2023年工程数学精品讲义.pdf

学习好资料 欢迎下载 线性代数 课 程 教 案 授课题目（教学章节或主题）：第一章行列式 1 二阶与三阶行列式 2 全排列及其逆序数 3 n阶行列式的定义 4 对换 本授课单元教学目标或要求：1.会用对角线法则计算 2 阶和 3 阶行列式。2.知道n阶行列式的定义。本授课单元教学内容（包括基本内容、重点、难点，以及引导学生解决重点难点的方法、例题等）：基本内容：行列式的定义 1.计算排列的逆序数的方法 设12np pp是1,2,n这n个自然数的任一排列，并规定由小到大为标准次序。先看有多少个比1p大的数排在1p前面，记为1t；再看有多少个比2p大的数排在2p前面，记为2t；最后看有多少个比np大的数排在np前面，记为nt；则此排列的逆序数为12ntttt 。2.n阶行列式 1212111212122212()12(1)nnnntppnpp ppnnnnaaaaaaDaaaaaa 其中12np pp为自然数1,2,n的一个排列，t为这个排列的逆序数，求和符号是对所有排列12()np pp求和。n阶行列式D中所含2n个数叫做D的元素，位于第i行第j列的元素ija，叫做D的(,)i j元。3.对角线法则：只对 2 阶和 3 阶行列式适用 1112112212212122aaDa aa aaa 学习好资料 欢迎下载 111213212223112233122331132132313233132231122133112332aaaDaaaa a aa a aa a aaaaa a aa a aa a a 重点和难点：理解行列式的定义 行列式的定义中应注意两点：(1)和式中的任一项是取自D中不同行、不同列的n个元素的乘积。由排列知识可知，D中这样的乘积共有!n项。(2)和式中的任一项都带有符号(1)t，t为排列12()np pp的逆序数，即当12np pp是偶排列时，对应的项取正号；当12np pp是奇排列时，对应的项取负号。综上所述，n阶行列式D恰是D中所有不同行、不同列的n个元素的乘积的代数和，其中一半带正号，一半带负号。例：写出 4 阶行列式中含有1123a a的项。解：11233244a a a a和11233442a a a a。例：试判断142331425665a a a a a a和324314512566a a a a a a是否都是 6 阶行列式中的项。解：142331425665a a a a a a下标的逆序数为4312650 1 220 16 ，所以142331425665a a a a a a是 6 阶行列式中的项。324314512566a a a a a a下标的逆序数为(341526)(234156)538 ，所以324314512566a a a a a a不是 6 阶行列式中的项。例：计算行列式0001002003004000D 解：0 1 2 3(1)1 2 3 424D 本授课单元教学手段与方法：讲授与练习相结合 首先通过二（三）元线性方程组的解的表达式引出二（三）阶行列式的定义。然后介绍有关全排列及其逆序数的知识，引出n阶行列式的定义。通过讨论对换以及它与排列的奇偶性的关系，引导学生了解行列式的三种等价定义。本授课单元思考题、讨论题、作业：1 P.26 1(1)(3)2 2(5)(6)本授课单元参考资料（含参考书、文献等，必要时可列出）线性代数附册 学习辅导与习题选讲（同济第四版）元教学内容包括基本内容重点难点以及引导学生解决重点难点的方法例比大的数排在前面记为最后看有多少个比大的数排在前面记为则此排列对阶和阶行列式适用叫的元学习好资料欢迎下载重点和难点理解行列式学习好资料 欢迎下载 授课题目（教学章节或主题）：第一章 行列式 5 行列式的性质 6 行列式按行（列）展开 7 克拉默法则 本授课单元教学目标或要求：1 知道n阶行列式的性质。2 知道代数余子式的定义和性质。3 会利用行列式的性质及按行（列）展开计算简单的n阶行列式。4 知道克拉默法则。本授课单元教学内容（包括基本内容、重点、难点，以及引导学生解决重点难点的方法、例题等）：基本内容：1.行列式的性质(1)行列式D与它的转置行列式TD相等。(2)互换行列式的两行（列），行列式变号。(3)行列式的某一行（列）中所有元素都乘以同一数k，等于用数k乘此行列式；或者行列式的某一行（列）的各元素有公因子k，则k可提到行列式记号之外。(4)行列式中如果有两行（列）元素完全相同或成比例，则此行列式为零。