2023年必修2初中数学第三章直线与方程知识点总结归纳.pdf
直线与方程知识点 一、基础知识回顾 1.倾斜角与斜率 知识点 1：当直线l与x轴相交时，x轴正方向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角.注意:当直线与x轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为 0 度.知识点 2：直线的倾斜角(90)的正切值叫做这条直线的斜率.记为tank.注意:当直线的倾斜角90时，直线的斜率是不存在的 知识点 3：已知直线上两点111222(,),(,)P x yP xy12()xx的直线的斜率公式：2121yykxx.知识点 4：两条直线有斜率且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，则它们平行，即12/ll1k=2k 知识点 5：两条直线都有斜率，如果它们互相垂直，则它们的斜率互为负倒数；反之，如果它们的斜率互为负倒数，则它们互相垂直.即12ll121kk 121k k 注意：11212/llkk或12,l l的斜率都不存在且不重合.212121llk k 或10k 且2l的斜率不存在，或20k 且1l的斜率不存在.2.直 线 的 方 程 知识点 6：已知直线l经过点00(,)P xy，且斜率为k，则方程00()yyk xx为直线的点斜式方程.注意：x轴所在直线的方程是 ，y轴所在直线的方程是 .经过点000(,)P xy且平行于x轴（即垂直于y轴）的直线方程是 .经过点000(,)P xy且平行于y轴（即垂直于x轴）的直线方程是 .知识点 7：直线l与y轴交点(0,)b的纵坐标b叫做直线l在y轴上的截距.直线ykxb叫做直线的斜截式方程.注意：截距b就是函数图象与y轴交点的纵坐标.知识点 8：已知直线上两点112222(,),(,)P x xP xy且1212(,)xxyy，则通过这两点的直线方程为1112122121(,)yyxxxxyyyyxx，由于这个直线方程由两点确定，叫做直线的两点式方程.知识点 9：已知直线l与x轴的交点为(,0)A a，与y轴的交点为(0,)Bb，其中0,0ab，则直线l的方程为1byax，叫做直线的截距式方程.注意：直线与x轴交点（a,0）的横坐标a叫做直线在x轴上的截距；直线与 y 轴交点（0,b）的纵坐标b叫做直线在y轴上的截距.知识点 10：关于,x y的二元一次方程0AxByC（A，B不同时为 0）叫做直线的一般式方程.注意：（1）直线一般式能表示平面内的任何一条直线（2）点00(,)xy在直线0AxByC 上00AxBy0C 3、直线的交点坐标与距离 知识点 11：两直线的交点问题.一般地，将两条直线的方程联立，得方程组11122200AxB yCA xB yC，若方程组有唯一解，则两直线相交；若方程组有无数组解，则两直线重合；若方程组无解，则两直线平行.知识点 12：已知平面上两点111222(,),(,)P x yP xy，则22122121()()PPxxyy.特殊地：(,)P x y与原点的距离为22OPxy.知识点 13：已知点00(,)P xy和直线:0l AxByC，则点P到直线l的距离为：0022AxByCdAB.知识点 14：已知两条平行线直线1l10AxByC，2:l20AxByC，则1l与2l的距离为1222CCdAB 知识点 15：巧妙假设直线方程：（1）与10AxByC平行的直线可以假设成：20AxByC（C1和 C2不相等）（2）与0AxByC 垂直的直线可以假设成：Bx-Ay+m=0（3）过1l:A1x+B1y+C1=0 和2:lA2x+B2y+C2=0 交点的直线可以假设成A1x+B1y+C1+(A2x+B2y+C2)=0（该方程不包括直线2:l)知识点 16：1l:A1x+B1y+C1=0 和2:lA2x+B2y+C2=0 垂直等价于：A1A2+B1B2=0(A1和 B1不全为零；A2和 B2不全为零；)知识点 17：中点坐标公式:1122(,),(,)A x yB xy,则 AB的中点(,)M x y,则2121,22xxyyxy.例题解析 例 1.在第一象限的ABC中，(1,1),(5,1)AB，60,45OOAB .求 AB边的方程；AC和BC所在直线的方程.例 2.点(3,9)关于直线3100 xy对称的点的坐标是（）.A(1,3)B.(17,9)C(1,3)D(17,9)思考：（1）点关于点的对称点如何求？（2）线关于点的对称线如何求？（3）线关于线的对称线如何求？例 3.求经过直线3260 xy 和2570 xy 的交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程.