2023年工程力学下电子精品讲义第三章.pdf
学习必备 欢迎下载 第三章 扭转 3.1 扭转的概念和实例 3.2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图 3.3 纯剪切 教学时数：2 学时 教学目标：1.掌握外力偶矩的计算方法、扭矩的计算和扭矩图的绘制。2.理解薄壁圆筒的定义，掌握薄壁圆筒扭转时横截面上剪应力的计算。3.深入理解剪应力互等定理和剪切胡克定律。4.剪切变形能和比能的定义和计算。教学重点：外力偶矩的计算和扭矩图的绘制，剪应力互等定理和剪切胡克定律。教学难点：外力偶矩的计算，剪应力互等定理的理解。教学方法：板书PowerPoint,采用启发式教学和问题式教学法结合，通过提问，引导学生思考，让学生回答问题，激发学生的学习热情。教 具：教学步骤：（复习提问）（引入新课）（讲授新课）3.1 扭转的概念和实例 工程上的轴类零件是承受扭转变形的典型构件，如图 3.1 所示的攻丝丝锥，图 3.2 所示的汽车转向轴等。扭转有如下特点：1受力特点：在杆件两端垂直于杆轴线的平面内作用一对大小相等，方向相反的外力偶扭转力偶。其相应内力分量称为扭矩。学习必备 欢迎下载 2变形特点：横截面绕轴线发生相对转动，出现扭转变形。若杆件横截面上只存在扭矩一个内力分量，则这种受力形式称为纯扭转。3.2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图 一、力偶矩M 在研究扭转的应力和变形之前，先讨论作用于轴上的外力偶矩及横截面上的内力。力偶是由两个大小相等、方向相反的平行力组成的力系，它的作用是改变物体的转动状态。力与力偶臂的乘积称为力偶矩。力偶对物体的作用效果由两个因素决定：（1）力偶矩的大小；（2）力偶在作用面内的转向。Fdm 正负号表示力偶的转向：逆时针转向为正，反之则为负。如图 3.3 所示的传动机构，通常外力偶矩M不是直接给出的，而是通过轴所传递的功率P和转速 n 由下列关系计算得到的。m i n/9549rkWmNnPM (3.1)如轴在M作用下匀速转动角，则力偶做功为MA，由功率定义 MdtdMdtdAN。角速度与转速 n（单位为转/分，即 r/min）的关系为60/2 n（单位为弧度/秒，rad/s）。由于 1kW=1000N m/s，P千瓦的功率相当于每秒钟做功PW 1000，单位为 Nm；而外力偶在 1 秒钟内所作的功为 MnMW2/60（Nm）由于二者作的功应该相等，则有 MnP21000/60 由此便得（3.1）式。式中：P传递功率（千瓦，kW）n转速（r/min）如果传递功率单位是马力(PS)，由于 1PS=735.5 N m/s，则有 图 3.1 图 3.2 图 3.3 图 3.4 入理解剪应力互等定理和剪切胡克定律剪切变形能和比能的定义和计算式教学法结合通过提问引导学生思考让学生回答问题激发学生的学习热下特点受力特点在杆件两端垂直于杆轴线的平面内作用一对大小相等方学习必备 欢迎下载 nPM7024（Nm）(4-1b)式中：P传递功率（马力，PS）n转速（r/min）二、扭矩T 求出外力偶矩M后，可进而用截面法求扭转内力扭矩。如图 3.4 所示圆轴，由0 xM，从而可得 AA 截面上扭矩 T 0 MT，MT T称为截面 AA上的扭矩；扭矩的正负号规定为：按右手螺旋法则，T矢量离开截面为正，指向截面为负。或矢量与横截面外法线方向一致为正，反之为负。