2023年数学第三章知识点总结归纳小结及典型习题.pdf
学习必备 欢迎下载 第三章 直线与方程 1、直线倾斜角的概念：当直线 l与 x 轴相交时,取 x 轴作为基准,x 轴正向与直线 l 向上方向之间所成的角叫做直线 l 的倾斜角.特别地,当直线 l 与 x 轴平行或重合时,规定=0.2、倾斜角的取值范围：0180.当直线 l 与 x 轴垂直时,=90.3、直线的斜率:一条直线的倾斜角(90)的正切值叫做这条直线的斜率,常用小写字母 k 表示,也就是 k=tan。当直线 l与 x 轴平行或重合时,=0,k=tan0=0;当直线 l与 x 轴垂直时,=90,k 不存在.当90,0时，0k，k 随着的增大而增大；当180,90时，0k，k 随着的增大而增大；当90时，k不存在。由此可知,一条直线 l 的倾斜角一定存在,但是斜率 k 不一定存在.过两点),(),(222111yxPyxP、的直线的斜率公式：)(211212xxxxyyk 注意下面四点：(1)当21xx时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为 90；(2)k 与21PP、的顺序无关；(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得；(4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率，再求倾斜角。三点共线的条件：如果所给三点中任意两点的连线都有斜率且都相等，那么这三点共线；反之，三点共线，任意两点连线的斜率不一定相等。解决此类问题要先考虑斜率是否存在。4、直线方程（注意各种直线方程之间的转化）直线的点斜式方程：)(00 xxkyy，k为直线的斜率，且过点00,yx，适用条件是不垂直 x 轴。注意：当直线的斜率为 0时，k=0，直线的方程是0yy。当直线的斜率为 90时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示但因 l上每一点的横坐标都等于 x0，所以它的方程是 x=x0。斜截式：bkxy，k 为直线的斜率，直线在 y 轴上的截距为 b 两点式：112121yyxxyyxx（1212,xxyy）直线两点 11,yx，22,yx 截矩式：1xyab，其中直线l与x轴交于点(,0)a,与y轴交于点(0,)b,即l与x轴、y轴的截距分别为,a b。一般式：0CByAx（A，B不全为 0）注意：在平时解题或高考解题时，所求出的直线方程，一般要求写成斜截式或一般式。各式的适用范围 特殊的方程如：学习必备 欢迎下载 平行于 x 轴的直线：by（b 为常数）；平行于 y 轴的直线：ax（a 为常数）；5、直线系方程：即具有某一共同性质的直线（1）平行直线系 平 行 于 已 知 直 线0000CyBxA（00,BA是 不 全 为 0 的 常 数）的 直 线 系：000CyBxA（C为常数），所以平行于已知直线0000CyBxA的直线方程可设：000,0CCCyBxA 垂直于已知直线0000CyBxA（00,BA是不全为 0 的常数）的直线方程可设：000CyAxB（C为常数）（2）过定点的直线系 斜率为 k的直线系：00 xxkyy，直线过定点00,yx；过两条直线0:1111CyBxAl，0:2222CyBxAl的交点的直线系方程为 0222111CyBxACyBxA（为参数），其中直线2l不在直线系中。6、两直线平行与垂直（1）当111:bxkyl，222:bxkyl时，212121,/bbkkll；12121kkll 注意：利用斜率判断直线的平行与垂直时，要注意斜率的存在与否。（2）当0:1111CyBxAl，0:2222CyBxAl时，0B0/1221122121CBCBABAll且；0212121BBAAll 例：设直线1l经过点 A(m，1)、B(3，4)，直线2l经过点 C(1，m)、D(1，m+1)，当(1)1l/2l(2)1l2l时，分别求出 m 的值 7、两条直线的交点 当0:1111CyBxAl 0:2222CyBxAl相交时，交点坐标是方程组00222111CyBxACyBxA的一组解。方程组无解21/ll；方程组有无数解1l与2l重合。8.中点坐标公式：已知两点 P1(x1，y1)、P2(x2，y2)，则线段的中点 M 坐标为(221xx，221yy)例：已知点 A(7，4)、B(5,6),求线段 AB的垂直平分线的方程。9、两 点 间 距 离 公 式：设1122(,),A xyB xy，（）是 平 面 直 角 坐 标 系 中 的 两 个 点，则222121|()()ABxxyy 一条直线的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率常用小写字母表示也就一定存在过两点的直线的斜率公式注意下面四点当时公式右边无意义直条件如果所给三点中任意两点的连线都有斜率且都相等那么这三点共线学习必备 欢迎下载 10、点到直线距离公式：一点00,yxP到直线0:CByAxl的距离为2200BACByAxd 11、两平行直线距离公式（1）两平行直线距离转化为点到直线的距离进行求解，即：先在任一直线上任取一点，再利用点到直线的距离进行求解。（2）两平行线间的距离公式：已知两条平行线直线1l和2l的一般式方程为l1：Ax+By+C1=0，l2：Ax+By+C2=0，则1l与2l的距离为2221BACCd 12 巩固练习：1、图中的直线 l1，l2，l3的斜率分别为 k1，k2，k3，则()Ak1k2k3 Bk3k1k2 Ck3k2k1 Dk1k3k2 2、设直线 l 的方程为(m22m3)x(2m2m1)y2m6(mR，m1)，根据下列条件分别求 m 的值：l在 x 轴上的截距是3；斜率为 1 3已知ABC的三顶点是 A(1，1)，B(3，1)，C(1，6)直线 l平行于 AB，交 AC，BC分别于 E，F，CEF的面积是CAB面积的41求直线 l的方程 4、一直线被两直线 l1：4xy60，l2：3x5y60 截得的线段的中点恰好是坐标原点，求该直线方程 5、直线 l 过点(1，2)和第一、二、四象限，若直线 l 的横截距与纵截距之和为 6，求直线 l的方程 6、已知点 A(2，1)，B(1，2)，直线 y2 上一点 P，使|AP|BP|，则 P 点坐标为 7、若三点 A(2，3)，B(3，2)，C(21，m)共线，则 m 的值为 8、与直线 2x3y50 平行，且在两坐标轴上截距的和为 6 的直线方程是 。9、直线 l1：xa2y60 和直线 l2:(a2)x3ay2a0 没有公共点，则 a 的值是()A3 B3 C1 D1 10、如果 AC0，且 BC0，那么直线 AxByC0 不通过()A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 11、直线 l：(2m+1)x+(m+1)y7m4=0 所经过的定点为 。(mR)(第 3 题)一条直线的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率常用小写字母表示也就一定存在过两点的直线的斜率公式注意下面四点当时公式右边无意义直条件如果所给三点中任意两点的连线都有斜率且都相等那么这三点共线
