2023年数列知识点总结归纳大全及经典测试卷(最新版).pdf

学习必备 精品知识点 数列知识点回顾 第一部分：数列的基本概念 1理解数列定义的四个要点 数列中的数是按一定“次序”排列的，在这里，只强调有“次序”，而不强调有“规律”因此，如果组成两个数列的数相同而次序不同，那么它们就是不同的数列 在数列中同一个数可以重复出现 项 an与项数 n 是两个根本不同的概念 数列可以看作一个定义域为正整数集(或它的有限子集)的函数当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，但函数不一定是数列 2数列的通项公式 一个数列 an的第 n 项 an与项数 n 之间的函数关系，如果用一个公式 an=)(nf来表示，就把这个公式叫做数列 an的通项公式。若给出数列 an的通项公式，则这个数列是已知的。若数列 an的前 n 项和记为 Sn，则 Sn与 an的关系是：an=2.1,11nSSnSnn。第二部分：等差数列 1等差数列定义的几个特点：公差是从第一项起，每一项减去它前一项的差(同一常数)，即 d=ana1n(n 2)或 d=a1nan(nN)要证明一个数列是等差数列，必须对任意 nN，ana1n=d(n 2)或 d=a1nan都成立 一般采用的形式为：当 n 2 时，有 ana1n=d(d 为常数)当 nN时，有 a1nan=d(d 为常数)当 n 2 时，有 a1nan=ana1n成立 学习必备 精品知识点 若判断数列 an不是等差数列，只需有 a3a2 a2a1即可 2等差中项 若 a、A、b 成等差数列，即 A=2ba，则 A 是 a 与 b 的等差中项；若 A=2ba，则 a、A、b 成等差数列，故 A=2ba 是 a、A、b 成等差数列，的充要条件。由于 an=211nnaa，所以，等差数列的每一项都是它前一项与后一项的等差中项。3等差数列的基本性质 公差为 d 的等差数列，各项同加一数所得数列仍是等差数列，其公差仍为 d 公差为 d 的等差数列，各项同乘以常数 k 所得数列仍是等差数列，其公差为 kd 若 an、bn为等差数列，则 an bn与kanb(k、b 为非零常数)也是等差数列 对任何 m、nN，在等差数列 an中有：an=am+(nm)d，特别地，当 m=1 时，便得等差数列的通项公式，此式较等差数列的通项公式更具有一般性 、一般地，如果 l，k，p，m，n，r，皆为自然数，且 l+k+p+=m+n+r+（两边的自然数个数相等），那么当an为等差数列时，有：al+ak+ap+=am+an+ap+公差为 d 的等差数列，从中取出等距离的项，构成一个新数列，此数列仍是等差数列，其公差为 kd(k 为取出项数之差)如果 an是等差数列，公差为 d，那么，an，a1n，a2、a1也是等差数列，其公差为d；在等差数列 an中，alm al=akm ak=md(其中 m、k、lN)在等差数列中，从第一项起，每一项(有穷数列末项除外)都是它前后两项的等差中项 当公差 d0 时，等差数列中的数随项数的增大而增大；当 d0 时，等差数列中的数随项数的减少而减小；d0 时，等差数列中的数等于一个常数 设 al，am，an为等差数列中的三项，且 al与 am，am与 an的项距差之比nmml=（1），则 am=1nlaa 数列中同一个数可以重复出现项与项数是两个根本不同的概念数列可以之间的函数关系如果用一个公式来表示就把这个公式叫做数列的通项公一项的差同一常数即或要证明一个数列是等差数列必须对任意或都成立学习必备 精品知识点 4等差数列前 n 项和公式 Sn=2)(1naan与 Sn=na1dnn2)1(的比较 前 n 项和公式 公式适用范围 相同点 Sn=2)(1naan 用于已知等差数列的首项和末项 都是等差数列的前 n 项和公式 Sn=na1dnn2)1(用于已知等差数列的首项和公差 5等差数列前 n 项和公式 Sn的基本性质 数列 an为等差数列的充要条件是：数列 an的前 n 项和 Sn可以写成 Sn=an2+bn 的形式(其中 a、b 为常数)在等差数列 an中，当项数为 