2023年小学奥数平面几何五种面积模型.pdf
学习必备 欢迎下载 小学奥数平面几何五种模型（等积，鸟头，蝶形，相似，共边）目标：熟练掌握五大面积模型等积，鸟头，蝶形，相似（含金字塔模型和沙漏模型），共边（含燕尾模型和风筝模型），掌握五大面积模型的各种变形 知识点拨 一、等积模型 等底等高的两个三角形面积相等；两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；如右图12:SSa b 夹在一组平行线之间的等积变形，如右图ACDBCDSS；反之，如果ACDBCDSS，则可知直线AB平行于CD 等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)；三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比 二、鸟头定理 两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形 共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比 如图在ABC中，,D E分别是,AB AC上的点如图(或D在BA的延长线上，E在AC上)，则:():()ABCADESSABACADAE EDCBA EDCBA 图 图 三、蝶形定理 任意四边形中的比例关系(“蝶形定理”)：1243:SSSS或者1324SSSS1243:AO OCSSSS 蝶形定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径通过构造baS2S1DCBAS4S3S2S1ODCBA学习必备 欢迎下载 模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系 梯形中比例关系(“梯形蝶形定理”)：2213:SSab 221324:SSSSabab ab；S的对应份数为2ab 四、相似模型(一)金字塔模型 (二)沙漏模型 GFEABCD ABCDEFG ADAEDEAFABACBCAG；22:ADEABCSSAFAG：所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形(只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似)，与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比；相似三角形的面积比等于它们相似比的平方；连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线 三角形中位线定理：三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半 相似三角形模型，给我们提供了三角形之间的边与面积关系相互转化的工具 在小学奥数里，出现最多的情况是因为两条平行线而出现的相似三角形 五、共边定理（燕尾模型和风筝模型）在三角形ABC中，AD，BE，CF相交于同一点O，那么:ABOACOSSBD DC 上述定理给出了一个新的转化面积比与线段比的手段，因为ABO和ACO的形状很象燕子的尾巴，所以这个定理被称为燕尾定理 该定理在许多几何题目中都有着广泛的运用，它的特殊性在于，它可以存在于任何一个三角形之中，为ABCDObaS3S2S1S4OFEDCBA的两个三角形面积相等两个三角形高相等面积比等于它们的底之比两个正方形可以看作特殊的平行四边形三角形面积等于与它等底等高的平行补这两个三角形叫做共角三角形共角三角形的面积比等于对应角相等角学习必备 欢迎下载 三角形中的三角形面积对应底边之间提供互相联系的途径.典型例题【例 1】如图，正方形ABCD的边长为 6，AE 1.5，CF 2长方形EFGH的面积为 【解析】连接DE，DF，则长方形EFGH的面积是三角形DEF面积的二倍 三角形DEF的面积等于正方形的面积减去三个三角形的面积，661.5622624.54216.5DEFS ,所以长方形EFGH面积为 33【巩固】如图所示，正方形ABCD的边长为8厘米，长方形EBGF的长BG为10厘米，那么长方形的宽为几厘米？