【高中数学】排列数 2022-2023学年高二数学同步课件(人教A版2019选择性必修第三册).pptx

第六章 计数原理6.2.2 6.2.2 排列数排列数一二三学习目标理解排列、排列数的概念能正确写出一些简单问题的所有排列（列举、树状图、表格）能够求出排列数应用排列与排列数的知识解决简单的实际问题 一般地，从n个不同元素中取出m(mn)个元素，并按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列(arrangement).1.排列的定义：2.排列问题的判断方法：(1)元素的无重复性(2)元素的有序性判断的关键：变换元素的位置，看结果是否发生变化，有变化是有序，无变化就是无序.复习回顾新课导入问题1 从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加一项活动，其中1名同学参加上午的活动，另1名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？问题2 从1，2，3，4这4个数字中，每次取出3个排成一个三位数，共可得到多少个不同的三位数？引入：通过上节课中的通过上节课中的问题1和和问题2，我们学习了排列的定义，并利用分，我们学习了排列的定义，并利用分步乘法计数原理或列举法计算排列的个数，但是如果元素增多，这样的表步乘法计数原理或列举法计算排列的个数，但是如果元素增多，这样的表达和计算方法会显得繁琐冗长简化一直是数学的追求，能进一步实现对达和计算方法会显得繁琐冗长简化一直是数学的追求，能进一步实现对排列问题的简化运算吗？排列问题的简化运算吗？新知探究：排列数的概念问题1 我们现在要创设一个符号简化表示“从 n 个不同元素中取出 m(m n）个元素，并按照一定的顺序排列成一列的所有不同排列的个数”，这个符号需考虑几个要素？三个要素：三个要素：被选取范围元素个数：n 取出元素个数：m(m n)，顺序排列数：我们把从我们把从n个不同元素中取出个不同元素中取出m(mn)个元素的所有不同个元素的所有不同排列的个数排列的个数，叫做从叫做从n个不同元素中取出个不同元素中取出m个元素的个元素的排列数排列数，用符号，用符号 表示表示.排列的第一个字母元素总数取出元素个数m，n所满足的条件是：(1)mN*，nN*；(2)mn.概念生成符号符号 中的中的A是英文是英文arrangement(排列排列)的第一个字母的第一个字母追问2“从n个不同元素中取出m(mn)个元素，并按照一定的顺序排成一列”与“从n个不同元素中取出m(mn)个元素的排列数”是同一回事吗？问题问题1是从是从3个不同元素中任取个不同元素中任取2个元素的排列为个元素的排列为326，可记作：可记作：问题问题2是从是从4个不同元素中任取个不同元素中任取3个元素的排列数为个元素的排列数为43224，可记作：可记作：追问1 你能用排列数符号表示上节课中的你能用排列数符号表示上节课中的问题1和和问题2吗？吗？排列数与排列的区别：排列排列排列排列是指是指是指是指从从从从n n个不同元素中取出个不同元素中取出个不同元素中取出个不同元素中取出mm(mm n n)个元素，排成一列个元素，排成一列个元素，排成一列个元素，排成一列的具体的具体的具体的具体排法，排法，排法，排法，也也也也就是就是就是就是完成一件事的一种完成一件事的一种完成一件事的一种完成一件事的一种方法方法方法方法，它不是数；，它不是数；，它不是数；，它不是数；排列数排列数排列数排列数是指是指是指是指从从从从n n个不同元素中取出个不同元素中取出个不同元素中取出个不同元素中取出mm(mm n n)个元素，排成一列个元素，排成一列个元素，排成一列个元素，排成一列所有排列的所有排列的所有排列的所有排列的个数个数个数个数，它是一个数它是一个数它是一个数它是一个数.概念解读 我们先从特殊情况开始探究，思考从我们先从特殊情况开始探究，思考从n个不同元素中任取个不同元素中任取2个元素的排个元素的排列数列数 是多少是多少?又是多少？进而归纳又是多少？进而归纳 是多少？是多少？