高三苏教版数学文一轮复习课件第五章数列.ppt

第五章第五章 数列数列第一节第一节 数列的概念与简单表示法数列的概念与简单表示法第二节第二节 等差数列及其前等差数列及其前n项和项和第三节第三节 等比数列及其前等比数列及其前n项和项和第四节第四节 数列求和数列求和第五节第五节 数列的综合问题数列的综合问题专家讲坛专家讲坛 备考方向要明了备考方向要明了 考考 什什 么么怎怎么么考考1.了解数列的概念了解数列的概念和几种简单的表和几种简单的表示方法示方法(列表、图列表、图象、通项公式象、通项公式).2.了解数列是自变了解数列是自变量为正整数的一量为正整数的一类函数类函数数数列列的的概概念念在在高高考考试试题题中中常常与与其其他他知识综合进行考查，主要有：知识综合进行考查，主要有：(1)以以考考查查通通项项公公式式为为主主，同同时时考考查查Sn与与an的的关关系系，如如2012年年高高考考T6等等(2)以以递递推推关关系系为为载载体体，考考查查数数列列的各项的求法，如的各项的求法，如2010年高考年高考T19等等.归纳归纳知识整合知识整合1数列的定义数列的定义按照按照排列着的一列数称为数列，数列中的排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的每一个数叫做这个数列的排在第一位的数称为这个排在第一位的数称为这个数列的第数列的第1项项(通常也叫做通常也叫做)一定顺序一定顺序项项首项首项2数列的分类数列的分类分分类类原原则则类类型型满满足条件足条件项项数数有有穷穷数列数列项项数数无无穷穷数列数列项项数数项项与与项项间间的大小的大小关系关系递递增数列增数列an1 an其中其中nN*递递减数列减数列an1 an常数列常数列an1an摆动摆动数列数列从从第第2项项起起有有些些项项大大于于它它的的前前一一项项，有些有些项项小于它的前一小于它的前一项项有限有限无限无限3数列的表示法数列的表示法数列的表示方法有列表法、图象法、公式法数列的表示方法有列表法、图象法、公式法4数列的通项公式数列的通项公式如果数列如果数列an的第的第n项与项与之间的关系可以用一之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式探究探究1.数列的通项公式唯一吗？是否每个数列都数列的通项公式唯一吗？是否每个数列都有通项公式？有通项公式？序号序号n5数列的递推公式数列的递推公式若一个数列若一个数列an的首项的首项a1确定，其余各项用确定，其余各项用an与与an1的关系式表示的关系式表示(如如an2an11，n1)，则这个关系式就，则这个关系式就称为数列的递推公式称为数列的递推公式探究探究2.通项公式和递推公式有何异同点？通项公式和递推公式有何异同点？提示：提示：通项公式法通项公式法递推公式法递推公式法不同点不同点相同点相同点可根据某项的序号，直接用可根据某项的序号，直接用代入法求出该项代入法求出该项可根据第可根据第1项或前几项的值，通项或前几项的值，通过一次或多次赋值，逐项求出数过一次或多次赋值，逐项求出数列的项，直至求出所需的项列的项，直至求出所需的项都可确定一都可确定一个数列，都个数列，都可求出数列可求出数列的任何一项的任何一项自测自测牛刀小试牛刀小试2已知数列的通项公式为已知数列的通项公式为ann28n15，则，则3是数列是数列an中的第中的第_项项解析：令解析：令an3，即，即n28n153，解得，解得n2或或6，故，故3是数列是数列an中的第中的第2项或第项或第6项项答案：答案：2或或6答案：答案：75若数列若数列an的前的前n项和项和Snn210n(n1,2,3，)，则，则此数列的通项公式为此数列的通项公式为an_；数列；数列nan中数值中数值最小的项是第最小的项是第_项项答案：答案：2n113已知数列的前几项求通项公式已知数列的前几项求通项公式用观察法求数列的通项公式的技巧用观察法求数列的通项公式的技巧用观察归纳法求数列的通项公式，关键是找出各项用观察归纳法求数列的通项公式，关键是找出各项的共同规律及项与项数的共同规律及项与项数n的关系当项与项之间的关系的关系当项与项之间的关系不明显时，可采用适当变形或分解，以凸显规律，便于不明显时，可采用适当变形或分解，以凸显规律，便于归纳当各项是分数时，可分别考虑分子、分母的变化归纳当各项是分数时，可分别考虑分子、分母的变化规律及联系，正负相间出现时，可用规律及联系，正负相间出现时，可用(1)n或或(1)n1调调节节由由an与与Sn的关系求通项公式的关系求通项公式例例2已知数列已知数列an的前的前n项和为项和为Sn3n1，求它的，求它的通项公式通项公式an.