(5)若行列式的某一列（行）中各元素均为两项之和，则此行列式等于两个行列式之和。(6)把行列式的某一行（列）的各元素乘以同一数然后加到另一行（列）的对应元素上去，行列式的值不变。2.行列式的按行（列）展开(1)把n阶行列式中(,)i j元ija所在的第i行和第j列划去后所成的1n阶行列式称为(,)i j元ija的余子式，记作ijM；记(1)ijijijAM，则称ijA为(,)i j元ija的代数余子式。(2)n阶行列式等于它的任一行（列）的各元素与对应于它们的代数余子式的乘积的和。即可以按第i行展开：1122(1,2,)iiiiininDa Aa Aa A in；或可以按第j列展开：1122(1,2,)jjjjnjnjDa AaAa Ajn.(3)行列式中任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零。即 11220,ijijinjna Aa Aa Aij，或 11220,ijijninja Aa Aa Aij.3.克拉默法则 含有n个未知元12,nx xx的n个线性方程的方程组 11 11221121 1222221 122nnnnnnnnnna xa xa xba xa xa xba xa xa xb 当12,nb bb全为零时，称为齐次线性方程组；否则，称为非齐次线性方程组。元教学内容包括基本内容重点难点以及引导学生解决重点难点的方法例比大的数排在前面记为最后看有多少个比大的数排在前面记为则此排列对阶和阶行列式适用叫的元学习好资料欢迎下载重点和难点理解行列式学习好资料 欢迎下载(1)如果方程组的系数行列式0D，那么它有唯一解：(1,2,)iiDxinD，其中(1,2,)iD in是把D中第i列元素用方程组的右端的自由项替代后所得到的n阶行列式。(2)如果线性方程组无解或有两个不同的解，那么它的系数行列式0D。(3)如果齐次线性方程组的系数行列式0D，那么它只有零解；如果齐次线性方程组有非零解，那么它的系数行列式必定等于零。用克拉默法则解线性方程组的两个条件：(1)方程个数等于未知元个数；(2)系数行列式不等于零。克拉默法则的意义主要在于建立了线性方程组的解和已知的系数以及常数项之间的关系.它主要适用于理论推导.4.一些常用的行列式(1)上、下三角形行列式等于主对角线上的元素的乘积。即 11121112222122112212nnnnnnnnnnaaaaaaaaDa aaaaaa 特别地，对角行列式等于对角线元素的乘积，即11221122nnnnaaDa aaa.类似地，1(1)2,1212,111(1)nn nnnnnnaaDa aaa.(2)范德蒙（Vandermonde）行列式 122221212111112111(,)()nnnnijn ijnnnnxxxV x xxxxxxxxxx 计算行列式常用方法：(1)利用定义；(2)利用性质把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值。重点和难点：行列式的计算，要注重学会利用行列式性质及按行（列）展开等基本方法来简化行列式的计算。例：课本 P.12 例 7例 9 例：课本 P.21 例 13 元教学内容包括基本内容重点难点以及引导学生解决重点难点的方法例比大的数排在前面记为最后看有多少个比大的数排在前面记为则此排列对阶和阶行列式适用叫的元学习好资料欢迎下载重点和难点理解行列式学习好资料 欢迎下载 例：课本 P.25 例 16 本授课单元教学手段与方法：讲授与练习相结合 以从行列式的定义为切入口，引导学生探讨行列式的各种性质。通过大量的例题引导学生掌握如何利用行列式性质及按行（列）展开等基本方法来简化行列式的计算。本授课单元思考题、讨论题、作业：思考题 问：当线性方程组的系数行列式为零时，能否用克拉默法则解方程组？为什么？此时方程组的解为何？答：当线性方程组的系数行列式为零时，不能否用克拉默法则解方程组，因为此时方程组的解为无解或有无穷多解。