2023年一元二次方程知识点归纳总结全面汇总归纳和例题——复习1.pdf

知识点总结：一元二次方程 知识框架 知识点、概念总结 1.一元二次方程：方程两边都是整式，只含有一个未知数(一元)，并且未知 数的最高次数是2(二次)的方程，叫做一元二次方程。2.一元二次方程有四个特点：(1)含有一个未知数；(2)且未知数次数最高次数是 2;(3)是整式方程。要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整 式方程，假设是，再对它进行整理。如果能整理为 ax 2+bx+c=0(aw0)的形 式，那么这个方程就为一元二次方程。(4)将方程化为一般形式：ax2+bx+c=0时，应满足(aw。)3.一元二次方程的一般形式：一般地，任何一个关于 x的一元二次方程，经 过整理，？都能化成如下形式 ax2+bx+c=0(aw。)。一个一元二次方程经过整理化成 ax2+bx+c=0(aw。)后，其中ax2是二次项，a 是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项。4.一元二次方程的解法(1)直接开平方法 利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。直接开平方法适用于解形如(x+a)2=b的一元二次方程。根据平方根的定义 可知，x+a是b的平方根，当b之。时，x+a=J b,x=a土 Jb,当 b。，方程的根是x=-p Vq；如果qv。,方程无实根.(3)公式法 公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般 方法。一元二次方程ax2+bx+c=0(a丰0)的求根公式：-b-b2-4ac 2/小 x=-(b-4ac-0)2a(4)因式分解法 因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易 行，是解一元二次方程最常用的方法。配方法 _ 公共法 开平后一 分解因立法一 5.一元二次方程根的判别式 根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a#0)中，b2 4ac叫做一元二 次方程ax2+bx+c=0(a丰0)的根的判别式，通常用“来表示，即:b2-4ac 6.一元二次方程根与系数的关系 如果方程ax2+bx+c=0(a#0)的两个实数根是x1,x2,那么 b c.、.一.、x1+x2=-，x1x2=一。也就是说，对于任何一个有头数根的一兀二次方 a a 程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根 之积等于常数项除以二次项系数所得的商。7.分式方程 分母里含有未知数的方程叫做分式方程。8.分式方程的一般解法 解分式方程的思想是将“分式方程转化为“整式方程。它的一般解法是：(1)去分母，方程两边都乘以最简公分母(2)解所得的整式方程(3)验根：将所得的根代入最简公分母，假设等于零，就是增根，应该舍去；假设不等于零，就是原方程的根。(参考教材：初中数学九年级人教版)知识点1.只含有一个未知数，并且含有未知数白 最高次数是 2的整式方程叫一 元二次方程。例题：1、判别以下方程是不是一元二次方程，是的打，不是的打“X，并说明理由.(1)2x 1 2-x-3=0.(2)-y-y 2=0.(3)t 2=0.x 3-x 2=1.(5)x 2-2y-1=0.(6)2-3=0.x x2-3x=2.(8)(x+2)(x-2)=(x+1)2.(9)3x 2-4+6=0.(10)3x 2=-3.x 4 1、假设关于x的方程a(x1)2=2x22是一元二次方程，那么a的值是()1 m为何值时方程为一元一次方程；2 m为何值时方程为一元二次方程。(A)2(B)-2(C)0(D)不等于 2 2、关于x的方程(m+1 x2+(n2 3x+p=0,当 时，方程为一 次方程；当 时，两根中有一个为零 a。2-3、关于x的方程(m2)xm+xm=0：知识点二.一元二次方程的一般形式 一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0 a#0),其中ax2是二次项，a 叫二次项系数；bx是一次项，b叫一次项系数，c是常数项。特别警示：(1)“a 0 0是一元二次方程的一般形式的一个重要组成局部；(2)二次项系数、一次项系数及常数项都是方程在一般形式下定义的，所以求一元 二次方程的各项系数时，必须先将方程化为一般形式。