自主解答自主解答当当n2时，时，anSnSn13n1(3n11)23n1；当；当n1时，时，a1S12也满足也满足an23n1.故数列故数列an的通项公式为的通项公式为an23n1.若将若将“Sn3n1”改为改为“Snn2n1”，如何求解？，如何求解？2已知各项均为正数的数列已知各项均为正数的数列an的前的前n项和满足项和满足Sn1，且，且6Sn(an1)(an2)，nN*.求数列求数列an的通项公式的通项公式由递推关系式求数列的通项公式由递推关系式求数列的通项公式由递推公式求通项公式的常用方法由递推公式求通项公式的常用方法已知数列的递推关系，求数列的通项时，通常用已知数列的递推关系，求数列的通项时，通常用累加、累乘、构造法求解累加、累乘、构造法求解当出现当出现an an1m时，构造等差数列；当出现时，构造等差数列；当出现anxan1y时，构造等比数列；当出现时，构造等比数列；当出现anan1f(n)时，用累加法求解；当出现时，用累加法求解；当出现f(n)时，用累乘法时，用累乘法求解求解数列函数性质的应用数列函数性质的应用例例4已知数列已知数列an(1)若若ann25n4，数列中有多少项是负数？数列中有多少项是负数？n为何值时，为何值时，an有最小值？并求出最小值有最小值？并求出最小值(2)若若ann2kn4且对于且对于nN*，都有，都有an1an成成立求实数立求实数k的取值范围的取值范围自主解答自主解答(1)由由n25n40，解得，解得1n0时，时，Sn有最小值；当有最小值；当d0，S136)，求该数列的，求该数列的项数项数n及及a9a10.解：由题意知解：由题意知a1a2a3a4a5a636，anan1an2an3an4an5180，6(a1an)36180216.a1an36.1已知数列已知数列an的通项公式的通项公式anpn2qn(p，qR，且，且p，q为常为常数数)(1)当当p和和q满足什么条件时，数列满足什么条件时，数列an是等差数列？是等差数列？(2)求证：对任意实数求证：对任意实数p和和q，数列，数列an1an是等差数列是等差数列解：解：(1)an1anp(n1)2q(n1)(pn2qn)2pnpq，要使，要使an是等差数列，则是等差数列，则2pnpq应是一个与应是一个与n无关的无关的常数，所以常数，所以2p0，即，即p0.故当故当p0时，数列时，数列an是等差数列是等差数列(2)证明：证明：an1an2pnpq，an2an12p(n1)pq.而而(an2an1)(an1an)2p为一个常数，为一个常数，an1an是等差数列是等差数列2设设an是一个公差为是一个公差为d(d0)的等差数列，它的前的等差数列，它的前10项和项和S10110，且，且a1，a2，a4成等比数列成等比数列(1)证明证明a1d；(2)求公差求公差d的值和数列的值和数列an的通项公式的通项公式4已知数列已知数列an的前的前n项和项和Sn2n22n，数列，数列bn的前的前n项项和和Tn2bn.求数列求数列an与与bn的通项公式的通项公式解：当解：当n2时，时，anSnSn12n22n2(n1)22(n1)4n，又又a1S14，故，故an4n.当当n2时，由时，由bnTnTn12bn2bn1，备考方向要明了备考方向要明了 考考 什什 么么怎怎 么么 考考1.理解等比数列的概念理解等比数列的概念2.掌握等比数列的通项公掌握等比数列的通项公式与前式与前n项和公式项和公式3.能在具体的问题情境中，能在具体的问题情境中，识别数列的等比关系，识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相并能用有关知识解决相应的问题应的问题4.了解等比数列与指数函了解等比数列与指数函数的关系数的关系.1.以填空题的形式考查等比数以填空题的形式考查等比数列的性质及其基本量的计列的性质及其基本量的计算如算如2011年高考年高考T13等等2.以解答以解答题题的形式考的形式考查查等比数等比数列的定列的定义义、通、通项项公式、前公式、前n 项项和公式及性和公式及性质质的的综综合合应应用，用，如如2012年高考年高考T20，2011年年高考高考T20等等.