2023年《复变函数与积分变换》期末考试试卷及超详细解析超详细解析超详细解析答案[1].pdf

1/8 共 6 页第 页 1 一填空题（每小题 3 分，共计 15 分）1231i的幅角是（2,1,0,23kk）；2.)1(iLn的主值是（i432ln21 ）；3.211)(zzf，)0()5(f（0 ），40z是 4sinzzz 的（一级 ）极点；5 zzf1)(，),(Rezfs（-1）；二选择题（每题 4 分，共 24 分）1解析函数),(),()(yxivyxuzf的导函数为（B ）；（A）yxiuuzf)(；（B）yxiuuzf)(；（C）yxivuzf)(；（D）xyivuzf)(.2C是正向圆周3z，如果函数)(zf（D ），则0d)(Czzf（A）23z；（B）2)1(3zz；（C）2)2()1(3zz；（D）2)2(3z.3如果级数 1nnnzc在2z点收敛，则级数在（C）（A）2z点条件收敛；（B）iz2点绝对收敛；（C）iz 1点绝对收敛；（D）iz21点一定发散 下列结论正确的是(B )（A）如果函数)(zf在0z点可导，则)(zf在0z点一定解析；(B)如果)(zf在 C所围成的区域内解析，则0)(Cdzzf（C）如果0)(Cdzzf，则函数)(zf在 C所围成的区域内一定解析；（D）函数),(),()(yxivyxuzf在区域内解析的充分必要条件是),(yxu、),(yxv 2/8 共 6 页第 页 2 在该区域内均为调和函数 5下列结论不正确的是（D ）的可去奇点；为、zA1sin)(的本性奇点；为、zBsin)(.sin)(的孤立奇点为、zC11的孤立奇点；为、zDsin)(1 三按要求完成下列各题（每小题 10 分，共 40 分）（1）设)()(2222ydxycxibyaxyxzf是解析函数，求.,dcba 解：因为)(zf解析，由 C-R条件 yvxu xvyu ydxayx22,22dycxbyax,2,2 da，,2,2dbca,1,1bc 给出 C-R条件 6 分，正确求导给 2 分，结果正确 2 分。（2）计算Czzzzed)1(2其中 C是正向圆周：解：本题可以用柯西公式 柯西高阶导数公式计算也可用留数计算洛朗展开计算，仅给出用前者计算过程 因为函数zzezfz2)1()(在复平面内只有两个奇点1,021 zz，分别以21,zz为圆心画互不相交互不包含的小圆21,cc且位于c内21d)1(d)1(d)1(222CzCzCzzzzezzzezzze izeizeizzzz2)1(2)(2021 无论采用那种方法给出公式至少给一半分，其他酌情给分。（3）3342215d)2()1(zzzzz 解：设)(zf在有限复平面内所有奇点均在：3z内，由留数定理 3/8 共 6 页第 页 3),(Re2d)2()1(3342215zfsizzzzz -（5 分）1)1(Re22zzfsi -（8 分）234221521)1(2()11()1(1)1(zzzzzzf 0,z)12()1(11)1(34222有唯一的孤立奇点zzzzzf 1)12()1(11)1(0,1)1(Re34220202limlimzzzzzfzzfszz 33422152d)2()1(zizzzz -（10 分）（4）函数2332)3()(sin)2)(1()(zzzzzzf在扩充复平面上有什么类型的奇点？，如果有极点，请指出它的级.解：，的奇点为,3,2,1,0,)(sin)3()2)(1()(3232kkzzzzzzzf（1）的三级零点，）为（032103zkkzsin,（2）的可去奇点，是的二级极点，为，)()(,zfzzfzz210（3）的一级极点，为)(3zfz （4）的三级极点；，为)(4,3,2zfz（5）的非孤立奇点。为)(zf 备注：给出全部奇点给5 分，其他酌情给分。