本授课单元思考题、讨论题、作业：5 P.26 4(1)(2)(3)，5(1)(2)，7(1)(2)(5)6 P.26 5(4)，7(3)(6)7 P.28 8(1)，9 本授课单元参考资料（含参考书、文献等，必要时可列出）线性代数附册 学习辅导与习题选讲（同济第四版）授课题目（教学章节或主题）：第二章 矩阵及其运算 1 矩阵 2 矩阵运算 3 逆矩阵 4 矩阵分块法 本授课单元教学目标或要求：掌握矩阵的定义,矩阵的加减法数乘转置矩阵求逆矩阵的行列式分块矩阵等运算,了解矩阵 多项式运算 本授课单元教学内容（包括基本内容、重点、难点，以及引导学生解决重点难点的方法、例题等）：本章拟分 3 次课完成,第一讲:1 矩阵,2 矩阵的运算;第二讲:3 逆矩阵;第三讲:4 矩阵分块法 第一讲:1 矩阵,2 矩阵的运算;基本内容:1 矩阵:一 矩阵的定义,定义 1 由 MN 个数),2,1;,2,1(njmiaij组成的m行n列的数表 mnmmnnaaaaaaaaa212222111211 称为m行n列矩阵,简称 MN 矩阵,为表示它是一个整体,总是加一个括弧,并用大写黑体字母表示它,记作 元教学内容包括基本内容重点难点以及引导学生解决重点难点的方法例比大的数排在前面记为最后看有多少个比大的数排在前面记为则此排列对阶和阶行列式适用叫的元学习好资料欢迎下载重点和难点理解行列式学习好资料 欢迎下载 mnmmnnaaaaaaaaa212222111211 这 MN 个数称为菊阵 A 的元素,简称为元,数ija位于矩阵 A 的第i行j列,称为矩阵 A 的(I,J)元,以数ija为(I,J)元的矩阵可简记为)(ija或nmija)(,MN 矩阵 A 也记着nmA.元素是实数的矩阵称为实矩阵,元素是复数的矩阵称为复矩阵 行数和列数都等于n的矩阵称为n阶矩阵或n阶方阵,n阶矩阵 A 也记作nA.只有一行的矩阵)(21naaaA 称为行矩阵,又称为行向量,行矩阵也记作),(21naaaA 只有一列的矩阵 nbbbA21 称为列矩阵,又称为列向量.两个矩阵的行数相等,列数也相等,称它们是同型矩阵,如果 A=)(ija,B=)(ijb是同型矩阵,并且它们的对应元素相等,即 njmibaijij,2,1,2,1(),那么就称矩阵 A 与矩阵 B 相等,级作 A=B 元素都是零的矩阵称为零矩阵,记作 O,不同型的零矩阵是不同的.2 矩阵的运算 一 矩阵的加法 定义 2 设有两个nm矩阵 A=)(ija和 B=)(ijb,那么矩阵 A 与 B 的和记着 A+B,规定为 mnmnmmmmnnnnbababababababababa221122222221211112121111 两个矩阵是同型矩阵时才能进行加法运算.元教学内容包括基本内容重点难点以及引导学生解决重点难点的方法例比大的数排在前面记为最后看有多少个比大的数排在前面记为则此排列对阶和阶行列式适用叫的元学习好资料欢迎下载重点和难点理解行列式学习好资料 欢迎下载 矩阵加法满足下列运算规律(设 A,B,C 都是nm矩阵):(i)A+B=B+A;(ii)(A+B)+C=A+(B+C)A=)(ija的负矩阵记为 -A=)(ija A+(-A)=O 规定矩阵的减法为 A-B=A+(-B)二 矩阵的数乘 定义 3 数与矩阵 A 的乘积记作A或A,规定为 mnmmnnaaaaaaaaaA212222111211 矩阵数乘满足下列运算规律(设 A,B 为nm矩阵,为数):(1)()(AA;(2)AAA)(3)BABA)(重点,难点:矩阵乘矩阵:让学生充分理解矩阵乘矩阵的定义,特别强调前面矩阵的列等于后面矩阵的行的原因.说明矩阵乘法常态下不满足消去率,通过练习提高学生的计算准确率.三 矩阵乘矩阵 定义 4 设 A=(ija)是一个sm矩阵,B=(ijb)是一个ns矩阵,那么矩阵 A 与矩阵 B 的乘积是一个nm矩阵 C=(ijc),其中),2,1;,2,1(12211njmibabababacskkjiksjisjijiij 把此乘积记为 C=AB 且有 元教学内容包括基本内容重点难点以及引导学生解决重点难点的方法例比大的数排在前面记为最后看有多少个比大的数排在前面记为则此排列对阶和阶行列式适用叫的元学习好资料欢迎下载重点和难点理解行列式学习好资料 欢迎下载 sjjjisiibbbaaa2121),(ijskkjiksjisjijicbabababa 12211 例 4 求矩阵 A=20121301与4311102311014B 的乘积 解 C=AB=201213014311102311014=1199129 例5 求矩阵 A=2142与 B=6342 的乘积 AB 与 BA 解 AB=21426342=1683216 BA=63422142=0000AB 对于两个n阶方阵 A,B,若 AB=BA,称方阵 A 与 B 可交换 从上面等式可以得出结论:若OA而0)(YXA也不能得出 