2023年平面向量精品讲义.pdf

学习必备 欢迎下载 第二章 平面向量 2.1.1 平面向量的实际背景及基本概念 2.1.2 向量的几何表示 教学目标：1.了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和向量的几何表示；掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念；并会区分平行向量、相等向量和共线向量.2.通过对向量的学习，使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别.3.通过学生对向量与数量的识别能力的训练，培养学生认识客观事物的数学本质的能力.教学重点：理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念，会表示向量.教学难点：平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系.教学思路：一、情景设置：如图，老鼠由 A向西北逃窜，猫在 B处向东追去，设问：猫能否追到老鼠？（画图）结论：猫的速度再快也没用，因为方向错了.分析：老鼠逃窜的路线 AC、猫追逐的路线 BD实际上都是有方向、有长短的量.引言：请同学指出哪些量既有大小又有方向？哪些量只有大小没有方向？二、新课学习：A B C D 学习必备 欢迎下载 （一）向量的概念：我们把既有大小又有方向的量叫向量（二）请同学阅读课本后回答：1、数量与向量有何区别？2、如何表示向量？3、有向线段和线段有何区别和联系？分别可以表示向量的什么？4、长度为零的向量叫什么向量？长度为 1 的向量叫什么向量？5、满足什么条件的两个向量是相等向量？单位向量是相等向量吗？6、有一组向量，它们的方向相同或相反，这组向量有什么关系？7、如果把一组平行向量的起点全部移到一点 O，这是它们是不是平行向量？这时各向量的终点之间有什么关系？（三）探究学习 1、数量与向量的区别：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；向量有方向，大小，双重性，不能比较大小.2.向量的表示方法：用有向线段表示；用字母、:（黑体，印刷用）等表示；用有向线段的起点与终点字母：AB；向量AB的大小长度称为向量的模，记作|AB|.3.有向线段：具有方向的线段就叫做有向线段，三个要素：起点、方向、A(起点)B（终点）a 行向量相等向量和共线向量通过对向量的学习使学生初步认识现实生活量共线向量的概念会表示向量教学难点平行向量相等向量和共线向量的逐的路线实际上都是有方向有长短的量引言请同学指出哪些量既有大小学习必备 欢迎下载 长度.向量与有向线段的区别：（1）向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方向相同，则这两个向量就是相同的向量；（2）有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段.4、零向量、单位向量概念：长度为 0 的向量叫零向量，记作0.0的方向是任意的.注意0与 0 的含义与书写区别.长度为 1 个单位长度的向量，叫单位向量.说明：零向量、单位向量的定义都只是限制了大小.5、平行向量定义：方向相同或相反的非零向量叫平行向量；我们规定0与任一向量平行.说明：（1）综合、才是平行向量的完整定义；（2）向量、平行，记作。6、巩固练习：P77 练习 1、2、3 习题 A 1 行向量相等向量和共线向量通过对向量的学习使学生初步认识现实生活量共线向量的概念会表示向量教学难点平行向量相等向量和共线向量的逐的路线实际上都是有方向有长短的量引言请同学指出哪些量既有大小学习必备 欢迎下载 2.1.3 相等向量和共线向量 1、相等向量定义：长度相等且方向相同的向量叫相等向量。说明：（1）向量与相等，记作；（2）零向量与零向量相等；（3）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关.2、共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上（与有向线段的起点无关）.说明：（1）平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；（2）共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系.（四）理解和巩固：例 1 书本 76 页例 2 例 2 判断：（1）平行向量是否一定方向相同？（不一定）（2）不相等的向量是否一定不平行？（不一定）（3）与零向量相等的向量必定是什么向量？（零向量）（4）与任意向量都平行的向量是什么向量？（零向量）（5）若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是什么向量？（平行向量）（6）两个非零向量相等的当且仅当什么？