江苏省南京市2023届高三年级5月第三次模拟考试数学试题（解析版）.pdf

20222023南京盐城二模试卷数学注意事项：1.本试卷考试时间为 l20 分钟，试卷满分 150 分，考试形式闭卷2.本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分3.答题前，务必将自己的姓名、准考证号用 0.5 毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上第1卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上l 栠合A=xENllx4的子栠个数为A.2【答案】B【解析】A=xENI JxbO),F为其左焦点，直线y=kx(kO)与椭圆C交千点A,a2,b2 B,且AF上AB.若乙ABF=30,则椭圆C的离心率为沂森A.B.寸森3 3 C.D.6 6【答案】A3-7【解析】设右焦点为N,连AN,小妨设AF=l，则AB寸，A0=-1-,OF一，FN寸，2 2 2c-7 由平行四边形性质知2(12+A炉）3+7,解得AN=2,离心率e=-一故选A.2a 3 8.已知八x)是定义在R上的可导函数，其导函数为f(x)，若对任意xER有f(x)I,j(l+x)+f(I-x)=O，且八0)=-2,则不等式j(x-J)x-1的解栠为A.(0,+=)B.(I,+=)c.(2,+00)D.(3,+00)【答案】D【解析】因为f(x)1,所以g(x)、f(x)-x在R上单调递增，因为j(l+x)+JJ-x)=O,所以八2)十/(0)=0,所以1(2)=2,.fCx-l)x-1,即g（xl)g(2)，所以x-12,解得x3,故选D.二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上全部选对得5分，部分选对得2 分，不选或有错选的得0分9.在（x-:)6的展开式中A.常数项为160B.含x2 项的系数为60C.第4项的二项式系数为15D.所有项的系数和为1【答案】BD2 解析】(x-)6的展开式中常数项为c(2)3=-160,所以A错误；含x2项的系数为C7,X(-2)2=60,所以B正确；第4项的一项式系数为Ci=20,所以C错误；令x=1,可知所2 有项的系数和为(I-)6=I,所以D正确故选BD.1 2 10.若实数X,y满足；于1,则A.lxl:2【答案】ABx2-.x2【解析】y2=-1,所以I:o,解得Ix:寸2,所以A正确；x2+y彦x2:;:2,所以B止2 2 确;享，所以C错误；产2,y=-1满足子1，但12心长，所以D错误故B.x2+y2;:2l-2 Vx cD.Ix-ly|O.下列说法正确的为A.若a=l,则函数y=fx)与y=l的图象有两个公共点B.若函数y=fx)与y=a2的图象有两个公共点，则OaI,则函数y=f(f(x)）有且仅有两个零点D.若y=fx)在x=x1和x=x2处的切线相互垂直，则x1+x2=0【答案】BCD【解析】a=I时，j(x)飞ll=l只有1解，所以A错误，飞al=a2有2解，则eX=a-a2有1解，所以a王o,解得Oal,所以B正确；加）妇旧a=O，玉I er-al=t,-a I=Ina,Olnalna时，f(x)=e-,xlna时，f(x)=e-中题惹，e，(e立）l,所以x1+x2=0,所以D正确；故选BCD.12.已知四棱柱ABCD-A1B心趴的底面ABCD为正方形，AA1=AB,乙A1AB乙AiAD=60,则A.点小在平面ABCD内的射影在AC上B.AC11-平面ArBDC.AC1与平面A1BD的交点是丛小BD的重心D.二面角趴BDC的大小为45【答案】ACD【解析】因为乙小AB乙小AD=60,所以A干确：设BD中点为0,AC巾小O=H,则心A1D=A1B=I,BD心，所以ArO=AO=，所以小0上AO,所以A心与AC1不垂直，2 故B错误：A1H:HO=A1C1:A0=2:1,所以C正确；一面角B,-BD-C的大小即为乙AiAO=，所以D正确，故选ACD.