2023年一元二次方程根的分布情况全面汇总归纳全面汇总归纳.pdf

一元二次方程02cbxax根的分布情况 设方程 200axbxca 的不等两根为12,x x且12xx，相应的二次函数为 20f xaxbxc ，方程的根即为二次函数图象与x轴的交点，它们的分布情况见下面各表（每种情况对应的均是充要条件）表一：（两根与 0 的大小比较即根的正负情况）分布情况 两个负根即两根都小于 0 120,0 xx 两个正根即两根都大于 0 120,0 xx 一正根一负根即一个根小于 0，一个大于 0120 xx 大致图象（0a）得出的结论 大致图象（0a）得出的结论 综合结论（不讨论a）表二：（两根与k的大小比较）分布情况 两根都小于k即 kxkx21,两根都大于k即 kxkx21,一个根小于k，一个大于k即 21xkx 大致图象（0a）得出的结论 大致图象（0a）得出的结论 综合结论（不讨论a）kkk表三：（根在区间上的分布）分布情况 两根都在 nm,内 两根有且仅有一根在 nm,内（图象有两种情况，只画了一种）一根在 nm,内，另一根在 qp,内，qpnm 大致图象（0a）得出的结论 大致图象（0a）得出的结论 综合结论（不讨论a）根在区间上的分布还有一种情况：两根分别在区间 nm,外，即在区间两侧12,xm xn，（图形分别如下）需满足的条件是 （1）0a 时，00f mf n；（2）0a 时，00f mf n 对以上的根的分布表中一些特殊情况作说明：（1）两根有且仅有一根在 nm,内有以下特殊情况：1 若0f m 或 0f n，则此时 0f mf n g不成立，但对于这种情况是知道了方程有一根为m或n，可以求出另外一根，然后可以根据另一根在区间 nm,内，从而可以求出参数的值。如方程2220mxmx 在区间1,3上有一根，因为 10f，所以 22212mxmxxmx ，另一根为2m，由213m得223m 即为所求；2 方程有且只有一根，且这个根在区间 nm,内，即0，此时由0可以求出参数的值，然后再将参数的值带入方程，求出相应的根，检验根是否在给定的区间内，如若不在，舍去相应的参数。如方程24260 xmxm 有且一根在区间 3,0内，求m的取值范围。分析：由 300ffg即141530mm 得出15314m ；由0即2164 260mm 得出1m 或32m，当1m 时，根 23,0 x ，即1m 满足题意；当32m 时，根 33,0 x ，故32m 不满足题意；综上分析，得出15314m 或1m 函数与方程思想：若y=()f x与x轴有交点0 xf(0 x)=0 若y=f(x)与y=g(x)有交点(0 x，0y)()f x=()g x有解0 x。2|4260,|0,Ax xmxmBx xABm 例：已知集合若求实数 的取值范围。例已知函数 f（x）=mx2+（m3）x+1 的图象与 x 轴的交点至少有一个在原点右侧，求实数 m 的取值范围 例、已知方程 221210mxmxm 有一正根和一负根，求实数m的取值范围。例、已知函数 222433ymxmxm与x轴有两个交点，一个大于 1，一个小于 1，求实数m的取值范围。例、已知方程22340mxmx 只有一个正根且这个根小于 1，求实数m的取值范围。例.已知关于 x 的二次方程 x2+2mx+2m+1=0.(1)若方程有两根，其中一根在区间(1，0)内，另一根在区间(1，2)内，求 m 的范围.(2)若方程两根均在区间(0，1)内，求 m 的范围 例.若方程4(3)20 xxmm 有两个不相同的实根，求m的取值范围。例、已知函数421xxym 有且只有一个实数解，求m的取值范围。作业 92 3310 xxkk g1.已知方程有两个实数解，试求方程的取值范围。2.关于x的一元二次方程0222aaxx，当a为何实数时：（1）不同两根在3,1之间 （2）有一个根大于 2，另一个根小于 2 （3）在3,1内有且只有一解 3.已知a是实数，函数.322)(2axaxxf如果)(xfy 在区间 1,1上有实数根，求a的取值范围 4（1）已知二次函数 f（x）=ax2+bx+c，满足 f（0）=f（1）=0，且 f（x）的最小值是，求 f（x）的解析式；（2）设 f（x）=x22ax+2，当 x 1，+）时，f（x）a 恒成立，求实数 a 的取值范围