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    2023年人教版九年级上册第21章一元二次方程知识点归纳总结全面汇总归纳及典型习题精品教育..pdf

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    2023年人教版九年级上册第21章一元二次方程知识点归纳总结全面汇总归纳及典型习题精品教育..pdf

    第 1 页 一元二次方程 一、本章知识结构框图 二、具体内容 一、一元二次方程的概念 1理解并掌握一元二次方程的意义 未知数个数为 1,未知数的最高次数为 2,整式方程,可化为一般形式;2正确识别一元二次方程中的各项及各项的系数 1明确只有当二次项系数0a时,整式方程02cbxax才是一元二次方程。2各项确实定(包括各项的系数及各项的未知数).3熟练整理方程的过程 3一元二次方程的解的定义与检验一元二次方程的解 4列出实际问题的一元二次方程 二、一元二次方程的解法 1明确一元二次方程是以降次为目的,以配方法、开平方法、公式法、因式分解法等方法为手段,从而把一元二次方程转化为一元一次方程求解;2根据方程系数的特点,熟练地选用配方法、开平方法、公式法、因式分解法等方法解一元二次方程;3体会不同解法的相互的联系;4值得注意的几个问题:(1)开平方法:对于形如nx2或)0()(2anbax的一元二次方程,即一元二次方程的一边是含有未知数的一次式的平方,而另一边是一个非负数,可用开平方法求解.形如nx 2的方程的解法:当0n时,nx;实际问题 数学问题)0(02acbxax 设未知数,列方程 实际问题的答案 数学问题的解 aacbbx242 解 方 程 降 次 开平方法 配方法 公式法 分解因式法 检 验 第 2 页 当0n时,021xx;当0n时,方程无实数根。2配方法:通过配方的方法把一元二次方程转化为nmx2)(的方程,再运用开平方法求解。配方法的一般步骤:移项:把一元二次方程中含有未知数的项移到方程的左边,常数项移到方程的右边;“系数化 1”:根据等式的性质把二次项的系数化为 1;配方:将方程两边分别加上一次项系数一半的平方,把方程变形为nmx2)(的形式;求解:假设0n时,方程的解为nmx,假设0n时,方程无实数解。3公式法:一元二次方程)0(02acbxax的根aacbbx242 当042 acb时,方程有两个实数根,且这两个实数根不相等;当042 acb时,方程有两个实数根,且这两个实数根相等,写为abxx221;当042 acb时,方程无实数根.公式法的一般步骤:把一元二次方程化为一般式;确定cba,的值;代入acb42中计算其值,判断方程是否有实数根;假设042 acb代入求根公式求值,否则,原方程无实数根。因为这样可以减少计算量。另外,求根公式对于任何一个一元二次方程都适用,其中也包括不完全的一元二次方程。4因式分解法:因式分解法解一元二次方程的依据:如果两个因式的积等于 0,那么这两个因式至少有一个为 0,即:假设0ab,则00ba或;因式分解法的一般步骤:假设方程的右边不是零,则先移项,使方程的右边为零;把方程的左边分解因式;令每一个因式都为零,得到两个一元一次方程;解出这两个一元一次方程的解可得到原方程的两个解。5选用适当方法解一元二次方程 对于无理系数的一元二次方程,可选用因式分解法,较之别的方法可能要简便的多,只不过应注意二次根式的化简问题。方程假设含有未知数的因式,选用因式分解较简便,假设整理为一般式再解就较为麻烦。6解含有字母系数的方程 1含有字母系数的方程,注意讨论含未知数最高项系数,以确定方程的类型;2对于字母系数的一元二次方程一般用因式分解法解,不能用因式分解的可选用别的方法,此时一定不要忘记对字母的取值进行讨论。三、根的判别式 1了解一元二次方程根的判别式概念,能用判别式判定根的情况,并会用判别式求一元二次方程中符合题意的参数取值范围。1=acb42 第 3 页 2根的判别式定理及其逆定理:对于一元二次方程02cbxax0a 当时00a方程有实数根;当时00a方程有两个不相等的实数根;当时00a方程有两个相等的实数根;当时00a方程无实数根;从左到右为根的判别式定理;从右到左为根的判别式逆定理。