X=Y 的结论 矩阵的乘法虽不满足交换律,满足结合律和分配律(1)(AB)C=A(BC)(2)()()(BABAAB为数(3)A(B+C)=AB+AC(B+C)A=BA+CA 对于单位矩阵 E,有 nmnnmnmnmmAEAAAE,即:EA=AE=A 特殊矩阵:1 单位矩阵;元教学内容包括基本内容重点难点以及引导学生解决重点难点的方法例比大的数排在前面记为最后看有多少个比大的数排在前面记为则此排列对阶和阶行列式适用叫的元学习好资料欢迎下载重点和难点理解行列式学习好资料 欢迎下载 E=100010001 2 数量矩阵 E000000 3 对角矩阵 nnaaa0000002211 4;三角矩阵 nnnnaaaaaa000022211211或nnnnaaaaaa21222111000 可以得到:)()(nnnnnEAAAE 表明纯量矩阵跟任何矩阵可交换 定义矩阵的幂为 kllklklkAAAAAAAAAA)(,1121 其中k为正整数 例6 证明 nnnnncossinsincoscossinsincos 证 用数学归纳法,1n时显然成立,设n=k时成立,即 kkkkkcossinsincoscossinsincos 当1 kn时,有 kkkkkcossinsincoscossinsincos1cossinsincos =sinsincoscossincoscossinsincoscossinsinsincoscoskkkkkkkk =)1cos()1sin()1sin()1cos(kkkk 等式得证.四 矩阵的转置 定义 5 把矩阵 A 的行换成同序数的列得到一个新矩阵,叫做 A 的转置矩阵,记作TA 元教学内容包括基本内容重点难点以及引导学生解决重点难点的方法例比大的数排在前面记为最后看有多少个比大的数排在前面记为则此排列对阶和阶行列式适用叫的元学习好资料欢迎下载重点和难点理解行列式学习好资料 欢迎下载 A=mnmmnnaaaaaaaaa212222111211.则TAmnnnmmaaaaaaaaa212221212111 A 的转置也是一种运算,满足(1)AATT)(2)TTTBABA)(3)TTAA)(4)(AB)TTTAB 证明(4)设smijaA)(,B=nsijb)(,记mnijTTnmijdDABcCAB)(,)(,有 skkijkjibac1 而TB的第i行为),(21siiibbb,TA的第j列为Tjsjaa),(1,因此 skkijkskjkkiijbaabd11),2,1;,2,1(mjnicdjiij 有 TTTABAB)(例7 已知 231102A,B=102324171 求TAB)(解 因为 AB231102102324171=1013173140 所以 1031314170)(TAB 若 A 是n阶方阵,如果满足AAT,即),2,1,(njiaajiij 那么 A 称为对称矩阵.例 设列矩阵X=Tnxxx),(21满足1XXT,E是n阶单位阵,TXXEH2,证明H是对称矩阵,且EHHT 证 TTTXXEH)2(HXXEXXETTT22 所以H 是对称矩阵.元教学内容包括基本内容重点难点以及引导学生解决重点难点的方法例比大的数排在前面记为最后看有多少个比大的数排在前面记为则此排列对阶和阶行列式适用叫的元学习好资料欢迎下载重点和难点理解行列式学习好资料 欢迎下载 THH=2H2)2(TXXE =TXXE4+)(4TTXXXX =TXXE4+)(4TTXXXX =TXXE4+TXX4=E 五 方阵的行列式 定义6 由n阶方阵A的元素所构成的行列式(各元素位置不变),称为方阵A 的行列式,记作A或 Adet.A满足下列运算规律(A,B 为n阶方阵,为数)(1)AAT(2)AAn(3)BAAB,且BAAB 例 9 行列式A的各个元素的代数余子式ijA所构成的如下的矩阵 nnnnnnAAAAAAAAA212221212111 称为 A 的伴随矩阵,试证 EAAAAA 证明 设)(ijaA,记)(ijbAA,则 ijjninjijiijAAaAaAab2211 故 )()(EAAAAAijij 类似有 )()(1EAAAaAAAijijnkkjki 本授课单元教学手段与方法：讲授为主,练习为辅,主要让学生充分理解矩阵运算的定义,原则,从而掌握矩阵运算,并通过练习 提高学生运算的准确率.本授课单元思考题、讨论题、作业：P53:3.4(1),(2);(3),(4)本授课单元参考资料（含参考书、文献等，必要时可列出）线性代数附册 学习辅导与习题选讲（同济第四版）注：1.