2023年《空间向量》基础知识点归纳总结.pdf
1/4 空间向量及其运算 2空间向量的运算 定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘向量运算如下OBOAABab;BAOAOBab;()OPaR 运算律：加法交换律：abba 加法结合律：()()abcabc 数乘分配律：()abab 3平行六面体 平行四边形ABCD平移向量a到DCBA的轨迹所形成的几何体，叫做平行六面体，并记作ABCD-A B C D它的六个面都是平行四边形，每个面的边叫做平行六面体的棱 4.平面向量共线定理 方向相同或者相反的非零向量叫做平行向量由于任何一组平行向量都可以平移到同一条直线上，所以平行向量也叫做共线向量 向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数 ，使ba.要注意其中对向量a的非零要求 5.共线向量 如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量a平行于b记作ba/当我们说向量a、b共线（或a/b）时，表示a、b的有向线段所在的直线可能是同一直线，也可能是平行直线 6 共线向量定理：空间任意两个向量a、b（b0），a/b的充要条件是存在实数 ，使ab.推论：如果l为经过已知点 A 且平行于已知非零向量a的直线，那么对于任意一点 O，点 P 在直线l上的充要条件是存在实数 t 满足等式 tOAOPa其中向量a叫做直线l的方向向量.空间直线的向量参数表示式：tOAOPa或)(OAOBtOAOPOBtOAt)1(，中点公式)(21OBOAOP 7向量与平面平行：已知平面和向量a，作OAa，如果直线OA平行于或在内，那么我们说向量a平行于平面，记作：/a通常我们把平行于同一平面的向量，叫做共面向量 说明：空间任意的两向量都是共面的 8共面向量定理：如果两个向量,a b不共线，p与向量,a b共面的充要条件是存在实数,x y使pxayb 推论：空间一点P位于平面MAB内的充分必要条件是存在有序实数对,x y，使MPxMAyMB 或对空间任一点O，有OPOMxMAyMB 或,(1)OPxOAyOBzOMxyz 上面式叫做平面MAB的向量表达式 9空间向量基本定理：如果三个向量,a b c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组,x y z，使pxaybzc 若三向量,a bc不共面，我们把,a b c叫做空间的一个基底，,a b c叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底 推论：设,O A B C是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的三个有序实数,x y z，使2/4 OPxOAyOBzOC 10 空间向量的夹角及其表示：已知两非零向量,a b，在空间任取一点O，作,OAa OBb，则AOB叫做向量a与b的夹角，记作,a b；且规定0,a b，显然有,a bb a；若,2a b，则称a与b互相垂直，记作：ab.11向量的模：设OAa，则有向线段OA的长度叫做向量a的长度或模，记作：|a.12 向量的数量积：已知向量,a b，则|cos,aba b叫做,a b的数量积，记作a b，即a b|cos,aba b 已知向量ABa和轴l，e是l上与l同方向的单位向量，作点A在l上的射影A，作点B在l上的射影B，则AB叫做向量AB在轴l上或在e上的正射影.可以证明AB的长度|cos,|ABABa ea e 13空间向量数量积的性质：（1）|cos,a eaa e（2）0aba b （3）2|aa a 14空间向量数量积运算律：（1）()()()aba bab （2）a bb a（交换律）（3）()abca ba c （分配律）空间向量的直角坐标及其运算 1 空间直角坐标系：（1）若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为1，这个基底叫单位正交基底，用,i j k表示；（2）在空间选定一点O和一个单位正交基底,i j k，以点O为原点，分别以,i j k的方向为正方向建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫坐标轴我们称建立了一个空间直角坐标系Oxyz，点O叫原点，向量,i j k都叫坐标向量 通过每两个坐标轴的平面叫坐标平面，分别称为xOy平面，yOz平面，zOx平面；2空间直角坐标系中的坐标：在空间直角坐标系Oxyz中，对空间任一点A，存在唯一的有序实数组(,)x y z，使OAxiyjzk，有序实数组(,)x y z叫作向量A在空间直角坐标系Oxyz中的坐标，记作(,)A x y z，x叫横坐标，y叫纵坐标，z叫竖坐标 常见坐标系 正方体 如图所示，正方体ABCDA B C D的棱长为a，一般选择点D为原点，DA、DC、DD所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Dxyz，则各点坐标为 亦可选A点为原点.在长方体中建立空间直角坐标系与之类似.