例 3-1 传动轴如图 3-5 a 所示，主动轮 A 输入功率50AN马力，从动轮 B、C、D 输出功率分别为15CBNN马 力，20DN马 力，轴 的 转 速 为minr/300n。试画出轴的扭矩图。解：按外力偶矩公式计算出各轮上的外力偶矩 mN11707024nNmAA mN3517024nNmmBCB mN4687024nNmDD 从受力情况看出，轴在 BC、CA、AD 三段内，各截面上的扭矩是不相等的。现在用截面法，根据平衡方程计算各段内的扭矩。在 BC 段内，以IT表示截面 II 上的扭矩，并任意地把IT的方向假设为如图 4-5 b 所示。由平衡方程0mx，有 0BmT 得 mN351BmT 负号说明，实际扭矩转向与所设相反。在 BC 段内各截面上的扭矩不变，所以在这一段内扭矩图为一水平线（图 3-5 e）。同理，在 CA 段内，由图 3-5 c，得 0BCIImmT mN702BCIImmT 在 AD 段内（图 3-5 d），0DIIImT mN468mTDIII 图 3.5 图 3.6 入理解剪应力互等定理和剪切胡克定律剪切变形能和比能的定义和计算式教学法结合通过提问引导学生思考让学生回答问题激发学生的学习热下特点受力特点在杆件两端垂直于杆轴线的平面内作用一对大小相等方学习必备 欢迎下载 与轴力图相类似，最后画出扭矩图如图 3-5 e 其中最大扭矩发生于 CA 段内，且mN702maxT。对上述传动轴，若把主动轮 A 安置于轴的一端（现为右端），则轴的扭矩图如图 3-6所示。这时，轴的最大扭矩mN1170maxT。显然单从受力角度，图 3-5所示轮子布局比图3-6合理。3.3 纯剪切 在讨论扭转的应力和变形之前，为了研究切应力和切应变的规律以及两者间的关系，先考察薄壁圆筒的扭转。当空心圆筒的壁厚 t 与平均直径 d（即 2r）之比201dt时称为薄壁圆筒。一、薄壁圆筒扭转时的切应力 若在薄壁圆筒的外表面画上一系列互相平行的纵向直线和横向圆周线，将其分成一个个小方格，其中代表性的一个小方格如图 3-7a所示。这时使筒在外力偶m作用下扭转，扭转后相邻圆周线绕轴线相对转过一微小转角。纵线均倾斜一微小倾角从而使方格变成菱形(见图 3-7b)，但圆筒沿轴线及周线的长度都没有变化。这表明，当薄壁圆筒扭转时，其横截面和包含轴线的纵向截面上都没有正应力，横截面上只有切于截面的剪应力，因为筒壁的厚度t很小，可以认为沿筒壁厚度剪应力不变，又根据圆截面的轴对称性，横截面上的剪应力沿圆环处处相等。根据如图 3-7c 所示部分的平衡方程0 xm，有 rrtm2 trm22 （3-2）二、切应力互等定理 如图 3-7d是从薄壁圆筒上取出的相应于 3-7a上小方块的单元体，它的厚度为壁厚 t，宽度和高度分别为dx，dy。当薄壁圆筒受扭时，此单元体分别相应于 p-p，q-q 圆周面的左、右侧面上有剪应力，因此在这两个侧面上有剪力tdy，而且这两个侧面上剪力大小相等而方向相反，形成一个力偶，其力偶矩为dxtdy)(。为了平衡这一力偶，上、下水平面上也必须有一对剪应力作用（据0Y，也应大小相等，方向相反）。对整个单元体，必须满足0zm，即 dytdxdxdyt 所以 （3-3）图 3.7 入理解剪应力互等定理和剪切胡克定律剪切变形能和比能的定义和计算式教学法结合通过提问引导学生思考让学生回答问题激发学生的学习热下特点受力特点在杆件两端垂直于杆轴线的平面内作用一对大小相等方学习必备 欢迎下载 上式表明，在一对相互垂直的微面上，垂直于交线的剪应力应大小相等，方向共同指向或背离交线。这就是剪应力互等定理。图 3-7d所示单元体称纯剪切单元体。