例题：1、指出以下一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项 _2_ _2(2)5x 10 x-2.2=0(3)2x-15=0(4)x2 3x=0(x 2)2=3 2、关于x的方程3x2+J2x6=0中a是 _；b是 _；c 知识点三.一元二次方程的解 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，叫方程的解。例题：2 1、万程3x 9x+m=0的一个根是1,那么m的值是。2 2 2、设a是一元二次方程 x+5x=0的较大根，b是x 3x+2=0较小根，那么a十b的值是()(A)-4(B)-3(C)1(D)2 2 x 1 3、关于x的一元二次方程 x+kx-2=0的一个解与方程 =3的解 x-1 相同。(1)求k的值；(2)求方程x2+kx2=0的另一个解。知识点四.一元二次方程的解法 一元二次方程的四种解法：(1)直接开平方法：如果 x2=k(k20),那么x=土灰(2)配方法：要先把二次项系数化为 1,然前方程两变同时加上一次项系 数一半的平方，配成左边是完全平方式，右边是非负常数的形式，然 后用直接开平方法求解；(3)公式法：一元二次方程ax2+bx+c=0(a#0)的求根公式是(x+3)2=(2x-5)2 3y2-6)=(y+2f+(y-2f (4)因式分解法：如果(x a)(xb)=0那么 x 1=a,x2=b。温馨提示：一元二次方程四种解法都很重要，尤其是因式分解法，它使用的频 率最高，在具体应用时，要注意选择最恰当的方法解。例题：解方程：、2 1、万程x-2x=0的解是：()A.x 1=x2=1 B.x 1 二1,x2=3 C.x 1=2,x2=0 D.x 1 二2,x2=0 2、方程(J5-1x2=(_T)x 5的较简便的解法应选 用。解为 3、解以下方程：(1)x2+3=3(x+1)2x2+x-3=0(3)x2+2x-3=0 知识点五.一元二次方程根的判别式 对于一元二次方程 ax2+bx+c=0(a#0)的根的判别式是 b2 4ac：(1)当b2-4acA0时，方程有两个不相等的实数根；(2)当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；(3)当b24ac0o 例题：.2 1、方程x-3x+k=0有两个不相等的实数根，那么 k=.2、当m满足何条件时，方程mx2-2(m 1)x+9m-1=0有两个不相等实根?有两个相等实根？有实根？2 3、关于x的万程 mx 2(m+2)x+m+5=0无实根，试解关于 x的万程(m-5x2-2(m+2x+m=0。.2 4、关于x的一兀二次万程 x+4(m+1)x+2m1=0,求证：不管m为 任何实数，方程总有两个不相等的实数根。、一 一 .、一 2 _.一 5、设x1,x2是关于x的一兀二次万程x十px+q=0的两个根，x1+1,x2+1是 关于x的一元二次方程 x2+qx+p=0的两个根，那么p,q的值分别等于多少？-b 土 Jb2-4ac x 二-2a 一 2-_(b-4ac 0)；(4)2.3 y2=2-，3 y(5)(x-1 f=仅-1)知识点六.一元二次方程根与系数的关系 假设一元二次方程ax2+bx+c=0(a#0)的两个实数根为总公，那么 b c x1+x 2=-,x x 丁 一。a a 温馨提示：利用根与系数的关系解题时，一元二次方程必须有实数根。例题：2 2 1、关于x的一元二次方程 x2+kx+4k23=0的两个实数根分别是 xi,x2,且满足x1+x2=x1x2,那么k的值为：().3 3.(A)T或 7(B)-1(C)(D)不存在 2、久，P是关于x的一元二次方程x2+(2m+3)x+m2=0的两个不相等 1 1.的头数根，且满足 一+石=-1,那么m的值是()a P(A)3 或-1(B)3(C)1(D)-3 或 1 3、方程x2_3x_6=0与方程x26x+3=0的所有根的乘积是 2 2 4、两 个不相 等的实数 m,n满足m 6m=4,n 6n=4,那么 mn的值 为。知识点七.一元二次方程的实际应用 列一元二方程解应用题的一般步骤：(1)审题(2)设未知数(3)列方程(4)解方程(5)检验(6)写出答案。在检验时，应从方程本身和实际问题两个方面进行检验。1、有一个两位数，十位数字比个位数字大 3,而此两位数比这两个数字之积 的二倍多5,求这个两位数。2、市政府为了解决市民看病难的问题，决定下调药品的价格，某种药品经过 连续两次降价后，由每盒200元下调至128元，求这种药品平均每次降价的百 分率是多少？