柯西不等式的证明.docx

柯西不等式的证明 第一篇：柯西不等式的证明 柯西不等式的证明 二维形式的证明 (a2+b2)(c2+d2) a,b,c,dR) =a2·c2 +b2·d2+a2·d2+b2·c 2=a2·c2 +2abcd+b2·d2+a2·d22abcd+b2·c2 =(ac+bd)2+(adbc)2 (ac+bd)2，等号在且仅在adbc=0即ad=bc时成立。 三角形式的证明 (a2+b2)+(c2+d2) 证明： 2=a2+b2+c2+d2+2*(a2+b2)*(c2+d2)a2+b2+c2+d2+2*|a*c+b*d| 注： | |表示确定值。*表示乘 a2+b2+c2+d2-2a*c+b*d =a2-2*a*c+c2+b2-2bd+d2 =(a-c)2+(b-d)2 两边开根号即得 (a2+b2)+(c2+d2) 一般形式的证明 求证：(ai2)(bi2) (ai·bi)2 证明： 当a1=a2=an=0或b1=b2=bn=0时，一般形式明显成立 令A=ai2 B=ai·bi C=bi2 当a1，a2，an中至少有一个不为零时，可知A>0 构造二次函数f(x)=Ax2+2Bx+C，请留意，一次项系数是2B，不是B绽开得：f(x)=(ai2·x2+2ai·bi·x+bi2)= (ai·x+bi)20 故f(x)的判别式=4B24AC0， 请大家留意：一元二次方程ax2+bx+c=0的判别式确实是=b2-4ac，但是这里的方程Ax2+2Bx+C = 0已经发生如下替换a = A，b = 2B，c = C，这里面b已经换成了2B，因此导致很多网友的误会。此步若错，柯西不等式就无法证明白！移项得ACB2，欲证不等式已得证。 向量形式的证明 令m=(a1, a2, , an)，n=(b1, b2, , bn) m·n=a1b1+a2b2+anbn=|m|n|cos=(a12+a22+an2) ×(b12+b22+bn2) ×cos cos 1a1b1+a2b2+anbn(a12+a22+an2) ×(b12+b22+bn2)注：“表示平方根。 注：以上仅是柯西不等式部分形式的证明。 柯西不等式在求某些函数最值中和证明某些不等式时是经常运用的理论根据，我们在教学中应赐予极大的重视。 巧拆常数证不等式 例：设a、b、c为正数且互不相等。求证：2/(a+b)+2/(b+c)+2/(c+a)>9/(a+b+c)a 、b 、c 均为正数 为证结论正确，只需证：2(a+b+c)>9 而2(a+b+c)=(a+b)+(a+c)+(c+b) 又9=(1+1+1)2 只需证： 2(a+b+c)=(1+1+1)2=9 又a、b 、c互不相等，故等号成立条件无法满意 原不等式成立 求某些函数最值 例：求函数y=3(x5)+4(9x)的最大值。(注：“表示平方根) 函数的定义域为，y>0 y=3(x5)+4(9x)(32+42)× 2 + 2 =5×2=10函数仅在4(x5)=3(9x)，即x=6.44时取到。 以上只是柯西不等式的部分示例。 更多示例请参考有关文献。三角形式证明 :两边同时平方,绽开,消去同样的项,剩余部分再平方,消去同样的项,得一完全平方式,大于或等于0,得证 代数形式 设a1，a2，.an及b1，b2，.bn为随便实数，则a1b1+a2b2+.+anbn，当且仅当a1/b1=a2/b2=.=an/bn规定ai=0时，bi=0时等号成立. 推广形式的证明 推广形式为 (x1+y1+)(x2+y2+)(xn+yn+)n (*) 证明如下 记A1=x1+y1+,A2=x2+y2+,. 由平均值不等式得 (1/n)(x1/A1+x2/A2+xn/An)(1/n) =(1/n) (1/n)(y1/A1+y2/A2+yn/An)(1/n) =(1/n), 上述m个不等式叠加得 即即 即1(1/n)+(1/n)+(A1*A2*An)(1/n)(x)(1/n)+(y)(1/n)+A1*A2*Ann 成立. 注：推广形式即为卡尔松不等式 (x1+y1+)(x2+y2+)(xn+yn+)n， 因此,不等式(*) 其次篇：关于柯西不等式的证明 关于柯西不等式的证明 王念 数学与信息学院 数学与应用数学专业 07 级 指导老师：吴明忠 摘要：探讨柯西不等式的多种证明方法，得到一些有用的结论，并简洁介绍一些它的应用。 