三、切应变 剪切胡克定律 与图 3-7b中小方格（平行四边形）相对应，图 3-7e中单元体的相对两侧面发生微小的相对错动，使原来互相垂直的两个棱边的夹角改变了一个微量，此直角的改变量称为剪应变或角应变。如图 3-7b所示若为圆筒两端的相对扭转角，l为圆筒的长度，则剪应变为 lr （3-4）薄圆筒扭转试验表明，在弹性范围内，剪应变与剪应力成正比，即 G （3-5）式（3-5）为剪切胡克定律；G称为材料剪切弹性模量，单位：GPa。对各向同性材料，弹性常数GE,三者有关系 12EG （3-6）四、剪切应变能 若从薄壁圆筒中取出受纯剪切的单元体如图 3-8所示，由于变形的相对性，可设单元体左侧面不动，右侧面上的剪力由零逐渐增至dydz，右侧面因错动沿方向的位移由零增至dx。因此剪力所作的功为 10dxddydzdW dW等于单元体内储存的变形能dU，故剪切单元体的变形能为 dVddWdU)(10 （3-7）其中)(。以单元体的体积dV除dU得单位体积内的剪切变形能，即比能为 10ddVdUu 对图 3-8所示线弹性情况，当剪应力在剪切比例极限以内时，G，有 2221221GGu （3-8a）对图 3-8所示线弹性关系（比例极限以内），有tdVdU21，对图 3-7b所示受扭薄壁圆筒，由于其剪应力与剪应变均处处相同，则整个圆筒的变形能为 mrtllrtrmVU212221212 （3 8b）图 3.8 入理解剪应力互等定理和剪切胡克定律剪切变形能和比能的定义和计算式教学法结合通过提问引导学生思考让学生回答问题激发学生的学习热下特点受力特点在杆件两端垂直于杆轴线的平面内作用一对大小相等方学习必备 欢迎下载（课堂小结）作业布置：3.1、3.2 第三章 扭转 3.4 圆轴扭转时的应力 3.5 圆轴扭转时的变形 教学时数：2 学时 教学目标：1.掌握圆轴扭转时的应力计算公式、推导过程和方法。2.理解圆轴扭转时的平面假设及其在公式推导中的应用。3.掌握圆轴扭转时的强度条件，利用强度条件进行相关计算。4.熟知圆轴和空心圆轴的极惯性矩和抗扭截面系数。5.掌握圆轴扭转时变形及变形程度的描述与计算。6.掌握刚度条件的建立及利用刚度条件进行相关计算。教学重点：1.圆轴扭转时的应力计算公式、推导过程和方法。2.圆轴扭转时变形及变形程度的描述与计算，刚度条件的建立及相关计算。教学难点：1.圆轴扭转时的平面假设及其在公式推导中的应用。2.对圆轴变形程度的理解。教学方法：板书PowerPoint,采用启发式教学和问题式教学法结合，通过提问，引导学生思考，入理解剪应力互等定理和剪切胡克定律剪切变形能和比能的定义和计算式教学法结合通过提问引导学生思考让学生回答问题激发学生的学习热下特点受力特点在杆件两端垂直于杆轴线的平面内作用一对大小相等方学习必备 欢迎下载 让学生回答问题，激发学生的学习热情。教 具：教学步骤：（复习提问）（引入新课）3.4 圆轴扭转时的应力 1.平面假设及变形几何关系 如图 3-9a所示受扭圆轴，与薄圆筒相似，如用一系列平行的纵线与圆周线将圆轴表面分成一个个小方格，可以观察到受扭后表面变形有以下规律：(1)各圆周线绕轴线相对转动一微小转角，但大小，形状及相互间距不变；(2)由于是小变形，各纵线平行地倾斜一个微小角度，认为仍为直线；因而各小方格变形后成为菱形。平面假设：变形前横截面为圆形平面，变形后仍为圆形平面，只是各截面绕轴线相对“刚性地”转了一个角度。