【解析】本题主要是让学生会运用等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半 证明：连接AG(我们通过ABG把这两个长方形和正方形联系在一起)在正方形ABCD中，G12ABSABAB 边上的高，12ABGABCDSS(三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半)同理，12ABGEFGBSS 正 方 形ABCD与 长 方 形E F G B面 积 相 等 长 方 形 的 宽881 06.(厘米)_ H_ G_ F_ E_ D_ C_ B_ A_ A_ B_ C_ D_ E_ F_ G_ H_ A_ B_ G _ C _ E_ F_ D _ A_ B_ G _ C _ E_ F_ D 的两个三角形面积相等两个三角形高相等面积比等于它们的底之比两个正方形可以看作特殊的平行四边形三角形面积等于与它等底等高的平行补这两个三角形叫做共角三角形共角三角形的面积比等于对应角相等角学习必备 欢迎下载 【例 2】长方形ABCD的面积为 362cm，E、F、G为各边中点，H为AD边上任意一点，问阴影部分面积是多少？HGFEDCBA【解析】解法一：寻找可利用的条件，连接BH、HC，如下图：HGFEDCBA 可 得：12EHBAHBSS、12FHBCHBSS、12DHGDHCSS，而36ABCDAHBCHBCHDSSSS 即11()361822EHBBHFDHGAHBCHBCHDSSSSSS；而EHBBHFDHGEBFSSSSS阴影，11111()()364.522228EBFSBEBFABBC 所以阴影部分的面积是：18184.513.5EBFSS阴影 解法二：特殊点法找H的特殊点，把H点与D点重合，那么图形就可变成右图：GABCDEF(H)这样阴影部分的面积就是DEF的面积，根据鸟头定理，则有：11111113636363613.52222222ABCDAEDBEFCFDSSSSS 阴影 【巩固】在边长为 6 厘米的正方形ABCD内任取一点P，将正方形的一组对边二等分，另一组对边三等分，分别与P点连接,求阴影部分面积 的两个三角形面积相等两个三角形高相等面积比等于它们的底之比两个正方形可以看作特殊的平行四边形三角形面积等于与它等底等高的平行补这两个三角形叫做共角三角形共角三角形的面积比等于对应角相等角学习必备 欢迎下载 PDCBA ABCD(P)PDCBA【解析】（法 1）特殊点法由于P是正方形内部任意一点，可采用特殊点法，假设P点与A点重合，则阴影部分变为如上中图所示，图中的两个阴影三角形的面积分别占正方形面积的14和16，所以阴影部分的面积为2116()1546平方厘米（法 2）连接PA、PC 由于PAD与PBC的面积之和等于正方形ABCD面积的一半，所以上、下两个阴影三角形的面积之和等于正方形ABCD面积的14，同理可知左、右两个阴影三角形的面积之和等于正方形ABCD面积的16，所以阴影部分的面积为2116()1546平方厘米 【例 3】如图所示，长方形ABCD内的阴影部分的面积之和为 70，8AB，15AD，四边形EFGO的面积为 OGFEDCBA【解析】利用图形中的包含关系可以先求出三角形AOE、DOG和四边形EFGO的面积之和，以及三角形AOE和DOG的面积之和，进而求出四边形EFGO的面积 由于长方形ABCD的面积为158120，所以三角形BOC的面积为1120304，所以三角形AOE和DOG的面积之和为312070204；又三角形AOE、DOG和四边形EFGO的面积之和为111203024，所以四边形EFGO的面积为302010 另解：从整体上来看，四边形EFGO的面积三角形AFC面积三角形BFD面积白色部分的面积，而三角形AFC面积三角形BFD面积为长方形面积的一半，即 60，白色部分的面积等于长方形面积减去阴影部的两个三角形面积相等两个三角形高相等面积比等于它们的底之比两个正方形可以看作特殊的平行四边形三角形面积等于与它等底等高的平行补这两个三角形叫做共角三角形共角三角形的面积比等于对应角相等角学习必备 欢迎下载 分的面积，即1207050，所以四边形的面积为605010 【巩固】如图，长方形ABCD的面积是 36，E是AD的三等分点，2AEED，则阴影部分的面积为 OABCDE NMOABCDE【解析】如图，连接OE 根 据 蝶 形 定 理，1:1:12COECDECAECDEONNDSSSS，所 以12OENOEDSS；1:1:42BOEBAEBDEBAEOMMASSSS，所以15OEMOEASS 又11334OEDABCDSS 矩形，26OEAOEDSS，所以阴影部分面积为：11362.725 