关键词：柯西不等式、数学归纳法、二次型正定、欧式空间向量内积、詹森不等式，二维随机变量的数学期望。 Cauchy inequality is an important inequality. It has aroused peoples interest and its widespread application. In this paper、quadratic form、European space inner product 、and the relation between Cauchy inequality.Wang Ni an Xxxxxxxxxxx Grade 07 Instructor: Wu Ming Zhong Abstract: The paper discusses the certifying ways of Cauchy inequality then gets some useful conduction and introduces some appliances. Key words: Cauchy inequality; quadratic form; inner product; Jensen inequality; mathematic Expectation. 柯西不等式是大家熟知的一个重要不等式，它的结构和谐对称、以及广泛的运用引起了人们的爱好和探讨。本文运用高等代数、微积分的基本内容来证明柯西不等式。 1 柯西不等式的内容 1.1 (a1b1+a2b2+.+anbn)2£(a12+a22+.an2)2(b12+b22+.+bn2)2(aibiÎR,i=1,2.n) 等号当且仅当a1=a2=.=an=0或bi=kai时成立k为常数，i=1,2.n. 1.2 设a1,a2,.an及b1,b2,.bn为随便实数则不等式(åaibi)£(åa)(åbi2)成 2 21 i=1 i=1 i=1 n n n 立，当且仅当bi=kai i=1,2.n取等号。1,2这两种形式就是著名的柯西不 等式。 2 柯西不等式的证明 2.1构造二次函数，证明柯西不等式。(其关键在于利用二次函数D£0时函数f(x) ³0 f(x)=(a1x+b1)2+(a2x+b2)2+.+(anx+bn)2 =(a12+a22+.+an2)x2+2(a1b1+a2b2+.+anbn)x +(b12+b22+.bn2)明显f(x) ³0 又Qa12+a22+.ann³0则利用D£0可得 D=4(a1b1+a2b2+.+anbn)2-4(a12+a22+.+ann)(b+b2+.+bn)£0即 21 n (a1b1+a2b2+.+anbn)2£(a12+a22+.+an2)(b+b2+.+bn) 21 当且仅当aix+bi=0(i=1,2.n) 即 aa1a2 =.+n是等号成立。 b1b2bn 2.2 利用数学归纳法进行证明。关键把握由特殊到一般状况的严密性 1当n=1时左式=(a1b1)右式=(a1b1) 明显左式=右式 当 n=2 时 ， 右式 =(a12+a2)(b12+b22)=(a1b1)+(a2b2)+a22b12+a12b22 ³(a1b1)+(a2b2)+2a1a2b1b2=(a1b2+a2b2)=左式 仅当即 a2b1=a1b2 即 a1a2 =时等号成立 b1b2 故n=1,2时 不等式成立 2假设n=k(kÎN,k³2)时，不等式成立 2k+L+ak即 (a1b1+a2b2+L+akbk)£(a12+a2)(b12+b22+L+bk2) 当 bi=kai，k为常数，i=1,2Ln 或a1=a2=L=ak=0时等号成立 22 A=a12+a2+.+ak 设B=b12+b22+.+bk2 C=a1b1+a2b2+.+akbk 222222则(A+ak+1)(B+bk+1)=AB+Abk+1+ak+1bk+1+Bak+1 22³C2+2Cak+1bk+1+ak+1bk+1=(C+ak+1bk+1) 2222a1+a2+L+ak+ak+1 ()( b+12 b+2L+ k +b2 +k )b ³(a1b1+a2b2+L+akbk+ak+1bk+1) 当 bi=kai，k为常数，i=1,2Ln 或a1=a2=L=ak=0时等号成立 即n=k+1时不等式成立 综上所述原柯西不等式得证。 