注：花石（店硒丘）（祚石1)庙祚五五五店产0,所以B错误；三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分请把答案填写在答题卡相应位置上13.若直线x-2y+a=O被圆x2+y2-2x-2y+I=O截得的弦长为2,则实数a的值为【答案】l【觥析】圆的标准方程为(x1)2+(yl)2=l，半径为1.又截得的弦长为2,则直线过圆心（I,I)，所以I-2+a=O,a=I.14.幕函数八x)=x(a.ER)满足：任意xER有八x)八x)，且八l)八2)2,请写出符合上述条件的一个函数/(x)=_A_.【答案】x3(J.=,其中p为偶数，心勾既约分数，OI)q.q q 解析】由j(一x)=j(x)知j(x)为偶函数，由八2)2知al，故可取a=-.2 3 15.一个袋子中有n(nEN*）个红球和5个白球，每次从袋子中随机摸出2个球若“摸出的两个球颜色不相同“发生的概率记为p(n)，则p(n)的最大值为 【答案】【解析】p(n)5n 10 5 飞厂n+9享9 0.兀3冗(1)若函数j(x)距象的两条相邻对称轴之间的距离为，求j(一）的值；2 2 兀兀(2)若函数j(x)的图象关千(-,0)对称，且函数f(x)在O,上单调，求o的值3 4 解：（l）/(）V3cosw x=2(l森x)=sinwx-/3coswx=2(:-sinwx-:=-coswx)=2sin(wx-:-).2 2）（3）因为函数/(x)图象的两条相邻对称轴之间的距离为，亢2 2冗所以由数j(x)的最小正周期为7,则兀，wO,故(1)=2,叭兀所以/x)=2sin(2.x一），3 则j（还冗冗2)=2sin(3冗）2sin-=3.3 3 寸一兀(2)因为函数j(x)的图象关千（;,0）对称，.,冗亢兀冗所以2sm(w-)0，即sin(;(JJ一）o,3 3 3 3、兀兀r斤以l-o-虹，即w=3k+L k巳z.3 3 亢兀冗(J)兀兀当x可o,j,则wx气三-，-4 3 3 4 3.兀-(J)冗兀兀囚为函数尔）在O,一卜单调，所以-，则(/J,l O 4 4 3 2 3 lO lO l 7故O(J)由03k+l，解得一K3 3 3 9.又kEZ，所以k=O,所以(J)=l.18.（本小题满分12分）已知数列a叶的前n项和为S,a1=2,(n-2)Sn+1+2a11+1=nS,n巳N*.1.1.1 7(2)求证：+a产a22a，产1 6.解；（l)方法 1:因为(n-2)S，叶1+2a,+1=nS11,所以(n2)511+1+2(S11+1-S11)=nS11,S11+1 n+2 即nSIt11=（n+2)S，所以=Sn 11 当n?2时，品S11 S,1 S2 _ n+I II n1 4 3.S1=.一一X2=n(n+1).S11-1 S12-2 S1,n-1 n-2 n-3 2 I 义n=I时，上式也成守，所以S11=n(n+I)(nEN*).当n;?:2时，a11=S,-S,-1=2n.义n=I时，上式也成古，所以a,=2n(nEN*).方法 2:因为(n-2)511+1+2a,+,=nS,所以n(S11+1-S11)-2(S11+1-a11+1)=0,所以2S11=na11+1,CD 令n=l得2a1=a2，又a,=2，所以02=4.所以当畛2时，2S11-1=(n-l)a,得2a,=na11+1一(n-L)ain?2),即(n+l)a11=na+1(n之），所以伽1n+l=(11?!2),U11 n a,011-1 a3 n n-I 3 所以当n;?:3时，a11=.-.一a2=.X4=2n.,伽la,1-2a2 n-l n-2 2 又11=1和2时，上式也成立，所以a11=2n(nEN*)I.1.I I I.J(2)由（I)知+=-X（一十一十一(ll2 O22正4户22）n 2.1 方法1：因为当n2时，一.1 n2 1i21 I,I,I,I _ I,I I 当畛2时，一十一十一十+l2.22.32忙l2芷l321.n2-l I.I,I I,I I,I I=I+(l-+-+-)2 3 2 4 3 5 l1-l n l l)1 7=1+(1+)-，2 2 n n+1 4 当n=l时，I:式也成立，贮1.