2023年必修一高一数学压轴题全国汇编1附超详细解析答案.pdf

22（本小题满分 12 分）已知x满足不等式211222(log)7log30 xx，求22()loglog42xxf x 的最大值与最小值及相应x值 22.解：由211222(log)7log30 xx，1213log2x ，21log32x，而2222()loglog(log2)(log1)42xxf xxx 222(log)3log2xx2231(log)24x，当23log2x 时min1()4f x 此时x=322=2 2，当2log3x 时max91()244f x ，此时8x 21（14 分）已知定义域为R的函数2()12xxaf x 是奇函数 （1）求a值；（2）判断并证明该函数在定义域R上的单调性；（3）若对任意的tR，不等式22(2)(2)0f ttftk恒成立，求实数k的取值范围；21.解：（1）由题设，需12(0)0,1afa ，1 21 2()xxf x 经验证，()f x为奇函数，1a-（2 分）（2）减函数-（3 分）证明：任取121221,0Rxx xxxxx pf，由（1）122121122(22)1 21 2211 21 2(1 2)(1 2)()()xxxxxxxxyffxx 12121212,022,220,(12)(12)0 xxxxxxxxQppppf 0y p 该函数在定义域R上是减函数-（7 分）（3）由22(2)(2)0f ttftk得22(2)(2)f ttftk，()f xQ是奇函数 22(2)(2)f ttf kt，由（2），()f x是减函数 原问题转化为2222ttktf，即2320ttk f对任意tR恒成立-（10 分）4 120,k p 得13k 即为所求-(14 分)20、（本小题满分 10 分）已知定义在区间(1,1)上的函数2()1axbf xx为奇函数,且12()25f.(1)求实数a,b的值；(2)用定义证明:函数()f x在区间(1,1)上是增函数；(3)解关于t的不等式(1)()0f tf t.20、解：(1)由2()1axbf xx为奇函数,且 2122()1251()2abf 则21122()()12251()2abff ，解得：1,0ab。2()1xf xx(2)证明：在区间(1,1)上任取12,x x，令1211xx,221212211222221212(1)(1)()()11(1)(1)xxxxxxf xf xxxxx12122212()(1)(1)(1)xxx xxx Q 1211xx 120 xx,1210 x x,21(1)0 x,22(1)0 x 12()()0f xf x 即12()()f xf x 故函数()f x在区间(1,1)上是增函数.(3)Q(1)()0f tf t ()(1)(1)f tf tft Q 函数()f x在区间(1,1)上是增函数 111111tttt 102t 故关于t的不等式的解集为1(0,)2.21(14 分)定义在 R上的函数 f(x)对任意实数 a,bR,均有 f(ab)=f(a)+f(b)成立，且当 x1 时,f(x)1，所以 f(k)x 所以 kxx,f(kx)f(x)对 xR+恒成立，所以 f(x)为 R+上的单调减函数 法二：设 2121,0,xxxx且令1,12kkxx则)()()()()()()()(212121kfxfkfxfkxfxfxfxf 有题知，f(k)0)()(0)()(2121xfxfxfxf即 函数分减函数分证明任取由该函数在定义域上是减函数分由得是奇函数于的不等式解由为奇函数且则解得证明在区间上任取令即故函数在区间一个大于的常数则因为所以且所以对恒成立所以为上的单调减函数法二所以 f(x)在（0，+）上为减函数 法三：设 2121,0,xxxx且)()()()()(12121121xxfxxxfxfxfxf 0)(11212xxfxx)()(0)()(2121xfxfxfxf即 所以 f(x)在（0，+）上为减函数 22、（本小题满分12 分）已知定义在1，4 上的函数 f(x)x2-2bx+4b(b 1)，(I)求 f(x)的最小值 g(b)；(II)求 g(b)的最大值 M。22.解：f(x)=(x-b)2-b2+4b的对称轴为直线 xb（b 1），(I)当 1b4 时，g(b)f(b)-b2+4b;当 b4 时，g(b)f(4)16-314b，综上所述，f(x)的最小值 g(b)2 (14)4 3116 (4)4bbbbb 。(II)当 1b4 时，g(b)-b2+4b-(b-18)2+164，当 b1 时，M g(1)-34；当 b4 时，g(b)16-314b是减函数，g(b)16-3144-15-34，综上所述，g(b)的最大值 M=-34。22、（12 分）设函数()log(3)(0,1)af xxa aa且，当点(,)P x y是函数()yf x图象上的点时，点(2,)Q xay是函数()yg x图象上的点.（1）写出函数()yg x的解析式；（2）若当2,3xaa时，恒有|()()|1f xg x，试确定a的取值范围；（3）把()yg x的 图 象 向 左 平 移a个 单 位 得 到()yh x的 图 象，函 数1()2 2()()()2h xh xh xF xaaa，（0,1aa且）在1,44的最大值为54，求a的值.22、解：（1）设点Q的坐标为(,)x y，则2,xxa yy，即 2,xxa yy。