2.3 利用基本不等式均值不等式进行证明关键在于利用它 “形式 由于x+y³2xy(x,yÎ R)，令x= y= £ ai22åak2 k=1 n n + bi22åbk2 k=1n (i=1,2.n) 将N 不等式相加得： åab ii åaibi£ i=1n £ åa i=1 nk=1 n i + åb i=1nk=1 n i =1 2åak22åbk2 n n n i=1 k=1 即(åaibi)£(åai)(åbk2) i=1 原柯西不等式得证。 2.4 利用二次正定型理论进行证明关键在于理解二次型正定的定义 正定二次型定义：R上一个n元二次型q(x1,x2,.xn)可以看成定义在实数域上n个变量的实函数。假如对于变量x1,x2,.xn的每一组不全为零的值，函数值 q(x1,x2,.xn)都是正数，那么就称q(x1,x2,.xn)是一个正定二次型。 Q(aix1+bix2)=ai2x12+bi2x22+2aibix1x2>0(i=1,2,.n) n 21 n n 有(åai)x+(åbi)x2+(2åaibi)x1x2>0 i=1 i=1 i=1 设二次型 f(x1,x2)=(åai)x+(åbi)x2+(2åaibi)x1x2>0 21 i=1 i=1 i=1 nnn 故f为正定必有二次型矩阵 æn2çåaii=1 A=çn ç çåaibièi=1 n öabåii÷i=1 ÷正定 n 2÷båi÷i=1ø n n n (åai)(åbi)-(åaibi)2>0 则A>0,即 i=1 i=1 i=1 (åaibi)2<(åai2)(åbi2) i=1 i=1 i=1 nnn 当 aa1a2 =.=n时等号成立。 b1b2bn 故原不等式成立，及柯西不等式得证。 2.5 利用欧式空间中内积的性质进行证明。 定理：在一个欧式空间里，对于随便向量e,h，有不等式： áe,hñ2£áe,eñáh,hñ当且仅当e与h线性相关时，才取等号。 证 假如e与h线性相关，那么或者e=0，或者h=ae，不管哪一种状况都有 áe,hñ2=áe,eñáh,hñ. 如今设e与h线性无关。那么对于随便实数t来说，te+h¹0，于是 áte+h,te+hñ>0, 即 t2áe,eñ+2táe,hñáh,hñ+áh,hñ>0. 最终不等式左端是t的一个二次三项式。由于它对于t的随便是数值来说都是正数，所以它的判别式确定小于零，即 áe,hñ2-áe,eñáh,hñ<0或áe,hñ2<áe,eñáh,hñ. 又在Rn里，对于随便两个向量 e=(x1,x2,.xn), h=(y1,y2,.yn), 规定必需规定áe,hñ=x1y1+x2y2+.+xnyn. 简洁验证，关于内积的公理被满意，因此R对于这样定义的内积来说作成一个欧式空 n 间.再由不等式áe,hñ2£áe,eñáh,hñ推出对于随便实数a1,a2,.an,b1,b2,.bn,有不等式 (a1b1+.+anbn)2£(a12+.+an2)(b12+.+bn2). 即柯西不等式得证。 2.6 利用行列式进行证明 n n n 证 Q(åai)(åb)-(åaibi)= 21 i=1 i=1 i=1 åa i=1ni=1 n i åab i=1n 2ii=1 n ii åabåb iin n =åå i=1j=1 ai2aibi ajbjbj2 = 1£i£j£n å (aibj-ajbi)2>0 若令a=(a1,a2,Lan),b=(b1,b2Lbn) 则可以得到： (åaibi)£( a)(b)å1åi 即柯西不等式得证。 i=1 i=1 i=1 n n n 2.7 利用詹森不等式进行证明 考察函数j(x)=x2,(x>0),j¢(x)=2x,j¢¢(x)=2>0,故j(x)=x2是(0,+¥)上的凸函数，詹森Jensen不等式 æn çåPkXkçk=1nç çåPkèk=1 n n ö2÷åPkXk÷£k=1n(其中，P,2,Ln),得 k>0,k=1÷Pkå÷ k=1ø n n (åPkXk)£(åPk)(åPKxk2) k=1 k=1 k=1 nnn ak22 上式中令Pk=bk,Xk=即åPkXk)£(åbk)(åak2) bkk=1k=1k=1 从而不等式成立。 