从图 3-9a取出图 3-9b所示微段 dx,其中两截面 pp,qq 相对转动了扭转角 d,纵线 ab 倾斜小角度成为 ab，而在半径(od)处的纵线 cd 根据平面假设，转过 d后成为 cd（其相应倾角为，见图 3-9c）由于是小变形，从图 3-9c可知：ddxrdd。于是 dxd （a）对于半径为 R 的圆轴表面（见 3-9b），则为 dxdR （b）2.物理关系 与受扭薄壁圆筒相同，在半径为处截出厚为 d的薄圆筒（图 3.-9b），用一对相距dy 而相交于轴线的径向面取出小方块（正微六面体）如图 3.9c 此为受纯剪切单元体。由剪切胡克定理和式（a）得 dxdGG （3.7）这表明横截面上任意点的剪应力与该点到圆心的距离成正比，即 图 3.9 入理解剪应力互等定理和剪切胡克定律剪切变形能和比能的定义和计算式教学法结合通过提问引导学生思考让学生回答问题激发学生的学习热下特点受力特点在杆件两端垂直于杆轴线的平面内作用一对大小相等方学习必备 欢迎下载 当0,0；当R，取最大值。由剪应力互等定理，则在径向截面和横截面上，沿半径剪应力的分布如图 3.10。3.静力平衡关系 在图 3.11 所示平衡对象的横截面内，有ddA2，扭矩 AdAT，（c）由力偶矩平衡条件0om，得 AAAedAdxdGdAdxdGdAMT22 （d）令 ApdAI2 （e）此处 d/dx 为单位长度上的相对扭角，对同一横截面，它应为不变量。pI为几何性质量，只与圆截面的尺寸有关，称为极惯性矩；单位为 m4或 cm4。则 pIdxdGT 或 pGITdxd （3.8）从公式（3.7）和式（3.8）中消去dxd，得 pIT （3.9）则在圆截面边缘上，为最大值R时，得最大剪应力为 tpWTITRmax （3.10）此处 RIWpt （3.11）入理解剪应力互等定理和剪切胡克定律剪切变形能和比能的定义和计算式教学法结合通过提问引导学生思考让学生回答问题激发学生的学习热下特点受力特点在杆件两端垂直于杆轴线的平面内作用一对大小相等方学习必备 欢迎下载 tW称为抗扭截面系数，单位为 m3或 cm3。4.pI、tW计算 对实心圆轴 d2dA 16D2DIW32Dd2dAI3pt4022DA2p （3.12）/(3.13)对空心圆轴)(),1(16162)1(32322434444442222DdDDdDDIWDdDddAIptDdAp （3.14）5.圆轴扭转强度条件 根据轴的受力情况或扭矩图，求出最大扭矩maxT。对等截面杆，按公式（3.11）算出最大切应力max。限制 max 不超过许用应力，便得强度条件为 tWTmax (3.15)注意到此处许用剪应力不同于剪切件计算中的剪切许用应力。它由危险剪应力o除以安全系数 n 得到，与拉伸时相类似：脆性材料塑性材料bbssonnn/s b 由相应材料的扭转破坏试验获得，大量试验数据表明，它与相同材料的拉伸强度指标有如下统计关系：塑性材料 ss)6.05.0(脆性材料 bb)0.18.0(例 AB 轴传递的功率为kW5.7N，转速minr/360n。如图所示，轴 AC 段为实心圆截面，CB 段为空心圆截面。已知cm3D，cm2d。试计算 AC 以及 CB 段的最大与最小剪应力。