线的斜率记为注意当直线的倾斜角时直线的斜率是不存在的知识点已知率如果它们互相垂直则它们的斜率互为负倒数反之如果它们的斜率互为经过点且平行于轴即垂直于轴的直线方程是经过点且平行于轴即垂直于例 4方程(1)210()axyaaR 所表示的直线（）.A恒过定点(2,3)B恒过定点(2,3)C恒过点(2,3)和(2,3)D都是平行直线 例 5已知直线12:220,:1lxayalaxy a0.若12/ll，试求a的值；若12ll，试求a的值 例 6.已知两直线1:40laxby，2:(1)laxy0b，求分别满足下列条件的,a b的值.直线1l过点(3,1)，并且直线1l与直线2l垂直；直线1l与直线2l平行，并且坐标原点到12,l l的距离相等.例 7.过点(4,2)P作直线l分别交x轴、y轴正半轴于,A B两点，当AOB面积最小时，求直线l的方程.例 8 点 P(x,y)在 x+y-4=0上，则 x2+y2最小值为多少？巩固练习：1已知点(3,)m到直线340 xy 的距离等于 1，则m（）.A3 B3 C33 D3或33 2已知(3,)Pa在过(2,1)M和(3,4)N 的直线上，则a .3将直线3(2)yx 绕点(2,0)按顺时针方向旋转30o，所得的直线方程是 .4两平行直线12,l l分别过点1(1,0)P和(0,5)P，若1l与2l的距离为 5，求两直线的方程；设1l与2l之间的距离是d，求d的取值范围。线的斜率记为注意当直线的倾斜角时直线的斜率是不存在的知识点已知率如果它们互相垂直则它们的斜率互为负倒数反之如果它们的斜率互为经过点且平行于轴即垂直于轴的直线方程是经过点且平行于轴即垂直于 5.设直线l的方程为(2)3mxym,根据下列条件分别求m的值.l在x轴上的截距为2；斜率为1.达标测试 一、选择题（每题 3 分，共 36 分）1直线 x+6y+2=0 在 x 轴和 y 轴上的截距分别是（）A.213,B.213,C.123,D.2，3 2直线 3x+y+1=0 和直线 6x+2y+1=0 的位置关系是（）A.重合 B.平行 C.垂直 D.相交但不垂直 3直线过点(3,2)且在两坐标轴上的截距相等，则这直线方程为（）（A）2x3y0;（B）xy50;（C）2x3y0 或 xy50 （D）xy5 或 xy50 4直线 x=3 的倾斜角是（）A.0 B.2 C.D.不存在 5圆 x2+y2+4x=0 的圆心坐标和半径分别是（）A.(2,0),2 B.(2,0),4 C.(2,0),2 D.(2,0),4 6点（1，2）关于直线 y=x 1 的对称点的坐标是 （A）（3，2）（B）（3，2）（C）（3，2）（D）（3，2）7点（2，1）到直线 3x 4y+2=0 的距离是 （A）54 （B）45 （C）254 （D）425 8直线 x y 3=0 的倾斜角是（）（A）30（B）45（C）60（D）90 9与直线 l：3x4y50 关于 x 轴对称的直线的方程为（A）3x4y50 （B）3x4y50（C）3x4y50 （D）3x4y50 10设 a、b、c 分别为ABC 中 A、B、C 对边的边长，则直线 xsinAayc0 与直线 bxysinBsinC0 的位置关系（）（A）平行；（B）重合；（C）垂直；（D）相交但不垂直 线的斜率记为注意当直线的倾斜角时直线的斜率是不存在的知识点已知率如果它们互相垂直则它们的斜率互为负倒数反之如果它们的斜率互为经过点且平行于轴即垂直于轴的直线方程是经过点且平行于轴即垂直于11直线 l 沿 x 轴负方向平移 3 个单位，再沿 y 轴正方向平 1 个单位后，又回到原来位置，那么 l 的斜率为（）（A）;31 （B）3;（C）;31 （D）3 12直线,31kykx当k变动时，所有直线都通过定点（）（A）（0，0）（B）（0，1）（C）（3，1）（D）（2，1）二、填空题（每题 4 分，共 16 分）13直线过原点且倾角的正弦值是54，则直线方程为 14直线 mxny1（mn0）与两坐标轴围成的三角形面积为 15如果三条直线 mx+y+3=0,x y 2=0,2x y+2=0 不能成为一个三角形三边所在的直线，那么m 的一个值是_.16已知两条直线 l1：yx；l2：axy0（aR），当两直线夹角在（0，12）变动时，则a 的取值范围为 三、解答题（共 48 分）17.ABC中，点 A,1,4 AB 的中点为 M,2,3重心为 P,2,4求边 BC 的长（12 分）18若Na，又三点 A(a，0)，B（0，4a），C（1，3）共线，求a的值（12 分）20若直线062 yax和直线0)1()1(2ayaax垂直，求a的值（12 分）21如图，在ABC 中，C=90O，P 为三角形内的一点，且PCAPBCPABSSS，求证：PA2+PB2=5 PC2（12 分）线的斜率记为注意当直线的倾斜角时直线的斜率是不存在的知识点已知率如果它们互相垂直则它们的斜率互为负倒数反之如果它们的斜率互为经过点且平行于轴即垂直于轴的直线方程是经过点且平行于轴即垂直于
