2023年《函数的单调性》精品教案.pdf

1 函数的单调性教学设计 一、设计理念：1、重视数学概念、公式的发生、发展过程，在概念的形成过程中培养学生发现问题、研究问题、解决问题的能力 2、重视学生的学习过程，在教学中注重培养学生独立思考、相互交流、合作探究的能力 3、重视诱思探究的教学理论在课堂教学中的渗透，在课堂教学中要体现“教师为主导、学生为主体”，教师启发诱导，学生自主探究，激发学生的学习兴趣、培养学生良好的思维习惯和思维品质 二、设计思路：1、以函数的单调性的概念为主线，贯穿于整个教学过程中 对函数单调性概念的深入而准确的认识往往是学生认知过程的难点。因此在教学中突出对概念的分析一方面是为了分析函数单调性的定义，另一方面让学生掌握如何学会、弄懂一个概念的方法，也为今后对其他数学概念的学习有所帮助。使用单调性的定义证明具体函数的单调性是教学中的又是一个难点。使用单调性的定义证明具体函数的单调性是对单调性定义的深层理解，给出“作差、变形、定号”的具体步骤是非常必要的，一方面是有利于学生理解函数单调性的概念；另一方面有利于学生掌握证明方法、形成证明思路。另外也为今后学习不等式证明中的作差法做一定的铺垫。2、加强“数”与“形”的结合，由直观到抽象、由特殊到一般的数学思维能力的培养始终贯穿于函数单调性概念教学过程中 函数单调性的研究方法很具有典型性，体现了对函数研究的一般方法。在函数单调性的教学中要引导学生逐步学会“直观感受-定性描述-定量刻画-具体应用”的探究方法，这样一方面为了便于对单调性概念有更好地理解，同时也为今后学习函数的其他概念和性质提供一定的参考方法。3、在单调性概念的教学与研究中要体现出单调性是函数的一个局部性质 函数的单调性是研究“当自变量不断增大时，函数值随着增大还是减小”，即函数图像的升降性，与函数奇偶性不同，函数的奇偶性是研究“当自变量的值互为相反数时，函数值是否也互为相反数”，即函数图像的对称性。函数的单调性与函数的极值是函数的局部性质，与函数的奇偶性、最大（或小）值有着本质的区别，后者是函数的整体性质，在教学中要体现出函数的单调区间是函数定义域上的一个子集（区间），关注的是函数在这个子集上的增减性。通过函数的图形以及一些具体的函数发现“有些函数在整个定义域中具有单调性，而有些函数在整个定义域中不具有单调性，可能在某个区间上具有单调性”4、函数的单调性的概念是研究具体函数单调性的依据，同时广泛的应用于函数的其他性质和其他数学分支中 函数的单调性的概念是研究具体函数单调性的依据，在研究函数的值域、定义域、最大值、最小值等性质中有重要的应用（内部）；在解不等式、证明不等式、数列的性质以及其他内容的研究中也有重要的作用（外部）。由此可见，不论在函数内部还是函数外部，函数的单调性有广泛的应用价值，因而在数学中具有核心地位 三、学情分析：1、学生已有的知识储备情况 函数概念是中学数学的核心概念之一，函数的单调性的概念又是函数的核心概念之一。由于受到不同年龄阶段认知发展水平、生活经验、学习经验的影响，学生对他们的认识和领悟过程不是线性的，而是一个循序渐进、螺旋上升的过程，学生进入高一阶段在学习函数概 2 念的基础之上来学习函数的单调性有三个基础。一是知识的，他们在初中已经学习了函数的感念，初步认识到函数是一个刻画某些运动变化数量关系的数学概念；在高中又进一步学习了函数的概念，认识到函数是两个数集之间的一种特殊的对应，学生还了解了函数的三种表示方法，此外，还学习了一次函数、二次函数、反比例函数等几个简单而具体的函数。二是经验的，他们了解了函数在实际问题中的一些应用，掌握了简单函数的的图像特征及函数的一些简单的性质，同时，学生还有利用函数的性质进行两个数大小比较的经验。三是思维水平的，主要是形象思维，并逐步向简单的逻辑思维过度。2、预计的学生在本节课学习中的难度及对策 对“从函数图像的升降性来直观描述函数的单调性的特征”学生并不感到困难。难度在于：把具体的、直观形象的函数单调性的特征用数学符号语言进行定量刻画，其中最难理解的是为什么要在区间上任取自变量的两个大小不同的数值。在教学中一方面要结合一些具体的函数的图象让学生了解到函数的单调性表现在图像上就是图象的升降性；然后老师引导学生提出“函数是增函数（或减函数）就是随着自变量的值的增大，函数值也随之增大（或减小）”定性描述；通过讨论、交流，就一般函数进行刻画，提出“增函数就是在某区间上，如果对于任意的 x1x2，有 f(x1)f(x2)”，的定量描述，进而给出增函数的定义，然后进行对比给出减函数的定义；最后结合两个具体的例子来说明定义中的“为什么是自变量的任意两个不同的值而不是一个或者多个？”