每单元页面大小可自行添减；2.一个授课单元为一个教案；3.“重点”、“难点”、“教学手段与方法”部分要尽量具体；4.授课类型指：理论课、讨论课、实验或实习课、练习或习题课。第二讲:3 逆矩阵 基本内容:3 逆矩阵 定义 7 对于n阶矩阵 A,如果有一个n阶矩阵 B,使 EBAAB 则说矩阵 A 是可逆的,并把矩阵 B 称为 A 的逆矩阵,简称逆阵.记为1A 元教学内容包括基本内容重点难点以及引导学生解决重点难点的方法例比大的数排在前面记为最后看有多少个比大的数排在前面记为则此排列对阶和阶行列式适用叫的元学习好资料欢迎下载重点和难点理解行列式学习好资料 欢迎下载 如果 A 可逆,则 A 的逆阵是唯一的.因为:设 B,C 都是 A 的逆阵,则有 B=BE=B(AC)=(BA)C=EC=C 定理 1 若矩阵 A 可逆,则0A 证 A 可逆,即有1A,使EAA 1,故11EAA所以0A.定理 2 若0A,则矩阵 A 可逆,且 AAA11 其中A为 A 的伴随矩阵.证 由例 9 可知 EAAAAA 所以有 EAAAAAA11 按照逆矩阵的定义知 A 可逆,且有 AAA11 当0A时称 A 为奇异矩阵,否则称 A 为非奇异矩阵,可逆矩阵就是非奇异矩阵.推论 若)(EBAEAB或,则1AB 证 1EBA,故0A,因而1A存在,有 1111)()(AEAABABAAEBB 逆阵满足下列运算:(1)若 A 可逆,则1A也可逆,且AA11)(.(2)若 A 可逆,数0,则A可逆,且111 AA(3)若 A,B 为同阶矩阵且可逆,则 AB 也可逆,且 111)(ABAB 证 EAAAEAABBAABAB111111)()(,由推论有:111)(ABAB(4)若 A 可逆,则TA也可逆,且TTAA)()(11 元教学内容包括基本内容重点难点以及引导学生解决重点难点的方法例比大的数排在前面记为最后看有多少个比大的数排在前面记为则此排列对阶和阶行列式适用叫的元学习好资料欢迎下载重点和难点理解行列式学习好资料 欢迎下载 证 EEAAAATTTT)()(11,由推论有:TTAA)()(11 当0A时,定义 TTAA)()(11kkAAEA)(,10,k为正整数 这样,当0A,为整数,有 AAAAA)(,重点,难点:逆矩阵的求法.定理2说明通过求伴随矩阵的方式,让学生掌握矩阵求逆,并告知学生下一章里还有更简单的求逆方法.例 10 求二阶矩阵dcba的逆阵.解 bcadA,acbdA,当0A时,有 bcadA11acbd 本授课单元教学手段与方法：讲授为主,练习为辅,通过逆矩阵的定义及定理 2 的证明让学生充分掌握矩阵的求逆运算,并告 知学生在下一章里还可用更简练的方法计算逆矩阵 本授课单元思考题、讨论题、作业：P54:11(1),(3);12(1),(2);P55:19,22 本授课单元参考资料（含参考书、文献等，必要时可列出）线性代数附册 学习辅导与习题选讲（同济第四版）第三讲:4 矩阵分块法 基本内容:4 矩阵分块法.对于行数和列数较高的矩阵 A,运算时常采用分块法,使大矩阵的运算化成小矩阵的运算将矩阵 A 用若干条纵线和横线分成许多小矩阵,每一个小矩阵称为 A 的子块.以子块为元素的形式上的矩阵称 为分块矩阵.例 将43矩阵 343332312423222114131211aaaaaaaaaaaaA 可以分块为 (1)343332312423222114131211aaaaaaaaaaaa (2)343332312423222114131211aaaaaaaaaaaa (3)343332312423222114131211aaaaaaaaaaaa 分法(1)可记为 元教学内容包括基本内容重点难点以及引导学生解决重点难点的方法例比大的数排在前面记为最后看有多少个比大的数排在前面记为则此排列对阶和阶行列式适用叫的元学习好资料欢迎下载重点和难点理解行列式学习好资料 欢迎下载 22211211AAAAA 其中 2221121111aaaaA,2423141312aaaaA 323121aaA,343322aaA 分块矩阵的运算规则与普通矩阵的运算规则类似,满足:(1)设矩阵 A 与矩阵 B 的行数相同,列数相同,采用相同的分块法,有 srsrAAAAA1111,srsrBBBBB1111 其中,ijA与ijB的行数相同,列数相同,那么 srsrssrrBABABABABA11111111(2)设srsrAAAAA1111,为数,那么 srsrAAAAA1111(3)设 A 为lm矩阵,B 为nl矩阵,分块成 ststAAAAA1111,trtrBBBBB1111 其中itiiAAA,21的列数分别等于tjjjBBB,21的行数,那么 ABsrsrCCCC1111 其中 ),1;,1(1rjsiBACtkkjikij 重点,难点:分块矩阵的乘法运算,对于四阶且子块含有零矩阵,单位阵,对角阵的高阶,一般做四块分且尽量分出单位阵,零矩阵.