2n(nN*)时，S偶S奇=nd，偶奇SS=1nnaa；当项数为(2n1)(nN)时，S偶S奇=an，偶奇SS=1nn 若数列 an为等差数列，则 Sn，Sn2Sn，Sn3Sn2，仍然成等差数列，公差为dn2 若两个等差数列 an、bn的前 n 项和分别是 Sn、Tn(n 为奇数)，则nnTS=2121nnba 在等差数列 an中，Sn=a，Sm=b(nm)，则 Snm=mnmn(ab)等差数列an中，nSn是 n 的一次函数，且点（n，nSn）均在直线 y=2dx+(a12d)上 记等差数列an的前 n 项和为 Sn若 a10，公差 d0，则当 an 0 且 a1n 0 时，Sn最大；若 a10，公差 d0，则当 an 0 且 a1n 0 时，Sn最小 第三部分：等比数列 1正确理解等比数列的含义 q 是指从第 2 项起每一项与前一项的比，顺序不要错，即 q=nnaa1(nN)或 q=1nnaa(n 2)数列中同一个数可以重复出现项与项数是两个根本不同的概念数列可以之间的函数关系如果用一个公式来表示就把这个公式叫做数列的通项公一项的差同一常数即或要证明一个数列是等差数列必须对任意或都成立学习必备 精品知识点 由定义可知，等比数列的任意一项都不为 0，因而公比 q 也不为 0 要证明一个数列是等比数列，必须对任意 nN，nnaa1=q；或1nnaa=q(n 2)都成立 2等比中项与等差中项的主要区别 如果 G 是 a 与 b 的等比中项，那么aG=Gb，即 G2=ab，G=ab所以，只要两个同号的数才有等比中项，而且等比中项有两个，它们互为相反数；如果 A 是 a 与 b 的等差中项，那么等差中项 A唯一地表示为 A=2ba，其中，a 与 b 没有同号的限制在这里，等差中项与等比中项既有数量上的差异，又有限制条件的不同 3等比数列的基本性质 公比为 q 的等比数列，从中取出等距离的项，构成一个新数列，此数列仍是等比数列，其公比为 qm(m 为等距离的项数之差)对任何 m、nN，在等比数列 an中有：an=am qmn，特别地，当 m=1 时，便得等比数列的通项公式，此式较等比数列的通项公式更具有普遍性 一般地，如果 t，k，p，m，n，r，皆为自然数，且 t+k，p，m+=m+n+r+(两边的自然数个数相等)，那么当an为等比数列时，有：atakap=amanap 若 an是公比为 q 的等比数列，则|an|、a2n、kan、na1也是等比数列，其公比分别为|q|、q2、q、q1 如果 an是等比数列，公比为 q，那么，a1，a3，a5，a12n，是以 q2为公比的等比数列 如果 an是等比数列，那么对任意在 nN，都有 an a2n=a2n q20 两个等比数列各对应项的积组成的数列仍是等比数列，且公比等于这两个数列的公比的积 当 q1 且 a10 或 0q1 且 a10 时，等比数列为递增数列；当 a10 且 0q1 或 a1数列中同一个数可以重复出现项与项数是两个根本不同的概念数列可以之间的函数关系如果用一个公式来表示就把这个公式叫做数列的通项公一项的差同一常数即或要证明一个数列是等差数列必须对任意或都成立学习必备 精品知识点 0 且 q1 时，等比数列为递减数列；当 q=1 时，等比数列为常数列；当 q0 时，等比数列为摆动数列 4等比数列前 n 项和公式 Sn的基本性质 如果数列an是公比为 q 的等比数列，那么，它的前 n 项和公式是 Sn=.1,1)1(,1,11时当时当qqqaqnan 也就是说，公比为 q 的等比数列的前 n 项和公式是 q 的分段函数的一系列函数值，分段的界限是在 q=1 处因此，使用等比数列的前 n 项和公式，必须要弄清公比 q 是可能等于 1 还是必不等于 1，如果 q 可能等于 1，则需分 q=1 和 q 1 进行讨论 当已知 a1，q，n 时，用公式 Sn=qqan1)1(1；当已知 a1，q，an时，用公式 Sn=qqaan11 若 Sn是以 q 为公比的等比数列，则有 Smn=SmqSn 若数列 an为等比数列，则 Sn，Sn2Sn，Sn3Sn2，仍然成等比数列 若项数为 3n 的等比数列(q 1)前 n 项和与前 n 项积分别为 S1与 T1，次 n 项和与次 n 项积分别为 S2与 T2，最后 n 项和与 