2023年《等比数列的概念与通项公式》精品教案.pdf
第 1 页?等比数列的概念与通项公式?教学设计 惠贞书院 陈磊 一、教学内容解析 等比数列是学生学习了等差数列后的一个特殊而又重要数列,是数列整个章节的重要组成部分.等比数列与实际生活有亲密的联络,如细胞分裂、银行贷款问题等都可以用等比数列的知识来解决,在这个过程中可让学生体验数学的实用性,激发他们的学习兴趣.通过对等比数列的学习,既是对等差数列学习的一种稳固和进步,也为学习等比数列前 n 项和奠定根底.而且在研究等比数列的过程中,学生可以体验类比思想、特殊到一般的数学思想、函数思想和方程思想等,这些都可以提升他们分析问题解决问题的才能,提升他们的学科素养.二、教学目的设置 1.知识与技能：理解等比数列的定义,掌握等比数列的通项公式及推导过程.2.过程与方法：在教学过程中,让学生观察、动手体验知识发生开展的过程,增强学生在学习过程中的互相合作,进步他们分析、类比猜想、归纳、证明的才能.3.情感态度与价值观：以国学经典作为导入,激发学生学习数学的兴趣与爱国主义热情,培养学生勇于探究敢于创新的精神,养成细心观察、认真分析、擅长总结的良好思维习惯.教学重点:等比数列的定义及通项公式.教学难点:等比数列通项公式的推导过程.三、学生学情分析 学生在学习等比数列前已经完成了对函数知识的学习和以及等差数列有关知识的学习,但对于孙子算经里的问题还有些陌生,不能用已学的等差数列来表示.本课由此入手,引发学生的认知冲突,产生求知的欲望.而研究等比数列的过程中学生可以类比等差数列的定义和性质去研究等比数列,又是符合他们“跳一跳,摘得到的最近开展区.另外,高一学生正处于从初中到高中的过渡阶段,是他们从形象思维过渡到抽象思维的关键时期.因此,本堂课的教学设计一方面要遵循从特殊到一般的认知规律,让学生学会观察、分析问题,并尝试自主解决；第 2 页 另一方面也重视逻辑推理、归纳概括才能的培养,为后续的学习打下坚实的根底.四、教学策略分析 等比数列与等差数列较为类似,可以利用类比的方式来学习等比数列.如由等差数列的通项公式类比到等比数列的通项公式,由累加法类比到累乘法等.在这个过程中需要学生经历从类比猜想到逻辑证明,从特殊到一般,从形象思维到抽象思维的过程,培养学生发现问题、分析问题、解决问题的才能.而在证明等比数列的过程中,让学生回归课本定义,训练学生逻辑思维的严密性和深化性,提升他们的思维才能和数学学科的核心素养.五、教学过程 一创设情境,提出问题 1?孙子算经?中有这样一个问题：出门见九堤,每堤有九木,每木有九巢,每巢有九鸟,每鸟有九雏,每雏有九毛,问共有几堤,几木,几巢,几鸟,几雏,几毛,几色？可以构成怎样的数列？解答：9,92,93,94,95,96,97 2如以下列图为谢宾斯基三角形,着色的小三角形个数一次构成一个数列的前 5 项,依此规律,第 6 幅图有多少个小三角形？可以得到怎样的数列？假设假设第一幅图中三角形的面积为 1,那么图中每幅图中黑色面积又可以构成怎样的数列？解答：第 6 幅图有53个小三角形,数列为12341,3,3,3,3,面积构成的数列为123433331,(),(),(),(),4444 设计意图：以国学经典作为引入,可以让学生们从数学的角度去重新认识国学经典,激起学生学习兴趣和爱国热情；谢宾斯基三角形在数列的递推公式中已经碰到过,但未点出是等比数列,在这里介绍引入起到很好的前后照应作用.二自主探究,引入概念 探究：上面的三个数列有什么共同点？第 3 页 引入等比数列的概念:一般地,假设一个数列,从第二项起,每一项与它的前一项的比都等于同一常数,那么这个数列叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比,通常用字母q 来表示(q0).即1(2)nnaq na 类比引入等比中项的定义:等差中项 等比中项 假设 a,A,b 成等差数列,那么 A 叫做 a与 b 的等差中项.即 2A=a+b 假设 a,G,b 成等比数列,那么 G 叫做 a与 b 的等比中项.即 G2=a b(a b0)设计意图:在学生对等比数列有初步理解的根底上,通过详细例子,经历从特殊到一般的过程,加深对概念的理解,培养学生辨证思维才能.三深化探究,合作学习 例 1.判断以下数列是否为等比数列?假设是,找出公比;不是,请说明理由(1)1,4,16,32(2)0,2,4,6,8.(3)1,10,100,1000,10000(4)3,3,3,3,3.(5)a,a,a,a,a.请以四人小组为单位,合作讨论,并派代表发言.解答：(1)不是；(2)不是；(3)是,公比是-10；(4)是,公比是 1；(5)当0a 时不是等比数列；当0a 时是等比数列,公比是 1.设计意图：前 4 个数列重在考察等比数列的定义,其中第 4 个又为第 5 个做了铺垫,让学生养成分类讨论的好习惯,让学生自主考虑公比能否为 0.练习 1：数列na的前 n 项和为nS,且2nnS,试判断na是否为等比数列.