问小明应该选择哪一种优惠方式才更省钱？（利用一次函数与不等式（组）的知识进行解答）解：（1）y1=25 10+（x-10）5=5x+200；y2=（25 10+5x）0.9=4.5x+225（2）y1y2时，即 5x+200 4.5x+225，解得：x50；y1=y2时，即 5x+200=4.5x+225，解得：x=50；y1y2时，即 5x+200 4.5x+225，解得 x50（3）甲方案：25 10+50 5=500元；乙方案：（25 10+60 5）0.9=495元；两种方案买：25 10+50 5 0.9=475元，（2）甲、乙两家超市以相同的价格出售同样的商品，为了吸引顾客，各自推出不同的优惠方案：在甲超市累计购买商品超出 300 元之后，超出部分按原价 8 折优惠；在乙超市累计购买商品超出 200 元之后，超出部分按原价 8.5 折优惠设顾客预计累计购物 x 元（x300）（1）请用含 x 的代数式分别表示顾客在两家超市购物所付的费用；（2）顾客到哪家超市购物更优惠？说明你的理由 解：（1）设应付金额为 y 则 在甲超市购物所付的费用是：y=300+0.8（x-300）=0.8x+60 在甲超市购物所付的费用是：y=200+0.85（x-200）=0.85x+30 是一个等腰三角形的一个角是则它的底角是或考查知识点三角形的内角相等求即解得等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为腰长为则其底边相等的点是三角形的交点三个内角平分线三边垂直平分线三条中线三条学习必备 欢迎下载(2)当 0.8x+600.85x+30时，解得 x600，而 x300 300 x600 即顾客购物超过 300 元且不满 600 元时，到乙超市更优惠；当 0.8x+60=0.85x+30时，解得 x=600 当顾客购物600 元时，到两家超市所付费用相同；当 0.8x+60 0.85x+30时，解得 x600 当顾客购物超过600 元时，到甲超市更优惠；（3）去年 6 月份广州市某果农收获荔枝 30 吨，香蕉 13 吨，现计划租用甲、乙两种货车共10 辆将这批水果全部运往深圳，已知甲货车可装荔枝 4 吨和香蕉 1 吨。乙种货车可装荔枝、香蕉各 2 吨：该果农安排甲、乙两种货车时有几种方案？请你帮助设计出来；若甲种货车每辆要付出运输费 2000 元。乙种货车每辆要付出运输费 1300 元，则该果农应选择哪种方案使运费最少？最少是多少？解：（1）设安排甲种货车 x 辆，则安排乙种货车 10-x 辆，由题意得 解得 5x7 x 是整数 x 取 5、6、7 因此，安排甲、乙两种货车有三种方案：方案 1：甲种货车 5 辆，乙种货车 5 辆；方案 2：甲种货车 6 辆，乙种货车 4 辆；方案 3：甲种货车 7 辆，乙种货车 3 辆.(2)方案 1 需要运费：20005+13005=16500（元）方案 2 需要运费：20006+13004=17200（元）方案 3 需要运费：20007+13003=17900（元）该果农应选择方案 1 运费最少，最少运费是 16500 元.（4）某工厂计划为震区生产A，B两种型号的学生桌椅500套，以解决1250名学生的学习问题，一套A型桌椅（一桌两椅）需木料05m3，一套B型桌椅（一桌三椅）需木料07m3，工厂现有库存木料302m3 是一个等腰三角形的一个角是则它的底角是或考查知识点三角形的内角相等求即解得等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为腰长为则其底边相等的点是三角形的交点三个内角平分线三边垂直平分线三条中线三条学习必备 欢迎下载 有多少种生产方案?现要把生产的全部桌椅运往震区，已知每套A型桌椅的生产成本为100元，运费2元；每套B型桌椅的生产成本为 120元，运费4元，求总费用y（元）与生产A型桌椅x（套）之间的关系式，并确定总费用最少的方案和最少的总费用（总费用=生产成本+运费）按的方案计算，有没有剩余木料?