中考数学抛物线难题解析含答案11页.pdf

中考数学抛物线难题解析(含答案)中考数学抛物线难题解析(含答案)一、（辽宁 12 市）一、（辽宁 12 市）如图，在平面直角坐标系中，直线y 3x3与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y ax 22 3xc(a 0)通过A，B，C三点3（1）求过A，B，C三点抛物线的解析式并求出极点F的坐标；（2）在抛物线上是不是存在点P，使ABP为直角三角形，若存在，直接写出P点坐标；若不存在，请说明理由；（3）试探讨在直线AC上是不是存在一点M，使得MBF的周长最小，若存在，求出M点的坐标；若不存在，请说明理由解：（1）直线y 3x3与x轴交于点A，与y轴交于点C3)A(1，0)，C(0，点A，C都在抛物线上，y2 330 aca 33 3 cc 3抛 物 线 的 解 析 式 为y 322 3x x3极 点33AOCFBx4 3F1，3（2）存在P，3)P2(2，3)1(0（3）存在理由：延长BC到点B，使BC BC，连接BF交直线AC于点M，则点M确实是所求的点过点B作BH AB于点HyHACBOBxB点在抛物线y 322 3x x3上，B(3，0)33MF图 9在RtBOC中，tanOBC 3，3OBC 30，BC 2 3，在RtBBH中，BH 1BB 2 3，2BH 3BH 6，OH 3，B(3，2 3)设直线BF的解析式为y kxb32 3 3k bk 64 3解得 k bb 3 332y 33 3x623y 3x3x 310 37M，解得33 37x7y y 10 3，627310 3在直线AC上存在点M，使得MBF的周长最小，现在M，77，0)二、（山东济南）二、（山东济南）已知：抛物线y ax2bx c(a0)，极点 C(1，3)，与 x 轴交于 A、B 两点，A(1（1）求这条抛物线的解析式（2）如图，以AB 为直径作圆，与抛物线交于点 D，与抛物线对称轴交于点 E，依次连接A、D、B、E，点P 为线段AB上一个动点(P 与A、B 两点不重合)，过点P 作PMAE于M，PNDB于N，请判定PMPN是不是为定值?若是，请求出此定值；若不是，请说明理由BEAD（3）在(2)的条件下，若点 S 是线段 EP 上一点，过点 S 作 FGEP，FG 别离与边AE、BE 相交于点 F、PAEFG(F 与 A、E 不重合，G 与 E、B 不重合)，请判定是不是成PBEG立若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由【思路点拨】（2）证APMABE，同理:PNPB（3）证PH=BH且APMPBHADABMADOPNPMAPBEAByE再证MEPEGF可得。解：(1)设抛物线的解析式为y a(x 1)23BxC将 A(1，0)代入:0 a(11)23a 343339 抛物线的解析式为y(x1)23，即：y x2x 4424（2）是定值，PMPN1BEAD AB 为直径，AEB=90，PMAE，PMBE APMABE，同理:PMAPBEABPNPBPMPNAPPB+:1ADABBEADABAB（3）直线 EC 为抛物线对称轴，EC 垂直平分 AB EA=EB AEB=90 AEB 为等腰直角三角形 EAB=EBA=45 .7分如图，过点 P 作 PHBE 于 H，由已知及作法可知，四边形PHEM 是矩形，PH=ME 且 PHME在APM 和PBH 中AMP=PHB=90，EAB=BPH=45 PH=BH且APMPBHPAPMPBBHPAPMPMPBPHME在MEP 和EGF 中，PEFG，FGE+SEG=90MEP+SEG=90 FGE=MEP PME=FEG=90 MEPEGFPMEFMEEGPAEFPBEG由、知：3、(浙江杭州浙江杭州)在直角坐标系 xOy 中，设点 A（0，t），点 Q（t，b）。