2023年数列通项超全高中数学数列通项解法专题全面汇总归纳.pdf
优秀学习资料 欢迎下载 数列通项总结 一、累加法（逐差相减法）1、daann 1（d为常数），等差数列 2、)(1nfaann，变形为)(1nfaann，前提)1()1(nff可求)1()2()1(12211faanfaanfaannnn这1n个等式累加得:)1()2()1(1nfffaan 例 1:已知数列na满足211a，nnaann211，求na。例 2：已知数列11aan中，且kkkaa)1(122，kkkaa3212，3,2,1k（1）求53,aa（2）求na的通项公式.二、累积法（逐商相乘法）1、nnqaa 1（q为常数），等比数列 2、nnanfa)(1，变形为)(1nfaann，前提)1()2()1(nfff可求)1()2()1(12211faanfaanfaannnn这1n个等式累乘得:)1()2()1(1nfffaan 例 1:已知数列na满足321a，nnanna11，求na。例 2:已知31a，nnanna23131)1(n，求na。三、公式法 1(2)nnnaSSn，)1(11nSSannn 例 1：已知各项均为正数的数列na的前 n 项和为nS满足1S1 且 6nS=优秀学习资料 欢迎下载(1)(2)nnaa nN 求na的通项公式。解：由11aS=111(1)(2)6aa解得1a=1 或1a=2，由已知11aS1，因此1a=2又由11nnnaSS=1111(1)(2)(1)(2)66nnnnaaaa 得 11()(3)nnnnaaaa=0 na0 13nnaa 从而na是首项为2，公差为3的等差数列，故na的通项为na=2+3(n-1)=3n-1.例 2：已知数列na前 n 项和2214nnnaS.（1）求1na与na的关系；（2）求通项公式na.四、待定系数法 1、qpaann 1（其中 p，q 均为常数，)0)1(ppq）。把原递推公式转化为：)(1taptann，其中pqt1，令tabnn11，则nnpbb 1等比数列 例 1：已知数列na中，11a，321nnaa，求na.2、nnnqpaa 1，两边同除以1nq，qqaqpqannnn11 例 2：已知数列na中，651a,11)21(31nnnaa，求na。3、rnnpaa 1)0,0(nappaappaannrnnrrloglogloglogloglog1 等式两边取对数 后转化为qpaann 1 例 1：已知数列na中，2111,1nnaaaa)0(a，求数列.的通项公式na 例 2：已知数列:,且满足的各项都是正数na.),4(21,110Nnaaaannn求数列na的通项公式na 4、banpaann 1)001(，a、p 利用待定系数法构造等比数列，即令)()1(1yxnapynxann，与已知递推式比较，解出yx,从而转化为yxnan是公比为p的等比数列。已知数列满足求例已知求三公式法例已知各项均为正数的数列的前项和式四待定系数法其中均为常数把原递推公式转化为其中令则等比数列例定系数法构造等比数列即令与已知递推式比较解出从而转化为是公比为优秀学习资料 欢迎下载 例 1:设数列na：)2(,123,411nnaaann，求na.5、qpnaann 1或nnnpqaa 1 转化为 12 na与 na2是等差或等比数列求解。例 1:在数列na中，nnanaa6,111，求na 例 2:在数列na中，nnnaaa3,111，求na 五、取倒法 qaaannn 1，两边取倒：nnnnaqaqaa1111，111nnab，则11nnqbb等比数列，更一般：qparaannn 1 例 1：已知数列na，1a=1，11nnnaaa nN，求na=？例 2：若数列的递推公式为)(211,311Nnaaann，则求这个数列的通项公式。例 3：已知数列na满足2,11 na时，nnnnaaaa112，求通项公式。例 4：已知数列an满足：1,13111aaaannn，求数列an的通项公式。例 5：若数列an中，a1=1，a1n=22nnaa nN，求通项an 六、特征方程法 1、已知数列na的项满足：1aa且对于Nn，都有hraqpaannn 1（其中p、q、r、hR，且rharqrph1,0,），称方程hrxqpxx为数列na的特征方程.（1）当特征方程有两个相同的特征根x时，（i）若,1xa 则数列na为常数数列（ii）若xa 1，则数列1xan为等差数列。已知数列满足求例已知求三公式法例已知各项均为正数的数列的前项和式四待定系数法其中均为常数把原递推公式转化为其中令则等比数列例定系数法构造等比数列即令与已知递推式比较解出从而转化为是公比为优秀学习资料 欢迎下载（2）当特征方程有两个相异的特征根1x、2x时，则数列21xaxann为等比数列。说明：（i）21,xx的顺序是任意的（ii）21xaxann与12xaxann互为相反数，如果一个为整数，一个为分数，为了计算方便，可取21xaxann为整数。例 1：已知数列na满足性质：对于,234,N1nnnaaan且,21a求na的通项公式.（1）特征方程求根：,234xxx0322 xx，0)1)(3(xx，（2）根据根的情况判断等比或等差，并求出：33212q，311232q（3）验证：3)1(5232553234)1(2343)1(11nnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaa（4）换元：令3)1(nnnaab，则nnbb51，则，33)1(111aab 1115)3(nnnqbb（5）反解：3)1(5)3(1nnnaa，则）（1)1(531159nnna 例 2：已知数列na的首项135a，1321nnnaaa，12n，（）求na的通项公式；解：其中数列na的通项公式的求解如下：数列na相应的 特征方程为321xxx，特征根为121,0 所以数列1nnaa为等比数列，由1239,511aa，已知数列满足求例已知求三公式法例已知各项均为正数的数列的前项和式四待定系数法其中均为常数把原递推公式转化为其中令则等比数列例定系数法构造等比数列即令与已知递推式比较解出从而转化为是公比为优秀学习资料 欢迎下载 得数列1nnaa的首项是29,311 公比是，所以131321nnnaa，332nnna 解之得 2、形如21(,nnnapaqap q是常数）的数列 形如112221,(,nnnam am apaqap q是常数）的二阶递推数列都可用特征根法求得通项na，其特征方程为2xpxq（1）若有二异根,，则可令1212(,nnnaccc c是待定常数）（2）若有二重根，则可令1212()(,nnacncc c是待定常数）再利用1122,am am可求得12,c c，进而求得na 例 1：已知数列na满足*12212,3,32()nnnaaaaanN，求数列na的通项na 解：其特征方程为232xx，解得121,2xx，令1212nnnacc ，由1122122243accacc ，得12112cc，112nna 例 2：已知数列na满足*12211,2,44()nnnaaaaanN，求数列na的通项na 解：其特征方程为2441xx，解得1212xx，令1212nnacnc ，由1122121()121(2)24accacc ，得1246cc，1322nnna 七、双数列型 根据所给两个数列递推公式的关系，灵活采用累加、累乘、化归等方法求解。例 1：nnnb332，求nS 已知数列满足求例已知求三公式法例已知各项均为正数的数列的前项和式四待定系数法其中均为常数把原递推公式转化为其中令则等比数列例定系数法构造等比数列即令与已知递推式比较解出从而转化为是公比为优秀学习资料 欢迎下载 例 2：已知数列na中，11a；数列nb中，01b。当2n时，)2(3111nnnbaa,)2(3111nnnbab，求na,nb.八、周期法 由递推式计算出前几项，寻找周期。例 1：若数列na满足)121(,12)210(,21nnnnnaaaaa，若761a，则20a的值为_。已知数列满足求例已知求三公式法例已知各项均为正数的数列的前项和式四待定系数法其中均为常数把原递推公式转化为其中令则等比数列例定系数法构造等比数列即令与已知递推式比较解出从而转化为是公比为