如果有，请直接写出用剩余木料再生产以上两种型号的桌椅，最多还可以为多少名学生提供桌椅；如果没有，请说明理由 解：（1）设生产 A 型桌椅 x 套，则生产 B 型桌椅（500-x）套，由题意得 解得 240 x250 x 是整数，有 11 种生产方案(2)由题意得 y=（100+2）x+（120+4）（500-x）=-22x+62000(240 x250)-22 0，y 随 x 的增大而减小 当 x=250 时，y 有最小值 当生产 A 型桌椅 250 套、B 型桌椅 250 套时，总费用最少，为-22 250+62000=56500 元（3）有剩余木料，302-(05+0.7)2500.52=8 或 302-(05+0.7)250=23 有以下几种方案：全部做 A型可做 4 套，全部做 B型可做 2 套，一部分做 A型一部分做 B型最多 3 套，比较可知，应选第中方案，故最大值应为 8 最多还可以为 8 名学生提供桌椅.（5）本学期我校开展了课外兴趣小组活动，有很多同学参加了书法兴趣小组。小刚代表兴趣小组的同学去文具店购买毛笔。一个批发兼零售的文具店规定：凡一次购买毛笔 100 枝以上（包括 100 枝），可以按批发价付款；购买 100 枝以下（不包括 100 枝）只能按零售价付款。小刚来到该店购买毛笔，如果给兴趣小组的同学每人购买一枝，那么只能按零售价付款，需 270 元；如果多购买 10 枝，那么可以按批发价付款，同样需 270 元。请问参加书法兴趣小组的同学人数在什么范围内？（3 分）若按批发价购买 10 枝与按零售价购买 9 枝的款相同，那么参加书法兴趣小组的同学有多少人？解：设有 x 人则由题意可得：90 x100 且 x 为整数 设批发价为 m 元，零售价为 n 元 则得到 10m=9n 还有条件得 是一个等腰三角形的一个角是则它的底角是或考查知识点三角形的内角相等求即解得等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为腰长为则其底边相等的点是三角形的交点三个内角平分线三边垂直平分线三条中线三条学习必备 欢迎下载 xm=(x+10)n 10910mnxx 解得 x=90 （6）若干名学生，若干间宿舍，若每间住 4 人将有 20 人无法安排住处；若每间住 8 人，则有一间宿舍的人不空也不满，问学生有多少人？宿舍有几间？解：设宿舍有 x 间，则学生有 4x+20 人，由题意可得：解得：5x7 x 为整数，x=6 学生有 46+20=44（人）答：学生有 44 人，宿舍有 6 间.（7）某工厂用如图甲所示的长方形和正方形纸板，做成如图乙所示的竖式与横式两种长方体形状的无盖纸盒(1)现有正方形纸板 162 张，长方形纸板 340 张 若要做两种纸盒共 l00个，按两种纸盒的生产个数来分，有哪几种生产方案?（2）若有正方形纸板 162 张，长方形纸板a张，做成上述两种纸盒，纸板恰好用完已知306290a，求a的值 解：（1）设生产竖式纸盒 x 个，则生产横式纸盒（100-x）个，由题意得：解得 38x40 有 3 种生产方案，如下：方案 1：生产竖式纸盒 38 个，横式纸盒 62 个；方案 2：生产竖式纸盒 39 个，横式纸盒 61 个；方案 3：生产竖式纸盒 40 个，横式纸盒 60 个.（2）设竖式纸盒 x 个，横式纸盒 y 个，由题意得：解得 648-5y=a 290a306 290648-5y306 是一个等腰三角形的一个角是则它的底角是或考查知识点三角形的内角相等求即解得等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为腰长为则其底边相等的点是三角形的交点三个内角平分线三边垂直平分线三条中线三条学习必备 欢迎下载 解得 68.4 y71.6 y 为整数，y 只能取 69、70、71 对应的 a 的取值为 303、298、293.第三章 图形的平移与旋转 1.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有（C）A4 个 B3 个 C2 个 D1 个 2.在如图所示的单位正方形网格中，ABC 经过平移后得到A1B1C1，已知在 AC 上一点 P（2.4，2）平移后的对应点为 P1，点 P1绕点 O 逆时针旋转 180，得到对应点 P2，则 P2点的坐标为（C）A.(1.4，-1)B.(1.5，2)C.(1.6，1)D.（2.4,1）3.如图所示，DEF是由ABC绕着某点旋转得到的，则这个点的坐标是（0,1）.