2023年《复变函数》 期末试卷及超详细解析超详细解析超详细解析答案A卷.pdf
复变函数试卷 第1页（共 4 页）复变函数试卷 第2页（共 4 页）XXXX 学院 20162017 学年度第一学期期末考试 复变函数 试卷 一、单项选择题（本大题共 10 小题，每题 3 分，共 30分，请从每题备选项中选出唯一符合题干要求的选项，并将其前面的字母填在题中括号内。）1.)iRe(z ()A.)iRe(z B.)iIm(z C.zIm D.zIm 2.函数2)(zzf在复平面上 ()A.处处不连续 B.处处连续，处处不可导 C.处处连续，仅在点0z处可导 D.处处连续，仅在点0z处解析 3.设复数a与b有且仅有一个模为 1，则baba1的值 ()A.大于 1 B.等于 1 C.小于 1 D.无穷大 4.设xyzfyxzi)(i，则)(zf ()A.i1 B.i C.1 D.0 5.设C是正向圆周 1z，i 2sin dzzzCn，则整数n等于 ()A.1 B.0 C.1 D.2 6.0z是21)(zezfz的 ()A.1阶极点 B.2阶极点 C.可去奇点 D.本性奇点 7.幂级数!2)1(0nznnnn的和函数是 ()A.ze B.2ze C.2ze D.zsin 8.设C是正向圆周 2z，则Czdz2 ()A.0 B.i 2 C.i D.i 2 9.设函数)(zf在)0(00RRzz内解析，那么0z是)(zf的极点 的充要条件是 ()A.azfzz)(lim0（a为复常数）B.)(lim0zfzz C.)(lim0zfzz不存在 D.以上都对 10.zln在1z处的泰勒级数展开式为 ()A.11 ,1)1()1(11znznnn B.11 ,)1()1(1znznnn C.11 ,1)1()1(10znznnn D.11 ,)1()1(0znznnn 二、填空题(本大题共 5 小题，每题 3 分，共 15 分)11.i 21z的共轭复数z _.12.设)i2)(i 32(z，则zarg _.13.在复平面上，函数)2(i)(222yxyxyxzf在直线 _ 上可导.14.设C是正向圆周1z，则dzzzC5cos _.15.若级数 1nnz收敛，而级数 1nnz发散，则称复级数 1nnz为 _.学号（最后两位）总分 题号 一 二 三 四 统分人 题分 30 20 30 30 复查人 得分 得分 评卷人 复查人 得分 评卷人 复查人 系别 专业 姓名 班级 学号和姓名务必正确清楚填写。因填写错误或不清楚造成不良后果的，均由本人负责；如故意涂改、乱写的，考试成绩视为无效。答 题 请 勿 超 过 此 密 封 线 ，否 则 视 为 无 效 。复变函数试卷 第3页（共 4 页）复变函数试卷 第4页（共 4 页）三、计算题(本大题共 5 小题，每小题 8 分，共 40 分)16.利用柯西-黎曼条件讨论函数zzf)(的解析性.17.判断数列1i2017nnzn的收敛性.若收敛，求出其极限.18.求在映射2zw 下，z平面上的直线tz)i2(被映射成w平面上的曲线的方程.19.求ze在0z处的泰勒展开式.20.计算积分dzz i102.三、证明题(本大题共 1 小题，每小题 15 分，共 15 分)21.试证明柯西不等式定理:设函数)(zf在圆RzzC0:所围的区域内解析，且在C上连续，则,.)2,1(!)(0)(nRMnzfnn 其中M是)(zf在C上的最大值.得分 评卷人 复查人 得分 评卷人 复查人 复变函数试卷 第5页（共 4 页）复变函数试卷 第6页（共 4 页）XXXX 学院 2016-2017 学年度第一学期期末考试 复变函数答案（A卷）一、单项选择题（本大题共 10 小题，每题 3 分，共 30 分）1 5 C C B B D 6-10 A C A B C 二、单项选择题（本大题共 5 小题，每题 3 分，共 15 分）11.i 21 12.8arctan 13.21y 14.i 2 15.条件收敛 三、计算题（本大题共 5 小题，每小题 8 分，共 40 分）16.解：因yxzzfi)(，故 yyxvxyxu),(,),(，从而,1 ,0 ,0 ,1yuxuyuxu 因此在任何点),(yx处，yvxu，所以)(zf在复平面内处处不解析。17.解：i1120161i 1602nnnnnzn 而 )(11 012016nnnn，所以 ilimnnz 18.解：直线tz)i2(的参数方程为)(,2ttytx 在2zw 映射下，该直线被映射成w平面上的曲线 2222)i 43()i2(ttzw 于是 ,4 ,322tvtu 消去t，得 )0(34 uuv 这是w平面上第一象限内的一条半直线。19.解：因为,.)2,1,0()()(neeznz，其展开式中泰勒系数为!1!)0()(nnfcnn 于是 ze 在0z处的泰勒展开式为 !21!0nzzznzennnnz 20.解：）（）（i132i131|313i103i102zdzz 五、证明题（本大题 15 分）21.证：由假设条件及高阶导数公式，有,.)2,1()()(i 2!)(100)(ndzzzzfnzfCnn 于是 ,.)2,1(!22!,.)2,1()(2!)(11100)(nRMnRRMnndzzzzfnzfnnCnn 证毕。