2常见的问题类型 1利用根的判别式定理,不解方程,判别一元二次方程根的情况 2已知方程中根的情况,如何由根的判别式的逆定理确定参数的取值范围 3应用判别式,证明一元二次方程根的情况 先计算出判别式关键步骤;用配方法将判别式恒等变形;判断判别式的符号;总结出结论.例:求证:方程0)4(2)1(222aaxxa无实数根。4分类讨论思想的应用:如果方程给出的时未指明是二次方程,后面也未指明两个根,那一定要对方程进行分类讨论,如果二次系数为 0,方程有可能是一元一次方程;如果二次项系数不为 0,一元二次方程可能会有两个实数根或无实数根。5一元二次方程根的判别式常结合三角形、四边形、不等式组等知识综合命题,解答时要在全面分析的前提下,注意合理运用代数式的变形技巧 6一元二次方程根的判别式与整数解的综合 7判别一次函数与反比例函数图象的交点问题 四、一元二次方程的应用 1.数字问题:解答这类问题要能正确地用代数式表示出多位数,奇偶数,连续整数等形式。2.几何问题:这类问题要结合几何图形的性质、特征、定理或法则来寻找等量关系,构建方程,对结果要结合几何知识检验。3.增长率问题下降率:在此类问题中,一般有变化前的基数a,增长率x,变化的次数n,变化后的基数b,这四者之间的关系可以用公式bxan)1(表示。4.其它实际问题都要注意检验解的实际意义,假设不符合实际意义,则舍去。五新题型与代几综合题 1有 100 米长的篱笆材料,想围成一矩形仓库,要求面积不小于 600 平方米,在场地的北面有一堵 50米的旧墙,有人用这个篱笆围成一个长 40 米、宽 10 米的仓库,但面积只有 400 平方米,不合要求,问应如何设计矩形的长与宽才能符合要求呢?2读诗词解题列出方程,并估算出周瑜去世时的年龄:大江东去浪淘尽,千古风流数人物,而立之年督东吴,英年早逝两位数,十位恰小个位三,个位平方与寿符,哪位学子算得准,多少年华属周瑜?36 岁(3)已 知:cba,分 别 是ABC的 三 边 长,当0m时,关 于x的 一 元 二 次 方 程第 4 页 02)()(22axmmxbmxc有两个相等的实数根,求证:ABC是直角三角形。(4)已知:cba,分别是ABC的三边长,求证:方程0)(222222cxacbxb没有实数根。(5)当m是什么整数时,关于x的一元二次方程0442 xmx与0544422mmmxx的根都是整数?1m 6已知关于x的方程02212222mxxmxx,其中m为实数,1当m为何值时,方程没有实数根?2当m为何值时,方程恰有三个互不相等的实数根?求出这三个实数根。答案:12m221,1x.六相关练习(一)一元二次方程的概念 1一元二次方程的项与各项系数 把以下方程化为一元二次方程的一般形式,再写出二次项,一次项,常数项:1xx3252 )2,3,5(2xx 2015622xx )2,15,6(2xx 35)2(7)1(3yyy )9,4,3(2yy 4 mmmmmm57)2()(2 )3,0,2(2m 522)3(4)15(aa )5,2,3(2aa 2应用一元二次方程的定义求待定系数或其它字母的值 (1)m为何值时,关于x的方程mxmxmm4)3()2(2是一元二次方程。2m(2)假设分式01872xxx,则x 8x 3由方程的根的定义求字母或代数式值(1)关于x的一元二次方程01)1(22axxa有一个根为 0,则a 1a(2)已知关于x的一元二次方程)0(02acbxax有一个根为 1,一个根为1,则cba ,cba 0,0 (3)已知c 为实数,并且关于x的一元二次方程032cxx的一个根的相反数是方程032cxx的一个根,求方程032cxx的根及 c 的值。