2023年《空间向量在立体几何中的应用》精品教案.pdf
1 空间向量在立体几何中的应用教学设计 一.教学目标（一）知识与技能 1.理解并会用空间向量求线线角、线面角、二面角的余弦值；2.理解并会用空间向量解决平行与垂直问题.（二）过程与方法 1.体验用空间向量求线线角、线面角、二面角的余弦值的过程；2.体验用空间向量解决平行与垂直问题的过程（三）情感态度与价值观 1.通过理解并用空间向量求线线角、线面角、二面角的余弦值，用空间向量解决平行与垂直问题的过程，让学生体会几何问题代数化，领悟解析几何的思想；2.培养学生向量的代数运算推理能力；3.培养学生理解、运用知识的能力 二.教学重、难点 重点：用空间向量求线线角、线面角、二面角的余弦值及解决平行与垂直问题 难点：用空间向量求二面角的余弦值 三.教学方法：情景教学法、启发式教学法、练习法和讲授法 四.教学用具：电脑、投影仪 五.教学设计（一）新课导入 1.提问学生：（1）怎样找空间中线线角、线面角和二面角的平面角？（2）能否用代数运算来解决平行与垂直问题？（二）新课学习 1.用空间向量求线线角、线面角、二面角的余弦值.（1）设12,l l是两条异面直线，,A B是1l上的任意两点，,C D是直线2l上的任意两点，则12,l l所成的角的余弦值为CDABCDAB.（2）设AB是平面的斜线，且,BBC是斜线AB在平面内的射影，则斜线AB与平面所成的角的余弦值为BCABBCAB.设n是平面的法向量，AB是平面的一条斜线，则AB与平面所成的角的余弦值为nABnAB.2 （3）设12,n n是二面角l 的面,的法向量，则2121nnnn就是二面角的平面角或补角的余弦值.例 1：在棱长为a的正方体ABCDABC D中，EF分别是,BC AD的中点，（1）求直线ACDE与所成角的余弦值.（2）求直线AD与平面B EDF所成的角的余弦值.（3）求平面B EDF与平面ABCD所成的角的余弦值.分析：启发学生找出三条两两垂直的直线 AB,AD,AA，建立空间直角坐标系A-xyz，根据已知找出相关点的坐标，然后写出相关向量的坐标，并进行运算就可以得到所求的结果.解：（1）如图建立坐标系，则(0,0,),(,0),(0,0),(,0)2aAa C a aDaE a.(,),(,0)2aACa aaDEa.15cos,15ACDEAC DEACDE.故ACDE与所成的角的余弦值为1515.（2）,ADEADF 所以AD在平面B EDF内的射影在EDF的平分线上，又B EDF为菱形，DB为EDF的平分线，故直线AD与平面B EDF所成的角为ADB，建立如图所示坐标系，则(0,0,0),(,0,),(0,0)AB aaDa，(0,0),(,)DAaDBaa a，3cos,3DA DBDA DBDADB.故AD与平面B EDF所成角的余弦值为33.D A B C D E F G A B C x y z 3（3）由(0,0,0),(0,0,),(,0,),(0,0),(,0)2aAAaB aaDaE a,所以平面ABCD的法向量为(0,0,)mAAa,下面求平面B EDF的法向量，设(1,)ny z，由(,0),(0,)22aaEDaEBa，0210n EDyzn EB，(1,2,1)n.6cos,6m nn mmn.所以，平面B EDF与平面ABCD所成的角的余弦值为66.课堂练习：1.如图，PAABC平面，,1,2ACBC PAACBC，求二面角APBC的余弦值.参考答案：解：建立如图所示空间直角坐标系Cxyz，取PB的中点D，连,DC可证DCPB，作AEPB于E，则向量DCEA与的夹角的大小为二面角APBC的大小。(1,0,0),(0,2,0),(0,0,0),(1,0,1)ABCP，D为PB的中点，12 1(,)222，在Rt PAB中，2213PEAPEBAB.13EPB 分的比为，32 3123(,)(,)444444EEA 121(,)222DC，13,22EA DCEA，A B C P D E x y z 4 1321,cos,3312DCEA DC.