入理解剪应力互等定理和剪切胡克定律剪切变形能和比能的定义和计算式教学法结合通过提问引导学生思考让学生回答问题激发学生的学习热下特点受力特点在杆件两端垂直于杆轴线的平面内作用一对大小相等方学习必备 欢迎下载 解：（1）计算扭矩 轴所受的外力偶矩为 mN1993605.795509550nNm 由截面法 mN199mT（2）计算极惯性矩 AC 段和 CB 段轴横截面的极惯性矩分别为 441cm95.732DIP 4442cm38.632dDIP（3）计算应力 AC 段轴在横截面边缘处的剪应力为 0MPa5.37Pa105.372DITACmin61PACACmax外 CB 段轴横截面内、外边缘处的剪应力分别为 MPa2.31Pa102.312dIT62PCBCBmin内 MPa8.46Pa108.462DIT62PCBCBmax外 3-5 圆轴扭转时的变形和刚度条件 扭转角是指受扭构件上两个横截面绕轴线的相对转角。对于圆轴，由式（3.8）pGITdxd 所以 plplGITldxGITd0（rad）（3.16）式中pGI称为圆轴的抗扭刚度，它为剪切模量与极惯性矩乘积。pGI越大，则扭转角越小。让dxd，为单位长度相对扭角，则有 pGIT（rad/m）（3.17）例题图 入理解剪应力互等定理和剪切胡克定律剪切变形能和比能的定义和计算式教学法结合通过提问引导学生思考让学生回答问题激发学生的学习热下特点受力特点在杆件两端垂直于杆轴线的平面内作用一对大小相等方学习必备 欢迎下载 若在轴长l的范围内T为常量，且圆轴的横截面不变，则pGIT为常量，由（3.16）式得 lGITp （3.18）扭转的刚度条件 就是限定的最大值不得超过规定的允许值，即规定：PGITmax（rad/m）（3.19）或 180maxPGIT（/m）（3.20）例 4-3 如图 4-13 的传动轴，500nr/min，5001N马力，2002N马力，3003N马力，已知 70MPa，1/m，80GGPa。求：确定 AB 和 BC 段直径。解：1）计算外力偶矩 702470241nNmA（Nm）6.280970242nNmB（Nm）4.421470243nNmC（Nm）作扭矩T图，如图所示。2）计算直径d AB段：由强度条件，31maxmax16dTWTt 80107070241616363max1Td（mm）由刚度条件 1803241maxdGT 6.841108018070243218032429421GTd（mm）例题图 入理解剪应力互等定理和剪切胡克定律剪切变形能和比能的定义和计算式教学法结合通过提问引导学生思考让学生回答问题激发学生的学习热下特点受力特点在杆件两端垂直于杆轴线的平面内作用一对大小相等方学习必备 欢迎下载 取 6.841dmm BC 段：同理，由扭转强度条件得 672dmm 由扭转刚度条件得 5.742dmm 取5.742dmm 例 4-4 如图所示等直圆杆，已知10m0KNm，试绘扭矩图。解：设两端约束扭转力偶为Am，Bm（1）由静力平衡方程0 xm得 000BAmmmm BAmm （a）此题属于一次超静定。（2）由变形协调方程（可解除 B 端约束），用变形叠加法有 0321BBBB （b）（3）物理方程 p0BGIam1，p0BGIa2m2，pBBGIa3m3 （c）由式（c），（b）得 0GIa3mGIa2mGIampBp0p0 即 0m3m2mB00 并考虑到（a），结果 3mmm0BA 假设的力偶转向正确，绘制扭矩图如图所示。（课堂小结）作业布置：3.8、3.14 例题图 入理解剪应力互等定理和剪切胡克定律剪切变形能和比能的定义和计算式教学法结合通过提问引导学生思考让学生回答问题激发学生的学习热下特点受力特点在杆件两端垂直于杆轴线的平面内作用一对大小相等方学习必备 欢迎下载 入理解剪应力互等定理和剪切胡克定律剪切变形能和比能的定义和计算式教学法结合通过提问引导学生思考让学生回答问题激发学生的学习热下特点受力特点在杆件两端垂直于杆轴线的平面内作用一对大小相等方