归纳归纳知识整合知识整合1等比数列的相关概念等比数列的相关概念a1qn1na1a1(1qn)1qa1anq1q(q1)(q1)探究探究1.b2ac是是a，b，c成等比数列的什么条件？成等比数列的什么条件？提示：提示：b2ac是是a，b，c成等比数列的必要不充分条件，成等比数列的必要不充分条件，因为当因为当b0时，时，a，c至少有一个为零时，至少有一个为零时，b2ac成立，但成立，但a，b，c不成等比数列；若不成等比数列；若a，b，c成等比数列，则必有成等比数列，则必有b2ac.2如何理解等比数列如何理解等比数列an与指数函数的关系？与指数函数的关系？2等比数列的性质等比数列的性质(1)对任意的正整数对任意的正整数m，n，p，q，若，若mnpq则则 .特别地，若特别地，若mn2p，则，则 .(2)若等比数列前若等比数列前n项和为项和为Sn则则Sm，S2mSm，S3mS2m仍成等仍成等比数列，即比数列，即(S2mSm)2 (mN*，公比，公比q1)(3)数列数列an是等比数列，则数列是等比数列，则数列pan(p0，p是常数是常数)也是等也是等比数列比数列(4)在等比数列在等比数列an中，等距离取出若干项也构成一个等比数中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即列，即an，ank，an2k，an3k，为等比数列，公比为为等比数列，公比为qk.amanSm(S3mS2m)apaq自测自测牛刀小试牛刀小试1在在1与与4之间插入三个数使这五个数成等比数列，则这之间插入三个数使这五个数成等比数列，则这三个数分别是三个数分别是_2(教材习题改编教材习题改编)等比数列等比数列an的各项均为正数，且的各项均为正数，且a5a6a4a718，则，则log3a1log3a2log3a10_.解析：解析：数列数列an为等比数列，为等比数列，a5a6a4a79，log3a1log3a2log3a10log3(a1a2a10)log3(a5a6)55log3a5a65log3910.答案：答案：10答案：答案：4或或44在等比数列在等比数列an中，中，an0，a2a42a3a5a4a625，则，则a3a5的值为的值为_解析：由等比数列性质，已知转化为解析：由等比数列性质，已知转化为a2a3a5a25，即即(a3a5)225，又，又an0，故故a3a55.答案：答案：55在数列在数列an，bn中，中，bn是是an与与an1的等差中项，的等差中项，a12，且对任意且对任意nN*，都有，都有3an1an0，则，则bn的通项的通项公公bn_.等比数列的基本运算等比数列的基本运算例例1(1)(2012新课标全国卷新课标全国卷)已知已知an为等比数列，为等比数列，a4a72，a5a68，则，则a1a10(2)(2012辽宁高考辽宁高考)已知等比数列已知等比数列an为递增数列，且为递增数列，且aa10,2(anan2)5an1，则数列，则数列an的通项公式的通项公式an_.(3)(2012浙江高考浙江高考)设公比为设公比为q(q0)的等比数列的等比数列an的的前前n项和为项和为Sn.若若S23a22，S43a42，则，则q_.等比数列的判定与证明等比数列的判定与证明例例2设数列设数列an的前的前n项和为项和为Sn，已知，已知a11，Sn14an2.(1)设设bnan12an，证明数列，证明数列bn是等比数列；是等比数列；自主解答自主解答(1)证明：证明：由由a11，及，及Sn14an2，有有a1a24a12，a23a125，b1a22a13.由由Sn14an2，知当知当n2时，有时，有Sn4an12，得得an14an4an1，an12an2(an2an1)又又bnan12an，bn2bn1.bn是首项是首项b13，公比，公比q2的等比数列的等比数列等比数列的判定方法等比数列的判定方法(2)等比中项公式法：若数列等比中项公式法：若数列an中，中，an0且且aanan2(nN*)，则数列，则数列an是等比数列是等比数列(3)通项公式法：若数列通项公式可写成通项公式法：若数列通项公式可写成ancqn(c，q均是不为均是不为0的常数，的常数，nN*)，则，则an是等比数列是等比数列(4)前前n项和公式法：若数列项和公式法：若数列an的前的前n项和项和Snkqnk(k为常数且为常数且k0，q0，1)，则，则an是等比数列是等比数列.