，这样对函数的单调性就有了更为深刻的理解和掌握。另外，仅仅在一节课中完成对单调性概念的完全理解是不现实的，在今后的学习中，学生通过对函数单调性的判断，寻找函数的单调区间，运用单调性解决具体问题等可以逐步的理解这个概念。四、教学目标及分解 本节课的总体教学目标是：让学生理解函数在某个区间上单调的意义，初步掌握用单调性的定义证明一些简单的函数在某个区间上是增函数或者减函数的方法。在教学中具体分解为以下几个具体的子目标：1、能够以具体的例子说明函数在某个区间上是增函数还是减函数；2、能够举例，并通过图形说明函数在定义域的某个子集（区间）上具有单调性，而在整个定义域上未必具有单调性，从而说明函数的单调性是函数的局部性质；3、对于一个具体的函数，能够用定义证明它在某个区间上是增函数还是减函数，掌握证明单调性的方法与步骤：任取 x1，x2D，且 x1x2；作差 f(x1)f(x2)；变形（通常是因式分解和配方）；定号（即判断差 f(x1)f(x2)的正负）；下结论（即指出函数 f(x)在给定的区间 D上的单调性）（普通高中数学课程标准明确提出了提高学生的知识与技能、重视学生的学习过程与方法，培养学生的情感态度、价值观的三维目标。为此，结合本节课的教学内容，在教学中注重过程与方法，引导学生不断提出问题、研究问题、并解决问题，重视互动交流，在教学过程中渗透情感态度与价值观）五、教学基本流程：单调性的直观感受-单调性的定性描述-单调性的定量刻画-单调性的具体应用 六、教学过程设计 教学环节 问题情境 师生互动 设计意图 3 创设情景 引入新课 观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化特征吗？学生可能的答案是：第一个图中的函数图像，自左而右是上升的，同时图像关于原点对称；第二个图像，自左而右有时是上升的、有时是下降的；第三个图像自左而右有时是上升的、有时是下降的，同时图像关于 y 轴对称。教师要引导，借助于对图像的观察，对所观察到的特征进行归类，及时指出本节课重点讨论图像的升降性，由图像的升降性所表现出的函数的性质就是函数的单调性-板书课题函数的单调性 从形到数，借助对函数图像的观察而获得的图像特征，想象出相应函数的性质 合作学习 问题探究 问题 1、画出一次函数 f(x)=x 及二次函数f(x)=x2的图像，说说随着 x 的增大，图像的升降情况 函数 f(x)=x 的图像自左向右是上升的，函数 f(x)=x2的图像在 y 轴左侧自左向右是下降的，在 y 轴右侧自左向右是上升的。教师要引导学生对函数单调性做直观描述：函数在自变量x 的某个区间上的图像如果自左向右是上升的，那么函数在这个区间上是增函数，如果图像是下降的，则函数在这个区间上是减函数 以一次函数和二次函数为载体借助于图像的直观性给出函数单调性的直观性定义，从而使学生对函数的单调性有感性的认识 问题 2、完成下列表格，观察表格说说二次函数 f(x)=x2随着 x 的增大函数值 y 的变化规律是什么？是逐步增大还是逐步减小？x -3-2-1 0 1 2 3 Y=f(x)当0 x是随着自变量 x 的增大，函数值Y 逐步增大；当0 x是随着自变量 x 的增大，函数值 Y 逐步减小 教师要引导学生对函数的单调性做定性描述：函数在自变量 x 的某个区间上随着自变量的增大，函数值逐步增大，那么函数在这个区间上是增函数，相应的函数值减小，则函数是减函数 以二次函数为载体，在对函数的单调性的感性认识的基础上逐步向理性转化 问题 3、对一般函数 f(x)而言，函数在定义域的某个区间上图像自左而右图像上升或下降，相应地函数值的变化规律是什么？图像上升时随着自变量的增大函数值逐步增大；图像下降时随着自变量的增大函数值逐步减小 教师要引导学生由特殊函数的图像的升降性与函数值的变化规律过渡到一般函数的图像的升降性与函数值的变化规律 由特殊函数的性质过渡到一般函数的性质，目的在于培养学生的合情推理能力 问题 4、对于随着自变量的增大，函数值逐步增大，你认为下列哪种描述更为贴切？