2023年数列专题复习精品讲义.pdf
学习必备 欢迎下载 年级 数学 科辅导讲义（第 讲）学生姓名 授课教师：授课时间：数列专题复习 题型一：等差、等比数列的基本运算 例 1、已知数列na是等比数列，且4622aaa，则53aa ()A1 B2 C4 D8 例 2、在等差数列an中，已知a4+a8=16，则该数列前 11 项和S11=()A.58 B.88 C.143 D.176 变式 1、等差数列an中，a1+a5=10,a4=7,则数列an的公差为 ()A.1 B.2 C.3 D.4 专 题 数列专题复习 目 标 数列的通项公式、数列的求和 重 难 点 数列的求和 常 考 点 数列求通项公式、求和 等差数列 等比数列 定义 公差（比）通项na 前 n 项和nS 中项 qpnm 学习必备 欢迎下载 2、若等比数列na满足2412a a，则2135a a a .3、已知na为等差数列，且13248,12,aaaa（）求数列na的通项公式；（）记na的前n项和为nS，若12,kka aS成等比数列，求正整数k的值。题型二：求数列的通项公式 .已知关系式)(1nfaann，可利用迭加法（累加法）例 1：已知数列na中，)2(12,211nnaaann，求数列na的通项公式；变式 已知数列na满足122a，12nnaan，求数列na的通项公式 (2).已知关系式)(1nfaann，可利用迭乘法（累积法）例 2、已知数列na满足：111(2),21nnannaan，求求数列na的通项公式；变式 已知数列na满足nnana21，11a，求数列na的通项公式。题型一等差等比数列的基本运算例已知数列是等比数列且则例在等差数求正整数的值题型二求数列的通项公式已知关系式例已知数列中可利用数列的通项公式学习必备欢迎下载构造新数列递推关系形如例已知数列学习必备 欢迎下载(3).构造新数列 1递推关系形如“qpaann 1”，利用待定系数法求解 例、已知数列na中，32,111nnaaa，求数列na的通项公式.变式 已知数列na中，54,211nnaaa，求数列na的通项公式。2递推关系形如“nnnqpaa 1”两边同除1np或待定系数法求解 例、已知nnnaaa32,111，求数列na的通项公式.变式 已知数列na，nnnaa631，31a，求数列na的通项公式。3递推关系形如11nnnnapaqa a（p,q0),两边同除以1nna a 例 1、已知数列na中，1122nnnnaaa a1（n2),a，求数列na的通项公式.变式 数列na中，)(42,211Nnaaaannn，求数列na的通项公式.d、给出关于nS和ma的关系（1nnnSSa）题型一等差等比数列的基本运算例已知数列是等比数列且则例在等差数求正整数的值题型二求数列的通项公式已知关系式例已知数列中可利用数列的通项公式学习必备欢迎下载构造新数列递推关系形如例已知数列学习必备 欢迎下载 例 1、设数列na的前n项和为nS，已知)(3,11NnSaaannn，设nnnSb3，求数列nb的通项公式 变式 设nS是数列na的前n项和，11a，)2(212nSaSnnn.求na的通项；设12 nSbnn，求数列nb的前n项和nT.题型三：数列求和 一、利用常用求和公式求和 1、等差数列求和公式：dnnnaaanSnn2)1(2)(11 2、等比数列求和公式：)1(11)1()1(111qqqaaqqaqnaSnnn 前n个正整数的和 2)1(321nnn 前n个正整数的平方和 6)12)(1(3212222nnnn 前n个正整数的立方和 233332)1(321nnn 例 1、在数列an中，a18，a42，且满足an2an2an1.(1)求数列an的通项公式；(2)设Sn是数列|an|的前n项和，求Sn.二、错位相减法求和（重点）这种方法主要用于求数列an bn的前 n 项和，其中 an 、bn 分别是等差数列和等比数列.