【例 4】已知ABC为等边三角形，面积为 400，D、E、F分别为三边的中点，已知甲、乙、丙面积和为 143，求阴影五边形的面积(丙是三角形HBC)丙乙甲HNMJIFEDCBA【解析】因为D、E、F分别为三边的中点，所以DE、DF、EF是三角形ABC的中位线，也就与对应的边平行，根据面积比例模型，三角形ABN和三角形AMC的面积都等于三角形ABC的一半，即为 200 根据图形的容斥关系，有ABCABNAMCAMHNSSSSS丙，即400 200200AMHNSS丙，所以AMHNSS丙 又ADFAMHNSSSSS乙甲阴影，所以1143400434ADFSSSSS 乙甲丙阴影 的两个三角形面积相等两个三角形高相等面积比等于它们的底之比两个正方形可以看作特殊的平行四边形三角形面积等于与它等底等高的平行补这两个三角形叫做共角三角形共角三角形的面积比等于对应角相等角学习必备 欢迎下载 【例 5】如图，已知5CD，7DE，15EF，6FG，线段AB将图形分成两部分，左边部分面积是 38，右边部分面积是 65，那么三角形ADG的面积是 GFEDCBA ABCDEFG【解析】连接AF，BD 根据题意可知，571527CF ；715628DG ；所以，1527BECBFFSS，1227BECBFCSS，2128AEGADGSS，728AEDADGSS，于是：2115652827ADGCBFSS；712382827ADGCBFSS；可得40ADGS故三角形ADG的面积是 40 【例 6】如图在ABC中，,D E分别是,AB AC上的点，且:2:5AD AB，:4:7AE AC，16ADES平方厘米，求ABC的面积 EDCBA EDCBA【解析】连接BE，:2:5(24):(54)ADEABESSAD AB，:4:7(45):(75)ABEABCSSAE AC，所以:(24):(7A D EA B CSS，设8ADES份，则35ABCS份，16ADES平方厘米，所以1份是2平方厘米，35份就是70平方厘米，ABC的面积是70平方厘米由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比 【巩固】如图，三角形ABC中，AB是AD的 5 倍，AC是AE的 3 倍，如果三角形ADE的面积等于 1，那么三角形ABC的面积是多少？的两个三角形面积相等两个三角形高相等面积比等于它们的底之比两个正方形可以看作特殊的平行四边形三角形面积等于与它等底等高的平行补这两个三角形叫做共角三角形共角三角形的面积比等于对应角相等角学习必备 欢迎下载 EDCBA ABCDE【解析】连接BE 3ECAE 3ABCABESS 又5ABAD 515ADEABEABCSSS，1515ABCADESS 【巩固】如图，三角形ABC被分成了甲(阴影部分)、乙两部分，4BDDC，3BE，6AE，乙部分面积是甲部分面积的几倍？乙甲EDCBA ABCDE甲乙【解析】连接AD 3BE，6AE 3ABBE，3ABDBDESS 又4BDDC，2ABCABDSS，6ABCBDESS，5SS乙甲 【例 7】如图在ABC中，D在BA的延长线上，E在AC上，且:5:2AB AD，:3:2AE EC，12ADES平方厘米，求ABC的面积 EDCBA EDCBA【解析】连接BE，:2:5(23):(53)ADEABESSAD AB :3:(32)(35):(32)5ABEABCSSAE AC ，所以:(32):5(32)6:25AD EAB CSS ，设6AD ES份，则25ABCS份，12ADES平方厘米，所以1份是2平方厘米，25份就是50平方厘米，ABC的面积是50平方厘米由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比 的两个三角形面积相等两个三角形高相等面积比等于它们的底之比两个正方形可以看作特殊的平行四边形三角形面积等于与它等底等高的平行补这两个三角形叫做共角三角形共角三角形的面积比等于对应角相等角学习必备 欢迎下载 【例 8】如图，平行四边形ABCD，BEAB，2CFCB，3GDDC，4HAAD，平行四边形ABCD的面积是2，求平行四边形ABCD与四边形EFGH的面积比 HGABCDEF HGABCDEF【解析】连接AC、BD根据共角定理 在ABC和BFE中，ABC与FBE互补，1 111 33ABCFBESAB BCSBE BF 又1ABCS，所以3FBES 同理可得8GCFS，15DHGS，8AEHS 所以8815+3+236EFGHAEHCFGDHGBEFABCDSSSSSS 所以213618ABCDEFGHSS 【例 9】如图所示的四边形的面积等于多少？