（1）对于函数 f(x)，当自变量 x 在定义域的某个区间上的取两个特殊的值 x1，x2，当x1x2时，f(x1)f(x2)，则在这个区间上随着自变量 x 的增大，函数值 f(x)都在逐步增大，则函数在这个区间上是增函数 学生相互讨论，教师加以引导：对（1）来说教师以二次函数 f(x)=x2为例，在定义域内取x1=-1，x2=2显然x1x2 f(x1)f(x2)，但是由图像可知函数在定义域内不是增函数 让学生体会自变量的任意两个不同的值的必要性，为后面单调性定义的定量刻画奠定基础 y x 1-1-y x 1-1 1-1 y x 1-1 1-1 4 合作学习 问题探究（2）对于函数 f(x)，当自变量 x 在定义域的某个区间上的任取两个值 x1，x2，当 x1x2时，都有 f(x1)f(x2)，则在这个区间上随着自变量 x 的增大，函数值 f(x)都在逐步增大，则函数在这个区间上是增函数 由此可知要确保函数是增函数，x1，x2在这个区间必须是任意才可以 归纳总结 形成结论 一般地，设函数 y=f(x)的定义域为 I，如果对于定义域I内的某个区间D上的自变量的任意两个值x1，x2，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说 f(x)在区间 D 上是增函数 如果对于定义域I内的某个区间D上的自变量的任意两个值 x1，x2，当 x1 f(x2)，那么就说 f(x)在区间 D 上是减函数 如果函数 y=f(x)在区间 D 上是增函数或减函数，那么就说函数在这个区间上是单调函数，区间 D 叫做函数的单调区间，分为递增区间和递减区间 引导学生依据前面的讨论说出增函数的定义，同时让学生模仿增函数的定义叙述出减函数的定义 教师引导学生找出定义中的关键词：定义域内的某个区间-自变量的任意两个值-都有。通过以上对单调性的直观感受到定性描述到最终的定量刻画，循序渐进、层层深入，由特殊到一般，由直观到抽象，符合学生的认知过程 课堂练习 加深理解 练习 1、如图是定义在区间5，5上的函数y=f(x)，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？练习 2、下列说法是否正确，请画图或举例来说明理由（1）如果对于区间),0(上的任意 x，都有f(x)f(0),则函数 f(x)在区间),0(上是增函数（2）对于区间（a，b）的某三个值 x1，x2，x3，当 x1x2x3时，f(x1)f(x2)f(x3),则函数f(x)在（a，b）上是增函数 引导学生通过对图像的观察以及对具体函数的探讨进一步加深单调性的理解 练习 2（1）的设置体现在区间中任选一个值不能确定函数是否单调 练习2（2）的设置体现了：即使在区间内取三个不同的值、甚至更多的值也不能确定函数是否单调 由此可知：刻画函数的单调性不在于区间内所选取的自变量的值的多少，关键在于是否具有任意性，只要是任意的两个不同的值就可以了，以避免学生在以后的证明中“以特殊的两个不同值代替任意的两个不同值”的错误的证明。5 例题讲解 巩固知识 例、物理学中的玻意耳定律 P=Vk（k 为正常数）告诉我们，对于一定量的气体，当其体积 V 减少时，压强 P 将增大。试用函数的单调性证明之。分析：按题意，只要证明函数 P=Vk在区间（0，+）上是减函数即可 引导学生归纳函数在某个区间上是单调函数的证明方法和步骤：设 任取 x1，x2D，且x1x2；作差 f(x1)f(x2)；变形（通常是因式分解和配方）；定号（即判断差 f(x1)f(x2)的正负）；下结论（即指出函数f(x)在给定的区间 D 上的单调性）通过例题的讲解和方法步骤的归纳加深学生对函数单调性定义的理解和知识的应用 课堂练习 巩固提高 练习 3、画出反比例函数xxf1)(的图像（1）指出这个函数的单调性（2）是否可以说“函数在整个定义域内是减函数？”教师引导学生理解函 数xxf1)(在 区 间)0,(、),0(上都是减函数，在整个定义域上不是减函数，强调函数的单 调 区 间 不 能 写 成)0,(U),0(的形式 通过具体问题，使学生认识到函数的单调性是函数在定义域的某个区间上的性质，是函数的局部性质，在整个定义域内函数未必是单调函数 纳小结 知识整合 思考：1、函数的单调性的定义是怎样的？2、函数的单调性在图像上的表现是什么？3、函数的单调性在函数值上的变化规律是什么？4、函数的单调性是否为函数的整体性质？5、证明函数在某个区间上是增函数或是减函数的证明依据是什么？具体证明的步骤有哪些？现在对定义中的任意两个字能正确理解吗？6、判断某个函数在定义域的某个区间上是否为增函数或是减函数，你有哪些判定方法？教师引导学生对本节课的学习内容和探究方法做总结 巩固本节课所学知识以及函数单调性的探究方法 课后作业 巩固提高 习题 1.3A 组 1、2、3、4，B 组 1 说明：1、本设计是对函数单调性的整体设计，在教学中要根据学生的实际情况进行删选 2、教材中关于单调性定义的表述“任意两个自变量的值”值得商榷，改为“自变量的任意两个数值”更为准确，因为高中阶段研究的函数都是一元函数，就不可能有两个自变量。