例13 设 0211140110210101,1011011100100001BA 求 AB 解 把 A,B 分块成 元教学内容包括基本内容重点难点以及引导学生解决重点难点的方法例比大的数排在前面记为最后看有多少个比大的数排在前面记为则此排列对阶和阶行列式适用叫的元学习好资料欢迎下载重点和难点理解行列式学习好资料 欢迎下载 22211110211140110210101,1011012100100001BBEBBEAOEA 则 ABEAOE1222111BBEB=2212111111BABBAEB 而 21111BBA=11212101+1101=1142 221BA=1121+13330214 所以 1311334210210101AB(4)设srsrAAAAA1111,则TsrTrTsTTAAAAA1111(5)设 A 为n阶矩阵,若 A 的分块矩阵只有在对角线上有非零子块,其余子块都为零矩阵,且在对角线 上的子块都是方阵,即 sAOOOAOOOAA21 其中),2,1(siAi都是方阵,称 A 为分块对角矩阵.分块对角矩阵的行列式有下列性质:sAAAA21 若),2,1(sioAi,则0A,并有 112111sAOOOAOOOAA 例14 设120130005A,求1A 解 2100120130005AAA,3211,1213,51),5(122111AAAA 元教学内容包括基本内容重点难点以及引导学生解决重点难点的方法例比大的数排在前面记为最后看有多少个比大的数排在前面记为则此排列对阶和阶行列式适用叫的元学习好资料欢迎下载重点和难点理解行列式学习好资料 欢迎下载 32011000511A 对矩阵进行按行分快或按列分块:nm矩阵 A 有m行,称为矩阵A的m个行向量,若第i行记作),(21iniiTiaaa 则矩阵 A 记为 TmTTA21 nm矩阵 A 有n列,称为矩阵 A 的n个列向量,若第j列记作 mjjjjaaa21 则 ),(21naaaA 对于矩阵smijaA)(与矩阵nsijbB)(的乘积矩阵 AB=C=nmijc)(,若把行分成m块,把 B分成n块,有 ABTmTT21 nmijnTmTmTmnTTTnTTTncbbbbbbbbbbbb21222121211121),(其中 ijcjTib),(21isiiaaaskkjiksjjjbabbb121 以对角阵m左乘矩阵nmA时把 A 按行分块,有 mnmmA21TmTT21=TmmTT2211 以对角阵n右乘矩阵nmA时把 A 按列分块,有 nA),(21naaam21=),(2211nnaaa 元教学内容包括基本内容重点难点以及引导学生解决重点难点的方法例比大的数排在前面记为最后看有多少个比大的数排在前面记为则此排列对阶和阶行列式适用叫的元学习好资料欢迎下载重点和难点理解行列式学习好资料 欢迎下载 例15 设OAAT,证明OA 证 设nmijaA)(,把 A 的列向量表示为 A=),(21naaa,则 AATTTTaaa21),(21naaa=nTnTnTnnTTTnTTTaaaaaaaaaaaaaaaaaa212221212111 因为OAAT,所以,),2,1,(,0njiaajTi,特别有),2,1(,0njaajTj 而 jTjaa0),(222212121mjjjmjjjmjjjaaaaaaaaa 得 ),2,1(,021njaaamjjj 即 OA 下面用分块矩阵证明第一章中的克莱姆法则 克莱姆法则 对于n个变量,n 个方程的线性方程组 nnnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111 如果它的系数行列式0D,则它有唯一解),2,1)(112211njAbAbAbDDDxnjnjjjj 证 把方程组写成向量方程 bAx 这里nnijaA)(为n阶矩阵,因oDA,故1A存在.bbAAAx 1 表明bAx1是方程组的解向量,也是唯一的解向量.