排列数排列数 可以按依次填可以按依次填2个空位得到：个空位得到：同理，排列数同理，排列数 可以按依次填可以按依次填3个空位得到：个空位得到：那么排列数那么排列数 就可以按依次填就可以按依次填m个空位得到：个空位得到：?新知探究：排列数计算公式探究 研究了排列数的符号表达，是否有排列数公式便捷的求出排列个数研究了排列数的符号表达，是否有排列数公式便捷的求出排列个数从从n个不同元素中取出个不同元素中取出m个元素的排列数个元素的排列数 (mn)是多少是多少?概念生成排列数公式：排列数公式：问题2 观察排列数公式的结构，回答下列问题：观察排列数公式的结构，回答下列问题：（1）观察公式的右边，有什么特点？共有几个因数？）观察公式的右边，有什么特点？共有几个因数？（2）比较）比较n与与m的大小关系，并说明公式右边的最后一个因数有什么特点的大小关系，并说明公式右边的最后一个因数有什么特点？（3）若）若m=n时，时，的表达式有什么特点？的表达式有什么特点？公式中是公式中是公式中是公式中是mm个连续正整数个连续正整数个连续正整数个连续正整数的连乘积，从的连乘积，从的连乘积，从的连乘积，从n n开始每项逐次减开始每项逐次减开始每项逐次减开始每项逐次减1 1 mn,排列数公式的连乘形式 最小因数是最小因数是(nm1)而不是而不是(nm).例如：概念生成全排列数：全排列数：1.全排列：从n个不同素中取出n个元素的一个排列称为n个不同 元素的一个全排列.全排列数为全排列数为:2.阶乘：正整数1到n的连乘积 12n称为n的阶乘，用 表示,即例3 计算：解：根据排列数公式，可得：典例解析追问 观察例3的运算结果，你有什么发现？能推广到一般情况吗？概念提升追问 你能否对它进行证明呢？你能否对它进行证明呢？证明：因此，排列数公式还可以写成：因此，排列数公式还可以写成：排列数公式的阶乘形式排列数公式的应用：连乘形式一般用于的计算，阶乘形式用于化简或证明.巩固练习解：解：1.计算：计算：课本课本P20巩固练习2.求证：求证：证明：3.一个火车站有一个火车站有8股岔道，如果每股道只能停放股岔道，如果每股道只能停放1列火车，现要停放列火车，现要停放4列不列不同的火车，共有多少种不同的停放方法同的火车，共有多少种不同的停放方法?解：解：不同的停放方法有不同的停放方法有课本课本P20例4 用09这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？分析：在09这10个数字中，因为0不能在百位上，而其他9个数字可以在任意数位上，因此0是一个特殊的元素.一般地，我们可以从特殊元素的位置入手来考虑问题。解法1：由于三位数的百位上的数字不能是0，所以可以分两步完成：第2步，确定十位和个位上的数字，可以从剩下的9个数字中取出2个，有 种取法.百位十位个位 第1步，确定百位上的数字，可以从19这9个数字中取出1个，有 种取法；根据分步乘法计数原理，所求的三位数的个数为:典例解析解法2：符合条件的三位数可以分成三类：百位十位个位0百位十位个位0百位十位个位第3类,十位上的数字是0的三位数,可以从剩下的9个数字中取出2个放在百位和个位,有 种取法.第2类,个位上的数字是0的三位数,可以从剩下的9个数字中取出2个放在百位和十位,有 种取法；第1类,每一位数字都不是0的三位数,可以从19这9个数字中取出3个,有 种取法；根据分类加法计数原理，所求三位数的个数为例4 用09这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？典例解析解法3:从09这10个数字中选取3个的排列数为 即所求三位数的个数为其中0在百位上的排列数为 例4 用09这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？典例解析它们的差就是用这10个数组成的没有重复数字的三位数的个数带有限制条件的排列问题：“特殊”优先原则直接法间接法位置分析法元素分析法以位置为主，优先考虑特殊位置以元素为主，优先考虑特殊元素先不考虑限制条件，计算出来所有排列数，再从中减去全部不符合条件的排列数，从而得出符合条件的排列数分步先分类后分步方法归纳变式1 用用0到到9这十个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数这十个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数且是偶数且是偶数?