已1.2l2产32，忙4厅以点点卢节l 方法2:肉为 1 l l、一 n2 n(n-1)nI n(n2),l l l I l l l l l I I 当n3时，一十一+1+（）+（）+（一）l2产32忙423 3 4 n-l n l l 1 7 1 7=I+-,4 2 n 4 n 4 当n=l,2时，上式也成立，l 配1.+十一 l 7 12岁32n24I.I.I 7 所以一十一十.十一a 1a2 a11-16 I 方法3：因为一ll l=-n2-I I,I n2-n-n+4 2 2 1,I,L,I-,l l,l l,1 1=1+lI-+l+-+-+.+-12守32,l2l l l l l l 2-2 2+2 3-2 3+2 n-2 1.1 2 n+2 2-2 n+-2，5-31.1.1 5 7 所以十十.十al a2 a,1216.19.（本小题满分12分）在梯形ABCD中，ABIICD,乙D=90,AB=2心，AD=DC心，如图1.现将L:.ADC沿对角线AC折成直二面角PAC-B,如图2,点M在线段BP上(1)求证：AP上CM;2诉BM(2)若点M到直线AC的距离为，求的值5 BP C,J、I义22夕C、夕、夕、夕夕夕、A（图I)（图2)(1)证明：在直角梯形ABCD中，乙D=90,AD=DC=;，所以AC=2.在6ABC中，乙CAB=45,AC=2,AB=2心，所以BC2=AC2+AB2-2ACABcos乙CAB=4,所以AB2=AC2+BC2,即AC上BC.因为二面角PACB是直二面角，平面ABCn平面PAC=AC,且BCc平面ACB,所以BC上平面PAC.又APc平面PAC,所以BC上AP.因为AP上PC,PCnBC=C,PC,BCc平面PBC,所以AP上平面PBC.又因为CMc平面PBC,所以AP上CM.(2)解：如图，以C为坐标原点，CA,CB所在直线分别为x轴，y轴建立空间且角坐标系，贝lj C(O,O,0),B(O,2,0),A(2,O,0),P(l.O,l),1 所以CA=(2,O,0),BP=(1,-2,1).因为点M在线段BP上，声所以设BM=J.BP,0.1,则CM=BM-BC=2(1,-2,l)一(0,、，-L,、，、，、，x y-2,O)=(J,2-2入，入）沁因为点M到直线 AC的距离为一，5 所以CMsin=5 所以cosCA,，所以sit1=石II忒f|，CM=寸5片8入十4寸6片一泣4，二即寸6片8)，十4522以46片8入十42-js，所以25片40).+16=0,5 解得入，4 5 即BM 4 BP 5.20.（本小题满分12分）进行独立重复试验，每次成功的概率为p(Op，即,/(5)-16 4 16 4 n+l _ l 故使得不等式l.(l)若a=e,求证：j(x)?:1;(2)若关千x的不等式J(x)O,所以f(x)在(0,十）上单调递增x 又因为八l)=O,所以当Ox时，j(x)l时，I,(x)O，则f(x)单调递增；所以，丿x)jl)=I.方法 2:由a=e,得/x)=e口lnx,则f(x)=ex-1-:.I X I当Oxl时，e尸l,l,则f(x)I时，e门l,1,则f(x)O,所以f(x)单调递膺X 所以，f(x)/(1)=I.(2)方法 1:设F(x)=,f(_x)-1=a门logax-1,则F(l)=O,l F(x)ax llno-所以F(x)=ax-1(1na)？十xlna灶Ina因为aJ,所以F(x)O,所以F(x)=ax1lna xlna 在(0,+=)上单调递增O当a=c,由（l)知j(x)匀怕成立，所以B=0,符合题党I 当ae时，F(l)=Ina一0,Ina I I 当OxI时，有Oa门I,所以F(x)=aY-11na-lna一，xlna xlna l l 则F()Ina-=0,ln切lIna所以F(x)在(0,OO)上存在唯一的零点Xl,且x1E（汕i l)当Oxx1时，F(x)x1时，F(x)O，所以F(x)单调递增l l一11又因为F(l)=O,F仁）a,I 0,所以B罕(,a),a 因此ac符合题意I 当lae时，F(l)=lna-l时，F(x)a1lna一则F(log,（一一十1),:-:-,:-:=0,lnaln汾lnalna所以F(x)在(0,+OO)上存在唯一的零点x2,且x尹(1,log舟切I).