注意：前两种方法常用于解答题中，而后两种方法常注意：前两种方法常用于解答题中，而后两种方法常用于填空题中的判定用于填空题中的判定.2成等差数列的三个正数的和等于成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别，并且这三个数分别加上加上2、5、13后成为等比数列后成为等比数列bn中的中的b3、b4、b5.(1)求数列求数列bn的通项公式；的通项公式；解：解：(1)设成等差数列的三个正数分别为设成等差数列的三个正数分别为ad，a，ad.依题意，得依题意，得adaad15，解得，解得a5.所以所以bn中的中的b3，b4，b5依次为依次为7d,10,18d.等比数列的性质及应用等比数列的性质及应用例例3(1)在等比数列在等比数列an中，若中，若a1a2a3a41，a13a14a15a168，则，则a41a42a43a44_.(2)已知数列已知数列an为等比数列，为等比数列，Sn为其前为其前n项和，项和，nN*，若，若a1a2a33，a4a5a66，则，则S12_.答案答案(1)1024(2)45等比数列常见性质的应用等比数列常见性质的应用等比数列的性质可以分为三类：等比数列的性质可以分为三类：通项公式的通项公式的变形，变形，等比中项的变形，等比中项的变形，前前n项和公式的变形项和公式的变形根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口可找出解决问题的突破口3已知等比数列前已知等比数列前n项的和为项的和为2，其后，其后2n项的和为项的和为12，求，求再后面再后面3n项的和项的和解：解：Sn2，其后，其后2n项为项为S3nSnS3n212，S3n14.由等比数列的性质知由等比数列的性质知Sn，S2nSn，S3nS2n成等比成等比数列，数列，即即(S2n2)22(14S2n)解得解得S2n4，或，或S2n6.当当S2n4时，时，Sn，S2nSn，S3nS2n，是首项为是首项为2，公比为，公比为3的等比数列，的等比数列，则则S6nSn(S2nSn)(S6nS5n)364，再后再后3n项的和为项的和为S6nS3n36414378.当当S2n6时，同理可得再后时，同理可得再后3n项的和为项的和为S6nS3n12614112.故所求的和为故所求的和为378或或112.(1)注意注意q1时，时，Snna，这一特殊情况，这一特殊情况(2)由由an1qan(q0)，并不能断言，并不能断言an为等比数列，还为等比数列，还要验证要验证a10.(3)在应用等比数列的前在应用等比数列的前n项和公式时，必须注意对项和公式时，必须注意对q1和和q1分类讨论，防止因忽略分类讨论，防止因忽略q1这一特殊情况而导致错这一特殊情况而导致错误误(1)方程的思想：等比数列的通项公式、前方程的思想：等比数列的通项公式、前n项和的公项和的公式中联系着五个量：式中联系着五个量：a1，q，n，an，Sn，已知其中三个量，已知其中三个量，可以通过解方程可以通过解方程(组组)求出另外两个量；其中基本量是求出另外两个量；其中基本量是a1与与q，在解题中根据已知条件建立关于，在解题中根据已知条件建立关于a1与与q的方程或者方程组，的方程或者方程组，是解题的关键是解题的关键创新交汇创新交汇以等比数列为背景的新定义问题以等比数列为背景的新定义问题1在新情境下先定义一个新数列，然后根据定义的在新情境下先定义一个新数列，然后根据定义的条件推断这个新数列的一些性质或者判断一个数列是否属条件推断这个新数列的一些性质或者判断一个数列是否属于这类数列的问题是近年来新兴起的一类问题，同时，数于这类数列的问题是近年来新兴起的一类问题，同时，数列也常与函数、不等式等形成交汇命题列也常与函数、不等式等形成交汇命题2对于此类新定义问题，只要弄清其本质，然后根据对于此类新定义问题，只要弄清其本质，然后根据所学的数列的性质即可快速解决所学的数列的性质即可快速解决典例典例(2012湖北高考改编湖北高考改编)定义在定义在(，0)(0，)上的函数上的函数f(x)，如果对于任意给定的等比数列，如果对于任意给定的等比数列an，f(an)仍是等比数列，则称仍是等比数列，则称f(x)为为“保等比数列函数保等比数列函数”，现有定义在，现有定义在(，0)(0，)上的如下函数：上的如下函数：则其中是则其中是“保等比数列函数保等比数列函数”的的f(x)的序号为的序号为_.