平移二次函数y tx的图象，取得的抛物线F知足两个条件：x 轴相交于 B，C 两点（OBOC），连结 A，B。（1）是不是存在如此的抛物线F，2极点为 Q；与OA OB OC？请你作出判定，并说明理由；（2）若是 AQBC，且 tanABO=对应的二次函数的解析式。【思路点拨】（1）由关系式OA OB OC来构建关于t、b的方程；(2)讨论223，求抛物线 F2t的取值范围，来求抛物线F 对应的二次函数的解析式。解：（1）平移y tx的图象取得的抛物线F的极点为Q,抛物线F对应的解析式为:y t(x t)b.抛物线与 x 轴有两个交点，tb 0.22令y 0,得OB t b，OC t tb)(t tb,t|OB|OC|(t 2即tbb2)|t|t2 OA2,ttbt t2,因此当b 2t3时,存在抛物线F使得|OA|2|OB|OC|.-2 分2(2)AQ/BC,t b,得F:y t(x t)t,解得x1 t 1,x2 t 1.在Rt AOB中,1)当t 0时,由|OB|OC|,得B(t 1,0),当t 1 0时,由tanABO t3|OA|,解得t 3,2|OB|t 12现在,二次函数解析式为y 3x 18x 24;当t 1 0时,由tanABO t3|OA|3,解得t,2|OB|t 15321848x+.x+525125现在，二次函数解析式为y 2)当t 0时,由|OB|OC|,将t代t,可得t（也可由 x代x，y代y取得）因此二次函数解析式为y 3,t 3,53218x48或y 3x218x 24.x+52512524、(江苏常州)4、(江苏常州)如图,抛物线y x 4x与 x 轴别离相交于点 B、O,它的极点为 A,连接 AB,把 AB 所的直线沿y 轴向上平移,使它通过原点 O,取得直线 l,设 P 是直线 l 上（1）求点 A 的坐标;（2）以点 A、B、O、P 为极点的四边形中,有菱形、等腰梯形、直角梯形,请别离直接写出这些特殊四边形的极点（3）设以点 A、B、O、P 为极点的四边形的面积为S,P 的坐标;一动点.点 P 的横坐标为 x,当46 2 S 68 2时,求 x 的取值范围.【思路点拨】（3）可求得直线l的函数关系式是 y=-2x，因此应讨论当点P 在第二象限时，x0 这二种情形。解：（1）y x 4x (x 2)4A(-2,-4)（2）四边形 ABP1O 为菱形时，P1(-2,4)224)54 8四边形 ABP3O 为直角梯形时，P1(，)5 5612四边形 ABOP4为直角梯形时，P1(，)55四边形 ABOP2为等腰梯形时，P1(，（3）25由已知条件可求得 AB 所在直线的函数关系式是y=-2x-8,因此直线l的函数关系式是 y=-2x当点 P 在第二象限时，x0,过点 A、P 别离作 x 轴的垂线，垂足为 A、P则四边形 POAA 的面积SPOAA S梯形PPAASPPOAAB 的面积SAAB42x1(x2)(2x)x 4x422142 42S SPOAA SAAB 4x 8(x 0)46 2 S 68 2，3x S 46 24x8 46 2即S 4S 68 24x8 68 23 2 24 2 1 x x 的取值范围是222 222 125 5、（浙江丽水）（浙江丽水）如图，在平面直角坐标系中，已知点A坐标为（2，4），直线x 2与x轴相交于点B，连结OA，抛物线y x从点O沿OA方向平移，与直线x 2交于点P，极点M到A点时停止移动（1）求线段OA所在直线的函数解析式；（2）设抛物线极点M的横坐标为m,用m的代数式表示点P的坐标；当m为何值时，线段PB最短；（3）当线段PB最短时，相应的抛物线上是不是存在点Q，积与PMA的面积相等，若存在，请求出点Q的坐标；若不存解：（1）设OA所在直线的函数解析式为y kx，A（2，4），BOM2yAP使 QMA的 面在，请说明理由x 2xk 2,2k 4,OA所在直线的函数解析式为y 2x（2）极点 M 的横坐标为m，且在线段OA上移动，y 2m（0m2）.