ODCBA1313121213131212【解析】题目中要求的四边形既不是正方形也不是长方形，难以运用公式直接求面积.我们可以利用旋转的方法对图形实施变换：把三角形OAB绕顶点O逆时针旋转，使长为13的两条边重合，此时三角形OAB将旋转到三角形OCD 的位置.这样，通过旋转后所得到的新图形是一个边长为12的正方形，且这个正方形的面积就是原来四边形的面积.因此，原来四边形的面积为12 12144.(也可以用勾股定理)【例 10】如图所示，ABC中，90ABC，3AB，5BC，以AC为一边向ABC外作正方形ACDE，中心为O，求OBC的面积 的两个三角形面积相等两个三角形高相等面积比等于它们的底之比两个正方形可以看作特殊的平行四边形三角形面积等于与它等底等高的平行补这两个三角形叫做共角三角形共角三角形的面积比等于对应角相等角学习必备 欢迎下载 53OABCDE F53OABCDE【解析】如图，将OAB沿着O点顺时针旋转90，到达OCF的位置 由于90ABC，90AOC，所以180OABOCB 而OCFOAB，所以180OCFOCB，那么B、C、F三点在一条直线上 由于OBOF，90BOFAOC ，所以BOF是等腰直角三角形，且斜边BF为538，所以它的面积为218164 根据面积比例模型，OBC的面积为516108 【例 11】如图，以正方形的边AB为斜边在正方形内作直角三角形ABE，90AEB，AC、BD交于O已知AE、BE的长分别为3cm、5cm，求三角形OBE的面积 ABCDOE FABCDOE【解析】如图，连接DE，以A点为中心，将ADE顺时针旋转90到ABF的位置 那么90EAFEABBAFEABDAE ，而AEB也是90，所以四边形AFBE是直角梯形，且3AFAE，所以梯形AFBE的面积为：1353122 (2cm)又因为ABE是直角三角形，根据勾股定理，222223534ABAEBE，所以21172ABDSAB(2cm)那么17125BDEABDABEADEABDAFBESSSSSS(2cm)，所以12.52OBEBDESS(2cm)的两个三角形面积相等两个三角形高相等面积比等于它们的底之比两个正方形可以看作特殊的平行四边形三角形面积等于与它等底等高的平行补这两个三角形叫做共角三角形共角三角形的面积比等于对应角相等角学习必备 欢迎下载【例 12】如下图，六边形ABCDEF中，ABED，AFCD，BCEF，且有AB平行于ED，AF平行于CD，BC平行于EF，对角线FD垂直于BD，已知24FD 厘米，18BD 厘米，请问六边形ABCDEF的面积是多少平方厘米？FEABDC GFEABDC【解析】如图，我们将BCD平移使得CD与AF重合，将DEF平移使得ED与AB重合，这样EF、BC都重合到图中的AG了这样就组成了一个长方形BGFD，它的面积与原六边形的面积相等，显然长方形BGFD的面积为24 18432 平方厘米，所以六边形ABCDEF的面积为432平方厘米 【例 13】如图，三角形ABC的面积是1，E是AC的中点，点D在BC上，且:1:2BD DC，AD与BE交于点F则四边形DFEC的面积等于 FEDCBA33321FEDCBA ABCDEF【解析】方法一：连接CF，根据燕尾定理，12ABFACFSBDSDC，1ABFCBFSAESEC,设1BDFS份，则2DCFS份，3ABFS份，3AEFEFCSS份，如图所标 所以551212DCEFABCSS 方法二：连接DE，由题目条件可得到1133ABDABCSS，11212233ADEADCABCSSS，所以11ABDADESBFFES，的两个三角形面积相等两个三角形高相等面积比等于它们的底之比两个正方形可以看作特殊的平行四边形三角形面积等于与它等底等高的平行补这两个三角形叫做共角三角形共角三角形的面积比等于对应角相等角学习必备 欢迎下载 111111122323212DEFDEBBECABCSSSS ，而211323CDEABCSS 所以则四边形DFEC的面积等于512【巩固】如图，长方形ABCD的面积是2平方厘米，2ECDE，F是DG的中点 阴影部分的面积是多少平方厘米?xyyxABCDEFGGFEDCBA33GFEDCBA213【解析】设1DEFS份，则根据燕尾定理其他面积如图所示551212BCDSS阴影平方厘米.