点(,)P x y在函数log(3)ayxa图象上 log(23)ayxaa，即1logayxa1()logag xxa(2)由题意2,3xaa，则3(2)3220 xaaaa，110(2)xaaa.函数分减函数分证明任取由该函数在定义域上是减函数分由得是奇函数于的不等式解由为奇函数且则解得证明在区间上任取令即故函数在区间一个大于的常数则因为所以且所以对恒成立所以为上的单调减函数法二又0a，且1a，01a 221|()()|log(3)log|log(43)|aaaf xg xxaxaxaxa()()1f xg x 221log(43)1axaxa剟 01a 22aa，则22()43r xxaxa在2,3aa上为增函数，函数22()log(43)au xxaxa在2,3aa上为减函数，从而max()(2)log(44)au xu aa。min()(3)log(96)au xu aa log(96)101,log(44)1aaaaa 又则957012a （3）由（1）知1()logag xxa，而把()yg x的图象向左平移a个单位得到()yh x的图象，则1()loglogaah xxx，1 log2 2loglog1()2 2()()22()222aaaxxxh xh xh xF xaaaaaaaxa xx 即22()(21)F xa xax，又0,1aa且，()F x的对称轴为2212axa，又在1,44的最大值为54，令221142aa 242026()26aaaa 舍去 或；此时()F x在1,44上递减，()F x的最大值为2255111()(21)81604(26,)441644Faaaaa ，此时无解；令22211148210422aaaaa ，又0,1aa且，102a；此时()F x在1,44上递增，()F x的最大值为214 255(4)1684444Faaa ，又102a，无解；令222262642021141182104242aaaaaaaaa 或剟剟剠且0,1aa且12612aa且剟，此时()F x的最大值为222242(21)(21)2155()44242aaaFaaaa 222(21)541044aaaa ，解 得：25a ，又12612aa且剟，25a ；综上，a的值为25.10、已知定义在R上的偶函数()f x在0,)上单调递增，且(2)0f，则不等式2(log)0fx 函数分减函数分证明任取由该函数在定义域上是减函数分由得是奇函数于的不等式解由为奇函数且则解得证明在区间上任取令即故函数在区间一个大于的常数则因为所以且所以对恒成立所以为上的单调减函数法二的解集为（）A1(,4)4 B1(,)(4,)4U C1(0,)(4,)4U D1(,)(0,4)4U 11、设1(0,)2a，则1212,log,aaa a之间的大小关系是（）A1212logaaaa B1212logaaaa C1212logaaaa D1212logaaaa 12、函数2()(0)f xaxbxc a，对任意的非常实数,a b c m n p，关于x的方程2()()0m f xnf xp 的解集不可能是（）A1,2 B1,4 C1,2,3,4 D1,4,16,64 21、（12 分）设函数124()lg()3xxaf xaR.（1）当2a 时，求()f x的定义域；（2）如果(,1)x 时，()f x有意义，试确定a的取值范围；（3）如果01a，求证：当0 x 时，有2()(2)f xfx.21、解：（1）当2a 时，函数()f x有意义，则12240122403xxxx ，令2xt 不等式化为：2121012ttt ，转化为12102xx ，此时函数()f x的定义域为(,0)（2）当1x 时，()f x有意义，则124121101240()3442xxxxxxxxaaa ，令11()42xxy 在(,1)x 上单调递增，6y ，则有6a；（3）当01,0ax 时，22222(124)1241242()(2)2loglglg333(124)xxxxxxxxaaaf xfxa，设2xt，0 x，1t 且01a，则 2224232(124)3(124)(3)2(22)2(1)xxxxaataaattat gg 4223222222(3)2(22)2(1)(1)(1)(1)0taaattatattatt 2()(2)f xfx 22（本题满分 14 分）已知幂函数(2)(1)()()kkf xxkz满足(2)(3)ff。（1）求整数 k 的值，并写出相应的函数()f x的解析式；（2）（2）对 于（1）中 的 函 数()f x，试 判 断 是 否 存 在 正 数m，使 函 数()1()(21)g xmf xmx，在区间0,1上的最大值为 5。若存在，求出 m的值；若不函数分减函数分证明任取由该函数在定义域上是减函数分由得是奇函数于的不等式解由为奇函数且则解得证明在区间上任取令即故函数在区间一个大于的常数则因为所以且所以对恒成立所以为上的单调减函数法二存在，请说明理由。