四、（本题 14 分）将函数)1(1)(2zzzf在以下区域内展开成罗朗级数；（1）110z，（2）10z，（3）z1 解：（1）当110z 4/8 共 6 页第 页 4)11(1)1(1)1(1)(2zzzzzf 而)1()1()11(10nnnzz 01)1()1(nnnzn 021)1()1()(nnnznzf -6分（2）当10z)1(1)1(1)(22zzzzzf=021nnzz 02nnz -10分（3）当z1)11(1)1(1)(32zzzzzf 03031)1(1)(nnnnzzzzf -14分 一填空题（每小题 3 分，共计 15 分）121 i的幅角是（,2,10,24kk ）；2.)1(iLn的主值是（42ln21i ）；3.211)(zzf，)0()7(f（0 ）；43sin)(zzzzf，0),(Rezfs（0 ）；5 21)(zzf，),(Rezfs（0 ）；5/8 共 6 页第 页 5 得分 二选择题（每小题 3 分，共计 15 分）122yx 是解析函数),(),()(yxivyxuzf的实部，则（A ）；（A）)(2)(iyxzf；（B）)(2)(iyxzf；（C）)(2)(ixyzf；（D）)(2)(ixyzf.2C是正向圆周2z，如果函数)(zf（A ），则0d)(Czzf（A）11z；（B）zzsin；（C）2)3(1z；（D）2)1(1z.3如果级数 1nnnzc在iz2点收敛，则级数在(C )（A）2z点条件收敛；（B）iz2点绝对收敛；（C）iz 1点绝对收敛；（D）iz21点一定发散 下列结论正确的是(C )（A）如果函数)(zf在0z点可导，则)(zf在0z点一定解析；(B)如果0)(Cdzzf,其中 C复平面内正向封闭曲线,则)(zf在 C所围成的区域内一定解析；（C）函数)(zf在0z点解析的充分必要条件是它在该点的邻域内一定可以展开成为0zz 的幂级数，而且展开式是唯一的；（D）函数),(),()(yxivyxuzf在区域内解析的充分必要条件是),(yxu、),(yxv在该区域内均为调和函数 5下列结论不正确的是（C ）（A）lnz是复平面上的多值函数；（B）cosz是无界函数；（C）zsin 是复平面上的有界函数；（D）ze是周期函数 三按要求完成下列各题（每小题 10 分，共计 40 分）（1）求dcba,使)()(2222ydxycxibyaxyxzf是解析函数，解：因为)(zf解析，由 C-R条件 得分 6/8 共 6 页第 页 6 yvxu xvyu ydxayx22,22dycxbyax,2,2 da，,2,2dbca,1,1bc 给出 C-R条件 6 分，正确求导给 2 分，结果正确 2 分。（2）Czzzd)1(12其中 C是正向圆周2z；解：本题可以用柯西公式 柯西高阶导数公式计算也可用留数计算洛朗展开计算，仅给出用前者计算过程 因为函数zzzf2)1(1)(在复平面内只有两个奇点1,021 zz，分别以21,zz为圆心画互不相交互不包含的小圆21,cc且位于c内21d)1(1d)1(1d)1(1222CCCzzzzzzzzz 0)1(12)1(2021zzzizi（3）计算Czzzezd)1(13，其中 C是正向圆周2z；解：设)(zf在有限复平面内所有奇点均在：2z内，由留数定理 122),(Re2(z)diczfsizfz -（5 分）z1)1111)(!31!2111(11)1(323221213zzzzzzzzezzezzz )1111)(!41!31!21(3222zzzzzzz 7/8 共 6 页第 页 7)!31!2111(1c38 izfz238(z)d2 （4）函数332)(sin)2)(1()(zzzzf在扩充复平面上有什么类型的奇点？，如果有极点，请指出它的级.，的奇点为,3,2,1,0,)(kkzzf 的三级零点，）为（032103zkkzsin,的可去奇点，是的二级极点，为)(2)(,1zfzzfz 的三级极点；，为)(4,3,2,0zfz 的非孤立奇点。为)(zf 给出全部奇点给5 分。其他酌情给分。四、（本题 14 分）将函数)1(1)(2zzzf在以下区域内展开成罗朗级数；（1）110z，（2）10z，（3）z1（1）110z，（2）10z，（3）z1 解：（1）当110z)1(1(1)1(1)1(1)(2zzzzzf 而)1()1(1(10nnzz01)1(nnzn 02)1()(nnznzf -6分（2）当10z 得分 8/8 共 6 页第 页 8)1(1)(2zzzf=02)1(1nnnzz 02)1(nnz -10分（3）当z1)11(1)1(1)(32zzzzzf 03031)1()1(1)(nnnnnzzzzf -14分