【高中数学】直线与直线垂直课件 2022-2023学年高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册.pptx

知识回顾、引入新课知识回顾、引入新课问题问题1 1：空间两条直线有哪些位置关系？空间两条直线有哪些位置关系？共面直线共面直线异面直线异面直线：平行直线平行直线：相交直线相交直线：在同一平面内，有且只有一个公共点；在同一平面内，有且只有一个公共点；在同一平面内，没有公共点；在同一平面内，没有公共点；不同在任何一个平面内，没有公共点不同在任何一个平面内，没有公共点.创设情境、引入新课创设情境、引入新课 与平行关系类似，垂直也是空间直线、平面之间的一种特殊位置关系，它在研究空间图形问题中具有重要的作用.类似平行关系的研究过程，本节将研究空间直线、平面之间的垂直关系，重点研究这些垂直关系的判定和性质 第八章 立体几何初步8.6.1 直线与直线垂直学习目标XUEXIMUBIAO1.1.理解两条异面直线所成角、两条异面直线互相垂直以及理解两条异面直线所成角、两条异面直线互相垂直以及0 00 0角的概念，会求两条异角的概念，会求两条异面直线所成的角面直线所成的角.2.2.通过对解题思路的剖析与解决，学会寻找求异面直线所成角的方法，体会转化通过对解题思路的剖析与解决，学会寻找求异面直线所成角的方法，体会转化思想思想,培养推理论证能力和空间想象能力培养推理论证能力和空间想象能力.3 3通过本节课的学习、提升学生直观想象和逻辑推理的核心素养通过本节课的学习、提升学生直观想象和逻辑推理的核心素养.重点难点ZHONGDIANNANDIAN1 1、求两条异面直线所成的角的大小，证明两条异面直线互相垂直、求两条异面直线所成的角的大小，证明两条异面直线互相垂直；(重重点点).2 2、两条异面直线所成角的构造、两条异面直线所成角的构造.(难难点点).1研学引导研学引导PART ONE知识点一 异面直线所成的角问题问题2 2：如图如图8.6-1,在正方体在正方体ABCD-ABCD中中，直线直线AC与直线与直线AB，直线直线AD与直线与直线AB都是异面直线都是异面直线，直线直线AC与与AD相对于直线相对于直线AB的位置相同吗的位置相同吗?如果不同，如何表示这种差异呢如果不同，如何表示这种差异呢?abO 我们知道，平面内两条直线相交形成我们知道，平面内两条直线相交形成4 4个角个角,其中其中不大于不大于9090的的角称为这角称为这两条直线所成的角两条直线所成的角(或夹角或夹角)，它刻画了一条直线相对于另一，它刻画了一条直线相对于另一条直线条直线倾斜的程度倾斜的程度.类似地，我们也可以用类似地，我们也可以用“异面直线所成的角异面直线所成的角”来刻画两条异面直线的位置关系来刻画两条异面直线的位置关系.知识点一 异面直线所成的角追问追问2.12.1：如图，已知两条异面直线如图，已知两条异面直线a，b，哪一个角是异面直线，哪一个角是异面直线a，b所成的角呢？所成的角呢？经过空间中任一点经过空间中任一点O分别作直线分别作直线a/a，b/b，我们把直线我们把直线a与与b所成的角所成的角叫做叫做异面直线异面直线a与与b所成的角所成的角(或夹角或夹角).知识点一 异面直线所成的角空间空间平面平面 利用定义，将两条异面直线所成的角，转化为同一平面内两条相交直线所成的角，这是研究异面直线所成的角时经常使用的方法，这种把立体图形的问题转化为平面图形问题来解决的思想方法很重要，同学们在学习过程中一定要认真体会！知识点一 异面直线所成的角 如图，正方体ABCD-ABCD中，求异面求异面直线AC与与AB所成的角的大小 知识点一 异面直线所成的角 如图，正方体ABCD-ABCD中，求异面求异面直线AD与与AB所成的角的大小 小结：小结：通过上述探究可知，异面直线AC与AB所成的角为45，异面直线AD与AB所成的角为90，这说明直线AC与AD相对于直线AB的倾斜程度不同，直线AD相对于直线AB的倾斜程度更大一些，所以异面直线所成的角可以刻画两条异面直线中一条直线相对于另一条直线的倾斜程度知识点一 异面直线所成的角 如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说这两条异面直线互相垂直.直线a与直线b垂直，记作ab.当两条直线a，b相互平行时，我们规定它们所成的角为0.所以空间两条直线所成角的取值范围是090.空间两条异面直线a，b所成角的取值范围是知识点一 异面直线所成的角追问追问2.22.2：直线直线a、b所成角的大小与点所成角的大小与点O的位置有关吗的位置有关吗?