极点M的坐标为(m,2m).抛物线函数解析式为y.(xm)2m当x 2时，22（0m2）.y (2m)2m m 2m422m4点P的坐标是（2，m）.22PB=m=(，又0m2，2m4m1)32当m 1时，PB 最短（3）当线段PB最短时，现在抛物线的解析式为y.x 122假设在抛物线上存在点Q，使SQ.SPMAMA2x3设点Q的坐标为（x，x）.2yADB 3A当点Q落在直线OA的下方时，过P作直线PCAOyCPP 1OC 1C1点P的坐标B 4A是（2，3），直线PC的函数解析式为y 2.x 1SQ，点Q落在直线y 2上.SPx 1MAMAMBP2x3x=2x1.2E2,x2解得x，即点Q（2，3）.12点Q与点P重合.现在抛物线上不存在点Q，使QMA与APM的面积相等.当点Q落在直线OA的上方时，OCx 2xEDDEy 2OD A 1作点P关于点A的对称称点D，过D作直线DEAOyEAP 1Ex 1，点Q落在直线y 2上.SQSPx 1MAMA2x3x=2x1.22，x解得：x22.1 2252 2.代入y 2，得y52 2，yx 12122,5 2 2现在抛物线上存在点Q2,522，Q212A的面积相等.使QMA与PM22,5 2 2综上所述，抛物线上存在点Q2,522，Q212A的面积相等.使QMA与PM6 6、（广东省深圳市）（广东省深圳市）如图 9，在平面直角坐标系中，二次函数y ax bx c(a 0)的图象的极点为 D 点，与 y 轴交于 C 点，与 x 轴交于 A、B 两点，A 点在原点的左侧，B 点的坐标为（3，0），OBOC，tanACO213（1）求那个二次函数的表达式（2）经过 C、D 两点的直线，与 x 轴交于点 E，在该抛物线上是不是存在如此的点F，使以点 A、C、E、F 为极点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点F 的坐标；若不存在，请说明理由（3）若平行于 x 轴的直线与该抛物线交于M、N 两点，且以 MN 为直径的圆与 x轴相切，求该圆半径的长度（4）如图 10，若点 G（2，y）是该抛物线上一点，点P 是直线 AG 下方的抛物线上一动点，当点P 运动到什么位置时，APG 的面积最大？求出现在P 点的坐标和APG 的最大面积.EAOBxyyAOBxC【思路点拨】（2）可先以A、C、E、F 为极点的四边形为平行四边形时，求F 点的坐标，再代入抛物线的表DCMN 在x轴下方时二种情形。达式查验。（3）讨论当直线MN 在x轴上方时、当直线（4）构建S 关于x的G二次函数，求它的最大值。解：（1）由已知得：C（0，3），A（1，0）图 9D图 10a b c 0将 A、B、C 三点的坐标代入得9a 3b c 0c 3a 1解得：b 2c 3因此那个二次函数的表达式为：y x 2x 3（2）存在，F 点的坐标为（2，3）易患 D（1，4），因此直线 CD 的解析式为：y x 3E 点的坐标为（3，0）以 A、C、E、F 为极点的四边形为平行四边形F 点的坐标为（2，3）或（2，3）或（4，3）代入抛物线的表达式查验，只有（2，3）符合存在点 F，坐标为（2，3）（3）如图，当直线 MN 在 x 轴上方时，设圆的半径为R（R0），则 N（R+1，R），代入抛物线的表达式，解得R 21 172My1RRN当直线 MN 在 x 轴下方时，设圆的半径为r（r0），则 N（r+1，r），代入抛物线的表达式，解得r 1 172圆的半径为1 171 17或22（4）过点 P 作 y 轴的平行线与 AG 交于点 Q，易患 G（2，3），直线 AG 为y x 1设 P（x，x 2x 3），则 Q（x，x1），PQ x x 222SAPG SAPQ SGPQ当x 1(x2 x 2)321时，APG 的面积最大2121527，SAPG的最大值为48此时 P 点的坐标为,7 7、（广东梅州）（广东梅州）如图所示，在梯形 ABCD 中，ADDB，AD=DC=CB，AB=4以 AB 所在直线为x于 AB 的直线为y轴成立平面直角坐标系（1）求DAB 的度数及 A、D、C 三点的坐标；（2）求过 A、D、C 三点的抛物线的解析式及（3）若 P 是抛物线的对称轴 L 上的点，那么使角形的点 P 有几个?