2023年数列求和的基本方法精品讲义.pdf

数列求和的基本方法与技巧 一、考纲导视 考纲要求 考纲研读 1.掌握等差数列、等比数列的求和公式 2.了解一般数列求和的几种方法.对等差、等比数列的求和以考查公式为主，对非等差、非等比数列的求和，主要考查分组求和、裂项相消、错位相减等方法.二、数列求和常用的方法（一）利用常用求和公式求和 1、等差数列求和公式：11()(1)22nnn aan nSnad 2、等比数列求和公式：111(=1)(1)(1)11nnnnaqSaa qaqqqq 3、11(1)2nnkSkn n 4、211(1)(21)6nnkSkn nn 5、3211(1)2nnkSkn n 例 1 已知等差数列na满足：37a，5726aa，na的前 n 项和为nS，求na及nS。解：设等差数列na公差为 d，则266472117513dadaaadaa即231da 12 nan，nnnnnSn222)1(32 例 2 等比数列na的前项和 S2，求。解：当 n=1 时，111Sa 当2n时，11121212nnnnnnSSa（对 n=1 成立）12nna，12124)2(nnna 4221nnaa，2na是等比数列，首项为 1，公比为 4 31441412232221nnnaaaa 变式训练：已知321loglog 3x，求23nxxxx 。（学生板演，教师针对学生步骤中的问题作针对性点评）（二）倒序相加法求和 这是推导等差数列的前 n 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列，再把它与原数列相加，就可以得到 n 个(a1+an)。倒序相加法也适用于与首尾两项距离相等的两项之和均相等且为定值的数列求和。例 3 已知函数（1）证明：；（2）求的值.（1）证明：122222222222222222222222)1()(11xxxxxxxxxxxxxfxf 所以，1)1()(xfxf（2）解：2929)109()101()109()108()102()101(ffffff 变式训练：求22222sin 1sin 2sin 3sin 88sin 89ooooo 的值。（学生板演，教师针对学生步骤中的问题作针对性点评）（三）错位相减法求和 这种方法是在推导等比数列的前 n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列an bn的前 n 项和，其中 an 、bn 分别是等差数列和等比数列。错位相减法的解题步骤：(1)写出 Sn=a1+a2+a3+an(2)求 qSn(3)计算(1-q)Sn 方法二数列求和常用的方法一利用常用求和公式求和等差数列求和公式知求学生板演教师针对学生步骤中的问题作针对性点评二倒序相加法求之和均相等且为定值的数列求和例已知函数证明求的值证明所以解变式例 4 求数列232462,2 222nn前 n 项的和.解：变式训练：已知12nnna，求数列na的前n 项和nS。（学生板演，教师针对学生步骤中的问题作针对性点评）（四）分组求和 有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，但可将这类数列适当拆开，分为几个等差、等比或常见的数列，对拆开的数列分别求和，再将其合并即可。例 5 求数列的前 n 项和：2111111,4,7,32nnaaa，解：变式训练：求11111111111n 个之和.（学生板演，教师针对学生步骤中的问题作针对性点评）（五）裂项法求和 这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用。裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的。通项分解（裂项）如：(1)()naf nf n （1）111(1)1nan nnn （2）111nannnn 例 6 求数列111,12231nn的前n 项和.例 7 在数列 an中，12111nnannn，又12nnnaab，求数列bn的前 n 项的和.变式训练：求1111+2 43 54 6(n+1)(n+3)的值。注：在应用裂项相消法时，要注意消项的规律具有对称性，即前面剩多少项则后面也剩多方法二数列求和常用的方法一利用常用求和公式求和等差数列求和公式知求学生板演教师针对学生步骤中的问题作针对性点评二倒序相加法求之和均相等且为定值的数列求和例已知函数证明求的值证明所以解变式少项 方法二数列求和常用的方法一利用常用求和公式求和等差数列求和公式知求学生板演教师针对学生步骤中的问题作针对性点评二倒序相加法求之和均相等且为定值的数列求和例已知函数证明求的值证明所以解变式