22解:（）23ffQ，21012,kkk ,0kZk Q或1k；当0k 时，2f xx，当1k 时，2f xx；0k 或1k 时，2f xx（）2121211g xmfxmxmxmx Q，0m Q，g xQ开口方向向下，对称轴2111122mxmm 又 01,gg xQ在区间，上的最大值为，111022152 61522mmgmm 562m 22（本题满分 14 分）已知函数1()(0 xf xaa且1)a （）若函数()yf x的图象经过 4,3P点，求a的值；（）当a变化时，比较1(lg)(2.1)100ff 与大小，并写出比较过程；（）若(lg)100fa，求a的值 22.（）函数()yf x的图象经过(3,4)P 3-14a，即24a.又0a，所以2a.（）当1a 时，1(lg)(2.1)100ff;当01a 时，1(lg)(2.1)100ff 因为，31(lg)(2)100ffa ，3.1(2.1)fa 当1a 时，xya在(,)上为增函数，33.1，33.1aa.即1(lg)(2.1)100ff.当01a 时，xya在(,)上为减函数，33.1，33.1aa.即1(lg)(2.1)100ff.（）由(lg)100fa 知，lg1100aa.所以，lg1lg2aa（或lg1log 100aa ）.(lg1)lg2aa.2lglg20aa，函数分减函数分证明任取由该函数在定义域上是减函数分由得是奇函数于的不等式解由为奇函数且则解得证明在区间上任取令即故函数在区间一个大于的常数则因为所以且所以对恒成立所以为上的单调减函数法二lg1a 或 lg2a，所以，110a 或 100a.20（本题 16 分）已知函数9()log(91)xf xkx(kR)是偶函数(1)求k的值；(2)若函数()yf x的图象与直线12yxb没有交点，求b的取值范围；(3)设94()log33xh xaa，若函数()f x与()h x的图象有且只有一个公共点，求实数a的取值范围 20(1)因为()yf x为偶函数，所以,()()xfxfx R，即 99log(91)log(91)xxkxkx 对于x R恒成立.于是9999912log(91)log(91)loglog(91)9xxxxxkxx 恒成立,而x不恒为零，所以12k .-4(2)由题意知方程911log(91)22xxxb 即方程9log(91)xxb 无解.令9()log(91)xg xx，则函数()yg x的图象与直线yb无交点.因为99911()loglog199xxxg x 任取1x、2x R，且12xx，则12099xx，从而121199xx.于是129911log1log199xx，即12()()g xg x，所以()g x在,上是单调减函数.因为1119x，所以91()log109xg x.所以b的取值范围是,0.-6 (3)由题意知方程143333xxxaa 有且只有一个实数根 令30 xt，则关于t的方程24(1)103atat(记为(*)有且只有一个正根.若a=1，则34t ，不合,舍去；若1a，则方程(*)的两根异号或有两相等正跟.函数分减函数分证明任取由该函数在定义域上是减函数分由得是奇函数于的不等式解由为奇函数且则解得证明在区间上任取令即故函数在区间一个大于的常数则因为所以且所以对恒成立所以为上的单调减函数法二由304a 或3；但3142at ，不合，舍去；而132at ；方程(*)的两根异号 1101.aa 综上所述，实数a的取值范围是 3(1,)U -6 10.若函数2()2f xxx ，则对任意实数12,x x，下列不等式总成立的是（C ）A12()2xxf12()()2f xf x B 12()2xxf12()()2f xf x C12()2xxf12()()2f xf x D 12()2xxf12()()2f xf x 18.（本小题满分 12 分）二次函数()yf x的图象经过三点(3,7),(5,7),(2,8)ABC.（1）求函数()yf x的解析式（2）求函数()yf x在区间,1t t 上的最大值和最小值 18(1)解,A B两点纵坐标相同故可令()7(3)(5)f xa xx 即()(3)(5)7f xa xx 将(2,8)C代入上式可得1a 2()(3)(5)728f xxxxx 4 分(2)由2()28f xxx可知对称轴1x 1）当1 1t 即0t 时()yf x在区间,1t t 上为减函数 2max()()28f xf ttt 22min()(1)(1)2(1)89f xf tttt 6 2）当1t 时，()yf x在区间,1t t 上为增函数22max()(1)(1)2(1)89f xf tttt 2min()()28f xf ttt 8 分 3）当11 10tt 即102t 时 2max()()28f xf ttt min()(1)9f xf 10 分 4）当011 1tt 即112t 时 22max()(1)(1)2(1)89f xf tttt min()(1)9f xf 12 分 函数分减函数分证明任取由该函数在定义域上是减函数分由得是奇函数于的不等式解由为奇函数且则解得证明在区间上任取令即故函数在区间一个大于的常数则因为所以且所以对恒成立所以为上的单调减函数法二