2.8 利用二维随机变量的数学期望证明 表格 2 1n1n21n222 E(xh)=åaibi，Ex=åai,Eh=åbi ni=1ni=1ni=1 由E(xh)£Ex2Eh2 1n1n21n22 所以有(åaibi)£(åai)(åbi) ni=1ni=1ni=1 即(åaibi)£(åai)(åbi2) i=1 i=1 i=1 nnn 则柯西不等式得证。 第三篇：柯西不等式的证明及应用 柯西不等式的证明及应用 河西学院数学系012班甘肃张掖734000 摘要：柯西不等式是一个特殊重要的不等式，灵敏奇异的应用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解。本文在证明不等式，解三角形相关问题，求函数最值，解方程等问题的应用方面给出几个例子。 关键词：柯西不等式证明应用中图分类号：O178 Identification and application of Cauchy inequality ChenBo department of mathematics , Hexi university zhangye gansu 734000 Abstract:Cauchy-inequality is a very important in equation, flexible ingenious application it, can make some comparatively difficult problems easily solved . This text prove inequality, solve triangle relevant problem, is it worth most to ask, the application which solves such questions as the equation ,etc. provides several examples. Keyword：inequationproveapplication 柯西Cauchy不等式 12 2 222 (a1b1+a2b2+L+anbn)£a1+a2+L+an ()(b 2 2122+b2+L+bn )(abÎR,i=1,2Ln) 2 ii 等号当且仅当a1=a2=L=an=0或bi=kai时成立k为常数，i=1,2Ln现将它的证明介绍如下： 证明1：构造二次函数 f(x)=(a1x+b1)+(a2x+b2)+L+(anx+bn) 2 2 2 22n222n =a1+a2+L+anx+2(a1b1+a2b2+L+anbn)x+b1+b2+L+bn ()() 2n Qa12+a2+L+an³0 f(x)³0恒成立 2nQD=4(a1b1+a2b2+L+anbn)-4(a12+a2+L+an)(b12+b22+L+bnn)£0 2 即(a1b1+a2b2+L+anbn)£a1+a2+L+an 2 2 2 ( n )(b 2 2n+b2+L+bn) 当且仅当aix+bix=0(i=1,2Ln)即证明2数学归纳法 aa1a2 =L=n时等号成立 b1b2bn 2 1当n=1时左式=(a1b1)右式=(a1b1) 明显左式=右式 2 当 n=2时， 右式 =(a12+a2)(b12+b22)=(a1b1)+(a2b2)+a22b12+a12b22 ³(a1b1)+(a2b2)+2a1a2b1b2=(a1b2+a2b2)=右式 仅当即 a2b1=a1b2 即 a1a2 =时等号成立 b1b2 故n=1,2时 不等式成立 2假设n=k(kÎN,k³2)时，不等式成立 即 (a1b1+a2b2+L+akbk)£a1+a2+L+ak ( k )(b 21 2+b2+L+bkk) 当 bi=kai，k为常数，i=1,2Ln 或a1=a2=L=ak=0时等号成立 222 设A=a1B=b12=b22=L=bk2 =a2=L=ak C=a1b1+a2b2+L+akbk 2则A+ak+1 ()(B+b)=AB+Ab 2k+1 2k+122+ak+1bk+1 22 ³C2+2Cak+1bk+1+ak+1bk+1=(C+ak+1bk+1) 2222a1+a2+L+ak+ak+1 ()( b+12 b+2L+2 k +b2 +k )b ³(a1b1+a2b2+L+akbk+ak+1bk+1) 当 bi=kai，k为常数，i=1,2Ln 或a1=a2=L=ak=0时等号成立 即n=k+1时不等式成立 综合12可知不等式成立 柯西不等式是一个特殊重要的不等式，灵敏奇异的应用运用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解，这个不等式结构和谐，应用灵敏广泛，利用柯西不等式可处理以下问题： 1 证明相关命题 例1 用柯西不等式推导点到直线的距离公式 3 。 