当Oxx2剒，F(x)x2时，F(x)O,所以F(x)单调递增又因为F(l)=O,B(,a),所以F(a)=a矿 1-2?:0,即（1-1)lna?:ln2.令g(a)=(a!)Ina,1 ae,a-1 则g(a)=lna一0,所以g(a)单调递增 又g(2)=ln2,所以2:s;a2方法2:JC入）l，即ax1-logax 1，即a 1+x-l x+log心y=a吁x在R上单调递增，所以ax-i+x-1x+logs邓匀：Jlog,x，即(xl)lna-lnxO,I 设g(x)=(x-l)lna-lnx,则g(x)=lna-:,X 当Ox盓”时，g(x)卢时，g(x)O,l l 所以g(x)在(0,一）卜-单调递减，在(-+OO）卜单调递增，lna lna 当a=e时，g(x)?!:O,B=0，符合题意l l l 当ae时，要使得Bs;(,a)，则g（一）lnaO即可，显然成立；a a a I 当lae时，要使得8（一，a),则g(a)=(a2)1na?O,解得a?2,所以2ae,“综卜，a 的取值范围为2,十=).22.（本小题满分12分）匀、y.已知抛物线C1:沪x和圆C2:(x-3)歼y2=2.(1)若抛物线C1的准线与x轴交千点T,MN是过抛物线C1的焦点F的弦，求言ITMTN的最小值；(2)已知P,A,B是抛物线Cl上互异的三个点，且点P异千原点若直线PA,PB被圆C2截得的弦长都为2，且PA=PB,求点P的坐标l l 解：（I)由题意知，准线方程为I:x=-;,F(;,0),7i(-4 4 4 设MN:x=ty叶，代入y2=x,消去x，得y2一。飞o.设M(x1,y1),N(x2,y习，则y叶片,y1y2=-4 -(x1+TM-TN=(x1+ly1)(x汁4,y2)=(x叶4)(x汁4)+yi_y2=(ty1+2)(ty2+2)+y1)2=(t2+I)y1y2亏妇压）i0).l l l l=-(t2+1)+=t彦O,当J=|仅当t=OB、取等号，4 2 4 4 从而冗冗的最小值为0.(2)方法1:设P(y护，yo),A(y孔y3),B(y42,）斗），则yo土0，且u，3，Y4两两不相设PA:x=mi(yyo)+yo2,PB:x=rm(yyo)+yo2,m1*m2.因为圆心C2(3,0)到盲线PA的距离等丁寸汀5亡了l，则可得l3+m,yo-yo叶=l,2 即(yo2l)n沪2yo(3yo2)m叶(3yo平l=O,同理炉产一l)，正2yo(3一对）m2+(3-yo守一l=O,因此m1,1112为方程(vo2-I)妒2yo(3-y0恒成立，即yo2:;t=I,因此m叶m2=.2yo(y沪3)对一1将x=mi(yyo)+y护与y2=x 联立消上x，得y2m1y+m1yoyo2=0,故yo+y产1.,.7l，同押yo+y4=m2,2yo(yo2-3)4yo 千是 y3+y4=m1+,m-2 yo=2 yo=一#o,y沪llyo2 Y3Y4 I 1yo2 则灼#o.）乎,V42y汁y44yo 由PA=PB,可得AB上PC2,十是有上卫g_皿-14yo yo23 解得yo2辈，即yo士平11忘11妇故P（了飞一）或P（了一飞方方法2:设 P(yo2,yo),A()求，y3),B(y42,Y4)，则y产O,且 yo,y3,Y4两两不相等，则PA:x-(yo十历）:Y+yoy3=0.因为圆心C2(3,0)到直线PA的距离等于门环二飞=L则可得|3+.l)Y3I 寸l+(yo戒l,即O成一l)yi+4yoy3+8-yo2=0,同理(yo2-l)对4yoy4+8-yo2=0,因此y3,Y4为力程（对一1)y2+4yoy+8-y沪0的两个不同的实数根，因此对l=t:-0,6=16y妒4(vo2-I)(8-yo2)=4(y矿一5yo2+8)0恒成立，即沁l,囚此y叶y4=l-yo2 土0,Y3一四l l-yo2 则知;=土0正yiy叶y44yo 由PA=PB,可得ABJ_PC2.，千是有1-y庐皿ll=l，解得yo2=,4yo yo2-3 11妇11妇故P(,-)或P（一，-).3 3 3 3 3 即yo士立3 勤学善思踏实进取求真创新止于至善汉二绝对值毋字保堂