第 4 页 解答：112,2,nnnnnaSS而112aS,3212aaaa,那么na不是等比数列.设计意图：练一练旨在提醒学生利用nS求通项时需分类讨论,并利用定义判断na是否为等比数列,是学生的易错点所在.探究：等比数列的通项公式:提问:在等差数列中an可以用a1和d表示,类似地,在等比数列中an可以用a1和 q 表示吗?怎样表示呢?请同学们想想等差数列通项公式的推导过程,试着推出等比数列的通项公式.请以四人小组为单位,合作讨论,并派代表发言.法一：不完全归纳法 等差数列的通项公式 推导过程 等比数列的通项公式 推导过程 213141123(1)naadaadaadaand 2123134111nnaaqaaqaaqaaq 法二：累加(乘)法 等差数列的通项公式 推导过程 等比数列的通项公式 推导过程 累加法 累乘法 由定义式可得：n-1 个等式 a2a1=d a3a2=d anan-1=d 将上述式子累加得 an=a1+(n-1)d 由定义式可得：n-1 个等式 qaa12 qaa23 第 5 页 qaann 1 将上述式子累乘得 an=a1qn-1 法三：迭代法 等差数列的通项公式 推导过程 等比数列的通项公式 推导过程 由定义式可得：123123(1)nnnnaadadadand 由定义式可得：2312311nnnnnaaqaqaqaq 由以上方法可知：等比数列通项公式为：an=a1qn-1a1,q0,以上方法均强调n=1 时等式也成立,养成严谨的思维态度.设计意图:类比等差数列通项公式的推导过程,让学生通过不完全归纳法、迭代法和累乘法三种不同的方式得出等比数列的通项公式.培养学生类比、猜想的才能,在这个过程中学会知识、方法的迁移,转化难点.试一试、请写出引题中的三个数列的通项公式 解答：9nna 13nna 13()4nna 设计意图：解决引题中的数列的通项公式,前后照应,有始有终.探究：在直角坐标系中,画出通项公式为12nna的数列的图象和函数12xy的图象,你发现了什么？类似地,在同一直角坐标系中,画出通项公式为11()2nna的数列的图象和函数11()2xy的图象,并观察等比数列和指数函数之间的关系.请以四人小组为单位,合作讨论,并派代表发言.等比数列的图象是相应函数图象上的孤立的点.设计意图:通过这个环节,让学生理解等比通项公式的图象和相应函数的图象的关系,表达了函数思想.四课堂演练,思维碰撞 第 6 页 例 2、一个等比数列的第 3 项与第 4 项分别是 12 与 18,求它的第 1 项与第 2项.解：设这个等比数列的首项是1a,公比是 q,易得32q ，1a=16/3,2a=8 答：这个数列的第 1 项与第 2 项分别是163,8.设计意图:解决此题可采用启发式和讨论式教学方法.启发学生要求 a1,a2只要求出 an,而要求 an只要求出 a1,q,使学生知道解决此题关键是求根本量 a1,q.追问：等比数列通项公式中涉及哪几个量？设计意图：加强对通项公式的认识,用方程思想知三求一.练习 2、等比数列na满足373,12,aa求11a.请以四人小组为单位,合作讨论,并派代表发言.法一：由2161312aqaq 知1322aq或1322aq 均可解得1011148aa q.法二：由4734aqa,得411748aa q.设计意图:此题从两种方法来解决问题,方法一,根本量法,使学生熟悉等比数列的通项公式,表达了分类讨论思想；方法二：此题并非必须解出1,a q,而可以利用整体思想,由4117aa q解出,进步学生灵敏应用知识的才能.练习 3：数列na的前 n 项和为nS,且111,42.nnaSa(1)设12,nnnbaa证明nb为等比数列;(2)求na的通项公式.解答：(1)略；(2)13 2nnb,那么1123 2nnnaa，有113,224nnnnaa 故数列2nna是首项为12,公差为34的等差数列,第 7 页 设计意图：此题通过铺设台阶,构造新数列的方法,求出数列的通项公式,考察了等比数列的定义与证明,表达了数学的转化思想,也为后续的学习中,利用待定系数构造新数列求通项公式埋下伏笔.五归纳总结,进步升华 1、通过本堂课的学习，你掌握了哪些新的知识、方法、技巧？2、本堂课你“悟到了哪些数学思想方法？3、你有何心得和收获？知识内容 技巧方法 思想方法 等比数列的定义 等比数列的通项公式 等比中项 一、不完全归纳法、累乘法、迭代法 二、类比、归纳 三、根本量法、构造法 方程思想 整体思想 函数思想 转化思想 分类讨论思想 作业：教材 P52 NO.1 NO.2 习题 2.4A 组 设计意图：通过对本堂课的回忆,让学生重温回忆知识点和过程方法,有助于帮助他们加深记忆；对思想方法的点拨,可以让他们形成良好的认知构造的纽带,将知识转化成才能,培养他们的数学意识,对数学的教学有着重要的促进作用.六板书设计 等比数列的定义 等比中项的定义 等比数列的通项公式 练习 1 练习 3 练习 3