3、将一条长20m的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正 方形。(1)要使这两个正方形白面积之和等于 17平方米，那么这段铁丝剪成两段后的 长度分别是多少？(2)两个正方形的面积之和可能等于 12平方米吗？假设能，求出两段铁丝的长度;假设不能，请说明理由。一元二次方程综合复习 1、以下方程中，关于 x的一元二次方程是()一.2 .1 1 _ _ _ 2._ 2 _ 2.A.3x 1):=2 x 1 B.w-2=0 C.ax bx c=0 D.x 2x=x 1 x x 2、方程(m31)x2+mx 5=0是关于x的一元二次方程，那么 m满足的条件 是()(A)mw1(B)mw 0(C)|m|w 1(D)m=1 2 3、右x=1是一兀二次万程ax+bx-2=0的一个根，那么 a+b=。2,4、实数b八b 一4ac是方程的根()2a 一 2 2(A)ax+bx+c=0(B)ax bx+c=0 2 2(C)ax bxc=0(D)ax+bxc=0 2 5、万程x-25=0的解是：()A.x 1=x2=5 B.x 1=x2=25 C.x 1=5,x2=-5 D.x 1=25,x2=-25 2 6、关于x的一兀二次方程 kx+2x-1=0两个不相等的实数根，那么 k的取值 范围是()(A)kA1(B)kA1(C)k=0(D)kA1 且 k#0 3 8、关于x的一兀二次万程 2x 2x+3m1=0有两个实数根%?2,且 12、当x=时，代数式x23x比代数式2x2x 1的值大2.13、某商品原价每件25元，在圣诞节期间连续两次降价，现在商品每件16元,那么该玩具平均每次降价的百分率是。14.有一人患了流感，经过两轮传染后共有 121人患了流感，设每轮传染中平 均一个人传染了 x个人，方程为 _ 15、参加一次聚会的没两个人都握了一次手，所有人共握手 36次，设有x人 参加聚会，方程为 _ 16.解以下方程：1.(x+2)2-25=0直接开平方法 2.x2+4x-5=0(配方法)3 x2-5x+6=0(因式分解法)4.2x2-7x+3=0(公式法)7、在以下方程中，有实数根 的是()2 2 x 1 A)x+3x+1=0 B)v4x+1=-1 C)x2+2x+3=0 D)-=-x-1 x-1 x1 x2 Axi+x2-4,那么m的取值范围是()一 5 1 5 5 1(A)m (B)mW(C)m -(D)m 3 2 3 3 2 9.假设(x+y)(1x y)+6=0,贝U x+y 的值是()A.2 B.3 C.2 或 3 D.2 或3 10、假设(m+1)xm(m-4+2mx 1=0是关于x的一元二次方程，那么 m的值是 2 17、设x1，x2是关于x的方程x+(m1)xm=0(m。0)的两个根，且满足 1.1 2 一+一=一,求m的值。X x2 311、填上适当的数，使等式成立：x2-5x+=(x)2.18、求证：二次三项式 x2+4x 5的值恒小于0.并求出它的最大值。22、一块长方形铁皮的长是宽的2倍，四角各截去一个正方形，制成高是5 cm,容积是5 0 0 cm3的无盖长方体容器。求这块铁皮的长和宽。2 19、关于x的一兀二次方程 x+kx1=0。(1)求证：方程有两个不相等的实数根；(2)设的方程有两根分别为 x1，x2,且满足x1十x2=x1二2求k的值。23、如图，有一面积为 150 m2的长方形鸡场，鸡场的一边靠墙(墙长 18 m),另三边用竹篱笆围成，如果竹篱笆的长为 35 m,求鸡场的长 与宽各为多少米？:一 鸡场 20、是关于x的一元二次方程 x2+(2m+3)x+m2=0的两个不相 1 1 等的实数根，且满足 1+-1=-1,那么m的值是()a P(A)3 或-1(B)3(C)1(D)-3 或 1 24、西瓜经营户以2元/千克的价格购进一批小型西瓜，以 3元/千克的价格 出售，每天可售出200千克，为了促销，该经营户决定降价，经调查发现，这 种小西瓜每降价0.1元/千克，每天可多售出 40千克，另外，每天的房租等固 定本钱共24元，该经营户要想每天盈利 200元，应将每千克小型西瓜的售价 降低多少元？21.：4ABC 的两边 AB、AC 的长是关于x的一元二次方程 2 2 x(2k+3)x+k+3k+2=0的两个实数根，第三边 BC的长为5,问：k 取何值时，ABC是以BC为斜边的直角三角形？25、在矩形 ABCD中，AB=6cm,BC=3cm。点P沿边AB从点A开始向点 B 以2cm/s的速度移动，点Q沿边DA从点D开始向点A以1cm/s的速度移动。如果P、Q同时出发，用t(s)表示移动的时间(0wtw3)。那么，当t为何 值时，QAP的面积等于2cm2?