答案答案1本题具有以下创新点本题具有以下创新点(1)命题背景新颖：本题是以命题背景新颖：本题是以“保等比数列函数保等比数列函数”为新定义背景，为新定义背景，考查等比数列的有关性质考查等比数列的有关性质(2)考查内容创新：本题没有直接指明判断等比数列的有关性考查内容创新：本题没有直接指明判断等比数列的有关性质，而是通过新定义将指数函数、对数函数及幂函数、二次函数质，而是通过新定义将指数函数、对数函数及幂函数、二次函数与数列有机结合，对学生灵活处理问题的能力有较高要求与数列有机结合，对学生灵活处理问题的能力有较高要求2解决本题的关键有以下两点解决本题的关键有以下两点1已知各项均为正数的等比数列已知各项均为正数的等比数列an中，中，a1a2a35，a7a8a910，则，则a4a5a6 _.2设等比数列设等比数列an的前的前n项和为项和为Sn，若，若S6 S31 2，则，则S9 S3等于等于_.答案：答案：3:43设正项等比数列设正项等比数列an的前的前n项和为项和为Sn，已知，已知a34，a4a5a6212.(1)求首项求首项a1和公比和公比q的值；的值；(2)若若Sn2101，求，求n的值的值(1)令令bnan1an，证明，证明bn是等比数列；是等比数列；(2)求求an的通项公式的通项公式 备考方向要明了备考方向要明了 考考 什什 么么怎怎么么考考熟熟练练掌握等掌握等差、等比数差、等比数列的前列的前n项项和公式和公式.1.以填空题的形式考查可转化为等差数列以填空题的形式考查可转化为等差数列或等比的求和问题或等比的求和问题2.以解答题的形式考查利用错位相减法、以解答题的形式考查利用错位相减法、裂项相消法或分组求和法等求数列的前裂项相消法或分组求和法等求数列的前 n项和，如项和，如2010年高考年高考T19.归纳归纳知识整合知识整合2倒序相加法倒序相加法如果一个数列如果一个数列an的前的前n项中首末两端等项中首末两端等“距离距离”的两项的的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可项和即可用倒序相加法，如等差数列的前用倒序相加法，如等差数列的前n项和即是用此法推导的项和即是用此法推导的3错位相减法错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法项和即可用此法来求，如等比数列的前来求，如等比数列的前n项和就是用此法推导的项和就是用此法推导的4裂项相消法裂项相消法把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和以相互抵消，从而求得其和探究探究1.应用裂项相消法求和的前提条件是什么？应用裂项相消法求和的前提条件是什么？提示：应用裂项相消法求和的前提条件是数列中的每提示：应用裂项相消法求和的前提条件是数列中的每一项均可分裂成一正一负两项，且在求和过程中能够前后一项均可分裂成一正一负两项，且在求和过程中能够前后抵消抵消2利用裂项相消法求和时应注意哪些问题？利用裂项相消法求和时应注意哪些问题？提示：提示：(1)在把通项裂开后，是否恰好等于相应的两项在把通项裂开后，是否恰好等于相应的两项之差；之差；(2)在正负项抵消后，是否只剩下了第一项和最后一项，在正负项抵消后，是否只剩下了第一项和最后一项，或前面剩下两项，后面也剩下两项或前面剩下两项，后面也剩下两项5分组求和法分组求和法一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后再相加减别求和后再相加减6并项求和法并项求和法一个数列的前一个数列的前n项和，可两两结合求解，则称之为项和，可两两结合求解，则称之为并项求和形如并项求和形如an(1)nf(n)类型，可采用两项合并求类型，可采用两项合并求解解例如，例如，Sn10029929829722212(10099)(9897)(21)5050.答案：答案：63(教材习题改编教材习题改编)(2351)(4352)(2n 35n)_.4若若Sn1234(1)n1n，则，则S100_.解析：解析：S10012345699100(12)(34)(56)(99100)50.答案：答案：505已知数列已知数列an的前的前n项和为项和为Sn且且ann2n，则，则Sn_.答案：答案：(n1)2n12分组转化求和分组转化求和例例1(2012山东高考山东高考)在等差数列在等差数列an中，中，a3a4a584，a973.(1)求数列求数列an的通项公式；的通项公式；(2)对任意对任意mN*，将数列，将数列an中落入区间中落入区间(9m,92m)内的内的项的个数记为项的个数记为bm，求数列，求数列bm的前的前m项和项和Sm.