0,-3,c=0 二一元二次方程的解法 1开平方法解以下方程:第 5 页 1012552x 5,521 xx 2289)3(1692x 1322,135621xx(3)03612y原方程无实根 40)31(2m 021mm 2配方法解方程:10522 xx 61x 20152 yy 2215x 3公式法解以下方程:12632 xx 333x 2pp3232 321pp(3)yy1172 0,71121yy 42592 nn 原方程无实数根 4因式分解法解以下方程:109412x6x 204542 yy5,921yy(3)031082 xx23,4121xx 402172xx 3,021 xx(5)6223362xxx32,2321xx 61)5(2)5(2xx621xx 5解法的灵活运用用适当方法解以下方程:1128)72(22x 227x 2222)2(212mmmm262 m 6解含有字母系数的方程解关于 x 的方程:102222nmmxx (nmxnmx21,)(2)xaxaxxa)1()1()1(2222 讨论 a 三一元二次方程的根的判别式 1不解方程判别方程根的情况:14xxx732有两个不等的实数根 2xx4)2(32 无实数根(3)xx54542 有两个相等的实数根 2k为何值时,关于 x 的二次方程0962 xkx 1有两个不等的实数根 01kk且 2有两个相等的实数根 1k 3无实数根 1k 3已知关于的方程mxmx1)2(42有两个相等的实数根求的值和这个方程的根 第 6 页 (21,221xxm或23,1021xxm)4假设方程054)1(222aaxax有实数根,求:正整数 a.3,2,1aaa 5对任意实数 m,求证:关于 x 的方程042)1(222mmxxm无实数根.6k为何值时,方程0)3()32()1(2kxkxk有实数根.当01k时,原方程有一个实数根,54x;当001k时,解得4211kk,所以当421k且1k时方程有两个实数根。综上所述,当421k时,方程有实数根.7设m为整数,且404m时,方程08144)32(222mmxmx有两个相异整数根,求m的值及方程的根。当m=12 时,方程的根为26,1621xx;当m=24 时,方程的根为52,3821xx 四一元二次方程的应用 1已知直角三角形三边长为三个连续整数,求它的三边长和面积.3,4,5,面积为 6 2一个两位数,个位上的数字比十位上的数字少 4,且个位数字与十位数字的平方和比这个两位数小 4,求这个两位数.84 3某印刷厂在四年中共印刷 2019 万册书,已知第一年印刷了 342 万册,第二年印刷了 500 万册,如果以后两年的增长率相同,那么这两年各印刷了多少万册?(550,605)4某人把 5000 元存入银行,定期一年到期后取出 300 元,将剩余部分包括利息继续存入银行,定期还是一年,且利率不变,到期如果全部取出,正好是 275 元,求存款的年利率?不计利息税 10 5某商场销售一批名牌衬衫,平均每天可以售出 20 件,每件盈利 40 元,为了扩大销售增加盈利,尽快减少库存,商场决定采取适当降价措施,经调查发现,如果每件衬衫每降价 1 元,商场每天可多售出 2件,假设商场平均每天要盈利 1200 元,每件衬衫应降价多少元?20 元 6已知甲乙两人分别从正方形广场 ABCD 的顶点 B、C 同时出发,甲由 C 向 D 运动,乙由 B 向 C 运动,甲的速度为每分钟 1 千米,乙的速度每分钟 2 千米,假设正方形广场周长为 40 千米,问几分钟后,两人相距102千米?(2 分钟后)7某科技公司研制一种新产品,决定向银行贷款 200 万元资金,用于生产这种产品,签订的合同上约定两年到期时一次性还本付息,利息为本金的 8%,该产品投放市场后由于产销对路,使公司在两年到期时除还清贷款的本金和利息外,还盈余72 万元,假设该公司在生产期间每年比上一年资金增长的百分数相同,试求第 7 页 这个百分数.(20%)8如图,东西和南北向两条街道交于 O 点,甲沿东西道由西向东走,速度是每秒 4 米,乙沿南北道由南向北走,速度是每秒 3 米,当乙通 过 O 点又继续前进 50 米时,甲刚好通过 O 点,求这两人在相距 85 米 时,每个人的位置。甲离 O84 米,乙离 O13 米 9已知关于 x 的方程01)1(2mxxn有两个相等的实数根.(1)求证:关于 y 的方程03222222nmmyym必有两个相等的实数根。(2)假设方程的一根的相反数恰好是方程的一个根,求代数式nnm122的值。14 10一次函数6 xy和反比例函数xky,1k 满足什么条件时,这两个函数在同一坐标系中的图象有两个交点?2设1中的两个公共点为 A、B,AOB是锐角还是钝角?09kk且;钝角 东北BABAO

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