2023年平方根和立方根知识点总结归纳全面汇总归纳及练习.pdf

名师总结 优秀知识点【基础知识巩固】一、平方根、算数平方根和立方根 1、平方根（1）平方根的定义：如果一个数 x 的平方等于 a，那么这个数 x 就叫做 a 的平方根即：如果ax2，那么 x 叫做 a 的平方根（2）开平方的定义：求一个数的平方根的运算，叫做开平方开平方运算的被开方数必须是非负数才有意义。（3）平方与开平方互为逆运算：3 的平方等于 9，9 的平方根是3 （4）一个正数有两个平方根，即正数进行开平方运算有两个结果；一个负数没有平方根，即负数不能进行开平方运算（5）符号：正数 a 的正的平方根可用a表示，a也是 a 的算术平方根；正数 a 的负的平方根可用-a表示（6）ax2 ax a 是 x 的平方 x 的平方是 a x 是 a 的平方根 a 的平方根是 x 2、算术平方根（1）算术平方根的定义：一般地，如果一个正数 x 的平方等于 a，即ax2，那么这个正数 x 叫做 a 的算术平方根a 的算术平方根记为a，读作“根号a”，a 叫做被开方数 规定：0 的算术平方根是 0.也就是，在等式ax2(x0)中，规定ax。（2）a的结果有两种情况：当 a 是完全平方数时，a是一个有限数；当 a 不是一个完全平方数时，a是一个无限不循环小数。（3）当被开方数扩大时，它的算术平方根也扩大；当被开方数缩小时与它的算术平方根也缩小。一般来说，被开放数扩大（或缩小）a 倍，算术平方根扩大（或缩小）a倍，例如=5，=50。（4）夹值法及估计一个（无理）数的大小（5）ax2(x0)ax a 是 x 的平方 x 的平方是 a x 是 a 的算术平方根 a 的算术平方根是 x（6）正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。a（a0）0a 名师总结 优秀知识点 aa2 ；注意a的双重非负性：-a（a0）a0（7）平方根和算术平方根两者既有区别又有联系：区别在于正数的平方根有两个，而它的算术平方根只有一个；联系在于正数的正平方根就是它的算术平方根，而正数的负平方根 是它的算术平方根的相反数。3、立方根（1）立方根的定义：如果一个数 x 的立方等于a，这个数叫做a的立方根（也叫做三次方根），即如果3xa，那么x叫做a的立方根（2）一个数a的立方根，记作3a，读作：“三次根号a”，其中a叫被开方数，3 叫根指数，不能省略，若省略表示平方。（3）一个正数有一个正的立方根；0 有一个立方根，是它本身；一个负数有一个负的立方根；任何数都有唯一的立方根。（4）利用开立方和立方互为逆运算关系，求一个数的立方根，就可以利用这种互逆关系，检验其正确性，求负数的立方根，可以先求出这个负数的绝对值的立方根，再取其相反数，即330aa a 。（5）ax 3 3ax a 是 x 的立方 x 的立方是a x 是 a 的立方根 a 的立方根是 x（6）33aa，这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。【典型例题分析】知识点一：有关概念的识别 1、下列说法中正确的是（）A、的平方根是3 B、1 的立方根是1 C、=1 D、是 5 的平方根的相反数 2、下列语句中，正确的是（）A一个实数的平方根有两个，它们互为相反数 B负数没有立方根 C一个实数的立方根不是正数就是负数 D立方根是这个数本身的数共有三个 开方数必须是非负数才有意义平方与开平方互为逆运算的平方等于的平方根正数的负的平方根可用表示是的平方的平方是是的平方根的平方根是也就是在等式中规定的结果有两种情况当是完全平方数时是一个有限名师总结 优秀知识点 3、下列说法中：3都是 27 的立方根，yy33，64的立方根是 2，4832。其中正确的有 （）A、1 个 B、2 个 C、3 个 D、4 个 4、20.7的平方根是（）A0.7 B0.7 C0.7 D0.49 5、下列各组数中，互为相反数的组是（）A、2 与2)2(B、2 和38 C、21与 2 D、2和 2 知识点二：计算类题型 1、25 的算术平方根是_；平方根是_.