（长度相等且方向相同）（7）共线向量一定在同一直线上吗？（不一定）例 3 如图，设 O是正六边形 ABCDEF 的中心，分别写出图中与向量OA、OB、行向量相等向量和共线向量通过对向量的学习使学生初步认识现实生活量共线向量的概念会表示向量教学难点平行向量相等向量和共线向量的逐的路线实际上都是有方向有长短的量引言请同学指出哪些量既有大小学习必备 欢迎下载 OC相等的向量.变式一：与向量长度相等的向量有多少个？（11 个）变式二：是否存在与向量长度相等、方向相反的向量？（存在）变式三：与向量共线的向量有哪些？（FEDOCB,）课堂练习：1判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由 向量AB与CD是共线向量，则A、B、C、D四点必在一直线上；单位向量都相等；任一向量与它的相反向量不相等；四边形ABCD是平行四边形当且仅当ABDC 一个向量方向不确定当且仅当模为 0；共线的向量，若起点不同，则终点一定不同.2书本 77 页练习 三、课后作业：书本 77 页习题 2.1 第 2、3、5 题 行向量相等向量和共线向量通过对向量的学习使学生初步认识现实生活量共线向量的概念会表示向量教学难点平行向量相等向量和共线向量的逐的路线实际上都是有方向有长短的量引言请同学指出哪些量既有大小学习必备 欢迎下载 第 2 课时 2.2.1 向量的加法运算及其几何意义 教学目标：1、掌握向量的加法运算，并理解其几何意义；2、会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量，培养数形结合解决问题的能力；3、通过将向量运算与熟悉的数的运算进行类比，使学生掌握向量加法运算的交换律和结合律，并会用它们进行向量计算，渗透类比的数学方法；教学重点：会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量.教学难点：理解向量加法的定义.教学思路：一、设置情景：1、复习：向量的定义以及有关概念 强调：向量是既有大小又有方向的量.长度相等、方向相同的向量相等.因此，我们研究的向量是与起点无关的自由向量，即任何向量可以在不改变它的方向和大小的前提下，移到任何位置 2、情景设置：（1）某人从 A到 B，再从 B按原方向到 C，则两次的位移和：ACBCAB（2）若上题改为从 A到 B，再从 B按反方向到 C，则两次的位移和：ACBCAB（3）某车从 A到 B，再从 B改变方向到 C，则两次的位移和：ACBCAB A B C C A B A B C 行向量相等向量和共线向量通过对向量的学习使学生初步认识现实生活量共线向量的概念会表示向量教学难点平行向量相等向量和共线向量的逐的路线实际上都是有方向有长短的量引言请同学指出哪些量既有大小学习必备 欢迎下载 O A B a a a b b b（4）船速为AB，水速为BC，则两速度和：ACBCAB 二、探索研究：、向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法.、三角形法则（“首尾相接，首尾连”）如图，已知向量 a、.在平面内任取一点A，作ABa，BC，则向量AC叫做 a 与的和，记作 a，即 aACBCAB，规定：a+0=0+a 探究：（1）两相向量的和仍是一个向量；（2）当向量a与b不共线时，a+b的方向不同向，且|a+b|b|，则a+b的方向与a相同，且|a+b|=|a|-|b|；若|a|0 时a与a方向相同；0，(a)b=|a|b|cos ，(ab)=|a|b|cos ，a(b)=|a|b|cos ，若 0，(a)b=|a|b|cos()=|a|b|(cos )=|a|b|cos ，(ab)=|a|b|cos ，a(b)=|a|b|cos()=|a|b|(cos )=|a|b|cos .行向量相等向量和共线向量通过对向量的学习使学生初步认识现实生活量共线向量的概念会表示向量教学难点平行向量相等向量和共线向量的逐的路线实际上都是有方向有长短的量引言请同学指出哪些量既有大小学习必备 欢迎下载 3分配律：(a+b)c=a c+bc 在平面内取一点O，作OA=a，AB=b，OC=c，a+b（即OB）在c方向上的投影等于a、b在c方向上的投影和，即|a+b|cos =|a|cos 1+|b|cos 2|c|a+b|cos =|c|a|cos 1+|c|b|cos 2，c(a+b)=ca+cb 即：(a+b)c=ac+bc 说明：（1）一般地，()（）（2），0（3）有如下常用性质：，（）（）()三、讲解范例：例 1 已知a、b都是非零向量，且a+3b与 7a 5b垂直，a 4b与 7a 2b垂直，求a与b的夹角.解：由(a+3b)(7a 5b)=0 7a2+16ab 15b2=0 (a 4b)(7a 2b)=0 7a2 30ab+8b2=0 两式相减：2ab=b2 代入或得：a2=b2 设a、b的夹角为，则 cos =21222|bbbaba =60 行向量相等向量和共线向量通过对向量的学习使学生初步认识现实生活量共线向量的概念会表示向量教学难点平行向量相等向量和共线向量的逐的路线实际上都是有方向有长短的量引言请同学指出哪些量既有大小学习必备 欢迎下载 例 2 求证：平行四边形两条对角线平方和等于四条边的平方和.