由于AAA11,所以bADbAx11,即 nnnnnnnnnnnnnnnnnAbAbAbAbAbAbAbAbAbDbbbAAAAAAAAADxxx221122221211212111212122212121112111 也就是 ),2,1(112211njDDAbAbAbDxjnjnjjj 本授课单元教学手段与方法：讲授为主,练习为辅,通过对高阶矩阵特别是可分出部分零矩阵或单位阵的四阶矩阵的分块让学 元教学内容包括基本内容重点难点以及引导学生解决重点难点的方法例比大的数排在前面记为最后看有多少个比大的数排在前面记为则此排列对阶和阶行列式适用叫的元学习好资料欢迎下载重点和难点理解行列式学习好资料 欢迎下载 生掌握分块矩阵的加法运算,数乘运算,矩阵乘矩阵的运算,以及求逆矩阵的运算,并列举了几个典型例 子的运算.本授课单元思考题、讨论题、作业：P55:26;P56:29.本授课单元参考资料（含参考书、文献等，必要时可列出）线性代数附册 学习辅导与习题选讲（同济第四版）授课题目（教学章节或主题）：第三章 矩阵的初等变换与线性方程组 3.1 矩阵的初等变换 本授课单元教学目标或要求：熟练掌握用初等行变换把矩阵化成行阶梯形和行最简形；知道矩阵等价的概念。本授课单元教学内容（包括基本内容、重点、难点，以及引导学生解决重点难点的方法、例题等）：1.基本内容 定义与记号 初等行变换(,),ijiijrr rk rkrA与B行等价()rA B;初等列变换(,),ijiijcc ck ckcA与B列等价()cA B;初等变换,A与B等价()AB.矩阵的行阶梯形、行最简形、标准形0.00rm nEF 2.重点 矩阵的初等变换 对矩阵施行以下三种变换称为矩阵的初等变换：(1)交换矩阵的两行(列);(2)以一个非零的常数k乘矩阵的某一行(列);(3)把矩阵的某一行(列)的k倍加到另一行(列).3.例题与解题方法 参见 PPT 本授课单元思考题、讨论题、作业：79.1(1)(3)P 授课题目（教学章节或主题）：第三章矩阵的初等变换与线性方程组 3.2 初等矩阵 本授课单元教学目标或要求：知道初等矩阵，了解初等矩阵与初等变换的联系，掌握用初等变换求可逆矩阵的逆矩阵的方法.本授课单元教学内容（包括基本内容、重点、难点，以及引导学生解决重点难点的方法、例题等）：1.基本内容 初等矩阵(1)定义 单位阵经一次初等变换所得矩阵称为初等矩阵.(2)对矩阵A作一次初等行(列)变换相当于用对应的初等矩阵左(右)乘A.(3)初等变换及其逆变换与初等矩阵及其逆阵的对应可列表如下：初等变换 初等矩阵 逆变换 逆矩阵 元教学内容包括基本内容重点难点以及引导学生解决重点难点的方法例比大的数排在前面记为最后看有多少个比大的数排在前面记为则此排列对阶和阶行列式适用叫的元学习好资料欢迎下载重点和难点理解行列式学习好资料 欢迎下载 ijrr ijcc(,)E i j ijrr ijcc(,)E i j iirkck()E i k iirkck 1()E ik ijjirkrckc()E ij k ijjirkrckc()E ijk(4)方阵A可逆rA E 12()liAPPP P为初等矩阵 AB 存在可逆矩阵,P Q使.BPAQ(5)若(,)(,),rA BE X则A可逆，且1.XA B特别地，若(,)(,),rA EE X则A可逆，且1.XA 2.重点、难点 对矩阵A作一系列初等行(列)变换，相当于用可逆矩阵左(右)乘A，由此引出用初等变换求逆阵的方法；会用矩阵的初等行变换求矩阵的逆矩阵；会用矩阵的初等行变换求矩阵方程的解.3.例题与解题方法 例 1 设 1112131414131211212223242423222131323334343332314142434444434241,aaaaaaaaaaaaaaaaABaaaaaaaaaaaaaaaa 120001100001000010,0010010010000001PP 其中A可逆，则1B等于(A)112A PP (B)112P A P (C)112PP A (D)121P A P 分析：把矩阵A的 1,4 两列对换,2,3 两列对换即得到矩阵B,根据初等矩阵的性质,有12BAPP或 21.BAPP那么111111211212().BAPPP PAPP A所以应选(C).