-27 立方根是_._，_，_.2、2)4(；33)6(；2)196(=.38=.3、2+3252 7(71-7)|23|+|23|-|12|41)2(823 4、（1）3272)3(31 （2）33364631125.041027 开方数必须是非负数才有意义平方与开平方互为逆运算的平方等于的平方根正数的负的平方根可用表示是的平方的平方是是的平方根的平方根是也就是在等式中规定的结果有两种情况当是完全平方数时是一个有限名师总结 优秀知识点 （3）知识点三：利用平方根和立方根解方程 1、（1）（2x-1）2-169=0；（2）12142x （3）125)2(3x 知识点四：关于有意义的题 a本身为非负数，有非负性，即a0；a有意义的条件是 a0。要使 1a有意义，必须满足 a0.1、若a的算术平方根有意义，则 a 的取值范围是（）A、一切数 B、正数 C、非负数 D、非零数 2、要使62 x有意义，x 应满足的条件是 3、当_x时，式子21xx有意义。知识点五：有关平方根的解答题 1、一个正数 a 的平方根是 3x4 与 2x，则 a 是多少？2、若 5a1 和 a19 是数 m 的平方根，求 m 的值。3、已知 x、y 都是实数，且334yxx ，求xy的平方根。开方数必须是非负数才有意义平方与开平方互为逆运算的平方等于的平方根正数的负的平方根可用表示是的平方的平方是是的平方根的平方根是也就是在等式中规定的结果有两种情况当是完全平方数时是一个有限名师总结 优秀知识点 知识点六：非负性的应用 1、已知实数 x，y 满足 2x+(y+1)2=0，则 x-y 等于 解答：根据题意得，x-2=0，y+1=0，解得 x=2，y=-1，所以，x-y=2-（-1）=2+1=3 2、已知 a、b 满足0382ba，解关于x的方程 122abxa。3、若0)13(12yxx，求25yx 的值。4、若 a、b、c 满足01)5(32cba，求代数式acb 的值。5、已知a31和8b3互为相反数，求(ab)227 的值。【重点知识巩固】考点、平方根、算术平方根、立方根 1、概念、定义（1）如果一个正数 x 的平方等于 a，即，那么这个正数 x 叫做 a 的算术平方根。（2）如果一个数的平方等于 a，那么这个数就叫做 a 的平方根（或二次方跟）。如果，开方数必须是非负数才有意义平方与开平方互为逆运算的平方等于的平方根正数的负的平方根可用表示是的平方的平方是是的平方根的平方根是也就是在等式中规定的结果有两种情况当是完全平方数时是一个有限名师总结 优秀知识点 那么 x 叫做 a 的平方根。（3）如果一个数的立方等于 a，那么这个数就叫做 a 的立方根（或 a 的三次方根）。如果，那么 x 叫做 a 的立方根。2、运算名称（1）求一个正数 a 的平方根的运算，叫做开平方。平方与开平方互为逆运算。（2）求一个数的立方根的运算，叫做开立方。开立方和立方互为逆运算。3、运算符号（1）正数 a 的算术平方根，记作“a”。（2）a(a0)的平方根的符号表达为。（3）一个数 a 的立方根，用表示，其中 a 是被开方数，3 是根指数。4、运算公式 4、开方规律小结（1）若 a0，则a的平方根是a，a的算术平方根a；正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；0 的平方根和算术平方根都是 0；负数没有平方根。实数都有立方根，一个数的立方根有且只有一个，并且它的符号与被开方数的符号相同。正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0 的立方根是 0。（2）若a0，则a没有平方根和算术平方根；若a为任意实数，则a的立方根是。（3）正数的两个平方根互为相反数，两个互为相反数的实数的立方根也互为相反数。开方数必须是非负数才有意义平方与开平方互为逆运算的平方等于的平方根正数的负的平方根可用表示是的平方的平方是是的平方根的平方根是也就是在等式中规定的结果有两种情况当是完全平方数时是一个有限