解：00变式2 用用0到到9这十个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数这十个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数且是奇数且是奇数?0(1)0在个位的有在个位的有 个；个；(2)0在十位的有在十位的有 个；个；(3)没有没有0的有的有 个个.共有解：(1)0在十位的有在十位的有 个；个；(2)没有没有0的有的有 个个.共有变式练习2.全排列数全排列数:1.排列数公式：排列数公式：3.阶乘：阶乘：正整数正整数1到到n的连乘积的连乘积 12n称为称为n的阶乘，用的阶乘，用 表示表示,即即排列数公式的阶乘形式：排列数公式的阶乘形式：课堂小结(1)若三个女孩要站在一起，有多少种不同的排法？若三个女孩要站在一起，有多少种不同的排法？例题例题 七个家庭一起外出旅游，若其中四家是男孩，三家是女孩，现将这七七个家庭一起外出旅游，若其中四家是男孩，三家是女孩，现将这七个小孩站成一排照相留念个小孩站成一排照相留念.(2)若三个女孩要站在一起，四个男孩也要站在一起，有多少种不同的排法若三个女孩要站在一起，四个男孩也要站在一起，有多少种不同的排法?(3)若三个女孩互不相邻，有多少种不同的排法？若三个女孩互不相邻，有多少种不同的排法？(4)若三个女孩互不相邻，四个男孩也互不相邻，有多少种不同的排法？若三个女孩互不相邻，四个男孩也互不相邻，有多少种不同的排法？(6)若前排站三人，后排站四人，其中的若前排站三人，后排站四人，其中的A,B两小孩必须站前排且相邻，有两小孩必须站前排且相邻，有多少种不同的排法？多少种不同的排法？(5)若其中的若其中的A小孩必须站在小孩必须站在B小孩的左边，有多少种不同的排法？小孩的左边，有多少种不同的排法？有条件的排列问题：有条件的排列问题：我们把这种方法称为：我们把这种方法称为：捆捆绑绑法法.(1)若三个女孩要站在一起，有多少种不同的排法？若三个女孩要站在一起，有多少种不同的排法？例题例题 七个家庭一起外出旅游，若其中四家是男孩，三家是女孩，现将这七七个家庭一起外出旅游，若其中四家是男孩，三家是女孩，现将这七个小孩站成一排照相留念个小孩站成一排照相留念.(1)将三个女孩看作一人与四个男孩排将三个女孩看作一人与四个男孩排队队，有，有 种排法；种排法；而三个女孩之而三个女孩之间间有有 种排法种排法.不同的排法共有不同的排法共有解解:说明：说明：捆绑法一般适用于捆绑法一般适用于相邻相邻问题的处理问题的处理.相邻问题用相邻问题用捆绑法捆绑法 例题例题 七个家庭一起外出旅游，若其中四家是男孩，三家是女孩，现将这七七个家庭一起外出旅游，若其中四家是男孩，三家是女孩，现将这七个小孩站成一排照相留念个小孩站成一排照相留念.(2)若三个女孩要站在一起，四个男孩也要站在一起，有多少种不同的排法若三个女孩要站在一起，四个男孩也要站在一起，有多少种不同的排法?解解:(2)不同的排法有不同的排法有这种方法称为：这种方法称为：插空法插空法 例题例题 七个家庭一起外出旅游，若其中四家是男孩，三家是女孩，现将这七七个家庭一起外出旅游，若其中四家是男孩，三家是女孩，现将这七个小孩站成一排照相留念个小孩站成一排照相留念.(3)若三个女孩互不相邻，有多少种不同的排法？若三个女孩互不相邻，有多少种不同的排法？解解:(3)先把四个男孩排成一排有先把四个男孩排成一排有 种排法，种排法，这这一排中有五个空档一排中有五个空档(包括两端包括两端)，再把三个女孩插入五个空档中有，再把三个女孩插入五个空档中有 种方法，种方法，所以共有所以共有 种排法种排法.说明：说明：插空法一般适用于插空法一般适用于 问题的处理问题的处理.互不相邻互不相邻互不相邻问题用互不相邻问题用插空法插空法 例题例题 七个家庭一起外出旅游，若其中四家是男孩，三家是女孩，现将这七七个家庭一起外出旅游，若其中四家是男孩，三家是女孩，现将这七个小孩站成一排照相留念个小孩站成一排照相留念.