22 已知点R(x0,y0)及直线l: Ax+By+C=0A+B¹0 () 设点p是直线l上的随便一点， 则 Ax+Bx+C=01 p1p2= 2 点p1p2两点间的距离p1p2就是点p到直线l的距离，求2式有最小值，有 ³A(x0-x1)+B(y0-y1) Ax0+By0+C-(Ax1+By1+C) 由1 2得： p1p2³Ax0+By0+C即 p1p2³ 3 当且仅当(y0-y1):(x0-x)1B A p1p2l 3式取等号 即点到直线的距离公式 即 p1p2= 2 证明不等式 例2 4 a2+b2+c2 已知正数a,b,c满意a+b+c=1证明a+b+c³ 证明：利用柯西不等式 (a +b2+c 22 ) 13131 æ3ö=ça2a2+b2b2+c2c2÷èø éæ3ö2æ3ö2æ3ö2ù £êça2÷+çb2÷+çc2÷úa+b+cêëèøèøèøúû =(a3+b3+c3)(a+b+c)(Qa+b+c=1) + ca又因为a+b+c³ab+bc在此不等式两边同乘以2，再加上a+b+c 222得：(a+b+c)£3a+b+c 222222 () Q(a2+b2+c2)£(a3+b3+c3)·3(a2+b2+c2) a2+b2+c2 故a+b+c³ 3 解三角形的相关问题 例3 设p是gABC内的一点，x,y,z是p到三边a,b,c的距离，R是DABC外接圆的 证明：由柯西不等式得， = £记S为gABC的面积，则 abcabc ax+by+cz=2S=2 = 4R2R 故不等式成立。 4 求最值 例4 5 £ 2222 已知实数a,b,c,d满意a+b+c+d=3， a+2b+3c+6d=5试求a的最值 解：由柯西不等式得，有 (2b 2æ111ö +3c2+6d2)ç+÷³(b+c+d) è236ø 222 即2b+3c+6d³(b+c+d) 2 由条件可得， 5-a³(3-a) 解得，1£a£ 2=时等号成立， 11 ,d=时，amax=2 3621 b=1,c=,d=时amin=1 33 代入b=1,c= 5利用柯西不等式解方程例5在实数集内解方程 5 9ì222 ïx+y+z= 4í ïî-8x+6y-24y=39 解：由柯西不等式，得 (x 222 +y2+z2)é(-8)+62+(-24)ù³(-8x+6y-24y) ëû 22 Q(x2+y2+z2)é(-8)+62+(-24)ù ëû 9 =´(64+36+4´144)=3924 又(-8x+6y-24y)=39 (x 222 +y2+z2)é(-8)+62+(-24)ù=(-8x+6y-24z) ëû 即不等式中只有等号成立 从而由柯西不等式中等号成立的条件，得 xyz= -86-24 它与-8x+6y-24y=39联立，可得 x=- 6918y=z=- 132613 67 6用柯西不等式说明样本线性相关系数 在概率论与数理统计一书中，在线性回来中，有样本相关系数 å(x-)(y-) i i n 并指出r£1且r越接近于1，相关程度越大，r越接 近于0，则相关程度越小。如今可用柯西不等式说明样本线性相关系数。 现记ai=xi-，bi=yi- ，则， åab n ii r£1 n 当r=1时， å(ab)=åaåb ii 2i i=1 i=1 i=1 nn 2i 此时， (yi-)=bixi-ai =k，k为常数。点(xi,yi)i=1,2Ln均在直线 y-=k(x-)上，r 当r®1时， å(ab) ii i=1n 2i n n ®åa i=12i n 2i åb i=1 n 2i 即 å(ab)-åaåb ii i=1 i=1 i=1 n ®0 而 å(aibi)-åa i=1 i=1 n n 2i åbi2=- i=1 n 1£i£j£n å (aibj-ajbi) 1£i£j£n å (aibj-ajbi)®0Þaibj-ajbi®0 Þ bi ®k,k为常数。 