正四面体 如图所示，正四面体A BCD的棱长为a，一般选择A在BCD上的射影为原点，OC、OD（或OB）、OA所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Oxyz，则各点坐标为 正四棱锥 如图所示，正四棱锥PABCD的棱长为a，一般选择点P在平面A A D B B D C C y z x B C A D O z x y A B C D P O x y z 3/4 ABCD的射影为原点，OA（或OC）、OB（或OD）、OP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Oxyz，则各点坐标为 正三棱柱 如图所示，正三棱柱 ABCA B C的底面边长为a，高为h，一般选择AC中点为原点，OC（或OA）、OB、OE（E为O在A C上的射影）所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Oxyz，则各点坐标为 3空间向量的直角坐标运算律：（1）若123(,)aa a a，123(,)bb b b，则 112233(,)abab ab ab，112233(,)abab ab ab，123(,)()aaaaR ，1 12 23 3a ba ba ba b，112233/,()abab ab abR，1 12 23 30aba ba ba b （2）若111(,)A x y z，222(,)B xyz，则212121(,)ABxx yy zz 一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标 4 模长公式：若123(,)aa a a，123(,)bb b b，则222123|aa aaaa，222123|bb bbbb 5夹角公式：1 1223 3222222123123cos|a ba ba ba ba babaaabbb 6两点间的距离公式：若111(,)A x y z，222(,)B xyz，则2222212121|()()()ABABxxyyzz，或222,212121()()()A Bdxxyyzz 空间向量应用 一、直线的方向向量 把直线上任意两点的向量或与它平行的向量都称为直线的方向向量.在空间直角坐标系中，由111(,)A x y z与222(,)B xyz确定直线AB的方向向量是212121(,)ABxx yy zz.平面法向量 如果a，那么向量a叫做平面的法向量.二、证明平行问题 1证明线线平行：证明两直线平行可用112233/,()abab ab abR 或 312123/aaaabbbb.2.证明线面平行 直线l的方向向量为a，平面的法向量为n，且l，若an即0a n则/a.3.证明面面平行 平面的法向量为1n，平面的法向量为2n，若12/nn即12nn则/.三、证明垂直问题 1证明线线垂直 证明两直线垂直可用1 12 23 30aba ba ba ba b 2证明线面垂直 直线l的方向向量为a，平面的法向量为n，且l，若/an即an则a.3.证明面面垂直 平面的法向量为1n，平面的法向量为2n，若12nn即120n n 则.B C A C A B x y z O E 4/4 四、夹角 1求线线夹角 设123(,)aa a a，123(,)bb b b，(0,90 为一面直线所成角，则：|cos,a baba b；1 1223 3222222123123cos,|a ba ba ba ba babaaabbb；cos|cos,|a b.2求线面夹角 如图，已知PA为平面的一条斜线，n为平面的一个法向量，过P作平面的垂线PO，连结OA则PAO为斜线PA和平面所成的角，记为易得 sin|sin(,)|2OP AP|cos,|OP AP|cos,|n AP|cos,|n PA|n PAnPA.3求面面夹角 设1n、2n分别是二面角两个半平面、的法向量，当法向量1n、2n同时指向二面角内或二面角外时，二面角的大小为12,n n；当法向量1n、2n一个指向二面角内，另一外指向二面角外时，二面角的大小为12,n n.五、距离 1求点点距离 设111(,)A x y z，222(,)B xyz，222,212121()()()A Bdxxyyzz 222212121|()()()ABAB ABxxyyzz 2求点面距离 如图，A为平面任一点，已知PA为平面的一条斜线，n为平面的一个法向量，过P作平面的垂线PO，连结OA则PAO为斜线PA和平面所成的角，记为易得|sin|cos,|POPAPAPA n|PA nPAPAn|PA nn.3求线线距离 求异面直线间的距离可以利用向量的正射影性质直接计算.如图，设两条异面直线a、b的公垂线的方向向量为n,这时分别在a、b上任取A、B两点，则向量在n上的正射影长就是两条异面直线a、b的距离.即两异面直线间的距离等于两异面直线上分别任取两点的向量和公垂线方向向量的数量积的绝对值与公垂线的方向向量模的比值.直线a、b的距离|nAB ndABnn.4求线面距离 一条直线和一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离叫做这条直线到这个平面的距离.直线到平面的距离可转化为求点到平面的距离.5.求面面距离 和两个平行平面同时垂直的直线叫做两个平行平面的公垂线.公垂线夹在这两个平行平面间的部分叫做两个平行平面的公垂线段.公垂线段的长度叫做两个平行平面间的距离.平面和平面间的距离可转化为求点到平面的距离.n O P A