(4)若三个女孩互不相邻，四个男孩也互不相邻，有多少种不同的排法？若三个女孩互不相邻，四个男孩也互不相邻，有多少种不同的排法？解解:(4)不同的排法共有不同的排法共有 种种.BBAA (5)A在在B左左边边的一种排法必的一种排法必对应对应着着A在在B右右边边的一种排法，而在全的一种排法，而在全排列中，排列中，A在在B左左边边与与A在在B右右边边的排法数相等，因此不同的排法有的排法数相等，因此不同的排法有 例题例题 七个家庭一起外出旅游，若其中四家是男孩，三家是女孩，现将这七七个家庭一起外出旅游，若其中四家是男孩，三家是女孩，现将这七个小孩站成一排照相留念个小孩站成一排照相留念.(5)若其中的若其中的A小孩必须站在小孩必须站在B小孩的左边，有多少种不同的排法？小孩的左边，有多少种不同的排法？解解1:BA 例题例题 七个家庭一起外出旅游，若其中四家是男孩，三家是女孩，现将这七七个家庭一起外出旅游，若其中四家是男孩，三家是女孩，现将这七个小孩站成一排照相留念个小孩站成一排照相留念.(5)若其中的若其中的A小孩必须站在小孩必须站在B小孩的左边，有多少种不同的排法？小孩的左边，有多少种不同的排法？解解2:(5)满满足要求的不同排法有足要求的不同排法有AB 例题例题 七个家庭一起外出旅游，若其中四家是男孩，三家是女孩，现将这七七个家庭一起外出旅游，若其中四家是男孩，三家是女孩，现将这七个小孩站成一排照相留念个小孩站成一排照相留念.(6)若前排站三人，后排站四人，其中的若前排站三人，后排站四人，其中的A,B两小孩必须站前排且相邻，有两小孩必须站前排且相邻，有多少种不同的排法？多少种不同的排法？解解2:(6)A,B两小孩的站法有两小孩的站法有 种，其余人的站法有种，其余人的站法有 种种.所以不同的排法共有所以不同的排法共有变式变式 5个人站成一排：个人站成一排：(l)共有多少种不同的排法？共有多少种不同的排法？(2)其中甲必须站在中间有多少种不同排法？其中甲必须站在中间有多少种不同排法？(3)其中甲、乙两人必须相邻有多少种不同的排法？其中甲、乙两人必须相邻有多少种不同的排法？(4)其中甲、乙两人不相邻有多少种不同的排法？其中甲、乙两人不相邻有多少种不同的排法？(5)其中甲、乙两人不站排头和排尾有多少种不同的排法其中甲、乙两人不站排头和排尾有多少种不同的排法?(6)其中甲不站排头，乙不站排尾有多少种不同的排法？其中甲不站排头，乙不站排尾有多少种不同的排法？解：(1)由于没有条件限制，由于没有条件限制，5个人可作全排列，所以不同的排法共有个人可作全排列，所以不同的排法共有(2)由于甲的位置已确定，其余由于甲的位置已确定，其余4人可任意排列，所以不同的排法有人可任意排列，所以不同的排法有解：变式变式 5个人站成一排：个人站成一排：(l)共有多少种不同的排法？共有多少种不同的排法？(2)其中甲必须站在中间有多少种不同排法？其中甲必须站在中间有多少种不同排法？(3)其中甲、乙两人必须相邻有多少种不同的排法？其中甲、乙两人必须相邻有多少种不同的排法？(4)其中甲、乙两人不相邻有多少种不同的排法？其中甲、乙两人不相邻有多少种不同的排法？(5)其中甲、乙两人不站排头和排尾有多少种不同的排法其中甲、乙两人不站排头和排尾有多少种不同的排法?(6)其中甲不站排头，乙不站排尾有多少种不同的排法？其中甲不站排头，乙不站排尾有多少种不同的排法？(3)共有共有 种排法种排法.(4)共有共有 种排法种排法；(5)共有共有 种排法种排法(6)可将可将问题问题分分为为两两类类：甲站在排尾，其余的人可全排列，甲站在排尾，其余的人可全排列，甲既不站在排尾也不站排甲既不站在排尾也不站排头头，乙不站排尾，其余的人可全排列，乙不站排尾，其余的人可全排列，不同的排法共有不同的排法共有解解1：变式变式 5个人站成一排：个人站成一排：(6)其中甲不站排头，乙不站排尾有多少种不同的排法？其中甲不站排头，乙不站排尾有多少种不同的排法？解解2：甲站排甲站排头头有有 种排法，种排法，乙站排尾有乙站排尾有 种排法种排法.但两种情况都包含了但两种情况都包含了“甲站排甲站排头头,且乙站排尾且乙站排尾”的情况，有的情况，有 种排法种排法.不同的排法有不同的排法有 种排法种排法