ai 此时，此时， (yi-)=bixi-ai =k，k为常数 点(xi,yi)均在直线y-=k(x-)旁边，所以r越接近于1，相关程度越大 当r®0时，(ai,bi)不具备上述特征，从而，找不到合适的常数k，使得点(xi,yi)都在直线y-=k(x-)旁边。所以，r越接近于0，则相关程度越小。 致谢：在本文的写作过程中，得到了马统一老师的细心指导，在此表示诚心的感谢。 参考文献：1柯西不等式的微小改动 J数学通报2002 第三期2柯西不等式与排序不等式M南山湖南教化出版社 3一般中学解析几何M高等教化出版社 41990-年全国统一考试数学试卷J 5李永新李德禄中学数学教材教法M东北师大出版社 6盛聚，谢式千，潘承毅概率与数理统计M高等教化出版7用用柯西不等式说明样本线性相关系数J数学通讯 2004年第七期 2004年6月 第四篇：柯西不等式的小结 柯西不等式的小结 浙江省余姚中学 徐鹏科 315400 柯西不等式是数学分析和数学物理方程探讨中一个特殊重要的不等式，一般中学数学新课程把它列入选修内容，然而对于浙江等省份而言，又是高考报考第一类高校的加试内容。因此对其作一小结很有必要，通过几年的教学与实践，应当说把握这块学问已不是困难的事。 新课程选修-中，施行类比的数学思想方法得到的柯西不等式一般形式为： 设a1,a2,a3,L,an;b1,b2,b3,L,bn是实数，则 222222(a12+a2+a3+Lan)(b12+b2+b3+L+bn)³(a1b1+a2b2+a3b3+L+anbn)2 当且仅当bi=0(i=1,2,3,L,n)或存在一个实数k使ai=kbi(i=1,2,3,L,n)时等号成立。课本供应的证时方法是构造函数f(x)=(a1x+b1)2+(a2x+b2)2+L+(anx+bn)2，利用f(x)非负性来完成不等式的证明。笔者认为，课本从二维向量类比到三维向量后得到了三维形式的柯西不等式，假如再增加从三维向量到n维向量的类比，那么柯西不等式的一般形式也就此可得，这是我们作为老师应当想到的地方。在这里必需指出，大多学生在学习柯西不等式时会遇到的困难不少，不等式形式的记忆，不等式应用的灵敏性，会使学家生置身于云里雾里。笔者在教学中为学生记忆便利，编了如下的顺口溜：“大端括号乘括号，小端括号添平方，末平方的平方和，已平方的和串积，莫忘何时能相等。实践证明，效果是明显的。 柯西不等式是一个公式，公式总涉及到应用的问题，公式的应用不外乎“顺用、“逆用、“变用这三种用法，下面来举例说明，由于篇幅有限每道例题只作分析，读者阅后自证较易。 首先要驾驭“顺用，这里指的是从大到小的应用 例 1、 设x1,x2,L,xnÎR+，且x1+x2+L+xn=1。 22xnx12x21求证：+L+³. 1+x11+x21+xnn+1分析：根据柯西不等式的特征和x1+x2+L+xn=1，要证的不等式可变形为 22xnx12x2(n+1)(左边第一括号中的n可看成n个+L+)³(x1+x2+L+xn)2，1+x11+x21+xn1的和，再把余下的1代掉即可得需证不等式，即证： 22xnx12x2(+L+)³(x1+x2+L+xn)2，此即 1+x11+x21+xn柯西不等式，明显成立。 其次要驾驭“逆用，这里指的是从小到大的应用。 例2 已知 2x+3y+4z=10求x+y+z的最小值. 222分析： Q10=(2x+3y+4z)£2+3+422222 2 x+y+z³2(2)(x2+y2+z2) 100203040,y=,z= 当且仅当x=时等号成立 29292929100222 (x+y+z)= min29此题的解题过程告知我们，柯西不等式中的三个括号，假如其中两个是定值，则必可求出余下一个括号的最值。 最终，要把握变用，这里指的是对整个公式作灵敏应用，是公式应用中的最高层次。 例 3 设实数 x,y满意2x2+3y2£5，求A=x+2y的最大值. 分析： 明显，此题解决方向应是从小端向大端行进，然而，恰当配凑常数是关键。 QA=(x+2y)£é22êë(2x+)(222éù1111æöæöù3y´êç+£5´ ú÷÷çúûê623øèøúëèû)2 A=x+2y£x+2y£330 6例4 已知x,y,zÎR+且x+y+z=1 1若2x2+3y2+6z2=1求x,y,z的值. 2若2x2+3y2+tz2³