自主解答自主解答(1)因为因为an是一个等差数列，是一个等差数列，所以所以a3a4a53a484，a428.设数列设数列an的公差为的公差为d，则则5da9a4732845，故故d9.由由a4a13d，得，得28a139，即，即a11.所以所以ana1(n1)d19(n1)9n8(nN*)分组转化求和的通法分组转化求和的通法数列求和应从通项入手，若无通项，则先求通项，数列求和应从通项入手，若无通项，则先求通项，然后通过对通项变形，转化为等差数列或等比数列或可然后通过对通项变形，转化为等差数列或等比数列或可求的前求的前n项和的数列求和项和的数列求和1(2013包头模拟包头模拟)已知数列已知数列xn的首项的首项x13，通项，通项xn2npnq(nN*，p，q为常数为常数)，且，且x1，x4，x5成等差数列成等差数列求：求：(1)p，q的值；的值；(2)数列数列xn前前n项和项和Sn的公式的公式解：解：(1)由由x13，得，得2pq3，又因为，又因为x424p4q，x525p5q，且，且x1x52x4，得，得325p5q25p8q，解，解得得p1，q1.裂项相消法求和裂项相消法求和例例2设数列设数列an的前的前n项和为项和为Sn，已知，已知a11，Snnann(n1)(n1,2,3，)(1)求证：数列求证：数列an为等差数列，并写出为等差数列，并写出an关于关于n的表达式；的表达式；自主解答自主解答(1)当当n2时，时，anSnSn1nan(n1)an12(n1)，得，得anan12(n2,3,4，)所以数列所以数列an是以是以1为首项，为首项，2为公差的等差数列为公差的等差数列所以所以an2n1.用裂项相消法求和应注意的问题用裂项相消法求和应注意的问题利用裂项相消法求和时，应注意抵消后并不一定只剩利用裂项相消法求和时，应注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项，再就是将通项公式裂项后，有时候需要调整前面的系项，再就是将通项公式裂项后，有时候需要调整前面的系数，使裂开的两项之差与系数相乘后与原项相等数，使裂开的两项之差与系数相乘后与原项相等2等比数列等比数列an的各项均为正数，且的各项均为正数，且2a13a21，a9a2a6.(1)求数列求数列an的通项公式；的通项公式；错位相减法求和错位相减法求和例例3(2012天津高考天津高考)已知已知an是等差数列，其前是等差数列，其前n项和为项和为Sn，bn是等比数列，且是等比数列，且a1b12，a4b427，S4b410.(1)求数列求数列an与与bn的通项公式；的通项公式；(2)记记Tna1b1a2b2anbn，nN*，证明，证明Tn8an1bn1(nN*，n2)(2)证明：由证明：由(1)得得 Tn22522823(3n1)2n，2Tn222523(3n4)2n(3n1)2n1.若本例若本例(2)中中Tnanb1an1b2a1bn，nN*，求，求证：证：Tn122an10bn(nN*)用错位相减法求和应注意的问题用错位相减法求和应注意的问题(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；数的情形；(2)在写出在写出“Sn”与与“qSn”的表达式时应特别注意将两式的表达式时应特别注意将两式“错项对齐错项对齐”以便下一步准确写出以便下一步准确写出“SnqSn”的表达式的表达式(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于参数，应分公比等于1和不等于和不等于1两种情况求解两种情况求解3已知等差数列已知等差数列an的前的前3项和为项和为6，前，前8项和为项和为4.(1)求数列求数列an的通项公式；的通项公式；(2)设设bn(4an)qn1(q0，nN*)，求数列，求数列bn的前的前n项和项和Sn.解得解得a13，d1.故故an3(n1)(1)4n.(2)由由(1)得，得，bnnqn1，于是，于是Sn1q02q13q2nqn1.若若q1，将上式两边同乘以，将上式两边同乘以q有有qSn1q12q2(n1)qn1nqn.