（没必要求点 P 的坐标，只需说解：（1）DCAB，AD=DC=CB，CDB=CBD=DBA，DAB=CBA，DAB=2DBA，DAB+DBA=90，DAB=60，DBA=30，AB=4，DC=AD=2，RtAOD，OA=1，OD=3，已知 ABCD，轴，过D 且垂直其对称轴 LPDB为等腰三明理由）A（-1，0），D（0，3），C（2，3）线必过点（2）依照抛物线和等腰梯形的对称性知，知足条件的抛物A（1，0），B（3，0），故可设所求为y=a（x+1）（x-3）将点 D（0，3）的坐标代入上式得，a=33所求抛物线的解析式为y=3(x 1)(x 3).其对称轴 L 为直线x=13（3）PDB 为等腰三角形，有以下三种情形：因直线 L 与 DB 不平行，DB 的垂直平分线与 L 仅有一个交点 P1，P1D=P1B，P1DB 为等腰三角形；因为以 D 为圆心，DB 为半径的圆与直线 L 有两个交点 P2、P3，DB=DP2，DB=DP3，P2DB，P3DB为等腰三角形；与同理，L 上也有两个点 P4、P5，使得 BD=BP4，BD=BP5由于以上各点互不重合，因此在直线L 上，使PDB 为等腰三角形的点 P 有 5 个8 8、（广东肇庆）（广东肇庆）已知点 A（a，y1）、B（2a，y2）、C（3a，y3）都在抛物线y 5x 12x上.（1）求抛物线与 x 轴的交点坐标；（2）当 a=1 时，求ABC 的面积；（3）是不是存在含有y1、y2、y3，且与a 无关的等式？若是存在，试给出一个，并加以证明；若是不存在，说明理由.解：（1）由 5x 12x=0，得x1 0，x2 22（1 分）1212抛物线与 x 轴的交点坐标为（0，0）、（，0）（3 分）55（2）当 a=1 时，得 A（1，17）、B（2，44）、C（3，81），别离过点 A、B、C 作 x 轴的垂线，垂足别离为D、E、F，则有SABC=S梯形ADFC-S梯形ADEB-S梯形BEFC=(17 81)2(17 44)1(44 81)1-222=5（个单位面积）（3）如：y3 3(y2 y1)2事实上，y3 5(3a)12(3a)=45a2+36a3（y2 y1）=35（2a）2+122a-（5a2+12a）=45a2+36ay3 3(y2 y1)9 9、（青海西宁）（青海西宁）如图，已知半径为1 的（1）求二次函数的解析式；（2）求切线OM的函数解析式；（3）线段OM上是不是存在一点P，使得以三角形与OO1M相似若存在，请求出所有符合条件存在，请说明理由OAO1BxO1与x轴交于A，B两点，OM为O1的切线，切点为M，圆心O1的坐标为(2，0)，二次函数y x2bxc的图象通过A，B两点yMP，O，A为极点的的点P的坐标；若不解：（1）圆心O1的坐标为(2，0)，2O1半径为 1，A(1，0)，B(3，0)1 分二次函数y x bxc的图象通过点A，B，1bc 0可得方程组93bc 0解得：b 4二次函数解析式为y x24x3c 3（2）过点M作MF x轴，垂足为F直于通过切点的半径）在RtOO1M中，sinO1OM OM是O1的切线，M为切点，O1M OM（圆的切线垂O1M1OO12yPP21OMBxO1OM为锐角，O1OM 303OM OO1cos30 23，2在RtMOF中，OF OM cos30 3HAFO13322MF OM sin30 3132233点M坐标为，22设切线OM的函数解析式为y kx(k 0)，由题意可知333k，k 切线OM的函数解析式为223y 3x3（3）存在过点A作AP1 x轴，与OM交于点P1可得RtAPO1RtMO1O（两角对应相等两三角形相似）P1A