无关2例题精讲例题精讲PART TWO例例1 1(教材教材P P147147例例1)1)如图如图8.6-3，已知正方体，已知正方体ABCD-ABCD.(1)(1)哪些棱所在的直线与直线哪些棱所在的直线与直线AA垂直？垂直？(2)(2)求直线求直线BA与与CC所成角的大小所成角的大小.(3)(3)求直线求直线BA与与AC所成角的大小所成角的大小.例例1 1 (教材教材P P147147例例1)1)如图如图8.6-3，已知正方体，已知正方体ABCD-ABCD.(1)(1)哪些棱所在的直线与直线哪些棱所在的直线与直线AA垂直？垂直？解析：正方体共有12条棱，显然下底面的4条棱所在的直线都与直线AA垂直，同样，上底面的4条棱所在的直线也都与直线AA垂直，而正方体的侧棱BB，CC，DD所在的直线都与直线AA平行因此棱AB，BC，CD，DA，AB，BC，CD，DA所在的直线与直线AA垂直例例1 1(教材教材P147P147例例1)1)如图如图8.6-3，已知正方体，已知正方体ABCD-ABCD.(2)(2)求直线求直线BA与与CC所成角的大小所成角的大小.分分析析：要求直线BA与CC所成的角的大小，首先要把两条直线平移到相交的位置，可以平移直线BA或CC，因为ABCD-ABCD是正方体，所以BB/CC，因此平移直线CC较好解：ABCD-ABCD是正方体，BB/CC ABB为直线BA与CC所成的角 ABB=45，直线BA与CC所成的角等于45例例1 1(教材教材P P147147例例1)1)如图如图8.6-3，已知正方体，已知正方体ABCD-ABCD.(3)(3)求直线求直线BA与与AC所成角的大小所成角的大小.分分析析：要构造直线BA与AC所成的角，可以将直线BA平移到直线CD位置或将直线AC平移到直线AC位置，不妨将直线AC平移到直线AC的位置那么BAC即为所求角，要求BAC的大小，需把它放进三角形中，所以连接BC即可例例1 1(教材教材P P147147例例1)1)如图如图8.6-3，已知正方体，已知正方体ABCD-ABCD.(3)(3)求直线求直线BA与与AC所成角的大小所成角的大小.解：如图，连接AC ABCD-ABCD是正方体，AA/CC，且AA=CC 四边形AACC是平行四边形 AC/AC BAC为异面直线BA与AC所成的角连接BC，易知ABC是等边三角形 BAC=60 异面直线BA与AC所成的角等于60本题是异面直线所成角的概念的巩固和应用其中第（1）问是利用异面直线所成角的定义，直观判断直线的垂直关系通过第（1）问我们可以认识到，在空间中垂直于同一条直线的两条直线未必平行，比如，直线AB与AD都垂直于直线AA，但它们却不平行这说明在同一平面内成立的结论，不一定能推广到空间中来小结与反思小结与反思第（2）问和第（3）问是对异面直线所成角的定义的巩固应用，解答这样问题的关键是构造出异面直线所成的角，在构造时，可以平移两条直线，也可以平移其中一条直线构造出角后，在求角时，一般情况要把角放在三角形中进行求解，总之，同学们要通过观察，先思考，后落笔小结与反思小结与反思小结与反思小结与反思 用几何法求异面直线所成角的步骤:（1）一作一作：根据定义作平行线，作出异面直线所成的角.（2）二证二证：证明作出的角是异面直线所成的角.（3）三求三求：解三角形，求出所作的角.若求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角；若求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角.例例2 2 (教材教材P P147147例例2)2)如图，在如图，在正方体正方体ABCD-A1B1C1D1中，中，O1为底面为底面A1B1C1D1的中心的中心求证求证AO1BDAO1BD要证AO1与BD所成角是直角如何构造如何构造AO1与与BD所成的角所成的角？