2023年平面向量的数量积精品讲义;.pdf
学习必备 欢迎下载 2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义 一、教材分析：教科书以物体受力做功为背景，引出向量数量积的概念，功是一个标量，它用力和位移两个向量来定义，反应在数学上就是向量的数量积。向量的数量积是过去学习中没有遇到过的一种新的乘法，与数的乘法既有区别又有联系。教科书通过“探究”，要求学生自己利用向量的数量积定义推导有关结论。这些结论可以看成是定义的直接推论。教材例一是对数量积含义的直接应用。二、学情分析：前面已经学习了向量的概念及向量的线性运算，这里引入一种新的向量运算向量的数量积，教科书以物体受力做功为背景引入向量数量积的概念，既使向量数量积运算与学生已有知识建立了联系，又使学生看到数量积与向量模的大小有及夹角有关，同时与前面的向量运算不同，其计算结果不是向量而是数量。三、三维目标：(一)知识与技能 1、学生通过物理中“功”等实例，认识理解平面向量数量积的含义及其物理意义，体会平面向量数量积与向量投影的关系。2、学生通过平面向量数量积的 3 个重要性质的探究，体会类比与归纳、对比与辨析等数学方法，正确熟练的应用平面向量数量积的学习必备 欢迎下载 定义、性质进行运算。(二)过程与方法 1、学生经历由实例到抽象到抽象的的数学定义的形成过程，性质的发现过程，进一步感悟数学的本质。（三）情感态度价值观 1、学生通过本课学习体会特殊到一般，一般到特殊的数学研究思想。2、通过问题的解决,培养学生观察问题、分析问题和解决问题的实际操作能力;培养学生的交流意识、合作精神;培养学生叙述表达自己解题思路和探索问题的能力.四、教学重难点：1、重点：平面向量数量积的概念、性质的发现论证；2、难点：平面向量数量积、向量投影的理解；五、教具准备：多媒体、三角板 六、课时安排：1 课时 七、教学过程：（一）创设问题情景，引出新课 问题：请同学们回顾一下，我们已经研究了向量的哪些运算？这些运算的结果是什么？新课引入：本节课我们来研究学习向量的另外一种运算：平面向量的数量积的物理背景及其含义（二）新课：遇到过的一种新的乘法与数的乘法既有区别又有联系教科书通过探究要念及向量的线性运算这里引入一种新的向量运算向量的数量积教科书以运算不同其计算结果不是向量而是数量三三维目标一知识与技能学生通学习必备 欢迎下载 1、探究一：数量积的概念 展示物理背景：视频“力士拉车”,从视频中抽象出下面的物理模型 背景的第一次分析：问题：真正使汽车前进的力是什么？它的大小是多少？答：实际上是力F在位移方向上的分力，即COSF,在数学中我们给它一个名字叫投影。“投影”的概念：作图 定义：|b|cos 叫做向量b在a方向上的投影.投影也是一个数量，不是向量；2、背景的第二次分析：问题：你能用文字语言表述“功的计算公式”吗?分析：COSSFw用文字语言表示即：力对物体所做的功，等于力的大小、位移的大小、力与位移夹角的余弦这三者的乘积；功是一个标量，它由力和位移两个向量来确定。这给我们一种启示，能否把“功”看成是这两个向量的一种运算结果呢？平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角是，则数量|a|b|cos叫a与b的数量积，记作ab，即有ab=|a|b|cos（）.并规定0与任何向量的数量积为 0.遇到过的一种新的乘法与数的乘法既有区别又有联系教科书通过探究要念及向量的线性运算这里引入一种新的向量运算向量的数量积教科书以运算不同其计算结果不是向量而是数量三三维目标一知识与技能学生通学习必备 欢迎下载 注：两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由 cos的符号所决定.3、向量的数量积的几何意义：数量积ab等于a的长度与b在a方向上投影|b|cos 的乘积.八、练习设计：例 1 已知a5，b4，a与b的夹角=60，求ab 解：由向量的数量积公式得：（先复习特殊角度的余弦值）ab=|a|b|cos=5 4 cos60=5 421=10 练习 1已知a8，b6，a与b的夹角为60，a与b的夹角=00，求ab；解：由向量的数量积公式得：ab=|a|b|cos=8 6 cos60=8 621=24 ab=|a|b|cos=8 6 cos0=8 6 1=48 归纳总结：由特殊到一般的数学思想得到：性质（1）当a与b同向时，ab=ba；练习 2已知a1，b2，当a与b的夹角为090时，求ab和aa 解：根据向量夹角的概念和向量的数量积公式得：ab=|a|b|cos=1 2 cos0=1 2 1=2 aa=|a|b|cos=1 1 cos0=1 1 1=1 归纳总结：特别地aa常记作2a，这时2a=2a；ab ab=0；遇到过的一种新的乘法与数的乘法既有区别又有联系教科书通过探究要念及向量的线性运算这里引入一种新的向量运算向量的数量积教科书以运算不同其计算结果不是向量而是数量三三维目标一知识与技能学生通学习必备 欢迎下载 练习 4：九、课堂小结：“1+3”一个概念：数量积的定义ab=|a|b|cos 三个性质：1、当a与b同向时，ab=ba；2、特别地aa常记作2a，这时2a=2a；3、ab ab=0；作业：基础作业：课本 109 页 练习 A，2，练习 B，1、2 课后思考：向量的数量积运算满足哪些运算律？十、板书设计 2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义 1、投影 2、向量的数量积公式 3、向量数量积的性质 例 1 十一、教学反思 ;b30b,2b,12a10aa，求的夹角为与、已知;b45b,4b,25a20aa求的夹角为与、已知遇到过的一种新的乘法与数的乘法既有区别又有联系教科书通过探究要念及向量的线性运算这里引入一种新的向量运算向量的数量积教科书以运算不同其计算结果不是向量而是数量三三维目标一知识与技能学生通