OA tanAOP1 tan30 33P 1，133过点A作AP2 OM，垂足为P2，过P2点作P2H OA，垂足为H可得RtAP2ORtO1MO（两角对应相等两三角开相似）在RtOP2A中，OA1，OP2 OA cos30 3，2在RtOP2H中，OH OP2cosAOP2333，224P2H OP2sinAOP233313，P2，44224333符合条件的P点坐标有1，3441010、（四川资阳）（四川资阳）如图，已知点A 的坐标是（1，0），点以 AB 为直径作O，交 y 轴的负半轴于点 C，连接 AC、BC，物线（1）求抛物线的解析式；（2）点 E 是 AC 延长线上一点，BCE 的平分线 CD 交O直线 BD 的解析式；（3）在（2）的条件下，抛物线上是不是存在点P，使得PDB请求出点 P 的坐标；若是不存在，请说明理由解：(1)以 AB 为直径作O，交 y 轴的负半轴于点 C，OCA+OCB=90，又OCB+OBC=90，OCA=OBC，又AOC=COB=90，AOCCOB，OAOCOCOB又A(1，0)，B(9，0)，1OC，解得 OC=3(负值舍去)OC9C(0，3)，设抛物线解析式为 y=a(x+1)(x9)，13=a(0+1)(09)，解得 a=，3118二次函数的解析式为 y=(x+1)(x9)，即 y=x2x3333(2)AB 为 O的直径，且 A(1，0)，B(9，0)，OO=4，O(4，0)，点 E 是 AC 延长线上一点，BCE 的平分线 CD 交O于点 D，11BCD=BCE=90=45，22CBD?若是存在，于点 D，连结 BD，求B 的坐标是（9，0），过 A、B、C 三点作抛连结 OD 交 BC 于点 M，则BOD=2BCD=245=90，OO=4，OD=D(4，5)设直线 BD 的解析式为 y=kx+b（k0）1AB=529k b 0,k 1,解得4k b 5.b 9.直线 BD 的解析式为 y=x9.(3)假设在抛物线上存在点P，使得PDB=CBD，设射线 DP 交O于点 Q，则BQ CD分两种情形(如答案图 1 所示)：O(4，0)，D(4，5)，B(9，0)，C(0，3)把点 C、D 绕点 O逆时针旋转 90，使点 D 与点 B 重合，则点 C 与点 Q1重合，因此，点 Q1(7，4)符合BQ CD，D(4，5)，Q1(7，4)，用 待 定 系 数 法 可 求 出 直 线DQ1119y x，11933解 析 式 为y=x 解 方 程 组得1833y x2x 3.33941941x，1x222y 2941；y 2941.126694129419412941，)，坐标为(，)不符合题意，舍去2626Q1(7，4)，点 P1坐标为(点 Q1关于 x 轴对称的点的坐标为Q2(7，4)也符合BQ CDD(4，5)，Q2(7，4)用待定系数法可求出直线DQ2解析式为 y=3x17y 3x 17，x1 3，x214，解方程组得128y 8；y 25.y x x 3.1233点 P2坐标为(14，25)，坐标为(3，8)不符合题意，舍去9412941符合条件的点 P 有两个：P1(，)，P2(14，25)261111、（辽宁沈阳）（辽宁沈阳）如图所示，在平面直角坐标系中，矩形ABOC的边BO在x轴的负半轴上，边OC在y轴的正半轴上，且AB 1，OB 3，矩形ABOC绕点O按顺时针方向旋转60后取得矩形EFOD点A的对应点为点E，点B的对应点为点F，点C的 对 应 点 为 点D，抛 物 线y ax bxc过 点2yEABFCODxA，E，D（1）判定点E是不是在y轴上，并说明理由；（2）求抛物线的函数表达式；（3）在x轴的上方是不是存在点P，点Q，使以点O，B，P，Q为极点的平行四边形的面积是矩形ABOC面积的 2 倍，且点P在抛物线上，若存在，请求出点P，点Q的坐标；若不存在，请说明理由（1）点E在y轴上理由如下：连接AO，如图所示，在RtABO中，AB 1，BO 