解：如图：平行四边形 ABCD 中，DCAB，BCAD，AC=ADAB|AC|2=ADABADABADAB2|222 而BD=ADAB ，|BD|2=ADABADABADAB2|222|AC|2+|BD|2=2222ADAB=2222|ADDCBCAB 例 3 四边形ABCD中，AB，BC，CD，DA，且，试问四边形ABCD是什么图形?分析：四边形的形状由边角关系确定，关键是由题设条件演变、推算该四边形的边角量.综上所述，四边形ABCD是矩形.评述：(1)在四边形中，AB，BC，CD，DA是顺次首尾相接向量，则其和向量是零向量，即0，应注意这一隐含条件应用；(2)由已知条件产生数量积的关键是构造数量积，因为数量积的定义式中含有边、角两种关系.四、课堂练习：1.下列叙述不正确的是（）A.向量的数量积满足交换律 B.向量的数量积满足分配律 C.向量的数量积满足结合律 D.ab是一个实数 2.已知|a|=6，|b|=4，a与b的夹角为，则(a+2b)(a-3b)等于（）A.72 B.-72 C.36 D.-36 行向量相等向量和共线向量通过对向量的学习使学生初步认识现实生活量共线向量的概念会表示向量教学难点平行向量相等向量和共线向量的逐的路线实际上都是有方向有长短的量引言请同学指出哪些量既有大小学习必备 欢迎下载 3.|a|=3，|b|=4，向量a+43b与a-43b的位置关系为（）A.平行 B.垂直 C.夹角为3 D.不平行也不垂直 4.已知|a|=3，|b|=4，且a与b的夹角为 150，则(a+b).5.已知|a|=2，|b|=5，ab=-3，则|a+b|=_，|a-b|=.6.设|a|=3，|b|=5，且a+b与ab垂直，则 .五、课后作业 行向量相等向量和共线向量通过对向量的学习使学生初步认识现实生活量共线向量的概念会表示向量教学难点平行向量相等向量和共线向量的逐的路线实际上都是有方向有长短的量引言请同学指出哪些量既有大小学习必备 欢迎下载 三、平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 教学目的：要求学生掌握平面向量数量积的坐标表示 掌握向量垂直的坐标表示的充要条件，及平面内两点间的距离公式.能用所学知识解决有关综合问题.教学重点：平面向量数量积的坐标表示 教学难点：平面向量数量积的坐标表示的综合运用 教学过程：一、复习引入：1两个非零向量夹角的概念 已知非零向量与，作OA，OB，则（）叫与的夹角.2平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量与，它们的夹角是，则数量|a|b|cos 叫与的数量积，记作ab，即有ab=|a|b|cos ，（）.并规定0与任何向量的数量积为 0.3向量的数量积的几何意义：数量积ab等于a的长度与b在a方向上投影|b|cos 的乘积.4两个向量的数量积的性质：设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量.1 ea=ae=|a|cos ；2 ab ab=0 C 行向量相等向量和共线向量通过对向量的学习使学生初步认识现实生活量共线向量的概念会表示向量教学难点平行向量相等向量和共线向量的逐的路线实际上都是有方向有长短的量引言请同学指出哪些量既有大小学习必备 欢迎下载 3 当a与b同向时，ab=|a|b|；当a与b反向时，ab=|a|b|.特别的aa=|a|2或aaa|4 cos =|baba ；5|ab|a|b|5平面向量数量积的运算律 交换律：a b=b a 数乘结合律：(a)b=(ab)=a(b)分配律：(a+b)c=a c+bc 二、讲解新课：平面两向量数量积的坐标表示 已知两个非零向量),(11yxa，),(22yxb，试用a和b的坐标表示ba.设i是x轴上的单位向量，j是y轴上的单位向量，那么jyixa11，jyixb22 所以)(2211jyixjyixba2211221221jyyjiyxjiyxixx 又1 ii，1 jj，0ijji，所以ba 2121yyxx 这就是说：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.即ba 2121yyxx 2.平面内两点间的距离公式 四、设),(yxa，则222|yxa或22|yxa.（2）如果表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为),(11yx、),(22yx，那么221221)()(|yyxxa(平面内两点间的距离公式)五、向量垂直的判定 设),(11yxa，),(22yxb，则ba 02121 yyxx 行向量相等向量和共线向量通过对向量的学习使学生初步认识现实生活量共线向量的概念会表示向量教学难点平行向量相等向量和共线向量的逐的路线实际上都是有方向有长短的量引言请同学指出哪些量既有大小学习必备 欢迎下载 六、两向量夹角的余弦（0）cos =|baba222221212121yxyxyyxx 七、讲解范例：八、设a=(5，7)，b=(6，4)，求ab及a、b间的夹角(精确到1o)例 2 已知A(1，2)，B(2，3)，C(2，5)，试判断ABC的形状，并给出证明.