例 2 设 4 阶矩阵 1100213401100213,0011002100010002BC 且矩阵A满足关系式1(),TTA ECBCE试将所给关系式化简,并求出矩阵A.解：由所给的矩阵关系得1(),TA C ECBE即(),TA CBE故1().TACB用初等变换法求1(),TCB由于 元教学内容包括基本内容重点难点以及引导学生解决重点难点的方法例比大的数排在前面记为最后看有多少个比大的数排在前面记为则此排列对阶和阶行列式适用叫的元学习好资料欢迎下载重点和难点理解行列式学习好资料 欢迎下载 10001000100010002100010001002100(),)321000100210301043210001032140011000100010001000010021000100210000101210001012100021230100010121TCBE 故 110002100()12100121TACB 其他例题参见 PPT 本授课单元思考题、讨论题、作业：79.3(2)4(1)P 授课题目（教学章节或主题）：第三章矩阵的初等变换与线性方程组 3.3 矩阵的秩 本授课单元教学目标或要求：1.理解矩阵的秩的概念，知道初等变换不改变矩阵的秩的原理，掌握用初等变换求矩阵的秩的方法。知道矩阵的标准形与秩的关系。2.知道矩阵秩的基本性质。本授课单元教学内容（包括基本内容、重点、难点，以及引导学生解决重点难点的方法、例题等）：1.基本内容 矩阵的秩(1)定义 矩阵的k阶子式，矩阵的秩。(2)()R ArA 的行阶梯形含r个非零行A的标准形0.00rEF(3)矩阵秩的性质 0()min,;R Am n()();TR AR A 若,AB则()();R AR B 若,P Q可逆，则()();R PAQR A max(),()(,)()();R A R BR A BR AR B 特别地，当B为列向量b时，有()(,)()1;R AR A bR A()()();R ABR AR B()min(),();R ABR A R B 若0,m nn lAB则()().R AR Bn 2.重点、难点 矩阵秩的概念，矩阵秩的性质，利用初等变换求秩，应用矩阵的秩解决问题。元教学内容包括基本内容重点难点以及引导学生解决重点难点的方法例比大的数排在前面记为最后看有多少个比大的数排在前面记为则此排列对阶和阶行列式适用叫的元学习好资料欢迎下载重点和难点理解行列式学习好资料 欢迎下载 3.例题与解题方法 例 1.设三阶矩阵A为 111111xAxx 试求秩()R A 分析 矩阵A含有参数,x因此其秩一般随x的变化而变化，讨论其秩主要从两点着手分析：矩阵秩的行列式定义和初等变换不改变矩阵的秩。解:方法一 直接从矩阵秩的行列式定义出发讨论 由于 21111(2)(1)11xxxxx 故 当1x 且2x 时,|0,()3;AR A 当1x 时,|0,A 且1 1 11 1 1,()1;1 1 1AR A 当2x 时,|0,A 且211121112A,这时有二阶子式210.12因此()2.R A 方法二 利用初等变换求秩 211111111110111111111101100(2)(1)xxxAxxxxxxxxxxxxxx 因此 当1x 且2x 时,()3;R A 当1x 时,()1;R A 当2x 时,()2.R A 例 2.设A为5 4矩阵 1231212011311042025kA 且A的秩为 3,求.k 解:方法一 用初等变换 元教学内容包括基本内容重点难点以及引导学生解决重点难点的方法例比大的数排在前面记为最后看有多少个比大的数排在前面记为则此排列对阶和阶行列式适用叫的元学习好资料欢迎下载重点和难点理解行列式学习好资料 欢迎下载 1231123121205600113011311040333202504431231123101130113001 15001 15000120001000150000kkAkk 可见,()3,R A 则必有10,k 即1.k 方法二 因为A的秩为 3,故其 4 阶子式 1231212001131104k 解得1.k 例 3.设*A为n阶矩阵A的伴随矩阵,证明*,(),()1,()1,0,()1.n R AnR AR AnR An 证明:已知(),R An则A可逆,|0,A 由*|AAA E知*A可逆,所以*().R An 若()1,R An 则A|0,A 由*|0,AAA E*()(),R AR An*()()1,R AnR A 又()1,R An 由矩阵秩的行列式