3，AO 2sinAOB 1，AOB 302由题意可知：AOE 60BOE AOBAOE 30 60 90点B在x轴上，点E在y轴上（2）过点D作DM x轴于点MOD 1，DOM 30在RtDOM中，DM 点D在第一象限，31，OM 223 1点D的坐标为2，2由（1）知EO AO 2，点E在y轴的正半轴上点E的坐标为(0，2)，点A的坐标为(31)抛物线y ax bxc通过点E，2c 23 12A(31)，由题意，将，D代入y ax bx2中得2283a3b2 1a 9解得331b2 ab 5 3422985 3x2（3）存在符合条件的点P，点Q10 分所求抛物线表达式为：y x299理由如下：矩形ABOC的面积 AB BO 3以O，B，P，Q为极点的平行四边形面积为2 3由题意可知OB为此平行四边形一边，又OB 3OB边上的高为 2依题意设点P的坐标为(m，2)点P在抛物线y 825 3x x2上9985 3m2m2 299解得，m1 0，m2 5 385 3P(0，2)P2，128，以O，B，P，Q为极点的四边形是平行四边形，PQOB，PQ OB 3，当点P1的坐标为(0，2)时，点Q的坐标别离为Q1(3，2)，Q2(3，2)；ABFyECDO Mx5 32当点P2的坐标为8，时，点Q的坐标别离为Q313 33 3，2Q，2，48812、（苏州市）12、（苏州市）如图，抛物线 ya(x1)(x5)与 x 轴的交点为 M、N直线 ykxb与 x 轴交于 P(2，0)，与 y 轴交于 C若 A、B 两点在直线 ykxb 上，且 AO=BO=MN 的中点，OH 为 RtOPC 斜边上的高(1)(1)OH 的长度等于_；k_，b_；(2)(2)是不是存在实数 a，使得抛物线 ya(x1)(x5)上有一点 E，知足以 D、N、E 为顶点的三角形与AOB 相似?若不存在，说明理由；若存在，求所有符合条件的抛物线的解析式，同时探讨所求得的抛物线上是不是还有符合条件的E 点(简要说明理由)；并进一步探讨对符合条件的每一个E 点，直线NE 与直线 AB 的交点 G 是不是总知足 PBPG10P-2ACHMOB22，AOBOD 为线段，写出探讨进程yDNx解：(1)解：(1)OH1；k33，b2 33；(2)(2)设存在实数 a，是抛物线 ya(x1)(x5)上有一点 E，知足以 D、N、E 为极点的三角形与等腰直角AOB相似以 D、N、E 为极点的三角形为等腰直角三角形，且如此的三角形最多只有两类，一类是以 DN 为直角边的等腰直角三角形，另一类是以DN 为斜边的等腰直角三角形若 DN 为等腰直角三角形的直角边，则EDDN由抛物线 ya(x1)(x5)得：M(1，0)，N(5，0)D(2，0)，EDDN3，E 的坐标是(2，3)把 E(2，3)代入抛物线解析式，得a13抛物线解析式为 y1(x1)(x5)3即 y1x24x5333若 DN 为等腰直角三角形的斜边，则DEEN，DEENE 的坐标为，把 E，代入抛物线解析式，得a29抛物线解析式为 y2(x1)(x5)，即 y2x28x109999当 a1时，在抛物线y1x24x5上存在一点 E(2，3)知足条件，若是此抛物线上还有知足条件的E3333点，不妨设为 E 点，那么只有可能DE N 是以 DN 为斜边的等腰直角三角形，由此得 E，显然 E 不在抛物线 y1x24x5上，因此抛物线 y1x24x5上没有符合条件的其他的E 点333333当 a2时，同理可得抛物线 y2x28x10上没有符合条件的其他的E 点9999当 E 的坐标为(2，3)，对应的抛物线解析式为y1x24x5时333EDN 和ABO 都是等腰直角三角形，GNPPBO45又NPGBPO，NPGBPOPGPNPOPB，PBPGPOPN2714，总知足 PBPG10 2当 E 的坐标为，对应的抛物线解析式为y2x28x10时，999同理可证得：PBPGPOPN2714，总知足 PBPG10 2