解：如图，连接 AD、BE，作线段 AD、BE的垂直平分线，两线的交点即为旋转中心 O，其坐标是（0,1）是一个等腰三角形的一个角是则它的底角是或考查知识点三角形的内角相等求即解得等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为腰长为则其底边相等的点是三角形的交点三个内角平分线三边垂直平分线三条中线三条学习必备 欢迎下载 4.如图，在方格纸上，以格点连线为边的三角形叫做格点三角形，请按要求完成下列操作：先将格点ABC 绕 A 点逆时针旋转 90 得到A1B1C1，再将A1B1C1沿直线 B1C1作轴反射得到A2B2C2 5.如图 1，已知：RtABC 和 RtDBE，ABC=DBE=90，AB=CB，DB=EB （1）如图 1，点 D 在ABC 外，点 E 在 AB 边上时，求证：AD=CE，ADCE；（2）若将（1）中的DBE 绕点 B 顺时针旋转，使点 E 在ABC 的内部，如图 2，则（1）中的结论是否仍然成立？请证明；（3）若将（1）中的DBE 绕点 B 顺时针旋转，使点 E 在ABC 的外部，如图 3，请直接写出 AD，CE 的数量关系及位置关系 解：（1）证明：如图图 1 所示，在ABD 和CBE 中，ABDCBE（SAS）AD=CE，BAD=BCE，BCE+BEC=90，AEF=BEC，BAD+AEF=90 是一个等腰三角形的一个角是则它的底角是或考查知识点三角形的内角相等求即解得等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为腰长为则其底边相等的点是三角形的交点三个内角平分线三边垂直平分线三条中线三条学习必备 欢迎下载 AFE=90 ADCE（2）（1）中的结论 AD=CE，ADCE 仍然成立，理由为：证明：如图图 2 所示，ABC=DBE=90 ABC-ABE=DBE-ABE，即ABD=CBE 在ABD 和CBE 中，ABDCBE（SAS）AD=CE，BAD=BCE，BCE+BOC=90，AOF=BOC，BAD+AOF=90 AFE=90 ADCE(3)AD=CE，ADCE，理由为：证明：如图图 3 所示，设 AF 和 BC 相交于点 M ABC=DBE=90 ABC-DBC=DBE-DBC，即ABD=CBE 在ABD 和CBE 中，ABDCBE（SAS）AD=CE，BAD=BCE，BAD+AMB=90，AMB=CMF，BCE+CMF=90 AFC=90 ADCE 6.在 RtABC 中，ACB=90 ，A=30，点 D 是 AB 的中点，DEBC，垂足为点 E，连接 CD 是一个等腰三角形的一个角是则它的底角是或考查知识点三角形的内角相等求即解得等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为腰长为则其底边相等的点是三角形的交点三个内角平分线三边垂直平分线三条中线三条学习必备 欢迎下载（1）如图 1，DE 与 BC 的数量关系是 ；（2）如图 2，若 P 是线段 CB 上一动点（点 P 不与点 B、C 重合），连接 DP，将线段 DP 绕点 D 逆时针旋转 60，得到线段 DF，连接 BF，请猜想 DE、BF、BP 三者之间的数量关系，并证明你的结论；（3）若点 P 是线段 CB 延长线上一动点，按照（2）中的作法，请在图 3 中补全图形，并直接写出 DE、BF、BP 三者之间的数量关系 解：（1）ACB=90，A=30 B=60 点 D 是 AB 的中点，DB=DC,DCB 为等边三角形 DEBC，DE=23BC(2)BF+BP=332DE，理由如下：线段 DP 绕点 D 逆时针旋转 60，得到线段 DF，PDF=60，DP=DF，而CDB=60 CDB-PDB=PDF-PDB，CDP=BDF，在DCP 和DBF 中 DCPDBF（SAS）CP=BF 而 CP=BC-BP BF+BP=BC DE=23BC BC=332DE 是一个等腰三角形的一个角是则它的底角是或考查知识点三角形的内角相等求即解得等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为腰长为则其底边相等的点是三角形的交点三个内角平分线三边垂直平分线三条中线三条学习必备 欢迎下载 BF+BP=332DE（3）如图，与（2）一样可证明DCPDBF CP=BF 而 CP=BC+BP BF-BP=BC BF-BP=332DE 点评：本题考查了全等三角形的判断与性质：判断三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”;全等三角形的对应边相等，也考查了等边三角形的判断与性质以及含 30度的直角三角形三边的关系.