求和时题型一等差等比数列的基本运算例已知数列是等比数列且则例在等差数求正整数的值题型二求数列的通项公式已知关系式例已知数列中可利用数列的通项公式学习必备欢迎下载构造新数列递推关系形如例已知数列学习必备 欢迎下载 一般在已知和式的两边都乘以组成这个数列的等比数列的公比q；然后再将得到的新和式和原和式相减，转化为同倍数的等比数列求和。例 2、求和：132)12(7531nnxnxxxS 变式 已知等差数列na的通项公式nan，等比数列12,nnnbb，设nnnbaC，nS是数列nC的前 n 项和，求nS。三、分组法求和 有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.例 3、求数列的前 n 项和：231,71,41,1112naaan，变式 求数列n(n+1)的前 n 项和.四、裂项法求和 这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用.裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的.通项分解（裂项）如：题型一等差等比数列的基本运算例已知数列是等比数列且则例在等差数求正整数的值题型二求数列的通项公式已知关系式例已知数列中可利用数列的通项公式学习必备欢迎下载构造新数列递推关系形如例已知数列学习必备 欢迎下载（1）)()1(nfnfan （2）nnnntan)1tan()1cos(cos1sin（3）111)1(1nnnnan （4）)121121(211)12)(12()2(2nnnnnan（5）)2)(1(1)1(121)2)(1(1nnnnnnnan(6)nnnnnnnnSnnnnnnnnna2)1(11,2)1(12121)1()1(221)1(21则 例 4 求数列,11,321,211nn的前 n 项和.变式 1、在数列an 中，11211nnnnan，又12nnnaab，求数列bn 的前 n 项的和.2、已知等比数列an中，a13，a481，若数列bn满足bnlog3an，则数列1bnbn1的前n项和Sn_.题型四：等差、等比数列的判定 例 1、已知nS为等差数列na的前n项和，)(NnnSbnn.求证：数列nb是等差数列.题型一等差等比数列的基本运算例已知数列是等比数列且则例在等差数求正整数的值题型二求数列的通项公式已知关系式例已知数列中可利用数列的通项公式学习必备欢迎下载构造新数列递推关系形如例已知数列学习必备 欢迎下载 变式：已知公比为 3 的等比数列nb与数列na满足*,3Nnbnan，且11a，证明na是等差数列。例 2、设an是等差数列，bnna21，求证：数列bn是等比数列；变式 1、数列an的前n项和为Sn，数列bn中，若an+Sn=n.设cn=an1，求证：数列cn是等比数列；2、已知nS为数列na的前n项和，11a，24nnaS，数列nb，nnnaab21，求证：nb是等比数列；课后作业：1、已知数列an的各项均为正数，前 n 项和为 Sn，且满足 2Sna2nn4(nN*)(1)求证：数列an为等差数列；(2)求数列an的通项公式。题型一等差等比数列的基本运算例已知数列是等比数列且则例在等差数求正整数的值题型二求数列的通项公式已知关系式例已知数列中可利用数列的通项公式学习必备欢迎下载构造新数列递推关系形如例已知数列学习必备 欢迎下载 2、已知数列an的前 n 项和为 Sn，且 Sn4an3(nN*)(1)证明：数列an是等比数列；(2)若数列bn满足 bn1anbn(nN*)，且 b12，求数列bn的通项公式 3、已知等差数列an的前 n 项和为 Sn，a55，S515，则数列1anan1的前 n 项和nT。4、已知数列an的前 n 项和为 Sn3n，数列bn满足 b11，bn1bn(2n1)(nN*)(1)求数列an的通项公式 an；(2)求数列bn的通项公式 bn；(3)若 cnan bnn，求数列cn的前 n 项和 Tn.题型一等差等比数列的基本运算例已知数列是等比数列且则例在等差数求正整数的值题型二求数列的通项公式已知关系式例已知数列中可利用数列的通项公式学习必备欢迎下载构造新数列递推关系形如例已知数列