【例 14】四边形ABCD的对角线AC与BD交于点O(如图所示)如果三角形ABD的面积等于三角形BCD的面积的13，且2AO，3DO，那么CO的长度是DO的长度的_倍 ABCDO HGABCDO【解析】在本题中，四边形ABCD为任意四边形，对于这种”不良四边形”，无外乎两种处理方法：利用已知条件，向已有模型靠拢，从而快速解决；通过画辅助线来改造不良四边形看到题目中给出条件:1:3ABDBCDSS，这可以向模型一蝶形定理靠拢，于是得出一种解法 又观察题目中给出的已知条件是面积的关系，转化为边的关系，可以得到第二种解法，但是第二种解法需要一个中介来改造这个”不良四边形”，于是可以作AH垂直BD于H，CG垂直BD于G，面积比转化为高之比再应用结论：三角形高相同，则面积之比等于底边之比，得出结果请老师注意比较两种解法，使学生体会到蝶形定理的优势，从而主观上愿意掌握并使用蝶形定理解决问题 解法一：:1:3ABDBDCAO OCSS，23 6OC ，:6:3 2:1O CO D 解法二：作AHBD于H，CGBD于G 13ABDBCDSS，13AHCG，13AODDOCSS，13AOCO，2 36OC ，:6:32:1OC OD 的两个三角形面积相等两个三角形高相等面积比等于它们的底之比两个正方形可以看作特殊的平行四边形三角形面积等于与它等底等高的平行补这两个三角形叫做共角三角形共角三角形的面积比等于对应角相等角学习必备 欢迎下载【巩固】如图，四边形被两条对角线分成 4 个三角形，其中三个三角形的面积已知，求：三角形BGC的面积；:AG GC？ABCDG321【解析】根据蝶形定理，123BGCS ，那么6BGCS；根据蝶形定理，:12:361:3AG GC 【例 15】如图，平行四边形ABCD的对角线交于O点，CEF、OEF、ODF、BOE的面积依次是 2、4、4 和 6求：求OCF的面积；求GCE的面积 OGFEDCBA【解析】根据题意可知，BCD的面积为244616 ，那么BCO和CDO的面积都是1628，所以OCF的面积为844；由于BCO的面积为 8，BOE的面积为 6，所以OCE的面积为862，根 据 蝶 形 定 理，:2:41:2COECOFEG FGSS，所 以:1GCEGCFSSEGFG，那么11221233GCECEFSS 【例 16】如图，长方形ABCD中，:2:3BE EC，:1:2DFFC，三角形DFG的面积为2平方厘米，求长方形ABCD的面积 的两个三角形面积相等两个三角形高相等面积比等于它们的底之比两个正方形可以看作特殊的平行四边形三角形面积等于与它等底等高的平行补这两个三角形叫做共角三角形共角三角形的面积比等于对应角相等角学习必备 欢迎下载 ABCDEFG ABCDEFG【解析】连接AE，FE 因为:2BEEC，:1:2DFFC，所以3111()53210DEFABCDABCDSSS 长方形长方形 因为12AEDABCDSS长方形，11:5:12 10AG GF，所以510AGDGDFSS平方厘米，所以12AFDS平方厘米因为16AFDABCDSS长方形，所以长方形ABCD的面积是72平方厘米 【例 17】如图，正方形ABCD面积为3平方厘米，M是AD边上的中点求图中阴影部分的面积 GMDCBA【解析】因为M是AD边上的中点，所以:1:2AMBC，根据梯形蝶形定理可以知道 22:1:1 2:1 2:21:2:2:4AMGABGMCGBCGSSSS（）（），设1A G MS份，则123M C DS 份，所 以 正 方 形 的 面 积 为1224312 份，224S阴影份，所以:1:3SS阴影正方形，所以1S阴影平方厘米 【巩固】在下图的正方形ABCD中，E是BC边的中点，AE与BD相交于F点，三角形BEF的面积为 1 平方厘米，那么正方形ABCD面积是 平方厘米 的两个三角形面积相等两个三角形高相等面积比等于它们的底之比两个正方形可以看作特殊的平行四边形三角形面积等于与它等底等高的平行补这两个三角形叫做共角三角形共角三角形的面积比等于对应角相等角学习必备 欢迎下载 ABCDEF【解析】连 接DE，根 据 题 意 可 知:1:2BE AD，根 据 蝶 形 定 理 得2129S 梯形（）(平 方 厘 米)，3ECDS(平 方 厘 米)，那 么12ABCDS(平方厘米)【例 18】已知ABCD是平行四边形，:3:2BC CE，三角形ODE的面积为 6 平方厘米则阴影部分的面积是 平方厘米 OEABCDOEABCD【解析】连接AC 由于ABCD是平行四边形，:3:2BC