两式相减得到两式相减得到(q1)Snnqn1q1q2qn1数列求和把数列通过分组、变换通项、变换次序、乘数列求和把数列通过分组、变换通项、变换次序、乘以常数等方法，把数列的求和转化为能使用公式求解或者以常数等方法，把数列的求和转化为能使用公式求解或者能通过基本运算求解的形式，达到求和的目的能通过基本运算求解的形式，达到求和的目的(1)使用裂项相消法求和时，要注意正负项相消时，消去使用裂项相消法求和时，要注意正负项相消时，消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点消去的项有前后对称的特点(2)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于应分公比等于1和不等于和不等于1两种情况求解两种情况求解答题模板答题模板利用错位相减法解决数列求和利用错位相减法解决数列求和 快速规范审题快速规范审题 利利用用anSnSn1时时，易易忽忽视视条条件件n2.错错位位相相减减时时，易漏易漏项项.答题模板速成答题模板速成 用错位相减法解决数列求和的步骤：用错位相减法解决数列求和的步骤：第一步判断第一步判断结结构构若数列若数列anbn是由等是由等差数列差数列an与等比数列与等比数列(公比公比q)的的对应项对应项之之积积构成的，构成的，则则可用此法可用此法求和求和第二步乘公比第二步乘公比设设anbn的前的前n项项和和为为Tn，然后两，然后两边边同同乘以乘以q第三步第三步错错位相减位相减乘以公比乘以公比q后，向后，向后后错错开一位，使含开一位，使含有有qk(kN*)的的项对项对应应，然后两，然后两边边同同时时作差作差第四步求和第四步求和将作差后的将作差后的结结果求果求和，从而表示出和，从而表示出Tn答案：答案：1006(1)求求Sn的表达式；的表达式；(1)求数列求数列an的通项；的通项；备考方向要明了备考方向要明了 考考 什什 么么怎怎么么考考能在具体的能在具体的问题问题情境情境中中识别识别数列的等差关系或数列的等差关系或等比关系，并能用相关知等比关系，并能用相关知识识解决相解决相应应的的问题问题.考考查查数列与函数、不等式、数列与函数、不等式、解析几何的解析几何的综综合合问题问题，且，且多以解答多以解答题题的形式出的形式出现现，如如2012年高考年高考T20，2011年年高考高考T13，T20等等.归纳归纳知识整合知识整合1数列综合应用题的解题步骤数列综合应用题的解题步骤(1)审题审题弄清题意，分析涉及哪些数学内容，弄清题意，分析涉及哪些数学内容，在每个数学内容中，各是什么问题在每个数学内容中，各是什么问题(2)分解分解把整个大题分解成几个小题或几个把整个大题分解成几个小题或几个“步步骤骤”，每个小题或每个，每个小题或每个“步骤步骤”分别是数列问题、函数问分别是数列问题、函数问题、解析几何问题、不等式问题等题、解析几何问题、不等式问题等(3)求解求解分别求解这些小题或这些分别求解这些小题或这些“步骤步骤”，从而，从而得到整个问题的解答得到整个问题的解答具体解题步骤如下框图：具体解题步骤如下框图：2常见的数列模型常见的数列模型(1)等差数列模型：通过读题分析，由题意抽象出等差等差数列模型：通过读题分析，由题意抽象出等差数列，利用等差数列有关知识解决问题数列，利用等差数列有关知识解决问题(2)等比数列模型：通过读题分析，由题意抽象出等比等比数列模型：通过读题分析，由题意抽象出等比数列，利用等比数列有关知识解决问题数列，利用等比数列有关知识解决问题(3)递推公式模型：通过读题分析，由题意把所给条件递推公式模型：通过读题分析，由题意把所给条件用数列递推式表达出来，然后通过分析递推关系式求解用数列递推式表达出来，然后通过分析递推关系式求解探究探究银行储蓄单利公式及复利公式分别属于什银行储蓄单利公式及复利公式分别属于什么模型？么模型？提示：单利公式提示：单利公式设本金为设本金为a元，每期利率为元，每期利率为r，存期为存期为n，则本利和，则本利和ana(1rn)，属于等差数列模型，属于等差数列模型复利公式复利公式设本金为设本金为a元，每期利率为元，每期利率为r，存期为，存期为n，则，则本利和本利和ana(1r)n，属于等比数列模型，属于等比数列模型自测自测牛刀小试牛刀小试1(教材习题改编教材习题改编)已知等差数列已知等差数列an的公差为的公差为2，若，若a1，a3，a4成等比数列，则成等比数列，则a2 _.答案答案:B2已知已知log2x，log2y,2成等差数列，则成等差数列，则M(x，y)的轨迹的图的轨迹的图象为象为_(填序号填序号)解析：由于解析：由于log2x，log2y,2成等差数列，则有成等差数列，则有2log2ylog2x2，所以，所以y24x.