例例2 2 (教材教材P P147147例例2)2)如图，在如图，在正方体正方体ABCD-A1B1C1D1中，中，O1为底面为底面A1B1C1D1的中心的中心求证求证AO1BD证法一：如图，连接B1D1 ABCD-A1B1C1D1是正方体，BB1/DD1，且BB1=DD1 四边形BB1D1D是平行四边形 B1D1/BD 直线AO1与B1D1所成的角即为直线AO1与BD所成的角 连接AB1，AD1，易证AB1=AD1 O1为底面A1B1C1D1的中心，O1为B1D1的中点 AO1B1D1 AO1BD例例2 2 (教材教材P P147147例例2)2)如图，在如图，在正方体正方体ABCD-A1B1C1D1中，中，O1为底面为底面A1B1C1D1的中心的中心求证求证AO1BD连接AB1，AD1，易证AB1=AD1 O1为底面A1B1C1D1的中心，O1为B1D1的中点 AO1B1D1 AO1BDCC1D1BAB1A1OO1D证法二：取BD的中点O，连接AO，C1O，C1O1 ABCD-A1B1C1D1是正方体，易证四边形AA1C1C是平行四边形 AC/A1C1，且AC=A1C1又 O，O1分别是AC和A1C1的中点 AO/O1C1，且AO=O1C1 四边形AOC1O1是平行四边形 AO1/C1O 直线C1O与BD所成的角即为直线AO1与BD所成的角例例2 2 (教材教材P P147147例例2)2)如图，在如图，在正方体正方体ABCD-A1B1C1D1中，中，O1为底面为底面A1B1C1D1的中心的中心求证求证AO1BD连接AB1，AD1，易证AB1=AD1 O1为底面A1B1C1D1的中心，O1为B1D1的中点 AO1B1D1 AO1BDCC1D1BAB1A1OO1D证法二：取BD的中点O，连接AO，C1O，C1O1 ABCD-A1B1C1D1是正方体，易证四边形AA1C1C是平行四边形 AC/A1C1，且AC=A1C1又 O，O1分别是AC和A1C1的中点 AO/O1C1，且AO=O1C1 四边形AOC1O1是平行四边形 AO1/C1O 直线C1O与BD所成的角即为直线AO1与BD所成的角例例2 2 (教材教材P P147147例例2)2)如图，在如图，在正方体正方体ABCD-A1B1C1D1中，中，O1为底面为底面A1B1C1D1的中心的中心求证求证AO1BD连接AB1，AD1，易证AB1=AD1 O1为底面A1B1C1D1的中心，O1为B1D1的中点 AO1B1D1 AO1BDCC1D1BAB1A1OO1D连接C1B，C1D，易证C1B=C1D O为BD的中点，C1OBDAO1BD追问：追问：刚才刚才我们用两种方法证明了这道例题，选择的策略不同，证明过程的差异较大，我们用两种方法证明了这道例题，选择的策略不同，证明过程的差异较大，但这两种方法在证明垂直时都是运用了几何特征来证明的，运用的是等腰三角形的三但这两种方法在证明垂直时都是运用了几何特征来证明的，运用的是等腰三角形的三线合一的特征线合一的特征那么现在我想问同学们一个问题，你能否从代数运算的角度来证明这那么现在我想问同学们一个问题，你能否从代数运算的角度来证明这个问题呢？个问题呢？分分析析：要证明异面直线AO1BD，由证法一可知，只需证明直线AO1B1D1，也就是证明AO1B1=90如果我们能求出AO1，O1B1，AB1这三条边的长度，并且它们的长度是一组勾股数，即满足 ，就能说明AO1B1=90证法三：如图，连接B1D1 ABCD-A1B1C1D1是正方体，BB1/DD1，且BB1=DD1 四边形BB1D1D是平行四边形 B1D1/BD 直线AO1与B1D1所成的角即为直线AO1与BD所成的角连接AB1，不妨设正方体的棱长为2 在RtABB1中，AB=BB1=2，同理可证 取BD的中点O，连接O1O和AO ABCD-A1B1C1D1是正方体，易知OO1=2，AOO1是直角三角形，又 ，AO1B1=90 AO1BDO 本题是对异面直线垂直概念的应用首先应该根据异面直线所成角的定义，构造出这个角，这是解决问题的关键，再联系等腰三角形的性质或者勾股定理即可完成证明我们从不同的角度，用三种方法完成了这道题的证明，三种方法各有特点，通过对比，不难发现第一种方法的证明过程比较简单，所以同学们当遇到一个问题时，应当通过观察，先思考，后下笔这道例题的解答过程体现了解决立体几何问题的重要思想转化转化思想，同学们在今后的学习中要注意体会该思想小结与反思小结与反思2-12-1、(教材教材P P148148练习：练习：4 4题题)如图，在三棱柱如图，在三棱柱ABC-ABC中，中，D为棱为棱AC的中点，的中点，AB=BB=2，求证，求证BDAC课堂检测课堂检测课堂检测课堂检测教材教材P P148148练习练习1-31-3题题课堂小结课堂小结3PARTTHREE课堂小结课堂小结KE TANG XIAO JIE请回忆本节课的内容并回答下列问题：请回忆本节课的内容并回答下列问题：（1 1）.本节课你学到了哪些知识？本节课你学到了哪些知识？（2 2）.本节课你又学会了方法？本节课你又学会了方法？（3 3）.本节课蕴含了哪些数学思想本节课蕴含了哪些数学思想4课后作业课后作业PART FOUR教材教材P P148148练习：练习：1-31-3题题