CE，所以:2:3CEAD，根据梯形蝶形定理，22:2:23:23:34:6:6:9COEAOCDOEAODSSSS，所以6AOCS(平 方 厘 米)，9AODS(平 方 厘 米)，又691ABCACDSS (平方厘米)，阴影部分面积为61521(平方厘米)【巩固】右图中ABCD是梯形，ABED是平行四边形，已知三角形面积如图所示(单位：平方厘米)，阴影部分的面积是 平方厘米 21ABCDE94 21ABCDEO94 的两个三角形面积相等两个三角形高相等面积比等于它们的底之比两个正方形可以看作特殊的平行四边形三角形面积等于与它等底等高的平行补这两个三角形叫做共角三角形共角三角形的面积比等于对应角相等角学习必备 欢迎下载【分析】连接AE由于AD与BC是平行的，所以AECD也是梯形，那么OCDOAESS 根据蝶形定理，4936OCDOAEOCEOADSSSS ，故236OCDS，所以6OCDS(平方厘米)【巩固】右图中ABCD是梯形，ABED是平行四边形，已知三角形面积如图所示(单位：平方厘米)，阴影部分的面积是 平方厘米 1682ABCDEO1682ABCDE【解析】连接AE由于AD与BC是平行的，所以AECD也是梯形，那么OCDOAESS 根据蝶形定理，2816OCDOAEOCEOADSSSS ，故216OCDS，所以4OCDS(平方厘米)另解：在平行四边形ABED中，111681222ADEABEDSS (平方厘米)，所以1284AOEADEAODSSS(平方厘米)，根据蝶形定理，阴影部分的面积为8244 (平方厘米)【例 19】如图，长方形ABCD被CE、DF分成四块，已知其中 3 块的面积分别为 2、5、8 平方厘米，那么余下的四边形OFBC的面积为_平方厘米?852OABCDEF?852OABCDEF【解析】连接DE、CF 四边形EDCF为梯形，所以EODFOCSS，又根据蝶形定理，EODFOCEOFCODSSSS，所以2816EODFOCEOFCODSSSS ，所以4EODS(平方厘米)，4812ECDS (平方厘米)那么长方形ABCD的面积为12224 平方厘米，四边形OFBC的面积为245289 (平方厘的两个三角形面积相等两个三角形高相等面积比等于它们的底之比两个正方形可以看作特殊的平行四边形三角形面积等于与它等底等高的平行补这两个三角形叫做共角三角形共角三角形的面积比等于对应角相等角学习必备 欢迎下载 米)【例 20】如图，ABC是等腰直角三角形，DEFG是正方形，线段AB与CD相交于K点已知正方形DEFG的面积 48，:1:3AK KB，则BKD的面积是多少？KGFEDCBAMKGFEDCBA【解析】由于DEFG是正方形，所以DA与BC平行，那么四边形ADBC是梯形在梯形ADBC中，BDK和ACK的面积是相等的 而:1:3AK KB，所以ACK的面积是ABC面积的11134，那么BDK的面积也是ABC面积的14 由于ABC是等腰直角三角形，如果过A作BC的垂线，M为垂足，那么M是BC的中点，而且AMDE，可见ABM和ACM的面积都等于正方形DEFG面积的一半，所以ABC的面积与正方形DEFG的面积相等，为48 那么BDK的面积为148124 【例 21】下图中，四边形ABCD都是边长为 1 的正方形，E、F、G、H分别是AB，BC，CD，DA的中点，如果左图中阴影部分与右图中阴影部分的面积之比是最简分数mn，那么，()mn的值等于 ABCDEFGH HGFEDCBA【解析】左、右两个图中的阴影部分都是不规则图形，不方便直接求面积，观察发现两个图中的空白部分面积都比较好求，所以可以先求出空白部分的面积，再求阴影部分的面积 如下图所示，在左图中连接EG设AG与DE的交点为M 左图中AEGD为长方形，可知AMD的面积为长方形AEGD面积的14，所以三角形AMD的面积为21111248 又左图中四个空白三角形的面积是相等的，所以左图中阴影部分的面积为111482 的两个三角形面积相等两个三角形高相等面积比等于它们的底之比两个正方形可以看作特殊的平行四边形三角形面积等于与它等底等高的平行补这两个三角形叫做共角三角形共角三角形的面积比等于对应角相等角学习必备 欢迎下载 MABCDEFGHNHGFEDCBA 如上图所示，在右图中连接AC、EF设AF、EC的交点为N 可知EFAC且2ACEF那么三角形BEF的面积为三角形ABC面积的14，所以三角形BEF 的面积为21111248 ，梯形AEFC的面积为113288 