第四章 因式分解 因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫分解因式；【由此可见：分解因式”和“因式分解”实质是一样的（是一回事）】；分解因式时一定要分到不能分解为止；如：2yx 不能再分解了；再如：22)4(a还可以分解为22)2()2(aa 分解因式的方法：提公因式法；公式法（平法差公式 完全平方公式）十字相乘法.十字相乘法：简单的概括为：把多项式中第一个和第三个数竖着写成相乘的形式，然后再十字相乘，相加，要等于多项式里中间的那个数，最后横着分解出来即可（如上图）1.下列从左边到右边的变形，是因式分解的是:（D）A.12a2b=3a4ab B.（x+3）（x3）=x29 C.4x2+8x1=4x（x+2）1 D.41432xxxx 2.下列各组代数式中没有公因式的是 （B）A4a2bc 与 8abc2 Ba3b2+1与 a2b31 C.b(a 2b)2与 a（2ba）2 D.x+1与 x21 3.将x43x2+x 提取公因式x 后，剩下的因式是)13(3xxx 是一个等腰三角形的一个角是则它的底角是或考查知识点三角形的内角相等求即解得等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为腰长为则其底边相等的点是三角形的交点三个内角平分线三边垂直平分线三条中线三条学习必备 欢迎下载 4.若 4a4ka2b+25b2是一个完全平方式，则 k=20【提示：完全平方式有两个，中间是2ab】5.若一个正方形的面积是 9m2+24mn+16n2，则这个正方形的边长是nm43 6.已知x2+y24x+6y+13=0，则x=2，y=-3.提示：0)3()2(22yx 7.若0342 xx，那么51232 xx的值为 4 提示：由0342 xx得342 xx，45)4(3512322xxxx 8.已知 11921=2499，则 1192132498212等于 212.提示：11921212-2498212=2499212-2498212=212（2499-2498）=212 9.多项式mxx 42可以分解为)7)(3(xx，则m的值为（C）A.3 B.3 C.21 D.21 10.若)32)(32)(94(81)2(2xxxxn，则 n 等于（B）A2 B4 C6 D8 11.分解因式（我只写了答案，在答卷子时一定要写过程）22241aa=2)1(a2)1(a 228168ayaxyax=2)(8yxa（1）9x3+6x2x=2)13(xx a48a2+16=22)2()2(aa 4233ayax=)(322yxyxa 4)()(42baba=2)2(ba 12.计算 2010200820092=1120092009)12009()12009(2009222 20142+1682014=2014282014+16=2)42014(=20102=4040100 99921002998=19954)1000999)(1000999(41000999)21000()21000(99922213（1）利用因式分解说明：127636 能被 210 整除 是一个等腰三角形的一个角是则它的底角是或考查知识点三角形的内角相等求即解得等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为腰长为则其底边相等的点是三角形的交点三个内角平分线三边垂直平分线三条中线三条学习必备 欢迎下载 证明：1111122121212212141276.2106.6.356.35)16(666.666636 127636 能被 210 整除（2）若cba、是ABC的三边，且bcacabcba222，试探索ABC 的形状，并说明理由。