n 项积分别为 S3与 T3，则 S1，S2，S3成等比数列，T1，T2，T3亦成等比数列 二、难点突破 1并不是所有的数列都有通项公式，一个数列有通项公式在形式上也不一定唯一已知一个数列的前几项，这个数列的通项公式更不是唯一的 2等差(比)数列的定义中有两个要点：一是“从第 2 项起”，二是“每一项与它前一项的差(比)等于同一个常数”这里的“从第 2 项起”是为了使每一项与它前面一项都确实存在，而“同一个常数”则是保证至少含有 3 项所以，一个数列是等差(比)数列的必要非充分条件是这个数列至少含有 3 项 3 数列的表示方法应注意的两个问题：an与 an是不同的，前者表示数列 a1，a2，an，而后者仅表示这个数列的第 n 项；数列 a1，a2，an，与集合 a1，a2，an，不同，差别有两点：数列是一列有序排布的数，而集合是一个有确定范围的整体；数列的项有明确的顺数列中同一个数可以重复出现项与项数是两个根本不同的概念数列可以之间的函数关系如果用一个公式来表示就把这个公式叫做数列的通项公一项的差同一常数即或要证明一个数列是等差数列必须对任意或都成立学习必备 精品知识点 序性，而集合的元素间没有顺序性 4注意设元的技巧时，等比数列的奇数个项与偶数个项有区别，即：对连续奇数个项的等比数列，若已知其积为 S，则通常设，aq2，aq1，a，aq，aq2，；对连续偶数个项同号的等比数列，若已知其积为 S，则通常设，aq3，aq1，aq，aq3，5一个数列为等比数列的必要条件是该数列各项均不为 0，因此，在研究等比数列时，要注意an 0，因为当 an=0 时，虽有 a2n=a1n a1n成立，但an不是等比数列，即“b2=a c”是 a、b、c成等比数列的必要非充分条件；对比等差数列an，“2b=a+c”是 a、b、c 成等差数列的充要条件，这一点同学们要分清 6由等比数列定义知，等比数列各项均不为 0，因此，判断一数列是否成等比数列，首先要注意特殊情况“0”等比数列的前 n 项和公式蕴含着分类讨论思想，需分分 q=1 和 q 1 进行分类讨论，在具体运用公式时，常常因考虑不周而出错 数列中同一个数可以重复出现项与项数是两个根本不同的概念数列可以之间的函数关系如果用一个公式来表示就把这个公式叫做数列的通项公一项的差同一常数即或要证明一个数列是等差数列必须对任意或都成立学习必备 精品知识点 数列基础知识定时练习题 （满分为 100 分+附加题 20 分，共 120 分；定时练习时间 120 分钟）一、选择题（本大题共 15 小题，每小题 3 分，共 45 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1下列四个数中，哪一个是数列)1(nn中的一项 （）（A）380 （B）39 （C）35 （D）23 2在等差数列na中，公差1d，8174 aa，则20642aaaa的值为（）（A）40 （B）45 （C）50 （D）55 3一套共 7 册的书计划每 2 年出一册，若各册书的出版年份数之和为 13979，则出齐这套书的年份是（）（A）1997 （B）1999 （C）2001 （D）2003 4一个项数是偶数的等比数列，它的偶数项的和是奇数项和的 2 倍，又它的首项为 1，且中间两项的和为 24，则此等比数列的项数为（）（A）12 （B）10 （C）8 （D）6 5已知 1 是2a与2b的等比中项，又是a1与b1的等差中项，则22baba的值是（）（A）1 或21 （B）1 或21 （C）1 或31 （D）1 或31 6首项为24 的等差数列，从第 10 项开始为正，则公差d的取值范围是（）（A）38d （B）3d （C）383d （D）d383 7如果-1，a,b,c,-9 成等比数列，那么（）（A）b=3,ac=9 (B)b=-3,ac=9 (C)b=3,ac=-9 (D)b=-3,ac=-9 8在等差数列an中，已知 a1=2,a2+a3=13，则 a4+a5+a6等于（）A.40 B.42 C.43 D.45 9已知某等差数列共有 10 项，其奇数项之和为 15，偶数项之和为 30，则其公差为（）A.5 B.4 C.3 D.2 