在梯形AEFC中，由于:1:2EFAC，根据梯形蝶形定理，其四部分的面积 比 为：221:12:12:21:2:2:4，所 以 三 角 形EFN的 面 积 为3118122424 ，那么四边形BENF的面积为1118246而右图中四个空白四边形的面积是相等的，所以右图中阴影部分的面积为111463 那么左图中阴影部分面积与右图中阴影部分面积之比为1 1:3:22 3，即32mn，那么325mn 【例 22】如图，ABC中，DE，FG，BC互相平行，ADDFFB，则:ADEDEGFFGCBSSS四边形四边形 EGFADCB【解析】设1ADES份，根据面积比等于相似比的平方，所以22:1:4ADEAFGSSADAF，22:1:9ADEABCSSADAB，因此4AFGS份，9ABCS份，进而有3DEGFS四边形份，5FGCBS四边形份，所以:1:3:5ADEDEGFFGCBSSS四边形四边形 【巩固】如图，DE平行BC，且2AD，5AB，4AE，求AC的长 的两个三角形面积相等两个三角形高相等面积比等于它们的底之比两个正方形可以看作特殊的平行四边形三角形面积等于与它等底等高的平行补这两个三角形叫做共角三角形共角三角形的面积比等于对应角相等角学习必备 欢迎下载 AEDCB【解析】由金字塔模型得:2:5AD ABAE ACDE BC，所以42 510AC 【巩固】如图，ABC中，DE，FG，MN，PQ，BC互相平行，ADDFFMMPPB，则:ADEDEGFFGNMMNQPPQCBSSSSS四边形四边形四边形四边形 【解析】设1ADES份，22:1:4ADEAFGSSADAF，因此4AFGS份，进而有3DEGFS四边形份，同理有5F G N MS四边形份，7MNQPS四边形份，9PQCBS四边形份 所以有:1:3:5:7:9ADEDEGFFGNMMNQPPQCBSSSSS四边形四边形四边形四边形【例 23】如图，已知正方形ABCD的边长为4，F是BC边的中点，E是DC边上的点，且:1:3DE EC，AF与BE相交于点G，求ABGS GFAEDCBMGFAEDCBGFAEDCB【解析】方法一：连接AE，延长AF，DC两条线交于点M，构造出两个沙漏，所以有:1:1AB CMBFFC，因此4CM，根据题意有3CE，再根据另一个沙漏有:GBGEABEM，所以4432(442)471111ABGABESS 方 法 二：连 接,AE EF，分 别 求4224ABFS ，444 1232247AEFS ，根据蝶形定理:ABFAEFSSBGGE，所以4432(442)471111ABGABESS 【例 24】如图所示，已知平行四边形ABCD的面积是 1，E、F是AB、AD的中点，BF交EC于M，求BMG的面积 QEGNMFPADCB的两个三角形面积相等两个三角形高相等面积比等于它们的底之比两个正方形可以看作特殊的平行四边形三角形面积等于与它等底等高的平行补这两个三角形叫做共角三角形共角三角形的面积比等于对应角相等角学习必备 欢迎下载 MHGFEDCBA IABCDEFGHM【解析】解法一：由题意可得，E、F是AB、AD的中点，得/EFBD，而:1:2FDBCFHHC，:1:2EB CDBG GD所以:2:3CH CFGHEF，并得G、H是BD的三等分点，所以BGGH，所以:2:3BG EFBMMF，所以25BMBF，11112224BFDABDABCDSSS；又因为13BGBD，所以1212113535430BMGBFDSS 解法二：延长CE交DA于I，如右图，可得，:1:1AI BCAE EB，从而可以确定M的点的位置，:2:3BMMFBC IF，25BMBF，13BGBD(鸟头定理)，可得2121115353430BMGBDFABCDSSS 【例 25】如图，ABCD为正方形，1cmAMNBDEFC且2 cmMN，请问四边形PQRS的面积为多少？