二面角APCC的余弦值为33.引导学生归纳：用空间向量求二面角的余弦值时，是将求二面角的余弦值问题转化为求两平面的法向量的夹角的余弦值问题，这里要明确：（1）当法向量12nn与的方向分别指向二面角内侧与外侧时，二面角的大小等于法向量12nn与的夹角的大小；（2）当法向量12nn与的方向同时指向二面角的内侧或外侧时，二面角的大小等于法向量12nn与的夹角的补角12,n n.2.利用向量向量解决平行与垂直问题.例 2：如图,在直三棱柱 ABC A1B1C1中，AC 3，BC 4，AA14，5AB,点 D是 AB的中点，（I）求证：AC BC1；（II）求证：A1C/平面 CDB1.分析：启发学生找出三条两两垂直的直线 CA,CB,CC1，建立空间直角坐标系C-xyz，根据已知找出相关点的坐标，然后写出相关向量的坐标，并进行运算就可以得到两条直线垂直或平行.解：直三棱柱 ABC A1B1C1底面三边长 AC 3，BC 4，AB 5，AC、BC、C1C两两垂直，如图，以 C为坐标原点，直线 CA、CB、C1C分别为 x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，则 C（0,0，0），A（3,0，0），C1（0,0，4），B（0,4，0），B1（0,4，4），D（23，2,0）（1）AC（3,0，0），1BC（0，4,0），AC1BC0，AC BC1.5 （2）设 CB1与 C1B的交战为 E，则 E（0,2，2）.DE（23，0,2），1AC（3,0，4），112DEAC，DE AC1.DE平面 CDB1，AC1平面 CDB1.AC1/平面 CDB1.引导学生归纳：（1）垂直问题转化为：判定空间向量的数量积是否为零；（2）平行问题转化为：面面平行线面平行线线平行.课堂练习：2.在直三棱柱111ABCABC中，13,4,5,4ACBCABAA,（1）求证1;ACBC（2）在AB上是否存在点D使得1?ACCD（3）在AB上是否存在点D使得11/ACCDB平面.参考答案：解：直三棱柱111ABCABC，13,4,5,ACBCABAC BC CC两两垂直，以C为坐标原点，直线1,CA CB CC分别为x轴y轴，z轴，建立空间直角坐标系，则1(0,0,4),(3,0,0),(0,0,4)CAC，1(0,4,0),(0,4,4)BB.（1）1(3,0,0),(0,4,4)ACBC，110,ACBCACBC ACBC.（2）假设在AB上存在点D，使得1ACCD，则(3,4,0)ADAB 其中01，则(33,4,0)D，于是(33,4,0)CD 由于1(3,0,4)AC，且1ACCD.所以990得1，所以在AB上存在点D使得1ACCD，且这时点D与点B重合.（3）假设在AB上存在点D使得11/ACCDB平面，则(3,4,0)ADAB C A B x D 1A y Z 1B 1C 6 其中01 则(33,4,0)D，1(33,44,4)B D 又1(0,4,4).BC 由于1(3,0,4)AC，11/ACCDB平面，所以存在实数111,m nACmB DnBC使成立，(33)3,(44)40,444,mmnmn 所以12，所以在AB上存在点D使得11/ACCDB平面，且D使AB的中点.引导学生感悟：空间向量有一套良好的运算性质，它可以把几何图形的性质转化为向量运算，实现了数与形的结合，在解决立体几何的夹角、平行与垂直等问题中体现出巨大的优越性.（二）课外作业 1.如图,在直三棱柱 ABC A1B1C1中，ACB=90，CB=1,CA=3,AA1=6,M为侧棱 CC1上一点,1AMBA（1）求证:AM 平面1A BC；（2）求二面角 BAM C的大小；2.如图，直三棱柱ABCA1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点，AA1ACCB22AB.(1)证明：BC1平面A1CD；(2)求二面角DA1CE的正弦值 A B C ABCM