数列中同一个数可以重复出现项与项数是两个根本不同的概念数列可以之间的函数关系如果用一个公式来表示就把这个公式叫做数列的通项公一项的差同一常数即或要证明一个数列是等差数列必须对任意或都成立学习必备 精品知识点 10若互不相等的实数,a b c成等差数列，,c a b成等比数列，且310abc ，则a（）A4 B2 C2 D4 11在等比数列an中，a11，a103，则 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9=（）A.81 B.27527 C.3 D.243 12 在等比数列na中,12a,前n项和为nS,若数列1na 也是等比数列,则nS等于（）(A)122n (B)3n (C)2n (D)31n【点评】本题考查了等比数列的定义和求和公式，着重考查了运算能力。13设na是公差为正数的等差数列，若12315aaa，12380a a a，则111213aaa（）A120 B105 C90 D75 14设nS是等差数列na的前n项和，若735S，则4a（）A8 B7 C6 D5 15设 Sn是等差数列an的前 n 项和，若S3S613，则S6S12 （）（A）310 （B）13 （C）18 （D）19 二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分.把答案填在题中横线上）1在数列na中，11nnan，且9nS，则n 2等比数列na的前三项为x，22 x，33 x，则4a 3 若数列na满足：1.2,111naaann，2，3.则naaa21 .4设nS为等差数列na的前 n 项和，4S14，S107S30，则 S9 .5在数列na中，若11a，12(1)nnaan，则该数列的通项na 。三、解答题（本大题共 4 小题，每小题 10 分，共 40 分）1已知na为等比数列，324202,3aaa，求na的通项式。2设等比数列na的前 n 项和为nS，481,17,?nSSa求通项公式 3 已知正项数列an，其前 n 项和 Sn满足 10Sn=an2+5an+6 且 a1,a3,a15成等比数列，求数列an的通项 an.4数列na的前n项和记为 11,1,211nnnS aaSn（）求na的通项公式；数列中同一个数可以重复出现项与项数是两个根本不同的概念数列可以之间的函数关系如果用一个公式来表示就把这个公式叫做数列的通项公一项的差同一常数即或要证明一个数列是等差数列必须对任意或都成立学习必备 精品知识点（）等差数列nb的各项为正，其前n项和为nT，且315T，又112233,ab ab ab成等比数列，求nT 本小题主要考察等差数列、等比数列的基础知识，以及推理能力与运算能力。满分 12 分。四、附加题（20 分）某校有教职员工 150 人，为了丰富教工的课余生活，每天定时开放健身房和娱乐室。据调查统计，每次去健身房的人有 10%下次去娱乐室，而在娱乐室的人有 20%下次去健身房.请问，随着时间的推移，去健身房的人数能否趋于稳定？数列中同一个数可以重复出现项与项数是两个根本不同的概念数列可以之间的函数关系如果用一个公式来表示就把这个公式叫做数列的通项公一项的差同一常数即或要证明一个数列是等差数列必须对任意或都成立学习必备 精品知识点 1.A 2.B 3.D 4.C 5.D 6.D 7.B 解：由等比数列的性质可得 ac（1）（9）9，bb9 且 b 与奇数项的符号相同，故 b3，选 B 8.B 解：在等差数列na中，已知1232,13,aaa d=3，a5=14，456aaa=3a5=42，选 B.9.C 解：3302551520511ddada，故选 C.10.D 解：由互不相等的实数,a b c成等差数列可设 abd，cbd，由310abc 可得 b2，所以 a2d，c2d，又,c a b成等比数列可得 d6，所以 a4，选 D 11.A 解：因为数列an是等比数列，且 a11，a103，所以 a2a3a4a5a6a7a8a9（a2a9）（a3a8）（a4a7）（a5a6）（a1a10）43481，故选 A 12.C【解析】因数列na为等比，则12nnaq，因数列1na 也是等比数列，则22121122212(1)(1)(1)22(12)01nnnnnnnnnnnnnaaaaaa aaaaaaaqqq 即2na，所以2nSn，故选择答案 C。