SRBCDAEQNMFP SRBCDAEQNMFP【解析】(法1)由/ABCD，有MPPCMNDC，所以2PCPM，又MQMBQCEC，所以 12MQQCMC，所以111236PQMCMCMC，所以SPQRS占AMCFS的16，的两个三角形面积相等两个三角形高相等面积比等于它们的底之比两个正方形可以看作特殊的平行四边形三角形面积等于与它等底等高的平行补这两个三角形叫做共角三角形共角三角形的面积比等于对应角相等角学习必备 欢迎下载 所以121(112)63SPQRS 2(cm)(法2)如图，连结AE，则14482ABES (2cm)，而RBERABEF，所以2RBABEFEF，22168333ABRABESS (2cm)而1134322MBQANSSS (2cm)，因为MNMPDCPC，所以13MPMC，则11424233MNPS (2cm)，阴影部分面积等于 164233333ABRANSMBQMNPSSSS (2cm)【例 26】如右图，三角形ABC中，:4:9BD DC，:4:3CE EA，求:AF FB OFEDCBA【解析】根据燕尾定理得:4:912:27AOBAOCSSBD CD :3:412:16AOBBOCSSAE CE（都有AOB的面积要统一，所以找最小公倍数）所以:27:16:AOCBOCSSAF FB【点评】本题关键是把AOB的面积统一，这种找最小公倍数的方法，在我们用比例解题中屡见不鲜，如果能掌握它的转化本质，我们就能达到解奥数题四两拨千斤的巨大力量！【巩固】如右图，三角形ABC中，:3:4BD DC，:5:6AE CE，求:AF FB.OFEDCBA【解析】根据燕尾定理得:3:415:20AOBAOCSSBD CD :5:615:18AOBBOCSSAE CE（都有AOB的面积要统一，所以找最小公倍数）所以:20:1810:9:AOCBOCSSAF FB 【巩固】如右图，三角形ABC中，:2:3BD DC，:5:4EA CE，求:AF FB.的两个三角形面积相等两个三角形高相等面积比等于它们的底之比两个正方形可以看作特殊的平行四边形三角形面积等于与它等底等高的平行补这两个三角形叫做共角三角形共角三角形的面积比等于对应角相等角学习必备 欢迎下载 OFEDCBA【解析】根据燕尾定理得:2:310:15AOBAOCSSBD CD :5:410:8AOBBOCSSAE CE（都有AOB的面积要统一，所以找最小公倍数）所以:15:8:AOCBOCSSAF FB【点评】本题关键是把AOB的面积统一，这种找最小公倍数的方法，在我们用比例解题中屡见不鲜，如果能掌握它的转化本质，我们就能达到解奥数题四两拨千斤的巨大力量！【例 27】如右图，三角形ABC中，:3:2AF FBBD DCCEAE，且三角形ABC的面积是1，则三角形ABE的面积为_，三角形AGE的面积为_，三角形GHI的面积为_ IHGFEDCBA IHGFEDCBA【分析】连接AH、BI、CG 由于:3:2CEAE，所以25AEAC，故2255ABEABCSS；根据燕尾定理，:2:3ACGABGSSCD BD，:3:2BCGABGSSCE EA，所以:4:6:9ACGABGBCGSSS，则419ACGS，919BCGS；那么2248551995AGEAGCSS；同样分 析 可得919ACHS，则:4ACGACHEGEHSS，:4:19ACGACBEG EBSS，所 以:4:5:1E GG HH B，同 样 分 析 可 得:1 0:5A GG II D，所以5521101055BIEBAESS，55111919519GHIBIESS 【巩固】如右图，三角形ABC中，:3:2AF FBBD DCCEAE，且三角形GHI的面积是1，求三角形ABC的面积 的两个三角形面积相等两个三角形高相等面积比等于它们的底之比两个正方形可以看作特殊的平行四边形三角形面积等于与它等底等高的平行补这两个三角形叫做共角三角形共角三角形的面积比等于对应角相等角学习必备 欢迎下载 IHGFEDCBAIHGFEDCBA【解析】连接BG，AGCS6份 根据燕尾定理，:3:26:4AGCBGCSSAF FB，:3:29:6ABGAGCSSBD DC 得4BGCS(份)，9ABGS(份)，则19ABCS(份)，因此619AGCABCSS,同理连接AI、CH得619ABHABCSS,619BICABCSS,所以1966611919GHIABCSS 三角形GHI的面积是 1，所以三角形ABC的面积是 19 【巩固】如图，ABC中2BDDA，2CEEB，2AFFC，那么ABC的面积是阴影三角形面积的 倍 ABCDEFGHI IHGFEDCBA【分析】如图，连接AI 根据燕尾定理，:2:1BCIACISSBD AD，:1:2BCIABISSCFAF，所以，:1:2:4ACIBCIABISSS，那么，221247BCIABCABCSSS 同理可知ACG和ABH的面积也都等于ABC面积的27，所以阴影三角形的面积等于ABC面积的211377 ，所以ABC的面积是阴影三角形面积的 7 倍 【巩固】如图在ABC中，12DCEAFBDBECFA,求GHIABC的面积的面积的值 的两个