又又y0，x0，故，故M的轨迹图象的轨迹图象为为.答案：答案：3.在如图所示的表格中，如果每格在如图所示的表格中，如果每格填上一个数后，每一行成等差数填上一个数后，每一行成等差数列，每一列成等比数列，那么列，每一列成等比数列，那么xyz的值为的值为()2412xyz答案：答案：3答案：答案：4等差数列、等比数列的综合问题等差数列、等比数列的综合问题例例1在等比数列在等比数列an(nN*)中，中，a11，公比，公比q0，设设bnlog2an，且，且b1b3b56，b1b3b50.(1)求证：数列求证：数列bn是等差数列；是等差数列；(2)求求bn的前的前n项和项和Sn及及an的通项的通项an.在本例在本例(2)的条件下，试比较的条件下，试比较an与与Sn的大小的大小解答数列综合问题的注意事项解答数列综合问题的注意事项(1)要重视审题，善于联系，将等差、等比数列与函要重视审题，善于联系，将等差、等比数列与函数、不等式、方程、应用性问题等联系起来数、不等式、方程、应用性问题等联系起来(2)对于等差、等比数列综合问题，应重点分析等差、对于等差、等比数列综合问题，应重点分析等差、等比数列的通项，前等比数列的通项，前n项和以及等差、等比数列项之间的项和以及等差、等比数列项之间的关系，往往用到转化与化归的思想方法关系，往往用到转化与化归的思想方法.1(2013青岛模拟青岛模拟)已知等差数列已知等差数列an的公差大于零，且的公差大于零，且a2，a4是方程是方程x218x650的两个根；各项均为正数的等的两个根；各项均为正数的等比数列比数列bn的前的前n项和为项和为Sn，且满足，且满足b3a3，S313.(1)求数列求数列an，bn的通项公式；的通项公式；数列与函数的综合应用数列与函数的综合应用解决函数与数列的综合问题应该注意的事项解决函数与数列的综合问题应该注意的事项(1)数列是一类特殊的函数，它的图象是一群孤立数列是一类特殊的函数，它的图象是一群孤立的点；的点；(2)转化以函数为背景的条件时，应该注意题中的限转化以函数为背景的条件时，应该注意题中的限制条件，如函数的定义域，这往往是很容易被忽视的问制条件，如函数的定义域，这往往是很容易被忽视的问题；题；(3)利用函数的方法研究数列中的相关问题时，应准利用函数的方法研究数列中的相关问题时，应准确构造相应的函数，注意数列中相关限制条件的转化确构造相应的函数，注意数列中相关限制条件的转化.(1)求求，的值；的值；数列与不等式的综合应用数列与不等式的综合应用例例3(2012广东高考广东高考)设数列设数列an的前的前n项和为项和为Sn，满足满足2Snan12n11，nN*，且，且a1，a25，a3成等成等差数列差数列(1)求求a1的值；的值；(2)求数列求数列an的通项公式；的通项公式；自主解答自主解答(1)当当n1时，时，2a1a241a23，当当n2时，时，2(a1a2)a381a37，又又a1，a25，a3成等差数列，成等差数列，所以所以a1a32(a25)，由由解得解得a11.(2)由题设条件可知由题设条件可知n2时，时，2Snan12n11，2Sn1an2n1.得得2anan1an2n12n，即即an13an2n，整理得，整理得an12n13(an2n)，则则an2n是以是以3为首项，为首项，3为公比的等比数列为公比的等比数列所以所以an2n(a12)3n13n，即即an3n2n(n1)又又a11满足上式，满足上式，故故an3n2n.数列与不等式相结合问题的处理方法数列与不等式相结合问题的处理方法解决数列与不等式的综合问题时，如果是证明题要解决数列与不等式的综合问题时，如果是证明题要灵活选择不等式的证明方法，如比较法、综合法、分析灵活选择不等式的证明方法，如比较法、综合法、分析法、放缩法等；如果是解不等式问题要使用不等式的各法、放缩法等；如果是解不等式问题要使用不等式的各种不同解法，如列表法、因式分解法，穿根法等总之种不同解法，如列表法、因式分解法，穿根法等总之这类问题把数列和不等式的知识巧妙结合起来综合处理这类问题把数列和不等式的知识巧妙结合起来综合处理就行了就行了(1)求数列求数列bn的前的前n项和项和Sn；数列与不等式的综合应用数列与不等式的综合应用例例4(2012湖南高考湖南高考)某公司一下属企业从事某种高某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产该