例 3 已知a=(3，1)，b=(1，2)，求满足xa=9 与xb=4 的向量x.例 4 已知a（，3），b（3，3），则a与b的夹角是多少?分析：为求a与b夹角，需先求ab及ab，再结合夹角 的范围确定其值.评述：已知三角形函数值求角时，应注重角的范围的确定.例 5 如图，以原点和A(5，2)为顶点作等腰直角OAB，使B=90 ，求点B和向量AB的坐标.例 6 在ABC中，AB=(2，3)，AC=(1，k)，且ABC的一个内角为直角，求k值.九、课后作业 行向量相等向量和共线向量通过对向量的学习使学生初步认识现实生活量共线向量的概念会表示向量教学难点平行向量相等向量和共线向量的逐的路线实际上都是有方向有长短的量引言请同学指出哪些量既有大小学习必备 欢迎下载 复习课 一、教学目标 1.理解向量.零向量.向量的模.单位向量.平行向量.反向量.相等向量.两向量的夹角等概念。2.了解平面向量基本定理.3.向量的加法的平行四边形法则（共起点）和三角形法则（首尾相接）。4.了解向量形式的三角形不等式：|a|-|b|ab|a|+|b|(试问：取等号的条件是什么?)和向量形式的平行四边形定理：2(|a|2+|b|2)=|ab|2+|a+b|2.5.了解实数与向量的乘法（即数乘的意义）：6.向量的坐标概念和坐标表示法 7.向量的坐标运算（加.减.实数和向量的乘法.数量积）8.数量积（点乘或内积）的概念，ab=|a|b|cos=x1x2+y1y2注意区别“实数与向量的乘法；向量与向量的乘法”二、知识与方法 向量知识，向量观点在数学.物理等学科的很多分支有着广泛的应用，而它具有代数形式和几何形式的“双重身份”能融数形于一体，能与中学数学教学内容的许多主干知识综合，形成知识交汇点，所以高考中应引起足够的重视.数量积的主要应用：求模长；求夹角；判垂直 三、典型例题 例 1.对于任意非零向量a与b，求证：a-baba+b 证明：(1)两个非零向量a与b不共线时，a+b的方向与a，b的方向都不同，行向量相等向量和共线向量通过对向量的学习使学生初步认识现实生活量共线向量的概念会表示向量教学难点平行向量相等向量和共线向量的逐的路线实际上都是有方向有长短的量引言请同学指出哪些量既有大小学习必备 欢迎下载 并且a-baba+b(3)两个非零向量a与b共线时，a与b同向，则a+b的方向与a.b相同且a+b=ab.a与b异向时，则a+b的方向与模较大的向量方向相同，设|a|b|，则|a+b|=|a|-|b|.同理可证另一种情况也成立。例 2 已知 O为ABC内部一点，AOB=150，BOC=90，设OA=a，OB=b，OC=c，且|a|=2，|b|=1，|c|=3，用a与b表示c i j 解：如图建立平面直角坐标系 xoy，其中i,j是单位正交基底向量,则 B（0，1），C（-3，0），设 A（x，y），则条件知 x=2cos(150-90),y=-2sin(150-90)，即 A（1，-3），也就是a=i 3j,b=j，c=-3i所以-3a=33b+c|即c=3a33b 例 3.下面 5 个命题：|ab|=|a|b|(ab)2=a2b2a(bc)，则ac=bc ab=0，则|a+b|=|ab|ab=0，则a=0或b=0，其中真命题是（）A B C D 三、巩固训练 1.下面 5 个命题中正确的有（）a=bac=bc；ac=bca=b；a（b+c）=ac+bc；a（bc）=（ab）c；baaba2.A.B.C.D.2.下列命题中，正确命题的个数为（A）若a与b是非零向量，且a与b共线时，则a与b必与a或b中之一方向相同；若e为单位向量，且ae则a=|a|e aaa=|a|3 若a与b共线，a行向量相等向量和共线向量通过对向量的学习使学生初步认识现实生活量共线向量的概念会表示向量教学难点平行向量相等向量和共线向量的逐的路线实际上都是有方向有长短的量引言请同学指出哪些量既有大小学习必备 欢迎下载 与c共线，则c与b共线；若平面内四点 A.B.C.D，必有AC+BD=BC+AD A 1 B 2 C 3 D 4 3.下列 5 个命题中正确的是 对于实数 p,q 和向量a,若 pa=qa则 p=q对于向量a与b，若|a|a=|b|b则a=b对于两个单位向量a与b，若|a+b|=2 则a=b对于两个单位向量a与b，若 ka=b，则a=b 4.已知四边形 ABCD 的顶点分别为 A(2,1)，B(5,4)，C(2,7)，D(-1,4),求证：四边形 ABCD 为正方形。行向量相等向量和共线向量通过对向量的学习使学生初步认识现实生活量共线向量的概念会表示向量教学难点平行向量相等向量和共线向量的逐的路线实际上都是有方向有长短的量引言请同学指出哪些量既有大小