解：bcacabcba222=2)(2)(222bcacabcba=0)2()2()2(222222cbcbcacababa=0)()()(222cbcaba 解得：a=b,a=c,b=c a=b=c ABC 为等边三角形 14.已知多项式(a2+ka+25)b2，在给定 k的值的条件下可以因式分解（1）写出常数 k 可能给定的值；【答案】k=10 （2）针对其中一个给定的 k 值，写出因式分解的过程 解：当 k=10 时，原式=22)5(ba=)5)(5(baba 15.两位同学将一个二次三项式分解因式，一位同学因看错了一次项系数而分解成 2（x1）（x9），另一位同学因看错了常数项而分解成 2（x2）（x4），请将原多项式分解因式 解：因看错一次项，分解为，所以二次项和常数项对；因看错常数项，分解为 所以二次项和一次项对 所以原多项式为：=16.仔细阅读下面例题，解答问题：例题：已知二次三项式 x24x+m有一个因式是（x+3），求另一个因式以及 m的值 解：设另一个因式为（x+n），得 x24x+m=（x+3）（x+n）则 x24x+m=x2+（n+3）x+3n 是一个等腰三角形的一个角是则它的底角是或考查知识点三角形的内角相等求即解得等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为腰长为则其底边相等的点是三角形的交点三个内角平分线三边垂直平分线三条中线三条学习必备 欢迎下载 解得：n=7，m=21 另一个因式为（x7），m的值为21 问题：仿照以上方法解答下面问题：已知二次三项式 2x2+3xk 有一个因式是（2x5），求另一个因式以及 k 的值 解：设另一个因式为（x+m），得 2x2+3xk=（2x5）（x+m）=2x+(2m-5)x-5m 2m-5=3 -5m=-k 解得 m=4,k=20 另一个因式为：（x+4）17.根据条件，求下列代数式的值：（1）若 x（y1）y（x1）=4，求的值；解：x（y1）y（x1）=4 xy-x-xy+y=4 y-x=4 162)(222xxyyxy xyyx21622 82216222xyxyxyyx（2）若 a+b=5，ab=3，求代数式 a3b2a2b2+ab3的值（3）利用“配方法”分解因式：a26a+8.解：原式=)2)(4(1)3(19622aaaaa（4）若 a+b=5，ab=6，求：a4+b4的值.解：256x4)125()(42)(4)(2222222222244ababbabababa 第五章 分式及分式方程 分母上含有字母的式子叫分式（不要约分，直接进行判断）如：xx25也是分式 分式的基本性质：给分式的分子和分母都乘以（或除以）同一个不为零的整式，分式的值不变.分式有意义：使分母不为零，分子有意义（主要是分子中含有平方根的情况）如：2154xx则 4x-50 x-20 是一个等腰三角形的一个角是则它的底角是或考查知识点三角形的内角相等求即解得等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为腰长为则其底边相等的点是三角形的交点三个内角平分线三边垂直平分线三条中线三条学习必备 欢迎下载 解得 x45且 x2 分式值为零：分子为零，且分母不为零；最简分式：分子分母不能再进行约分的分式叫最简分式 分母中含有未知数的等式叫分式方程；解分式方程时，解完后一定要检验，若算出的解使公分母为零，则该解为分式方程的增根；若算出的解使公分母不为零，则该解为分式方程的根.增根：使公分母为零的根（或解）1.已知有理式：4x，a4，1x-y，3x4，12 x2，1a+4 其中分式有（B）A2 个 B.3个 C.4个 D.5个 在盒子里放有三张分别写有整式a+1、a+2、2的卡片，从中随机抽取两张卡片，把两张卡片上的整式分别作为分子和分母，则能组成分式的概率是（C）A.61 B31 C32 D43 2.使分式2xx有意义的 x 取值范围是（D）A.0 x B.2x C.2x D.2x 若 y 与 x 的函数关系式是 y=12x，则自变量 x 取值范围1x.3.若分式yxyx中的 x、y 的值都变为原来的 3 倍，则分式的值 （A）A.不变 B.是原来的 3 倍 C.是原来的31 D.是原来的61 4.若将