【高中数学】组合 2022-2023学年高二数学同步课件(人教A版2019选择性必修第三册).pptx
第六章 计数原理6.2.3 组 合一二三学习目标通过实例理解组合的概念会分析出排列、组合的异同点能用组合的知识求解相关问题复习回顾1.排列的定义：一般地，从 n个不同元素中取出 m(m n)个元素，并按照一定的顺序排成一列，叫做从 n个不同元素中取出 m个元素的一个排列(arrangement).2.排列数：我们把从n个不同元素中取出m(m n)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号 表示.3.排列数公式：4.全排列数公式：问题1：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某天的一项活动,其中1名同学参加上午的活动,1名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？（6.2.1问题1）问题2：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某天一项活动，有多少种不同的选法？新课导入甲乙，乙甲，甲丙，丙甲，乙丙，丙乙=甲乙，甲丙，乙丙追问 这两个问题有什么异同点？相同点：从3个不同的元素中取出2个（1）问题1选出来的两个人要考虑顺序（2）问题2只要选出来两个人即可，不要考虑顺序不同点：新知探究追问2 如果将该问题的背景去掉，把被选出的同学叫做元素，那么还可怎样概括?问题2：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某天一项活动，有多少种不同的选法？从3个不同的元素中取出2个作为一组，一共有多少个不同的组？这里的每一组与顺序无关，我们把这种问题称为组合问题.概念生成组合定义:一般地，从n个不同元素中取出m(m n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合排列定义:一般地，从n个不同元素中取出m(mn)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从 n 个不 同元素中取出 m 个元素的一个排列.思考：比较排列的概念与组合的概念，它们区别与联系是什么？共同点:都要“从n个不同元素中任取m个元素”不同点:对于所取出的元素，排列要“按照一定的顺序排成一列”，而组合“与顺序无关”.例如:ab与ba是两个不同的排列，但却是同一个组合.例如，在上述探究问题中，“甲乙”与“乙甲”的元素完全相同，但元素的排列顺序不同，因此它们是相同的组合，不同的排列.由此，以“元素相同”为标准分类，就可以建立起排列和组合之间的对应关系，如图所示.排列与顺序有关组合与顺序无关1.判断下列问题是组合问题还是排列问题?(1)设集合A=a,b,c,d,e，则集合A的含有3个元素的子集有多少个?(2)某铁路线上有5个车站，则这条铁路线上共需准备多少种车票?组合排列(4)10名同学分成人数相同的数学和英语两个学习小组,共有多少种分法?组合组合组合是选择的结果，排列是选择后再排序的结果.(3)某铁路线上有5个车站，则这条铁路线上有多少种不同的火车票价?(5)10人聚会，见面后每两人之间要握手相互问候,共需握手多少次?组合(6)从4个风景点中选出2个游览,有多少种不同的方法?(7)从4个风景点中选出2个,并确定这2个风景点的游览顺序,有多少种不同的方法?组合排列概念辨析例1 平面内有A、B、C、D共4个点.(1)以其中2个点为端点的有向线段共有多少条?(2)以其中2个点为端点的线段共有多少条?解:(1)一条有向线段的端点要分起点和端点，以平面内4个 点中的两个点为端点的有向线段的条数，就是从4个元素中取出2个元素的排列数，共有 条.(2)将(1)中端点相同、方向不同的2条有向线段作为1条线段,就是以平面内4个点中的2个点为端点的线段的条数,共有如下6条：AB,AC,AD,BC,BD,CD.这12条有向线段分别为典例解析结论：取出2个元素的组合的个数是排列数的一半追问 利用排列和组合之间的关系，以“元素相同”为标准分类，你能建立起例5(1)中排列和(2)中组合之间的对应关系吗？进一步地，能否从这种对应关系出发，由排列数求出组合的个数？例1 平面内有A、B、C、D共4个点.(1)以其中2个点为端点的有向线段共有多少条?(2)以其中2个点为端点的线段共有多少条?典例解析巩固练习1.甲、乙、丙、丁4支足球队举行单循环赛.(1)列出所有各场比赛的双方；(2)列出所有冠、亚军的可能情况.解：(1)甲乙 甲丙 甲丁 乙丙 乙丁 丙丁.(2)冠军 甲 甲 甲 乙 乙 乙 丙 丙 丙 丁 丁 丁亚军 乙 丙 丁 甲 丙 丁 甲 乙 丁 甲 乙 丙课本P22巩固练习 解：ABC，ABD，ACD，BCD 共4个.2.已知平面内A,B,C,D 这4个点中任何3个点都不在一条直线上，写出以其中任意3个点为顶点的所有三角形.3.现有1,3,7,13这4个数.(1)从这4个数中任取2个相加，可以得到多少个不相等的和?(2)从这4个数中任取2个相减，可以得到多少个不相等的差?解：(1)不相等的和为4,8,14,10,16,20，共6个.(2)不相等的差为2,6,12,2,4,10,6,4,12,10，共10个.课本P221.组合的定义2.判断一个计数问题是排列问题还是组合问题的方法：排列问题组合问题 若交换某两个元素的位置对结果有影响，则是排列问题，即排列问题与选取的顺序有关.若交换任意两个元素的位置对结果没有影响，则是组合问题，即组合问题与选取的顺序无关.一般地，从n个不同元素中取出m(mn)个元素作为一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合(combination).课堂小结