13.B【解析】na是公差为正数的等差数列，若12315aaa，12380a a a，则25a，1 3(5)(5)16aadd ，d=3，1221035aad，111213aaa105，选 B.14.D 【解析】nS是等差数列na的前n项和，若74735,Sa 4a 5，选 D.15.A 解析:由等差数列的求和公式可得31161331,26153SadadSad可得且0d 所以6112161527312669010SaddSadd,故选 A 二、填空题 1.99 2.227 3.解：数 列na满 足：111,2,1nnaaan，2，3，该 数 列 为 公 比 为2的 等 比 数 列，naaa2121212 1nn.数列中同一个数可以重复出现项与项数是两个根本不同的概念数列可以之间的函数关系如果用一个公式来表示就把这个公式叫做数列的通项公一项的差同一常数即或要证明一个数列是等差数列必须对任意或都成立学习必备 精品知识点 4.解：设等差数列na的首项为 a1，公差为 d，由题意得,142)14(441da 302)17(77 2)110(101011dada，联立解得 a1=2,d=1，所以 S95412)19(929 5.解：由12(1)nnaan 可得数列na为公差为 2 的等差数列，又11a，所以na 2n1 三、解答题 1.解:设等比数列an的公比为 q,则 q0,a2=a3q=2q,a4=a3q=2q 所以 2q+2q=203,解得 q1=13,q2=3,当 q1=13,a1=18.所以 an=18(13)n1=183n1=2 33n.当 q=3 时,a1=29,所以 an=29 3n1=2 3n3.2.解：设na的公比为 q，由481,171SSq知，所以得41(1)11a qq 81(1)171a qq由、式得整理得841171qq解得416q 所以 q2 或 q2 将 q2 代入式得1115a，所以1215na 将 q2 代入式得115a ，所以1(1)25nnna 3.解析：解:10Sn=an2+5an+6，10a1=a12+5a1+6，解之得 a1=2 或 a1=3 又 10Sn1=an12+5an1+6(n2)，由得 10an=(an2an12)+6(anan1)，即(an+an1)(anan15)=0 an+an10 ，anan1=5(n2)当 a1=3 时，a3=13，a15=73 a1，a3，a15不成等比数列a13;当 a1=2 时，a3=12，a15=72，有 a32=a1a15，a1=2，an=5n3 附加题 解:引入字母,转化为递归数列模型.设第 n 次去健身房的人数为 an，去娱乐室的人数为 bn，则150nnba.3010730107)150(102109102109111111nnnnnnnnaaaaabaa即.)100(1071001nnaa，于是11)107)(100(100nnaa 数列中同一个数可以重复出现项与项数是两个根本不同的概念数列可以之间的函数关系如果用一个公式来表示就把这个公式叫做数列的通项公一项的差同一常数即或要证明一个数列是等差数列必须对任意或都成立学习必备 精品知识点 即 )100()107(10011aann.100limnna.故随着时间的推移，去健身房的人数稳定在 100 人左右.4.解：（）由121nnaS可得1212nnaSn，两式相减得112,32nnnnnaaa aan 又21213aS 213aa 故na是首项为1，公比为3得等比数列 13nna（）设nb的公差为d 由315T 得，可得12315bbb ，可得25b 故可设135,5bd bd 又1231,3,9aaa 由题意可得 251 5953dd 解得122,10dd 等差数列nb的各项为正，0d 2d 213222nn nTnnn 数列中同一个数可以重复出现项与项数是两个根本不同的概念数列可以之间的函数关系如果用一个公式来表示就把这个公式叫做数列的通项公一项的差同一常数即或要证明一个数列是等差数列必须对任意或都成立